MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ

FONKSİYONLARIN LİMİTİ LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI

LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI BELİRSİZLİĞİ Trigonometrik Fonksiyonların Limiti BELİRSİZLİĞİ BELİRSİZLİĞİ BELİRSİZLİĞİ

Limit hesaplamalarında karşılaşılan biçimindeki ifadelere belirsiz ifadeler denir. Bu bölümde belirsizliklerini inceleyeceğiz. BELİRSİZLİĞİ Bu belirsizlik halini şöyle açıklayabiliriz: Bölme işlemi yapılınca, bölüme her reel sayı yazılabilir.

Limiti hesaplanırken; ve ise belirsizliği oluşur. Bu durumda f(x) ve g(x) ifadeleri, (x-a) çarpanına sahiptir. Yani f (x) = (x-a).f1 (x) ve g(x) = (x-a). g1 (x) olacağından, olur. Bu limitte yine belirsizliği varsa, aynı işlemler tekrar edilir.

ÖRNEK: değerini bulalım. ÇÖZÜM:

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ Teorem: a  R olmak üzere: 1. sin x = sin a dır. 2. cos x = cos a dır 3. dir.

sin x. cos x < x < tan x olur. İSPAT: Bir çemberde 1'in ve 2'nin doğruluğu kolayca görülebilir. Biz 3'ün ispatını yapalım. Şekildeki orijin merkezli birim çemberde, AOP açısının ölçüsüne x radyan dersek; PR = sin x, OR=cos x ve AC = tan x olur. OPR üçgeninin alanı, OAP daire diliminin alanı, OAC üçgeninin alanı arasındaki sıralama; A(OPR) < A(OAP) < A(OAC) sin x. cos x < x < tan x olur.

B(0,1) y x A(1,0) C P O 1 sin x tan x cos x

i. için sin x > 0’dır. Eşitsizliğinin her üç yanını sin x ile bölelim: cos x > > olur. Her üç tarafın limitini alalım. ise; bulunur.

ii. için, sin x < 0’dır. Eşitsizliğin her üç yanını sin x’e bölelim: cos x > > olur. Her üç tarafın limitini alalım: ise;

Soldan ve sağdan limitler eşit olduğu için; olur. olduğunu gösterelim: bulunur.

SONUÇLAR: 1. 2. 3. ve 4. ve

BELİRSİZLİĞİ un belirsizliğini şöyle açıklayabiliriz: şeklinde yazarsak; belirsizliğine dönüşür. Bunun için da belirsiz bir ifadedir.

Birer polinom fonksiyonu olduğuna göre; ve ise; limitinin hesabında belirsizliklerinden biri ile karşılaşılır.bu durumda belirsizliği vardır, denir.

Bu belirsizliği yok etmek için, pay ve paydan yüksek dereceli x parantezine alınıp, kısaltmalar yapılarak limit hesabına geçilir. Bu durumda; , m = n ise , m > n ise , m < n ise olur.

Örnek: Çözüm: Belirsizliği bulunur. Bu durumda;

BELİRSİZLİĞİ  -   -  un belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz: ları eşit düşünürsek sonuç 0, ilk u daha büyük düşünürsek pozitif bir değer; ikinci u daha büyük kabul edersek sonuç negatif bir değerdir. Bu durumda kesin bir şey söylenemediği için belirsiz bir ifadedir.   -  ya da belirsizliği genellikle; ya da belirsizliklerinden birine dönüşür.

ÖRNEK: değerini hesaplayalım, ÇÖZÜM: belirsizliği belirsizliğine dönüşür. bulunur.

ÖZELLİK a > 0 olmak üzere; dır.

BELİRSİZLİĞİ 0. un belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz: Sıfır çarpma işleminin yutan elemanı olduğunadan,çarpma işlemini buna göre yaparsak ; olur. Çarpma işlemini a göre yaparsak; olur. Buna göre çarpma işleminin sonucu sıfır mıdır; sonsuz mudur? Kesin bir şey söyleyemediğimiz için işleminin sonucu belirsizdir. 0. 0. = 0  .0 =  .0 veya

belirsizliğinin oluşması durumuında; veya belirsizliğinin oluşması durumuında; veya biçimine dönüştürülerek limit hesabı yapılır. olması durumunda da aynı işlem yapılır. Not:

belirsizşliğine dönüştürülür. Örnek: Çözüm: belirsizliği vardır. belirsizşliğine dönüştürülür. olarak bulunur.

belirsizliğine dönüşür. Örnek: Çözüm: belirsizliği vardır. belirsizliğine dönüşür. için olduğundan; bulunur.

belirsizliği vardır.  - 2x = h diyelim. Örnek: Çözüm: belirsizliği vardır.  - 2x = h diyelim. olur. iken dır. Değerleri yerine yazalım: belirsizliğine dönüşür. bulunur.