Sürekli Olasılık Dağılımları

Sürekli Raslantı Değişkenlerde Normal Dağılım ‘Çan şeklindedir’ Simetriktir Ortalama, Ortanca, Tepedeğeri eşittir. Konum ölçüsü ortalamadır Verilerin dağılımının ölçüsü standart sapmadır , σ Kuramsal olarak dağılım sınırları +  ile   arasındadır. f(x) σ x μ Ortalama =ortanca =Tepe değeri

Farklı Ortalama ve Varyansa sahip ND

Ortalamadan çıkılan dikme dağılımı ikiye ayırır f(x) Dağılımın genişlemesi ya da dar alanda dağılması ile ilgilidir. σ σ μ x

f(x) P ( a  x  b)= a b x

μ ± 2σ arasında x’lerin 95% i bulunur 3σ 3σ 2σ 2σ μ x μ x 95.44% 99.72%

Standart Normal Dağılım (SND) Standart normal dağılımda ortalama 0, varyans 1’dir. Ortalamaya göre tam simetrik bir dağılımdır. SND’ın olasılık yoğunluk fonksiyonu dönüşümü ile, - <z<

Bu dağılım z dağılımı olarak bilinir. Ortalaması 0 Standart sapması 1 dir. f(z) 1= σ z μ=o

Her normal dağılım standart normal dağılıma dönüştürülebilir Her normal dağılım standart normal dağılıma dönüştürülebilir. Bu dönüşümde olasılıklarda (alanlarda)bir değişiklik olmaz. Dönüşüm için kullanılan eşitlik : dir. Bu dönüşüm kitle içindir.

Örneklem için z dönüşümü dir.

Bir normal dağılımda ortalama 100, standart sapma 50 ise x = 250 için Z değeri ne olur? μ = 100 σ = 50 100 250 x 3.0 z

Tablo Kullanılarak olasılık Bulma SND tablolarında z değerleri ve olasılıkların bulunması: .4772 Örnek: P(0 < z < 2.00) = .4772 2.00 z

Bu tabloda sutunlar vigülden sora ikinci basamağın değerleridir 0,00000000,100 0,2 . 2.0 .4772 P(0 < z < 2.00) = .4772 2.0

Normal Dağılımda Olasılık Bulmada Genel Kurallar X normal dağılıma sahip ise x’in P(a < x < b) olasılığının bulunması için : Hangi x değeri için olasılığın hesaplanacağı belirlenir x değeri z ye dönüştürülür Standat normal dağılım kullanılır.

Standart Normal Dağılım Kullanmak için Örnekler Standat sapmanın 5.0 ortalamanın 8.0 olduğu bir normal dağılımda P(8<x<8.6)olasılığının bulunması Z değerinin hesaplanması: 8 8.6 x 0.12 Z P(8 < x < 8.6) = P(0 < z < 0.12)

Yukarıda verilen problem için z tablosu kullanılarak P(8 < x < 8 Yukarıda verilen problem için z tablosu kullanılarak P(8 < x < 8.6)olasılığını bulalım = 8  = 5 = 0  = 1 x z 8 8.6 0.12 P(8 < x < 8.6) P(0 < z < 0.12)

Örnek: Bir araştırıcı 8-15 yaş grubunda olan çocukların 24 saat içinde dik pozisyonda oturma sürelerini belirlemek için hafif pilli bir araç kullanmıştır. Araştırma 529 normal gelişimli çocuklar üzerinde yapılmıştır. 24 saat içinde dik pozisyonda kalma süresinin 5,4 saat ortalama ve 1,3 saat standart sapma ile normal dağıldığı görülmüştür. Çocukların 3 saatten daha az dik pozisyonda kalma olasılığı nedir? Çocukların 8,5 saatten daha fazla dik pozisyonda kalma olasılığı nedir? Çocukların 3,5 ile 6,5 saat arasında dik pozisyonda kalma olasılığı nedir?

Çocukların 3 saatten daha az dik pozisyonda kalma olasılığı nedir? Burada ortalama ve varyans = 5,4  = 1,3 0,0 3 5,4 -1,85 P(x<3)=P(z<-1.85)= birikimli tablodan 0,0322 P(0<x< ) arasındaki olasılığı veren tablodan P(0<x< )- P(0<x<1,85)=0,5-0,4678=0,0322

Çözüm: Çocukların 3,5 ile 6,5 saat arasında dik pozisyonda kalma olasılığı nedir? Çözüm: P(3,5< x < 6,5) = P(-1,46 < z < 0,85) =0,7302 3,5 5,4 6,5

Çocukların 8,5 saatten daha fazla dik pozisyonda kalma olasılığı nedir? Çözüm: P(x>8,5)=P(z>2,38)= birikimli tablodan 1-0,9913=0,0087 P(0<x< ) arasındaki olasılığı veren tablodan P(0<x< )- P(0<x<2,38)=0,5-0,4913=0,0087 µ=0 µ=5,4 8,5=x 2,38

KAYNAKLAR Yüksel, İ,. “İstatistik ve Olasılık Ders Notları”, 2011 KAYNAKLAR Yüksel, İ,. “İstatistik ve Olasılık Ders Notları”, 2011. Bulu, A., “İstatistik Problemleri”, İTÜ, İnşaat Fakültesi.