Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Analitik Ortalamalar – Aritmetik – Geometrik – Harmonik – Kareli ortalama Analitik olmayan ortalamalar – Mod – Medyan.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Analitik Ortalamalar – Aritmetik – Geometrik – Harmonik – Kareli ortalama Analitik olmayan ortalamalar – Mod – Medyan."— Sunum transkripti:

1 Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Analitik Ortalamalar – Aritmetik – Geometrik – Harmonik – Kareli ortalama Analitik olmayan ortalamalar – Mod – Medyan – Kartil, Desil ve Santiller

2 I. Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Bir veri setinin merkez noktasını gösteren, serinin normal değerinin bir göstergesi olan ve veriyi tek bir değerle ifade eden değerlere merkezi eğilim ölçüleri adı verilir. Bir verinin ortalaması onun en küçük ve en büyük değeri arasında yer alır. Ortalamaların Faydaları: Ortalamaların faydaları kısaca şöyle özetlenebilir. 1.Ortalamalar çoğu zaman serinin normal değerini gösterir. Tabi bunun için serinin dağılımının da aşırı çarpık olmaması gerekir. 2.İstatistik analiz işleminin temel elemanlarından biridir. 3.Aynı birimle ölçmek kaydıyla farklı serileri karşılaştırmaya imkan tanır. 4.Tek bir sayı olması sebebiyle hatırda tutulması kolaydır.

3 Ortalamalar verinin tamamını kapsayıp kapsamamasına göre analitik ve analitik olmayan ortalamalar şeklinde iki grupta incelenir. 1.Analitik (Hassas ortalamalar) Verideki bütün değerleri dikkate alarak hesaplanan ortalamalardır. Analitik ortalamalar verinin özelliğine ve hesap tarzına göre dört farklı şekilde elde edilir. 1.1. Aritmetik ortalama 1.2. Geometrik ortalama (G) 1.3. Harmonik ortalama (H) 1.4. Kareli ortalama (K).

4 Aritmetik ortalama serideki gözlem değerleri toplamının toplam gözlem sayısına oranıdır. Basit seride Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride X i : i. gözlem değeri f i : i. değerin frekansı m i : i. sınıfın orta noktası N : toplam gözlem sayısı 1.1. Aritmetik ortalama

5 Örnek: Adapazarı'nda nisan ayı ortalama yağışlarını tahmin etmek için geçmiş nisan ayı yağış rakamlarından rasgele 7 tanesi seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Bu verilerden hareketle Adapazarı'nda nisan ayı yağışlarının aritmetik ortalamasını hesaplayınız. Nisan ayı yağışları (Kg) (X i ) 60 75 80 100 120 130 155 ∑X i =720

6 Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten işçilerin bu parçayı üretim sürelerinin dağılımı aşağıdaki gibi gözlenmiştir. Parça üretim süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz. Parça üretim süresi(dk)(X i ) İşçi sayısı (f i ) f i.X i 12224 13565 1410140 157105 16464 Toplam28398

7 Örnek Bir işyerinde yapılan telefon görüşmelerinin süresinin dağılımı için aşağıdaki gruplanmış seri verilmiştir. Buna göre görüşme süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz. Görüşme süresi Görüşme sayısı (f i ) mimi fimifimi 0 - 2515 2 - 410330 4 - 6405200 6 - 8307210 8 - 10259225 Toplam 110670

8 Tartılı Aritmetik Ortalama Bir serideki gözlem değerlerlerinin önem dereceleri farklı olursa, bu tür serilerin aritmetik ortalaması tartılı olarak hesaplanır. Bunun için önem derecesini gösteren katsayılar (tartılar) kullanılır. Örnek olarak öğrencilerin ortalama notlarını hesaplarken derslerin kredileri tartı olarak düşünülürken, ücretlerin belirlenmesinde kıdem tartı olarak kabul edilebilir. Basit seride Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride

9 Örnek Aşağıda bir öğrencinin almış olduğu dersler, notları ve kredileri verilmiştir. Not ortalamasını tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız. Dersler Notlar (X i ) Kredi (t i ) tiXitiXi İstatistik703210 Matematik604240 Fizik503150 Kimya802160 Toplam260  t i =12  t i X i =760

10 Örnek Bir işletmede işçilerin saat ücretleri çalıştıkları süre (kıdem) dikkate alınarak belirlenmektedir. Veriler aşağıdaki gibi olduğuna bu işletmede ortalama saat ücretini tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız. Saat ücreti (milyon) (YTL) İşçi sayısı (f i ) Ortalama kıdem (t i ) mimi fitifiti fitimifitimi fimifimi 1.00 – 1.40102.51.202530.012.00 1.40 – 1.60305.01.50150225.045.00 1.60 – 1.80509.51.70475807.585.00 1.80 – 2.001513.01.90195370.516.90 2.00 – 2.50518.02.2590202.511.25 Toplam1109351635.5170.15

11 Tartılı aritmetik ortalamanın kullanıldığı yerler Tezgah lar Üretim miktarı (t i ) Kusurlu oranı (X i ) tiXitiXi A1000.033 B2000.0510 C500.010.5  t i = 350X i = 0.09t i X i = 13.5 - Veriler arasında önem farkı bulunması halinde kullanılır. -Oranların ve ortalamaların ortalaması hesaplanırken kullanılır. -Ortalama maliyet ve satış fiyatı, bileşik fiyat ve miktar indekslerinin hesaplanmasında da tartılı ortalama kullanılır. Örnek Bir işletmede bulunan üç tezgahın belli bir günde ürettikleri malların sayısı ve üretimlerindeki kusurlu oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre bu tezgahlarının ürettiği mamul kütlesinin kusurlu oranını bulunuz.

12 Aritmetik ortalamanın özellikleri 1 - Aritmetik ortalama hassas bir ortalama olup serideki aşırı değerlerden etkilenir ve aşırı değere doğru kayma gösterir. 2 - Serinin gözlem sayısı ile aritmetik ortalaması çarpılırsa serinin toplam değeri elde edilir. 3- Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları toplamı sıfır olur. 4- Serideki değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimum olur. 5- Aritmetik ortalama özellikle normal dağılıma yakın serilerin ortalaması için elverişlidir. 6- Bir serinin değerleri, diğer iki serinin değerleri toplamından oluşuyorsa bu serinin aritmetik ortalaması da diğer iki serinin aritmetik ortalamaları toplamına eşit olur.  X =  Y +  Z

13 Aritmetik ortalamanın SPSS’te hesaplanması Aritmetik ortalamayı SPSS’te analyze menüsünün Reports kısmından hesaplamak mümkündür. Bunun için Analyze, Reports ve Case summaries tıklanır.

14 Gelen ekranda Variables kısmına Ağırlık değişkeni girilir ve Statistics tıklanır. Gelen ekranda Cell statistics kısmına Mean atanır. Continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Aritmetik ortalamanın SPSS’te hesaplanması Sonuç çıktı ekranında şöyle görüntülenir. Case Summaries Mean Aracın ağırlığı 2970,99

15 Aritmetik ortalamanın belli bir değişkenin kategorilerine göre hesaplanması: Bunun için otomobilin ağırlığının aritmetik ortalamasını ülke orjinine göre hesaplayacağız. Analyze menüsünden Reports ve Case summaries tıklanır. Gelen ekranda Variables kısmına ağırlık, Grouping variable(s) kısmına ülke orjini değişkeni girilir ve statistics tıklanır ve gelen ekranda Mean girilip Continue ve OK tıklanır. Aritmetik ortalamanın SPSS’te hesaplanması

16 Sonuçlar SPSS ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir. Aritmetik ortalamanın SPSS’te hesaplanması Case Processing Summary Cases IncludedExcludedTotal NPercentN N Aracın ağırlığı * Ülke orjini 393100,0%0,0%393100,0% Case Summaries Mean Ülke orjiniAracın ağırlığı American3366,92 European2437,09 Japanese2221,23 Total2970,99

17 SPSS te Aritmetik Ortalama SPSS’te aritmetik ortalamayı hesaplayabilmek için Analyze menüsünden Descriptive Statistics seçeneği tıklanır.

18 Gelen ekranda Variable(s) kısmına ortalamasını hesaplamak istediğimiz değişkenleri ( Alınanyol, Motorhacmi, Beygirgücü, Ağırlık) girilir. Options tıklanır ve gelen ekranda Mean (aritmetik ortalama) işaretlenir ve Continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır. SPSS te Aritmetik Ortalama

19 Sonuçlar aşağıdaki şekilde elde edilir. Descriptive Statistics NMinimumMaximumSumMean Galon başına Miles3921047921623,51 Motor hacmi boyutu3936845576127193,71 Beygir gücü3924623040869104,26 Aracın ağırlığı3931613514011676012970,99 Valid N (listwise)391 En küçük değerler En büyük değerler Verinin toplamı Aritmetik ortalama

20 SPSS’te Tasnif Edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması Önce tasnif edilmiş bir seri oluşturalım. Bunun için öğrencilerin 0- 10 arasındaki notların dağılımını SPSS sayfasına giriş yapalım. Bunun için veri ekranının 1. sütununa notları, 2. sütununa öğrenci sayılarını girelim. File menüsünden New ve Data tıklanır ve yeni bir veri sayfası ekrana gelir. Bu sayfaya veriler girilir. Variable view sayfasından değişken isimleri girilir.

21 Öğrenci sayılarını frekans olarak tanımlayabilmek için Data menüsünden Weight cases tıklanır ve gelen ekranda Weight cases by kısmına öğrencisayısı değişkeni girilir böylece frekans tanımlanmış olur. SPSS’te Tasnif edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması

22 Analyze menüsünden Reports ve Case summaries tıklanır. Gelen ekranda Variables kısmına Ağırlık değişkeni girilir ve statistics tıklanır. Gelen ekranda Mean (aritmetik ortalama) seçilir, continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır. SPSS’te Tasnif edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması

23 Sonuçlar aşağıdaki gibi görüntülenir. Case Summaries Mean Notlar 5,00

24 Analyze menüsünden Descriptive statistics kısmından Descriptive tıklanır. Gelen ekranda Variable(s) için Notlar girilir.Options tıklanır Mean işaretlenip Continue ve OK tıklanır SPSS’te Tasnif Edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması

25 Sonuçlar çıktı ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir. SPSS’te Tasnif Edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması Descriptive Statistics NMinimumMaximumSumMean Notlar1130106175,46 Valid N (listwise) 113 Öğrenci sayısı Endüşük not Enyüksek not Notlar toplamı Aritmetik ortalama

26 2- Geometrik Ortalama (G) Bir serideki gözlem değerlerinin birbirleri ile çarpımlarının, gözlem sayısı derecesinde kökünün alınması ile elde edilir. Basit seri için şöyle yazılır. olup yazılırsa kısaca geometrik ortalama olarak yazılır. Ancak bu yoldan geometrik ortalamayı bulmak için gözlem sayısının az olması gerekir. Gözlem sayısı arttıkça bu yoldan geometrik ortalamayı hesaplamak güçleşmektedir. Bunun yerine logaritmik dönüşüm uygulanarak geometrik ortalama hesaplanır.

27 ifadesi üslü olarak yazılır, bu ifadenin her iki tarafının logaritması alınırsa Çarpımın logaritması ayrı ayrı logaritmalar toplamına eşit olduğuna göre; olup düzenlenirse, Burada logG’yi G ye çevirmek için logG’nin ters logaritması alınarak geometrik ortalama elde edilir.

28 Tasnif edilmiş seride; logaritmik olarak; olur. Gruplanmış seri için; Geometrik ortalamanın özellikle geometrik dizi şeklindeki serilere uygun olduğunu söylemek mümkündür. Geometrik bir diziye logaritması alınarak aritmetik diziye dönüşür.

29 Kusurlu parça sayısı (X i ) logX i 30.477 50.699 80.903 151.176 301.477  log X i = 4.732 Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten 5 işçinin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayıları aşağıda verilmiştir. Bu işçilerin parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz.

30 Örnek 1.10) Bir işletmede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına günlük kusurlu parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. =13,918 G=13,918 parça Kusurlu parça sayısı İşçi sayısı (f i ) mimi logm i f i logm i 0 – 10550.698973.49485 10 – 13811.51.06068.4848 13 – 1510141.14611.46 15 – 201217.51.24314.316 20 – 405301.4777.385  f i = 40  f i logm i = 45.74065

31 Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşu Basit serinin geometrik ortalaması Basit bir serinin geometrik ortalamasını SPSS’te bulabilmek için Analyze menüsünden Reports ve cases summary tıklanır.

32 Gelen ekranda geometrik ortalaması bulunacak değişken(ler) Variables kısmına taşınır (Gidilenyol). Statistics tıklanır ve gelen ekranda Geometric mean seçilir, continue ve OK tıklanır. Sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşu Sonuçlar çıktı ekranda aşağıdaki gibi görüntülenir. Case Summaries Geometric Mean Galon başına Miles 22,24

33 Tasnif edilmiş serinin geometrik ortalaması Tasnif edilmiş bir serinin geometrik ortalamasını SPSS’te bulabilmek için serinin frekansının tanımlanması gerekir. Bilindiği gibi bunun için Data menüsünden Weight cases seçeneği tıklanıp frekans değişkeni Weight cases by kısmına taşınarak tanımlanmaktadır. Geometrik ortalama için diğer işlemler yukarıda anlatıldığı gibi yapılmaktadır. Öğrencilerin notlarının geometrik ortalaması SPSS’te hesaplanacaktır. İlgili ekranlar aşağıdaki gibi görüntülenir. Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşu

34 Frekans tanımlama işlemi aşağıdaki gibi yapılır

35 Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşu Case Summaries Geometric Mean Notlar 4,98 Geometrik ortalama çıktı ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir.

36 Geometrik Ortalamanın Tahmin Amacıyla Kullanımı Geometrik diziye benzer değişim gösteren nüfus, milli gelir artışı, fiyat artışı ve sermaye artışı gibi değişkenlerin tahmininde geometrik ortalama özelliğinden yararlanılabilir. Bu tür seriler genel olarak bir önceki yılın belli bir yüzdesi şeklinde değişim göstermektedir. Bunun için bir dönemlik (ay yıl vs)değişim oranı geometrik ortalama ile belirlenir. Bu eğilimin gelecekte de benzerlik göstereceği varsayımı ile gelecek dönem ile ilgili tahminler elde edilebilir. Bir malın fiyatı için: Po: başlangıç dönemi değeri, Pn: n. Dönemin değeri, r : bir dönemlik değişim yüzdesi şeklinde olur.

37 Örnek Bir X malının 1995 yılı fiyatı 10000 TL, 2003 yılı fiyatı 300000 TL olduğu bilindiğine göre; a)Bu malın yıllık fiyat artış oranını hesaplayınız b)2010 yılı için X malının fiyatını tahmin ediniz c)1985 yılı fiyatı ne olmuş olabilir d)1999 yılı fiyatını tahmin ediniz e)Hangi yılda fiyatlar 50000000 TL olur? Çözüm P 1995 = 10000 P 2003 = 300000 n= 8 (2003-1995) Fiyat artış oranı için geometrik artış dikkate alınırsa; fiyat artışı %53 b) formülünden 2010 yılı fiyatı tahmin edilebilir. P 2010 = P 2003 (1,53 )( 2010-2003 ) P 2010 = 300000(1,53) 7 = 300000(19,626) P 2010 = 5887800 TL olur.

38 Geometrik ortalamanın özellikleri 1) Geometrik ortalamanın gözlem sayısı kadar üssü alınırsa serinin çarpımı elde edilir. G N = X 1  X 2  X 3  X N G N =  Xi 2) Bir serideki gözlem değerlerinin geometrik ortalamaya oranları çarpımı 1’e eşittir. 3) Bir serideki değerlerin logaritmalarının serinin geometrik ortalamasının logaritmasından farklarının toplamı sıfır olur  (logXi - logG) = 0  logXi - NlogG = 0 4) Serideki aşırı değerlere karşı, aritmetik ortalama kadar hassas değildir.

39 5- İki serinin gözlem sayısı ve çarpımları eşit ise geometrik ortalamaları da eşit olur. 6) Seride sıfır veya negatif gözlem değeri varsa geometrik ortalama hesaplanamaz. 7) Geometrik ortalama özellikle geometrik dizi şeklindeki (değişim oranı sabit) serilerin ortalamasının hesaplanmasında kullanılır. (2,4,8,16,32,64 tam geometrik 1,10,100,1000,10000 tam geometrik vs.) XiXi logX i 30,477 90,954 271,431 811,908 2432,386

40 4. Kareli Ortalama (K) Kareli ortalama serideki değerlerin karelerinin aritmetik ortalamasının kareköküdür.Kareli ortalama aşağıdaki formüllerle hesaplanır. Basit seride: Tasnif edilmiş seride: Gruplanmış seride:

41 Örnek: Bir otomobil servis istasyonuna günlük olarak gelen araçların dağılımı aşağıda verilmiştir. Araç sayısı (X i ) Gün sayısı (f i ) 1414 28432 3129108 41016160 5625150 Toplam∑f i = 40

42 Örnek Bir şehirdeki konutlarda elektrik enerjisi tüketimi üzerine yapılan araştırmada, 200 konut rasgele seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Aylık elektrik Tüketimi (Kwh) Konut sayısı (f i ) mimi fimi2fimi2 0 – 60 10 30 9000 60 – 100 20 80 128000 100 – 120 40110 484000 120 – 140 50130 845000 140 – 180 451601152000 180 – 250 352151617875 Toplam2004235875

43 Kareli ortalamanın kullanıldığı yerler Diğer ortalamaların kullanılmadığı durumlarda kareli ortalama kullanılabilir. Bir seride sıfır ve/veya farklı işaretli değerler varsa geometrik ve harmonik ortalamalar hesaplanamaz, hesaplansa da mantıklı sonuçlar vermez. Eğer aritmetik ortalama da makul bir sonuç vermiyorsa kareli ortalama kullanılabilir. Kareli ortalama özel olarak sapmalar serisinin ortalamasında kullanılır. Sapmalar serisi verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarını veren seridir. Yani serisidir. Zira sapmalar serisinin toplamı sıfır olduğundan { = 0 }, bu serinin ortalaması kareli ortalama ile hesaplanabilir. Bu şekilde hesaplanan ortalamaya standart sapma adı verilir. SPSS’te kareli ortalama işlemi yapılamamaktadır. Bu sebeple kareli ortalamayı Excel kullanarak hesaplayacağız. Analitik ortalamalar arasındaki ilişkiler Normal bir seride ortalamalar arasında aşağıdaki gibi bir büyüklük ilişkisi vardır. K >  X > G > H

44 Analitik Ortalamaların Excel Kullanılarak Hesaplanması Excel sayfasına veri girişi SPSS’te olduğu gibi girilir. Hücre tanımlamak suretiyle ilgili işlemler yapılarak ortalamalar hesaplanır. Aşağıda basit bir serinin ortalamaları Excel ortamında gerçekleştirilmiştir.

45 Önceki slaytta ortalama formülleri kullanılarak ortalamalar hesaplanmıştı. Ancak Excelde doğrudan ortalamaları hesaplayan fonksiyonlar vardır. Bunları kullanarak ta ortalamalar hesaplanabilir. Aritmetik Ortalamanın Excel Kullanılarak Hesaplanması 16

46 Harmonik ortalamanın hesaplanması Harmonik Ortalamanın Excel Kullanılarak Hesaplanması 14,55696203

47 Excel fonksiyonu kullanılarak Geometrik ortalamanın hesaplanması. Excelde kareli ortalama için fonksiyon yoktur. Kareli ortalama formül kullanılarak hesaplanır. Kareli Ortalamanın Excel Kullanılarak Hesaplanması 15,26181087

48 Analitik Ortalamaların Excel Kullanılarak Hesaplanması Excel sayfasına veri girişi SPSS’te olduğu gibi girilir. Hücre tanımlamak suretiyle ilgili işlemler yapılarak ta ortalamalar hesaplanır. Aşağıda basit bir serinin ortalamaları Excel ortamında gerçekleştirilmiştir.

49 Örnek: Bir işletmede gerçekleştirilen günlük üretim miktarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle; Aritmetik ortalamayı, Geometrik ortalamayı, Harmonik ortalamayı, Kareli ortalamayı bulunuz. Aritmetik ortalama: 137,63 logGeometrik ortalama: 2,105 Harmonik ortalama: 112,64 Geometrik ortalama: 127,36 Kareli ortalama: 145,53 K = 145,53>  X = 137,63 > G = 127,36> H = 112,64 olduğu görülür. Üretim (Kg) fifi mimi f i.m i f i /mimi2mi2 fimi2fimi2 logm i f i logm i 0 – 601030 3000,333390090001,4771214,771 60 – 1002080 16000,2564001280001,9030938,062 100 – 12040110 44000,3636121004840002,0413981,656 120 – 14050130 65000,38462169008450002,11394105,7 140 – 18045160 72000,28132560011520002,2041299,185 180 – 25035215 75250,16284622516178752,3324481,635 Toplam200275251,7756423587512,0721421,01

50 Analitik olmayan ortalamalar Bu gruptaki ortalamalar serinin bütün değerlerini dikkate almayıp, sadece belli birkaç değerini, özellikle ortadaki değerleri esas alarak hesaplanan ortalamalardır. Serinin bütün değerlerini dikkate almadan hesaplandıkları için analitik olmayan ortalamalar olarak adlandırılmaktadırlar. 1. Mod Bir seride en çok tekrarlanan değere mod adı verilir. İstatistikte nispeten az kullanılan bu ölçü özellikle verilerin simetrik bir dağılış göstermediği durumlarda iyi bir ölçü olarak düşünülebilir. Basit ve tasnif edilmiş seride modun bulunması oldukça kolaydır. Seride en fazla rastlanan ya da frekansı en yüksek olan değer mod olarak ifade edilir. Eğer seride en çok tekrarlanan birden fazla eleman varsa bu tür seriler çok modlu seriler olarak isimlendirilir. Böyle serilerde modun tek bir değerle ifade edilmesi istenirse seri gruplanmış hale dönüştürülerek modu hesaplanabilir. Gruplama sonrasında da en yüksek frekansa sahip tek bir sınıf bulunamazsa sınıflar birleştirilerek mod hesaplanabilir.

51 Mod = 5günMod= 6 gün Örnek:Adapazarı’nda nisan ayında yağışlı gün sayısı için aşağıdaki iki veri elde edilmiştir. Nisan ayı yağışlı gün sayısının modunu bulunuz. Yağışlı gün sayısı 3 4 5 5 5 6 6 7 Ay sayısı 32 44 57 69 74

52 Gruplanmış seride modun hesaplanması Gruplanmış seride modu belirleyebilmek için önce modun içinde bulunduğu sınıf belirlenir. Mod sınıfı frekansı en fazla olan sınıftır. Gruplanmış seride modun hesaplanabilmesi için serinin sınıf aralığının eşit olması gerekir. Çünkü sınıf içindeki frekansların dağılımı sınıf aralıklarının büyüklüğüne göre değişir. Eğer sınıf aralıkları eşit değilse eşit hale getirmek gerekir. Eşit hale getirilemiyorsa modun bu şekilde hesaplanması uygun olmaz. Bu sınıf içindeki modun değeri aşağıdaki formülle bulunur. Yukarıdaki formülde; l 1 : mod sınıfının alt sınırı  1 : mod sınıfı frekansından bir önceki sınıf frekansının farkı,  2 : mod sınıfı frekansından bir sonraki sınıf frekansının farkı, s: seride sabit olan sınıf aralığı

53 Örnek Bir ilköğretim okulunda öğrencilerin günlük olarak aldıkları harçlıkların dağılımı aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin aldıkları günlük harçlık miktarının ortalamasını mod ile belirleyiniz. Harçlık (YTL/gün)Öğrenci sayısı 0 – 0,530 l 1 = 1 0,5 – 150  1 = 100 – 50 = 50 1 – 1,5100  Mod sınıfı 1,5 – 270  2 = 100 – 70 = 30 2 – 2,520 s = 0,5

54 Örnek: Aşağıda bir parçanın üretim süreleri verilmiştir. Bu parçanın üretim sürelerinin a) Aritmetik (13,52)b) Geometrik (12,77) c) Harmonik (12,03)d) Kareli ortalamalarını (14,25) e) modunu bulunuz. (11,67) Üretim süresi Parça sayısı (f i )mimi fimifimi 5-947280,57149196 9-1310111100,9091211210 13-177151050,4672251575 17-21419760,2113611444 21-25223460,0875291058 Toplam273652,2455483

55 Modun Grafikle Gösterilmesi modun grafikle gösterilebilmesi için serinin histogramı çizilir. Histogramda en yüksek sütün mod sınıfına karşılık gelir. Burada modun yerini tayin etmek için en yüksek sütunun üst köşegenleri ile komşu sütunların bitişik üst köşeleri çapraz olarak birleştirilir. İki doğrunun kesim noktasından yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta mod olarak tespit edilir.

56 Modun özellikleri Ortalamalar arasında en temsili olanıdır. Pratik hayatta çok kullanılan ortalamalardandır Özellikle kalitatif (niteliksel) serilerin ortalaması mod ile ifade edilir. Göz rengi, medeni hal, marka, cinsiyet v.s gibi değişkenler kalitatif değişkenler olup sayısal olarak ifade edilemezler Mod serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü normal serilerde mod genellikle serinin orta bölgesinde yer alır, uç değerlerden etkilenmez. Yukarıdaki avantajlarının yanında analitik olmaması sebebi ile matematik işlemlere elverişli olmaması dezavantajıdır. J, ters J ve U tipi serilerde mod temsili alma özelliğini kaybeder. Böyle serilerde mod ya en küçük veya en büyük değere karşılık gelir.

57 SPSS’te Modun Belirlenmesi Araçların modelininin dağılımının modunu belirlemek istiyoruz. Bunun için Analyze menüsünden Descriptive ve Frequencies tıklanır.

58 Gelen ekranda variable(s) kısmına Modu hesaplanacak Model değişkeni girilir. Statistics tıklanır gelen ekranda Mode işaretlenir, continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. SPSS’te Modun Belirlenmesi Çıktı aşağıdaki gibi görüntülenir. Statistics Modeli NValid393 Missing0 Mode73

59 Sonucu frekans tablosu ile birlikte almak istersek frequencies ekranının altındaki Display frequency tables işaretlenerek OK tıklanır. SPSS’te Modun Belirlenmesi Frequ encyPercent Valid Percent Cumulative Percent Valid70287,1 71276,9 14,0 72287,1 21,1 734010,2 31,3 74266,6 37,9 75307,6 45,5 76348,7 54,2 77287,1 61,3 78369,2 70,5 79297,4 77,9 80276,9 84,7 81307,6 92,4 82307,6 100,0 Total393100,0 Statistics Modeli NValid393 Missing0 Mode73 Mod

60 2. Medyan (Ortanca) Serideki değerler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortaya düşen ve seriyi iki eşit parçaya bölen değere medyan adı verilir. Basit ve tasnif edilmiş seride medyanın bulunuşu: Bunun için serideki değerler küçükten büyüğe sıralanır. Daha sonra medyana karşılık gelen değerin sıra değeri işlemi ile belirlenir. Eğer bu işlemin sonucu tam sayı ise bu sıradaki eleman medyan olarak belirlenmiş olur. Eğer bu işlemin sonucu kesirli çıkarsa medyan iki değerin tam ortasına düşeceğinden bu iki değerin ortalaması alınarak medyan bulunur. Örnek: Xi:15,8,12,23,45,32,5,18,16,28,39,51 Yukarıdaki serinin medyanını bulunuz. Önce serideki değerler büyüklük sırasına göre dizilir. Xi : 5,8,12,15,16,18,23,28,32,39,45,51 gözlem sayısı N=12 sıradaki değer medyandır. Bu değer 18;23 arasına düşer. Medyan = 20,5 olur.

61 Örnek: Aşağıda bir atölyede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parçalarının dağılımı verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına ortalama kusurlu parça sayısını medyanla belirleyiniz. Çözüm: Medyanın serideki sırası Medyan = 18 parça Kusurlu parça sayısı İşçi sayısı 10210 ve daha az2 12312 ve daha az5 15415 ve daha az9 16616 ve daha az15 181018 ve daha az25 205 214 252 Toplam (N)36

62 Gruplanmış seride medyanın hesaplanması Gruplanmış seriler sürekli karakterde seriler olduğu için medyanın sıra değeri N/2 şeklinde bulunur. Bu değer toplam frekansın yarısına eşit olup serinin orta noktasını gösterir. Bu noktayı tespit etmek gruplanmış serilerde basit bir sayma işlemi ile mümkün olmaz. Bu işlemle medyanın içinde bulunduğu sınıf tespit edilir. Belirlenmiş olan medyan sınıfından hareketle aşağıdaki formül yardımı ile medyan değeri hesaplanır. l 1 : Medyan sınıfının alt sınırı N m : Medyan sınıfının frekansı S m : Medyan sınıfının sınıf aralığı N/2 : Medyanın sıra değeri : Medyandan sınıfından önceki frekanslar toplamı

63 Örnek: Bir işletmede işçilere ödenen saat ücretlerinin dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre medyan saat ücretini hesaplayınız. sıradaki değer medyandır. Bu değer 700-800 sınıfına düşmektedir. Bu sınıf içindeki medyan değeri şöyle hesaplanır. Saat ücreti (Bin TL)İşçi sayısı 500 – 60010600 den az10 l 1 =700 600 – 70050700 den az60N/2=150/2=75 700 – 800  Medyan sınıfı40  800 den az  100  Ni= 60 800 – 100030N m =40 1000 – 150020S m = 800-700 = 100 Toplam150

64 SPSS’te Medyanın Bulunuşu SPSS’te Medyanı hesaplayabilmek için Reports ya da Descriptive statistics menülerini kullanabiliriz. Analyze menüsünden Reports ve case summaries tıklanır. Gelen ekranda medyanı hesaplanacak değişken (Aracın ağırlığı) variables kısmına taşınır. Statistics tıklanır, gelen ekranda Median seçilir continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Case Summaries Median Aracın ağırlığı 2800,00

65 Diğer bir yoldan Medyanı belirleyebilmek için Analyze menüsünden Descriptive ve frequencies tıklanır. Gelen ekranda Variable(s) kısmına medyanı hesaplanacak değişken ya da değişkenler (Aracın ağırlığı) taşınır. Statistics tıklanır gelen ekranda Median işaretlenir continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır. SPSS’te Medyanın Bulunuşu Statistics Aracın ağırlığı N Valid393 Missing0 Median2800,0 Çıktı ekranı

66 Medyanın grafikle belirlenmesi Medyanın grafik üzerinde gösterilebilmesi için kümülatif ve ters kümalatif frekans serilerin oluşturulması gerekir. Bu serilerin grafiği birlikte çizildiğinde iki eğrinin birbirini kestiği noktadan yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta medyan olarak tespit edilir. Esasen bu işlemi sadece eğrilerden birini çizmekle de yapabiliriz. Eğrilerden biri çizildiğinde Y ekseninde N/2 değerine karşılık gelen noktadan X eksenine paralel çizildiğinde, bu doğrunun kümülatif eğriye temas ettiği noktadan X eksenine çizilen doğrunun ekseni kestiği noktada medyanı gösterecektir. Örnek: Yukarıdaki örneğin grafikle gösterimi Kümülatif frekans dağılımıTers kümülatif frekans dağılımı Saat ücreti (Bin TL)fifi fifi 500 den az0500 den çok150 600 den az10600 den çok140 700 den az60700 den çok90 800 den az100800 den çok50 1000 den az1301000 den çok20 1500 den az1501500 den çok0

67 Medyanın grafikle gösterilmesi

68 Medyanın özellikleri 1- Pratik bir ortalamadır. Çünkü sadece basit bir sıralama işlemi gerektirir. 2- Özellikle açık sınıflı seriler için medyan daha bir önem kazanır. Bu tür serilerde diğer ortalamalar ya hesaplanamaz, ya da açık sınıflar için sınıf sınırları farazi olarak seçilerek hesaplanabilir. Mod ise sınıf aralıklarının eşit olmasını gerektirdiğinden hesaplanamaz. Medyan ise böyle serilerin ortalamasında problemsiz olarak hesaplanabilir. 3- Serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü medyan serinin ortasına rastladığından, uçlarda oluşan aşırı değerler medyanı etkilemez. 4- Serideki değerlerin medyandan mutlak farkları toplamı minimum olur. Bu sebeple ortalama sapma medyandan sapmalar şeklinde de hesaplanmaktadır.  Xi-medyan   minimum 5- Medyanın zayıf tarafı serideki bütün değerleri dikkate almaması sebebi ile matematik işlemlere uygun olmamasıdır.

69 Mod, Medyan ve Aritmetik Ortalama Arasındaki İlişkiler 1- Simetrik seride her üç ortalama birbirine eşit olur.  X = medyan = mod 2- Sağa çarpık serilerde 3- Sola çarpık seride 4- Asimetrisi hafif serilerde aşağıdaki yaklaşık eşitlik vardır.

70 Sapma (Dağılma) ölçüleri Mutlak Sapma Ölçüleri – Değişim aralığı – Kartil ve Desil aralığı – Ortalama mutlak sapma – Standart sapma ve Varyans Nispi sapma ölçüleri – Değişim Katsayısı

71 Bir veri setini meydana getiren elemanlar ortalama değer etrafında belirli bir dağılış gösterirler. Gözlem değerleri arasındaki farklılıktan ileri gelen bu durum istatistik olarak serinin önemli karakteristiklerinden biridir. Bilindiği gibi ortalamalar serinin merkezi noktasını belirlemeye yarayan ölçülerdir. Dağılma ölçüleri ise gözlem değerlerinin bu merkezi noktadan uzaklaşma durumunu ortaya koyan ölçülerdir. Aynı ortalamaya sahip seriler farklı dağılış gösterebilirler. Bu yüzden bir seriyi sadece ortalama değere göre tanımlamak yanlış olur. Bunun yanı sıra dağılışının da bilinmesi gerekir. Bir seride ortalamanın temsil kabiliyeti ile dağılma ölçüleri arasında ters bir ilişki vardır. Dağılışı az olan serilerin ortalamaları daha temsili oldukları halde, dağılışı fazla olanların ortalamaları seriyi daha az temsil eder. Bu sayede veri setindeki dağılışın tespiti ortalamanın temsil kabiliyeti hakkında da bilgi verecektir. II. Sapma Ölçüleri

72 II.1. Mutlak Dağılma Ölçüleri Mutlak dağılma ölçüleri ilgili değişkenin kendi ölçüldüğü birim cinsinden (kg, cm, TL vs) sonuç verir. Bu sebeple mutlak dağılma ölçüleri olarak adlandırılırlar. 1.1. Değişim Aralığı Gözlem değerlerinin en büyük ve en küçük değeri arasındaki fark olup, verilerin ne kadarlık bir aralıkta değiştiğini gösterir. R = Xmax – Xmin Xi : 12,15,20,30,50,52,58,70,90 olan bir serinin değişim aralığı R=90-12 =78 olur. Yani gözlem değerleri 78 birimlik bir aralıkta değişme göstermektedir. Bu dağılım ölçüsü oldukça basit ve anlaşılır olmasına karşılık sadece iki uç değere bağlı olması sebebiyle serideki aşırı değerlerin etkisi altında kalması zayıf yönünü oluşturur. Sadece iki uç değeri dikkate alması diğer gözlem değerlerinin dağılımının hiç dikkate alınmamasına sebep olmaktadır.

73 1.2) Kartil ve Desil Aralığı Bilindiği gibi değişim aralığı serideki sadece iki uç değeri dikkate almakta, dolayısıyla aşırı değerlerin etkisi altında kalmaktadır. Bu durumu ortadan kaldırmak için kartil ve desillerden faydalanılmaktadır. Kartil ve desil aralıkları kullanılarak gözlem değerleri için daha tutarlı değişme aralığı belirlenmiş olacaktır. Kartil aralığı 3. kartil ile 1.kartil arasındaki fark olup serinin orta bölgesindeki %50’lik gözlem kümesinin değişim aralığını verir. Q = Q 3 – Q 1 şeklinde belirlenir. Desil aralığı ise 9. desil ile 1.desil arasındaki fark olup, her iki uçtaki %10 gözlem değeri haricinde kalan %80 lik gözlem değerinin değişim aralığını verir. D = D 9 – D 1 şeklinde belirlenir.

74 Örnek: Bir işletmede belli bir parçayı üreten işçinin bu parçayı üretim süresi gözlemlenmiş ve aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilere göre parça üretim süresinin; a) Değişim aralığını b) Kartil aralığını c) Desil aralığını bulunuz. Çözüm: a) R=Xmax – Xmin R = 60-30 = 30 dakika b) Q = Q 3 – Q 1 idi Q 3 için sıradaki değer Q 3 dür.. Bu değer 40-42 sınıfındadır. Benzer şekilde bulunur. Şu halde kartil aralığı Q = 41,43 - 36.67 = 4,76 dakika olur. Üretim Süresi Parça Sayısı  fi 30-3510 35-373040 37-404080 40-4235115 42-5020135 50-605140

75 c) D=D 9 -D 1 idi. D 1 için olup D 1 35-37 sınıfındadır. Bu sınıf içindeki değeri; D 9 için.sıradaki değer olup 42-50 sınıfındadır. Bu sınıf içindeki D 9 değeri şöyle bulunur. Desil aralığı ise D = 46,4-35,27 = 11,13 dakika olur. Burada aşırılıklar yok edildiğinden gözlem değerlerinin ortalamaya daha yakın dağıldıkları anlaşılmaktadır. Bununla birlikte yukarıda anlatılan sapma ölçüleri sadece iki değere bağlı olduklarından serideki bütün değerlerin sapmasını göstermekten uzaktır. Veri setindeki bütün değerlerin merkez noktadan sapmalarını gösterecek başka ölçülere ihtiyaç vardır. Bu amaçla ortalama mutlak sapma ve standart sapma ölçülerinden faydalanılır.

76 1.3. Ortalama (mutlak) Sapma Bilindiği gibi sapmalar serisinin (aritmetik ortalamadan sapmalar) toplamı sıfıra eşittir. Bu durumda sapmalar serisinin ortalaması da sıfır olacağından bir sapma ölçüsü elde etmek mümkün değildir. Serinin toplamını sıfır olmaktan kurtarabilmek için mutlak sapmalar dikkate alınabilir. Çünkü mutlak sapmalar serisinin toplamı sıfırdan büyük olacaktır Böylece mutlak sapmalar serisinin ortalaması alınarak yeni bir sapma ölçüsü elde edilebilir. Bu sapma ölçüsü diğer iki sapma ölçülerinin aksine serinin bütün değerlerini dikkate almaktadır. Bu sebeple daha kullanışlı ve daha temsili bir sapma ölçüsü elde edilmiş olmaktadır.

77 Ortalama (mutlak) sapma formülleri Ortalama sapmayı şöyle formüle edebiliriz. Basit Seride Tasnif Edilmiş Seride Gruplanmış Seride

78 Örnek: Bir atölyede üretim hattında günlük olarak üretilen mamul sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Günlük üretimin ortalama sapmasını bulunuz. Mamul Sayısı (X i ) Gün Sayısı (fi) fi.X i 33266-3,57 345170-2,512,5 359315-1,513,5 36301080-0,515 37207400,510 38166081,524 3951952,512,5 4031203,510,5 Toplam903286105 Aritmetik ortalama Ortalama sapma OS = 1,167 adet/gün

79 Örnek: Bir ağrı kesicinin insanlar üzerinden ne kadar süre ile etkili olduğunu belirlemek için yapılan araştırmada, ağrı kesicinin etkinlik süresinin aşağıdaki gibi dağıldığı gözlenmiştir. Bu verilere göre etkinlik sürenin ortalama sapmasını bulunuz. Ortalama sapma serinin sapmasını iyi bir şekilde ölçmektedir. Ancak mutlak işlemler gerektirmesi bu sapma ölçüsünün aritmetik işlemlere elverişsiz olmasına sebep olmaktadır. Bu sebeple istatistik analizde kullanılması mümkün olamamaktadır. Aritmetik ortalama Ortalama sapma OS = 2,68 saat Etkin.Sür (saat) Hast.Saymifi.mi 2 - 5103,535-5,858 5 - 8306,5195-2,884 8 - 1250105000,735 12 - 2016 2566,7107,2 Toplam106986284,2

80 1.4-Standart Sapma Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları (sapmalar serisi) toplamı sıfır idi. Bu durumu daha önce mutlak değer almak suretiyle önlemiş olduk. Ancak bu yol aritmetik işlemler için elverişli olmamaktadır. Mutlak işlemler yerine kare alma yolu ile sapmalar serisi toplamı sıfır olmaktan kurtarılabilir. Böylece yeni bir sapma ölçüsü elde edilmektedir. Standart sapma, sapmalar serisinin (aritmetik ortalamadan sapmalar) kareli ortalamasıdır. Yani gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareli ortalamasına standart sapma denir. Standart sapmanın karesine varyans adı verilir. Kütle ve örnek standart sapması için aşağıdaki formüller kullanılır.

81 Standart sapma formülleri Aşağıda farklı seri ve veri türü için standart sapmanın formülleri verilmiştir. Yukarıdaki formüllerde örnek verileri için standart sapma formüllerinde paydada (n-1) serbestlik derecesi kullanılmıştır. Örnek hacmi büyük olduğunda bu düzeltmeye ihtiyaç kalmaz. Basit seriKütleÖrnek Tasnif edilmiş seri KütleÖrnek Gruplanmış seri KütleÖrnek

82 Örnek: Bir beyaz eşya servis merkezine gelen günlük servis isteklerinin dağılımı ile ilgili aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilere göre servis merkezine gelen günlük servis isteklerinin aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını bulunuz. Servis isteği 3-416 4-39 5-24 700 1039 13636 ∑X i =42∑74 Aritmetik ortalama: Standart sapma s = 3,85

83 Örnek: Doğru, yanlış şeklinde cevap şıkları olan 10 soruya öğrencilerin verdikleri doğru cevap sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu serinin standart sapmasını ve varyansını bulunuz. Doğru Cevap. Sayısı Öğr. Sayısı (f i ) fi.Xi 224-4,6943,99 3412-3,6954,46 4520-2,6936,18 51050-1,6928,56 620120-0,699,52 7302100,312,88 8201601,3134,32 910902,3153,36 103303,3132,87 Toplam104696296,15

84 Çözüm: Yukarıdaki verileri kütle verisi olarak kabul ederek çözelim. Çözüm için önce aritmetik ortalamanın hesaplanması gerekir. Aritmetik ortalamadan farklar serisi oluşturularak standart sapma elde edilir. Yukarıdaki verileri örnek kabul edersek standart sapma şöyle olur. Örnek hacmi büyük olduğundan kütle ve örnek varyansları arasında önemli bir fark çıkmamıştır.

85 Örnek: Bir liseden mezun olan ve ÖSS sınavına giren öğrencilerin puanlarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Buna göre öğrenci puanlarının standart sapmasını bulunuz. ÖSS PuanlarıÖğr.Sayısımifi.mi 90-110101001000-37,914364,1 110-130301203600-17,99612,3 130-1505014070002,1220,5 150-17025160400022,112210,25 170-210519095052,113572,05 Toplam1201655049979,2

86 Standart sapmanın kısa yoldan hesaplanması ifadesi açılarak yazılırsa; şeklinde yazılabilir. Bu ifade ayırarak yazılırsa olduğuna göre; olur. Buna göre; Standart sapma kısa yoldan şeklinde yazılır. Şu halde varyans kareli ortalamanın karesinden aritmetik ortalamanın karesinin farkına eşit olup, bunun kare kökü standart sapmaya eşit olur.

87 Örnek: Yukarıdaki ÖSS örneği için standart sapmayı kısa yoldan hesaplayınız. Aritmetik ortalama Kareli ortalama Standart sapma ÖSS Puanları Öğr.Sa yısı mifi.mifi.mi 2 90-110101001000100000 110-130301203600432000 130-150501407000980000 150-170301604800768000 170-190201803600648000 190-210102002000400000 Toplam 150220003328000

88 Standart sapmanın kısa yoldan hesabı Kütle verisi için standart sapma (kısa yol formülünün farklı yazılışı) Basit seride Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride Örnek verisi için standart sapma hesaplamak için payda N-1 serbestlik derecesi ile bölünür.

89 Örnek: Bir çekme halatının kopma kuvveti için yapılan deneyde aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Kopma kuvvetinin standart sapmasını yukarıdaki formülden hesaplayınız. Kopma kuvveti Halat sayısı mimi fimifimi mi2mi2 fimi2fimi2 5 – 7361836108 7 – 9785664448 9 – 1110 100 1000 11 - 1351260144720 Toplam252342276

90 Standart Sapmanın Özellikleri: Matematik işlemler için uygun bir dağılma ölçüsüdür. Bu sebeple en yaygın kullanılan ölçüdür. Standart sapmada aritmetik ortalama gibi istatistik analiz için temel ölçülerden birisidir. Genel olarak standart sapma ortalama sapmadan daha büyüktür. (OS <  ) N 1 ve N 2 gözlemden oluşan iki serinin ortalamaları aynı ve sırayla varyansları  1 2 ve  2 2 olsun. Bu iki serinin birleştirilmiş ortak varyansı. şeklinde olur.

91 II. 2. Nispi sapma ölçüleri Mutlak dağılma ölçüleri gözlem değerlerinin ifade edildiği birimler cinsinden sonuç vermekte idi. Mutlak dağılma ölçülerinin bu özelliği farklı birimlerle ifade edilen serilerin değişkenliklerini karşılaştırma imkanı vermemektedir. Diğer taraftan aynı birimle ifade edilen serilerde bile gözlem değerleri arttıkça mutlak dağılma ölçüleri de buna paralel olarak artmaktadır. Bu durumda aynı cins serilerin dağılımlarını da mutlak sapma ölçüleri ile karşılaştırmak çoğu zaman mümkün olamamaktadır. Nispi dağılma ölçüleri serideki gözlem değerlerinin ölçüldüğü birim farklılıklarını ortadan kaldırmakta ve değişkenliği yüzde(%) cinsinden ifade etmektedir. Böylece nisbi dağılma ölçüleri farklı birimlerle ifade edilen ve farklı büyüklüklerdeki serileri aynı cins ve büyüklükte ifade etme imkanı tanımaktadır. Nispi sapma ölçüleri bu özellikleri dolayısıyla farklı birimlerle ölçülmüş, farklı büyüklük ve özelliklerdeki verilerin sapmalarının karşılaştırılmasına imkan sağlamaktadır

92 2.1. Değişim Katsayısı Standart sapmanın ortalamanın bir yüzdesi olarak ifade edilmesine değişim katsayısı adı verilir. Bu tanıma göre standart sapmanın büyüklüğü aritmetik ortalamaya göre ifade edilmektedir. Bu ölçü farklı cins ve büyüklüklerdeki serileri aynı cins ve büyüklükte (yüzde cinsinden) ifade etme imkanı sağlamaktadır. Ancak bu ölçünün bir dezavantajı bir üst sınırının olmamasıdır. Yani değişim katsayısı %100 ü geçen değerler de alabilmesi bu ölçünün zayıf tarafıdır. Eğer bu ölçünün üst sınırı %100 olsaydı verinin değişkenliğini daha iyi yorumlamak mümkün olurdu. Özellikle ortalaması sıfıra yakın seriler için kullanımı pek uygun değildir.

93 Örnek: Konutlarda tüketilen aylık elektrik ve su miktarları için aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Değişim katsayılarını bularak hangi grupta değişikliğin daha fazla olduğunu araştırın. Elektrik Tüketimi İçin: Değişim katsayısı: Elekt. Tük.(kw/h)Konut Say.(f i ) mimi f i.m i f i.m i 2 50-100107575056250 100-150201252500312500 150-200301755250918750 200-300152503750937500 300-5005400200800000

94 Su Tüketimi İçin değişim katsayısı; Bu verilere göre elektrik tüketiminin değişkenliği (DK=44,8) su tüketiminin değişkenliğine göre (DK=39.7) daha fazladır. Su Tük.(ton/h)Konut Say. mifi.mifi.mi 2 5-1510 1001000 15-25302060012000 25-354030120036000 35-45204080032000 45-65105555030250

95 Sapma ölçüleri için SPSS uygulaması Sapma ölçülerini SPSS ortamında hesaplayabilmek için Analyze menüsünden, Reports ve Case summaries seçeneği tıklanarak hesaplanabilir.

96 Gelen ekranda Variable(s) kısmına sapması hesaplanacak değişken ya da değişkenler girilir. Statistics tıklanır ve bu kısımdan Standard Deviation, Variance ve Range işaretlenir Continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Sapma ölçüleri için SPSS uygulaması Case Summaries Aracın ağırlığı Std. DeviationVarianceRange 844,353712932,2353527 Çıktılar aşağıdaki gibi görüntülenir. Standart sapma Varyans Değişim aralığı

97 Sapma ölçülerini SPSS te farklı şekilde de hesaplamak mümkündür. Analyze menüsünden Descriptive ve frequencies tıklanır. Gelen ekranda variable(s) kısmına sapması araştırılan değişken(ler) taşınır. Statistics tıklanarak gelen ekranda dispersion kısmından istenen sapma ölçüleri işaretlenerek continue ve OK tıklanarak sonuçlar elde edilir. Sapma ölçüleri için SPSS uygulaması

98 Statistics Motor hacmi boyutu Beygir gücü NValid393392 Missing01 Std. Deviation104,53638,230 Variance10927,7841461,557 Range387184 Çıktılar aşağıdaki gibi görüntülenir.

99 Bir değişkenin kategorilerine göre sapma ölçülerini hesaplamak için Analyze menüsünden Reports ve Case summaries tıklandıktan sonra Variables kısmına değişken ya da değişkenler girilir, grouping varisble(s) kısmına kategori değişkeni girilerek statistics tıklanır. Gelen ekranda standart deviation, variance ve range girilip continue ve OK tıklanarak sonuçlar elde edilir. Sapma ölçüleri için SPSS uygulaması

100 Aşağıdaki çıktı ekranında ülke orjinine göre otomobillerin gittiği yolun, motor gücünün ve motor hacminin sapma ölçüleri elde edilir. Sapma ölçüleri için SPSS uygulaması Case Summaries Ülke orjini Galon başına MilBeygir gücü Motor hacmi boyutu AmericanStd. Deviation6,41539,69698,512 Variance41,1461575,7879704,547 Range29178370 EuropeanStd. Deviation6,58420,32122,434 Variance43,351412,926503,272 Range2887115 JapaneseStd. Deviation6,09017,81923,140 Variance37,089317,524535,465 Range298098 TotalStd. Deviation7,79138,230104,536 Variance60,6931461,55710927,784 Range37184387


"Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Analitik Ortalamalar – Aritmetik – Geometrik – Harmonik – Kareli ortalama Analitik olmayan ortalamalar – Mod – Medyan." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları