Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Karmaşıklık Giriş. 2 Algoritma Analizi •Neden algoritmayı analiz ederiz? –Algoritmanın performansını ölçmek için –Farklı algoritmalarla karşılaştırmak.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Karmaşıklık Giriş. 2 Algoritma Analizi •Neden algoritmayı analiz ederiz? –Algoritmanın performansını ölçmek için –Farklı algoritmalarla karşılaştırmak."— Sunum transkripti:

1 Karmaşıklık Giriş

2 2 Algoritma Analizi •Neden algoritmayı analiz ederiz? –Algoritmanın performansını ölçmek için –Farklı algoritmalarla karşılaştırmak için –Daha iyisi mümkün mü? Olabileceklerin en iyisi mi? •Özelliklerinin analizi –Algoritmanın çalışma zamanı –Hafızada kapladığı alan

3 3 Karmaşıklık: Algoritma performansı ölçme yöntemi Bir algoritmanın performansı iç ve dış faktörlere bağlıdır. Dış • Girdi verisinin büyüklüğü • Bilgisayarın hızı • Derleyicinin kalitesi İç Algoritma verimliliği: • Çalıştırmak için gereken zaman • Çalıştırmak için gereken yer (bellek alanı) Karmaşıklık iç faktörlerle ve daha çok da zamanla ilgilidir.

4 4 Çalışma Zamanı Analizi N giriş verisi Algoritma 1 Çalışma zamanı T 1 (n) N giriş verisi Algoritma 2 Çalışma zamanıT 2 (n) Algoritma 1 T 1 (N)=1000N Algoritma 2 T 2 (N)=N 2

5 5 Çalışma Zamanı Analizi Giriş verisi N Çalışma zamanı T(N) Algoritma 2 Algoritma

6 6 Çalışma Zamanları Özeti NT1T sec10 -4 sec sec10 -2 sec sec sec100 sec sec10000 sec N değerinin 1000’den küçük olduğu durumlarda iki algoritma arasındaki çalışma zamanı ihmal edilebilir büyüklüktedir.

7 7 Büyüme Hızı ve Büyük-O(big-O)notasyonu •Büyüme hız bir algoritmanın performansını yansıtan en iyi göstergedir. •Büyük-O notasyonu büyüme hızını gösterir. Bir algoritmanın performansını en iyi tanımlayan matematiksel bir formüldür ve algoritmanın iç detaylarına bakılarak elde edilir. •Büyük-O girdi verisinin büyüklüğünü gösteren bir N parametresine dayanan bir fonksiyondur. –Örneğin n değerine bağlı olarak performansı (sabit a, b, c değerleri için) an 2 + bn + c olan bir algoritmanın performansı O(N 2 )’dir •N değeri arttıkça N 2 terimi baskın olacağı için büyük-O notasyonunda sadece baskın olan terim kullanılır

8 8 O Notasyonu- Asimtotik Üst Limit •Bir algoritmanın çalışma süresi T(N)=O(f(n)) •T(N)  c f(n) ve N  n 0 koşullarını sağlayan c ve n 0 değerleri varsa T(N)  c f(n) ifadesi doğrudur. •f(n), T(N)’in asimtotik üst limiti olarak adlandırılır. •T(N)=O(f(n)) O bir fonksiyon değil, sadece gösterimdir.

9 9 O notasyonu •O notasyonunda yazarken en basit şekilde yazarız. –Örneğin •3n 2 +2n+5 = O(n 2 ) –Aşağıdaki gösterimlerde doğrudur fakat kullanılmaz. •3n 2 +2n+5 = O(3n 2 +2n+5) •3n 2 +2n+5 = O(n 2 +n) •3n 2 +2n+5 = O(3n 2 )

10 10 Sık Kullanılan Büyüme hızları Zaman karmaşıklığıÖrnek O(1) sabitBağlı listeye ilk eleman olarak ekleme yapma O(log N) logSıralı bir dizide bir eleman arama O(N) lineerSıralı olmayan bir dizide bir eleman arama O(N log N)n-log-nN elemanı böl-parçala-yut yöntemiyle sıralama O(N 2 ) ikinci derecedenBir grafikte iki düğüm arasındaki en kısa yolu bulma O(N 3 ) üçüncü dereceden Ardarda gerçekleştirilen lineer denklemler O(2 N ) üsselHanoi’nin Kuleleri problemi

11 11 Büyüme Hızları N Zaman O(N 2 ) O(Nlog N) Kısa bir süre için N 2 NlogN’den daha iyi

12 12 Bir programın asıl çalışma zamanını hesaplama (örnek) •Bir işlem için harcanan zaman 10ms olsun(bir veri üzerinde yapılan tek bir işlem) •1000 veriyi işlemek için programın ne kadar çalışması gerekir? Programın çalışma zamanı aşağıdaki gibi verilmişse bu değer nasıl hesaplanır? –log 10 N –N –N log 10 N –N 2 –N 3 • (1 veri için zaman) x (N veri için verilen büyük-O( ) zaman karmaşıklığı)

13 13 büyük-O nasıl hesaplanır? 1Döngüler 2İç içe Döngüler 3Ardışık deyimler 4If-then-else deyimleri 5Logaritmik karmaşıklık Bir program kodunun zaman karmaşıklığını hesaplamak için 5 kural

14 14 Kural 1: Döngüler Bir döngünün çalışma zamanı en çok döngü içindeki deyimlerin çalışma zamanının iterasyon sayısıyla çarpılması kadardır. for (i=1; i<=n; i++) { m = m + 2; } Sabit zaman n defa çalışır Toplam zaman = sabit c * n = cn = O(N)

15 15 Kural 2:İç içe Döngüler İçteki analiz yapılır. Toplam zaman bütün döngülerin çalışma sayılarının çarpımına eşittir for (i=1; i<=n; i++) { for (j=1; j<=n; j++) { k = k+1; } Sabit zaman Dış döngü n defa çalışır iç döngü n defa çalışır Toplam zaman = c * n * n * = cn 2 = O(N 2 )

16 16 Kural 3: Ardışık deyimler Her deyimin zamanı birbirine eklenir. toplam zaman = c 0 + c 1 n + c 2 n 2 = O(N 2 ) x = x +1; for (i=1; i<=n; i++) { m = m + 2; } for (i=1; i<=n; i++) { for (j=1; j<=n; j++) { k = k+1; } iç döngü n defa çalışır Dış döngü n defa çalışır Sabit zaman n defa çalışır Sabit zaman

17 17 Kural 4: If-then-else deyimleri En kötü çalışma zamanı:test zamanına then veya else kısmındaki çalışma zamanının hangisi büyükse o kısım eklenir. if (depth( ) != otherStack.depth( ) ) { return false; } else { for (int n = 0; n < depth( ); n++) { if (!list[n].equals(otherStack.list[n])) return false; } then: sabit else: (sabit +sabit) * n test: sabit Diğer if : sabit+sabit (else yok) Toplam zaman = c 0 + c 1 + (c 2 + c 3 ) * n = O(N)

18 18 Kural 5: Logaritmik karmaşıklık Problemin büyüklüğünü belli oranda(genelde ½) azaltmak için sabit bir zaman harcanıyorsa bu algoritma O(log N)’dir. Örnek algoritma (binary search): N sayfalı bir sözlükten bir sözcük arama • Sözlüğün orta kısmına bakılır • Sözcük ortaya göre sağda mı solda mı kaldığı bulunur? • Bu işlem sağ veya solda sözcük bulunana kadar tekrarlanır

19 19 O notasyonu- Örnek 1 •3n 2 +2n+5 = O(n 2 ) ifadesinin doğru olup olmadığını ispatlayınız. 10 n 2 = 3n 2 + 2n 2 + 5n 2  3n 2 + 2n + 5 for n  1 c = 10, n 0 = 1 Çözüm kümesini sağlayan kaç tane n0 ve c cifti olduğu önemli değildir. Tek bir çift olması notasyonun doğruluğu için yeterlidir.

20 20 O notasyonu- Örnek 2 •T(N)=O(7n 2 +5n+4) olarak ifade edilebiliyorsa, T(N) fonksiyonu aşağıdakilerden herhangi biri olabilir. •T(N)=n 2 •T(N)=1000n 2 +2n+300 •T(N)= O(7n 2 +5n+4) =O(n 2 )

21 21 O notasyonu- Ö rnek 3 •Fonksiyonların harcadıkları zamanları O notasyonuna göre yazınız. •f1(n) = 10 n + 25 n 2 •f2(n) = 20 n log n + 5 n •f3(n) = 12 n log n n 2 •f4(n) = n 1/2 + 3 n log n •O(n 2 ) •O(n log n) •O(n 2 ) •O(n log n)

22 22 Analiz •Strateji:Alt ve üst limitlerin bulunması Üst limit Algoritmanın gerçek fonksiyonu Alt limit

23 23 Analiz •Çalışma zamanının kesin olarak belirlenmesi zordur –Giriş verilerine bağlı olan en iyi durum (best case) –Ortalama durum (Average case), hesaplanması zordur –En kötü durum analizi, hesaplanması diğerlerine göre kolaydır

24 24 •Bazı durumlarda en iyi, ortalama, en kötü durum karmaşıklığı gözönüne almak gerekir •Örnek: Liste sıralarken eğer liste zaten sıralıya yakınsa yapılacak iş azdır. •En kötü durum muhtemel bütün girdiler için bir sınır çizer ve genelde ortalamadan daha kolay bulunur En iyi, ortalama, en kötü durum karmaşıklığı – En kötü, O(N) veya o(N):  veya > asıl fonksiyon * – Genel, Θ(N):  asıl fonksiyon * – En iyi, Ω(N):  asıl fonksiyon *

25 25  Notasyonu- Asimtotik Alt Limit f(n)f(n) c g(n)  O notasyonun tam tersidir.  Her durumda T(N)  c f(n) ve N  n0 koşullarını sağlayan pozitif, sabit c ve n0 değerleri bulunabiliyorsa T(N)=  (f(n)) ifadesi doğrudur.  f(n), T(N)’in asimtotik alt limiti olarak adlandırılır. n0n0

26 26  notasyonu- Ö rnek 1 •7n 2 +3n+5 = O(n 4 ) •7n 2 +3n+5 = O(n 3 ) •7n 2 +3n+5 = O(n 2 ) •7n 2 +3n+5 =  (n 2 ) •7n 2 +3n+5 =  (n) •7n 2 +3n+5 =  (1)

27 27 Çalışma zamanı 6N+4=O(N) 1 1 int Sum (int N) { int i, PartialSum; PartialSum=0; for(i=1 ;i<=N ; i++) PartialSum+=i*i*i; return PartialSum; } Algoritma 1 N+N+2N 1+(N+1)+N

28 28 Çalışma zamanı O(N 2 ) for(i=0; i

29 29 Çalışma zamanı max_calışma_zamanı(S1,S2) If( condition ) S1 Else S2 Algoritma 3

30 30 •int binary search(A,key,N) •low=0, high=N-1 •while(low  high) •mid=(low+high)/2 •if(A[mid]key) •high=mid-1; •if(A[mid]=key) •return mid •Return not found Algoritma 4 Her bir iterasyondan sonra, arama yapılacak eleman sayısı logaritmik olarak azalmaktadır. Çalışma süresi O(logN)’dir.

31 31 •int binarysearch(A,key,low,high) •if (low>high) •Return not found •else •mid=(low+high)/2 •if(A[mid]key) • Return binary search(A,key,low,mid-1) •if (A[mid]=key) • Return mid Algoritma 5 T(N)=T(N/2)+O(1)

32 32 Çalışma zamanı O(N) MaxSubsequenceSum(const int A[], int n) ThisSum=MaxSum=0; for(j=0;j

33 33 Performans her şey demek değildir! •Bazen aşağıdaki iki durum birbiriyle çelişebilir: –Anlama, yazma ve hata ayıklama kolaylığı –Zaman ve yerin verimli kullanılmasıEfficient use of time and space •Bu nedenle maksimum performans her zaman tercih edilmeyebilir •Ancak yine de en uygun algoritmayı kullanmak mümkün olmasa da farklı yöntemleri karşılaştırmak yararlıdır.


"Karmaşıklık Giriş. 2 Algoritma Analizi •Neden algoritmayı analiz ederiz? –Algoritmanın performansını ölçmek için –Farklı algoritmalarla karşılaştırmak." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları