FREKANS BOYUTUNDA FİLTRELEME

... konulu sunumlar: "FREKANS BOYUTUNDA FİLTRELEME"— Sunum transkripti:

1 FREKANS BOYUTUNDA FİLTRELEME

2 Giriş Uzamsal görüntü iyileştirme tekniklerinin bilinmesi her ne kadar önemli olsa da Fourier dönüşümü ve Frekans boyutu bilinmeden görüntü iyileştirmeden bahsedilemez. Görüntü işleme için çok iyi sinyal işleme bilgisine sahip olmaya gerek olmasa da temel konuların bilinmesi çok önemlidir. Özellikle matematiksel ifadelerin karıştırılmaması için notasyonlara dikkat edilmelidir.

3 Frekans Boyutu ve Fourier
Her hangi bir periyodik fonksiyon, her biri farklı katsayılara sahip farklı frekanslı SIN ve COS’lerin toplamı şeklinde yazılabilir. Buna Fourier Serileri denir. Periyodik olmayan fakat altındaki alan sonlu olan fonksiyonlar ise SIN ve COS’lerin integrali olarak ifade edilebilir. Buna ise Fourier Dönüşümü denir. Fourier boyutunda işlemler yapılıp gerçek boyuta dönüldüğünde bilgi kaybı olmaz. Görüntü işlemede sayısal görüntüler sonlu olduğundan fourier dönüşümü kullanılır.

4 1-Boyutlu Sürekli Zamanlı Fourier Dönüşümü ve Tersi
Aşağıda görülen iki denkleme fourier çifti denir. Bunun anlamı bir fonksiyon, kendisinin dönüşüm formundan elde edilebilir. Ters Fourier Dönüşümü Fourier Dönüşümü

5 2-Boyutlu Sürekli Zamanlı Sinyal Fourier Dönüşümü ve Tersi
Aşağıda iki boyutlu fourier çifti verilmiştir. Ters Fourier Dönüşümü Fourier Dönüşümü

6 Sürekli Sinyal Fourier Dönüşümü ve Tersi
Bu denklemler ayrık zaman sinyaller için olmadığından detaylandırmayacağız. Fakat bazı işlemlerde bu denklemler üzerinde çalışmak bunların ayrık zamanlı fonksiyonlarında çalışmaktan daha kolay olabilir.

7 1-Boyutlu DFT ve Tersi Tek bir değişkeni olan fonksiyon için DFT ve tersi aşağıda verildiği gibi olacaktır; (u = 0,..., M-1) Fourier Dönüşümü (x = 0,..., M-1) Ters Fourier Dönüşümü

8 1-Boyutlu DFT ve Tersi Fourier dönüşümünde her bir u değeri için toplama işlemi yapılır. Yani u=0 için x=0 dan M-1 e kadar toplama işlemi yapılır. Sonra aynı işlem u=M-1 e kadar bütün u değerleri için tekrar eder. Buna göre bir DFT hesaplamak için yaklaşık M2 toplama işlemi yapılır. Ters DFT için de aynı işlemler geçerlidir. (u = 0,..., M-1)

9 1-Boyutlu DFT ve Tersi Euler formülü yukardaki DFT denkleminde yerine konursa; denklemi elde edilir. Görüldüğü gibi fourier dönüşümünü f(x) fonksiyonunun tüm değerlerinin toplamından oluşur. Fourier dönüşümün tanımında olduğu; f(x) fonksiyonu çeşitli frekans değerliklerindeki SIN ve COS’lerin toplamı haline geldi. (u = 0,..., M-1) (u = 0,..., M-1)

10 1-Boyutlu DFT ve Tersi F(u) aralığındaki değerleri gösteren bu boyut frekans boyutudur. U, dönüşüm bileşenlerinin frekansını belirler. F(u)’nun her M terimi dönüşümün frekans bileşenidir. Fourier dönüşümü bir cam prizma gibi düşünülebilir. Cam prizma ışığı farklı dalgaboylarına sahip ayrı renklere ayıran fiziksel bir araçtır. Fourier dönüşüm ise, matematiksel prizmadır.

11 1-Boyutlu DFT ve Tersi Bir fonksiyonu frekans içeriğine göre çeşitli bileşenlere ayırır. Işık bilgisi için spektral veya frekans içeriğinden bahsedilir. Fourier dönüşüm de, bir fonksiyonu frekans içeriğine göre karakterize etmeye yarar. En son verilen ifade, doğrusal filtrelemenin can damarıdır., Fourier dönüşümün bileşenleri karmaşık sayılardır. F(u) bazen kutupsal olarak da gösterilebilir; Fourier dönüşümünün genlik veya spektrumu Fourier dönüşümünün faz açısı

12 1-Boyutlu DFT ve Tersi Görüntü iyileştirme işleminde öncelikle spektrum özellikleri önemlidir. Spektrum ile ilgili bir başka önemli bilgi ise spektral yoğunluk veya güç spektrumudur; Tek boyutlu bir DFT örneği verelim. Şekil (a) fonksiyonu, (b) ise DFT yi göstermektedir.

13 1-Boyutlu DFT ve Tersi F(u) ve f(x) fonksiyonları ayrık zamanlıdır. Anlaşılmaları kolaylaştırmak için çizgiler birleşik gösterilmiştir. M=1023, A=1 K sadece 8 noktadır. U=0 noktası spektrumun merkezidir. (a) (b)

14 1-Boyutlu DFT ve Tersi F(u) ve f(x) fonksiyonları ayrık zamanlıdır. Anlaşılmaları kolaylaştırmak için çizgiler birleşik gösterilmiştir. M=1023, A=1 K sadece 8 noktadır. U=0 noktası spektrumun merkezidir. (b) (a)

15 1-Boyutlu DFT ve Tersi Bu örnekten elde edilen iki önemli nokta vardır; x boyutunda eğri altındaki alan 2 katına çıkarılınca, u boyutunda spektrumun yüksekliği 2 katına çıkar, spektrumda aynı mesafedeki sıfırların sayısı fonksiyonun uzunluğu gibi iki kat olmuştur. Fourier dönüşüm çiftlerinin karşılıklı bu yapısı, frekans boyutunda görüntü işleme sonuçlarının yorumlanmasında çok kullanışlıdır. DFT de x=0,…,M-1 olarak verilen ifade, M tane örnek olduğunu gösterir. Buna göre ilk örneğin fonksiyondaki değeri f(x0) dır.

16 1-Boyutlu DFT ve Tersi Bir sonraki örnek f(x0+∆x) ile gösterilir.
Böylece k örnek varsa, f(x0+k∆x) ile ifade edilir. k=M-1 ise, en son örnek değeri f(x0+[M-1]∆x) olarak yazılabilir. Bu durumda f(k) = f(x0+k∆x) Bu ifadeden yola çıkarak, f(x) = f(x0+x∆x) şeklinde yazılabilir. Bu ifadenin tersi ise; F(u)=F(u ∆ u) (u0=0)

17 2-Boyutlu DFT ve Tersi MxN boyutundaki bir görüntünün DFT ve ters DFT sırasıyla; Burada u,v dönüşüm veya frekans değişkenleri, x,y görüntü veya uzamsal değişkenleridir.

18 2-Boyutlu DFT ve Tersi Fourier spektrum veya genlik, faz açısı ve güç spektrumu sırasıyla;

19 2-Boyutlu DFT ve Tersi Pratikte yapılan uygulamalarda, giriş olarak kullanılan görüntüye DFT uygulanmadan önce görüntü (-1)x+y ile çarpılır. Matematiksel olarak bunu şu şekilde gösterebiliriz; Bu denkleme DFT nin orjinini gösterir. Yani, f(x,y) (-1)x+y işlemi, F(u,v)nin merkezini M/2,N/2 koordinatlarına kaydırır. Bu 2 boyutlu DFT nin üzerine uygulandığı MxN görüntüsünün merkezidir. Frekans boyutundaki bu alana frekans dikdörtgeni denir. u=0,…,M-1 ve v=0,….,N-1 e kadar tam sayılardır. M ve N ise çift tam sayı olmalıdır.

20 2-Boyutlu DFT ve Tersi Bilgisayarda bu işlemler gerçekleştirilirken;
u=1,…,M ve v=1,….N olmalı, bu durumda; M/2+1, N/2+1 merkez noktasının koordinatları olacaktır. (u,v)=(0,0) noktasında DFT; olacaktır. Buradan çıkarılacak sonuç, görüntü merkezinin DFTsi görüntünün renk ortalamasını verir. Çünkü orjindeki her iki frekans ‘0’dır. Buna spektrumun DC bileşeni denir.

21 2-Boyutlu DFT ve Tersi Eğer f(x) fonksiyonu gerçek ise, DFT eşlenik simetriktir. DFT nin genliği simetriktir. Uzamsal ve frekans boyutundaki örnekler arasındaki ilişki;

22 2-Boyutlu DFT ve Tersi 2 boyutlu bir görüntünün DFT si aşağıdaki resimlerde görüldüğü gibi olur. Koordinatların durumlarına dikkat edin.

23 FREKANS BOYUTUNDA FİLTRELEME
Temel Özellikler

24 Frekans Boyutunun Temel Özellikleri
DFT denklemi incelendiğinde, F(u,v) nin her bir terimi f(x,y) nin tüm değerlerini içermektedir. Bundan dolayı bir görüntünün özellikleri ve DFT si arasında doğrudan bir ilişki kurmak imkansızdır. Bazı genel durumlarda DFT nin frekans bileşenleri ile görüntünün uzamsal karakteristikleri arasında bir ilişki kurulabilir. DFT deki frekansların değişimi görüntüdeki renk değişimleri ile alakalıdır. En yavaş frekans bileşeni (u=v=0) görüntünün renk ortalamasını verir.

25 Frekans Boyutunun Temel Özellikleri
DFT orjinden uzaklaştıkça, düşük frekanslar görüntüdeki yavaş değişen pikselleri gösterir. Bu bir resimdeki duvar veya düz bir zemin üzerindeki yavaş renk geçişlerini gösterir. Merkezden daha da uzaklaştıkça, yüksek frekanslar görüntüdeki daha hızlı renk değişimlerini gösterir. Bunlarda bir resimdeki kenarlar veya gürültüler olabilir.

26 Frekans Boyutunun Temel Özellikleri
Şekildeki resim 2500 kez büyültülmüş bir entegre elemanının resmidir. Görüntüye bakıldığında; 450 lik belirgin kenarlar ve iki beyaz oksit tabakası görülmektedir. DFT ye bakıldığında, 450lik bileşenleri belirgin bir şekilde gösterir. DFT

27 Frekans Boyutunun Temel Özellikleri
450lik bileşenlerin kenar olduğu biliniyor. Dikey eksene bakıldığında ise, hafif eksen dışına kaymış dik bir bileşen görülür. Bu bileşen oksitlenmiş çıkıntının kenarlarını temsil eder. DFT

28 FREKANS BOYUTUNDA FİLTRELEME
Filtrelerin Temel Özellikleri

29 Filtrelerin Temel Özellikleri
Frekans boyutunda filtreleme işlemi şu adımlardan oluşur; Merkez noktanın bulunması için filtrelenecek görüntü (-1)x+y çarpılır, Çarpım sonucunun DFTsi hesaplanır (F(u,v)), F(u,v) maske fonksiyonu (H(u,v)) ile çarpılır, Sonucun ters DFT si hesaplanır, Ters DFT den gerçek parçalar (karmaşık sayı) alınır, Gerçek parçalar yine (-1)x+y ile çarpılır. H(u,v) filtre veya transfer fonksiyonu olarak isimlendirilir.

30 Filtrelerin Temel Özellikleri
H(u,v) bazı frekansları bastırırken bazılarını da geçirir. f(x,y) giriş görüntüsü, F(u,v) DFTsi olsun. Bu durumda, çıkışın DFT si; G(u,v) = H(u,v)F(u,v) H ve F 2B fonksiyonlardır ve eleman eleman tanımlıdır. Yani, H nin ilk elemanı F nin ilk elemanı ile çarpılır. Bu filtrelere sıfır-faz-kaydırma filtreleri denir. G(u,v) nin ters DFT si hesaplanarak filtreli görüntü elde edilir.

31 Filtrelerin Temel Özellikleri
Ters DFT karmaşık sayılar içerir. Fakat, giriş görüntüsü ve filtre fonksiyonu gerçek olduğu için sanal bileşenlerin hepsi sıfır olur. Aşağıdaki şekil filtreleme adımlarının blok gösterimidir. Kısaca filtreleme işlemi, bir görüntünün DFTsinin filtreleme fonksiyonu ile düzenlenip sonucun ters DFTsinin hesaplanmasıdır.

32 Bazı Temel Filtreler ve Özellikleri
Bir görüntünün ortalama değerini sıfır olmaya zorlarsak, denklemine göre, görüntünün ortalama değeri F(0,0) ile gösterilir. Eğer frekans boyutunda bu ifadeyi sıfırlarsak, sonuç görüntüsünün ortalama değeri sıfır olur. DFT nin şeklinde merkezlendiğini varsayalım.

33 Bazı Temel Filtreler ve Özellikleri
Bu durumda F(u,v) nin tüm değerleri filtre fonksiyonu ile çarpılır. Tüm filtrelerde amaç, F(0,0) = 0 olması diğer frekans bileşenlerinde ise değişiklik yapılmamasıdır. Bundan sonra işlenmiş görüntü H(u,v)F(u,v) çarpımının ters DFT si hesaplanarak elde edilir. Bu bahsedilen filtre çentik süzgeci (yüksek frekanslı görüntülerde bazı frekansları zayıflatmak için kullanılan filtre) olarak isimlendirilir. Orjinde bir çentiği olan sabit bir fonksiyondur.

34 Bazı Temel Filtreler ve Özellikleri
Böyle bir filtre aşağıdaki (a) resmine uygulandığında (b) sonucu elde edilir. Ortalama değerin sıfır yapılmasıyla griliğin genel ortalamasının düştüğü görülmektedir. Ayrıca istenmeyen belirgin detaylar ortaya çıkmıştır. (a) (b)

35 Bazı Temel Filtreler ve Özellikleri
Normalde bir görüntünün ortalama değerinin sıfır yapılabilmesi için görüntünün negatif değer içermesi gerekmektedir. Ama gerçek bir resimde bu mümkün değildir. Bu yüzden şekil (b) deki negatif değerler ‘0’ ile yani siyah ile gösterilmiştir. DFT de düşük frekanslar görüntüdeki genel grilikleri belirtir. Yüksek frekanslar ise kenar veya gürültü gibi ani geçişler olan detayları belirtir.

36 Bazı Temel Filtreler ve Özellikleri
Bir filtre yüksek frekansları bastırırken alçak frekansların geçmesine izin veriyorsa alçak geçiren filtre (AGF), Aksini gerçekleştiriyorsa yüksek geçiren filtre (YGF) denir. AGF uygulandıktan sonra, detaylar yumuşatılmış, YGF uygulandıktan sonra ise, detaylar keskinleştirilmiş olur.

37 Bazı Temel Filtreler ve Özellikleri
AGF YGF

38 FİLTRELEME Uzamsal ve Frekans Boyutunda Filtrelerin Karşılaştırılması

39 Her İki Boyuttaki Filtrelerin Karşılaştırılması
Uzamsal ve frekans boyutundaki işlemler arasındaki ilişkiye verilebilecek en iyi örnek Konvolüsyon teoremidir. Uzamsal boyutta konvolüsyon işlemi; bir filtre maskesinin görüntünün pikselleri üzerinde gezdirilmesi ile gerçekleşir. f(x,y) görüntü h(x,y) maske ise konvolüsyon f(x,y)*h(x,y) dir. Konvolüsyon işleminde maske orjine göre aynalanır.

40 Her İki Boyuttaki Filtrelerin Karşılaştırılması
f(x,y) ve h(x,y) nin DFT leri F(u,v) ve H(u,v) ise; f(x,y)*h(x,y) ↔ F(u,v)H(u,v) Konvolüsyon çifti oluşur. Frekans boyutunda yapılan konvolüsyon uzamsal boyuttaki çarpma işlemini indirger. Filtreler ile ilgili bilinmesi gerekli son kavram impals fonksiyonudur. Aδ(x-x0,y-y0) (x0,y0) noktasındaki impals fonksiyonu; Aδ(x-x0,y-y0) = As(x0,y0)

41 Her İki Boyuttaki Filtrelerin Karşılaştırılması
Burada s(x,y) fonksiyonunun toplamı bir impals fonksiyonu ile çarpılır. f veya h den birisi impals fonksiyonu olsun. Yukarıdaki denkleme göre; bir fonksiyonun bir impals ile konvolüsyonu, impalsın olduğu bölgelerde fonksiyonun değerinin kopyalanmasıdır. Bu impals fonksiyonunun kaydırma özelliğidir. Orjindeki impals δ(x,y) ile gösterilirse; δ(x-x0,y-y0) = s(0,0) olur.

42 Her İki Boyuttaki Filtrelerin Karşılaştırılması
Buna göre uzamsal ve frekans boyutlarındaki en önemli ilişki; Yani, uzamsal boyutta orjindeki bir impals fonksiyonunun DFT si gerçektir. Bunun anlamı faz açısı sıfırdır. δ(x,y) = 1/MN

43 Her İki Boyuttaki Filtrelerin Karşılaştırılması
Örneğin f(x,y) = δ(x,y) olsun. Konvolüsyon; = 1/MNh(x,y) Buradan elde edilecek sonuç; f(x,y)*h(x,y) ↔ F(u,v)H(u,v) δ(x,y)*h(x,y) ↔ [δ(x,y)] H(u,v) h(x,y) ↔ H(u,v) δ(m,n) = 1/MN

44 Her İki Boyuttaki Filtrelerin Karşılaştırılması
Konvolüsyon teoremi ve impals fonksiyonunu kullanarak uzamsal ve frekans boyuttaki filtreler arasında bir ilişki kuruldu. Böylece frekans boyutundaki bir filtrenin uzamsal boyuttaki karşılığı ters DFT ile bulunur. Frekans boyutundaki filtreleme daha çok sezgiseldir. Yukarıdaki matematiksel ifade, frekans boyutunda filtrelerin ters dönüşümleri hesaplanarak belirlenebilir. Sonrasında ise bu filtre, uzamsal boyutta daha küçük filtre maskesi yapmak için kılavuz olarak kullanılır. DFT ve ters DFT lineer olduğu için filtreler de lineerdir.

45 Her İki Boyuttaki Filtrelerin Karşılaştırılması
Gauss filtrelerin DFT ve ters DFT leri gerçek olduğu için şekilleri kolaylıkla belirlenebilir. Gauss filtre fonksiyonu; H(u)=Ae-u2/2σ2 burada σ gauss eğrisinin standart sapmasıdır. Uzamsal boyutta; h(x)=√2πσ Ae-2π2σ2x2 Anlaşılacağı üzere DFT çiftinin ikisi de gauss ve gerçektir. Böylece karmaşık sayılarla uğraşmak zorunda kalmayız. Bu fonksiyonlar birbirlerinin zıttı olarak davranırlar. H(u)→∞ iken h(x) impals fonksiyonuna benzer.

46 Her İki Boyuttaki Filtrelerin Karşılaştırılması
Aşağıdaki şekillerden (a) daki frekans boyutundaki AGF gauss filtresi, (b) deki ise uzamsal boyuttaki AGF yi göstermektedir. Görüldüğü gibi her iki boyutta da katsayılar pozitiftir. (a) (b)

47 Her İki Boyuttaki Filtrelerin Karşılaştırılması
Buradan anlaşılan uzamsal boyutta katsayıları pozitif olan bir maske ile AGF yapılabilir. Frekans boyutunda daha dar bir filtre, daha fazla AGF oluşturur. Bu da daha fazla bulanıklığa denk gelir. Uzamsal boyutta ise daha geniş bir filtre yani daha büyük bir maske bu işleme karşılık gelir. Görüldüğü gibi her iki boyuttaki filtre de karşılıklı olarak zıt davranır. Küçük M,N değerleri için DFT hızlı iken, 32 ve daha büyük değerler için FFT daha hızlıdır.

48 Her İki Boyuttaki Filtrelerin Karşılaştırılması
Frekasn boyutu, frekans bileşenleri ve görüntü arasındaki ilişkiyi görmek için kullanılan bir laboratuar olarak düşünülebilir. Bazı filtrelerin uzamsal boyutta kullanılabilmeleri için formülüze edilebilmeleri imkansızdır. Bu yüzden frekans boyutunun kullanılması daha uygundur.

49 FİLTRELEME Frekans Boyutunda Yumuşatma Filtreleri

50 Frekans Boyutunda Yumuşatma Filtreleri
Sayısal bir görüntüdeki kenar ve ani grilik geçişleri Fourierdeki yüksek frekans bileşenlerinden kaynaklanmaktadır. Bulanıklaştırma işlemi görüntünün DFT deki yüksek frekans bileşenlerini azaltır. Frekans boyutundaki filtre modeli; G(u,v)=H(u,v)F(u,v) G(u,v) yüksek frekansları azaltılmış (bulanıklaştırılmış) görüntü H(u,v) filtre fonksiyonu F(u,v) fourier fonksiyonu

51 Frekans Boyutunda Yumuşatma Filtreleri
3 tip alçak geçiren filtre vardır; İdeal, Butterworth Gaussian İdeal AGF; çok küçük bulanıklaştırma yaparken, Gaussian AGF ise; çok büyük bulanıklaştırma yapar. Butterworth AGF ise seçilen parametreye göre her iki filtre gibi davranabilir.

52 İDEAL AGF En basit AGF filtresidir.
DFT nin tüm yüksek bileşenli frekanslarını keser. Transfer fonksiyonu; H(u,v) = 1, D(u,v) ≤ D0 0, D(u,v) > D0 Burada D0 negatif olmayan bir katsayı, D(u,v) ise (u,v) noktasındaki pikselin frekans dikdörtgeni merkezine mesafesidir

53 İDEAL AGF Eğer görüntü MxN boyutunda ise DFT de aynı boyuttadır.
Bu durumda frekans dikdörtgeninin (u,v) deki merkezi (u,v) = M/2,N/2 olur. Böylece DFTde herhangi bir (u,v) noktasının merkeze mesafesi; D(u,v)= (𝑢−𝑀/2) 2 + (𝑣−𝑁/2) 2

54 İDEAL AGF Aşağıdaki şekilde H(u,v) filtre fonksiyonu olan bir AGF nin 3 boyutlu şekli verilmiştir. Şekilde görülen D0 yarıçaplı daire alanında kalan tüm frekanslar geçerken dışında kalan hiçbir frekans geçmez. En sağda verilen şekildeki sinyal orjin etrafında döndürüldüğünde bu dairesel filtre oluşur.

55 İDEAL AGF H(u,v)nin 1 olduğu yerler frekansların geçmesini sağlar.
D0 a kesim frekansı da denir. Pratik uygulamalarda kesim frekansının net bir şekilde olmasına imkan yoktur.

56 İDEAL AGF Kesim frekansını kestirmenin bir yolu, görüntünün toplam gücüne yakın dairelerin hesaplanmasıdır. 𝑃𝑇= 𝑢=0 𝑀−1 𝑣=0 𝑁−1 𝑃(𝑢,𝑣) 𝑃 𝑢,𝑣 = 𝐹(𝑢,𝑣) 2=R2 u,v +I2(u,v)

57 İDEAL AGF Frekans dikdörtgeninin merkezindeki r yarıçaplı bir dairenin DFT gücü %α olarak belirtilirse; ∝=100[ 𝑢 𝑣 𝑃(𝑢,𝑣)/𝑃𝑟 ] Bu ifade dairenin içindeki ve üzerindeki (u,v) piksellerinin toplamıdır.

58 İDEAL AGF Soldaki şekil test görüntüsü sağdaki ise onun spektrumudur.
Spektrumdaki üst üste binmiş dairelerin yarıçapları sırasıyla; 5,15,30,80,230 pikseldir.

59 İDEAL AGF Bu daireler her bir r değerine göre α = %92,94.6,96.4,98,99.5 görüntü gücünü gösterir. Çok küçük r değeri için filtrenin sonucu çok bulanıktır. Görüldüğü gibi güç spektrumunun %0.5 den yukarı değerlerinde küçük kenar bilgileri görüntüde hala vardır.

60 İDEAL AGF AGF nin bulanıklaştırma ve dalgalanma özelliği konvolüsyonla açıklanabilir. G(u,v)=H(u,v)F(u,v) Frekans boyutundaki bu işlem uzay (piksel) boyutunda konvolüsyona karşılık gelir; g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)

61 İDEAL AGF Aşağıdaki gibi yarıçapı 5 olan bir AGF çok fazla bulanıklaşma yapar. Frekans boyutundaki H(u,v) fonksiyonundan piksel boyutundaki h(x,y) fonksiyonunu elde etmek için aşağıdaki işlemler uygulanır;

62 İDEAL AGF H(u,v)(-1)u+v ile merkezleme sağlanır,
Sonucun IDFT si elde edilir, IDFT den elde edilen sonucun gerçel kısmı (-1)x+y ile çarpılır. En son işlemden elde edilecek görüntü şu olur; Şekilden de görüldüğü gibi dalgalanmalar vardır.

63 İDEAL AGF Merkez bileşen bulanıklaştırmayı gerçekleştirirken,
h(x,y) fonksiyonu iki önemli karakteristiğe sahiptir; Merkezdeki baskın bileşen, Merkez yakınındaki iç içe eş merkezli dairesel bileşenler Merkez bileşen bulanıklaştırmayı gerçekleştirirken, Eş merkezli daireler dalgalanmaya sebep olur. İdeal filtrede merkez bileşenin ve merkezden birim başına uzaklıktaki dairelerin yarı çapları kesim frekansıyla ters orantılıdır.

64 İDEAL AGF Yandaki grafik uzamsal filtrede merkeze doğru olan dik hatların grilik görünümlerini verir. Grafiğe göre uzamsal filtre negatif değerler içerir. Bunu engellemek için normalizasyon yapılması şarttır.

65 İDEAL AGF Yandaki şekilde olduğu gibi siyah zemin üzerinde 5 beyaz nokta olsun. f(x,y)*h(x,y), her parlak piksel noktasında kopyalama olarak tarif edilebilir. Bunun sonucu yanda verildiği gibi olur. Burada dalgalanma etkisi belirgin bir şekilde görülmektedir. Frekans boyutunda daha dar filtre fonksiyonu, daha fazla bulanıklık ve dalgalanmaya sebep olur.