DEĞİŞKENLİK (Yayıklık) ÖLÇÜLERİ

... konulu sunumlar: "DEĞİŞKENLİK (Yayıklık) ÖLÇÜLERİ"— Sunum transkripti:

1 DEĞİŞKENLİK (Yayıklık) ÖLÇÜLERİ
İstatistik Doç. Dr. Şakir GÖRMÜŞ SAÜ

2 Öğrenme Hedefleri Bu konuyu çalıştıktan sonra: - İstatistikte değişkenliği tanımlayabilir. - İstatiksel olarak toplanan verilerin değişim aralığını hesaplayabilir ve yorumlayabilir. - İstatiksel olarak toplanan verilerin ortalama mutlak sapmasını hesaplayabilir ve yorumlayabilir. - İstatiksel olarak toplanan verilerin standart sapma ve varyansını hesaplayabilir ve yorumlayabilir.

3 İçindekiler 1. DEĞİŞKENLİĞİN TANIMI VE ÇEŞİTLERİ
2. DEĞİŞİM ARALIĞI (RANGE) 3. ORTALAMA MUTLAK SAPMA (OMS) 4. STANDART SAPMA VE VARYANS 5. DEĞİŞİM KATSAYISI (DK) 6. ÖRNEKLEMİN VARYANS VE STANDART SAPMASININ HESAPLANMASI 7. STANDART SAPMANIN FAYDALARI 8. ÇARPIKLIK VE BASIKLIK 9. ORTALAMALAR YARDIMIYLA ÇARPIKLIĞIN (ASİMETRİ, SKEWNESS) HESAPLANMASI 10. MOMENTLER YARDIMIYLA ÇARPIKLIĞIN (ASİMETRİ, SKEWNESS) VE BASIKLIĞININ (KURTOSİS) HESAPLANMASI 11. ORTALAMALAR, ÇARPIKLIK KATSAYISI VE BASIKLIK KATSAYISI YARDIMIYLA BİR SERİNİN ANALİZİ

4 DEĞİŞKENLİĞİN TANIMI VE ÇEŞİTLERİ
İstatistikte değişkenliği tanımlayabilir. DEĞİŞKENLİĞİN TANIMI VE ÇEŞİTLERİ 1. DEĞİŞKENLİĞİN TANIMI VE ÇEŞİTLERİ   Seriler için hesaplanan ve tek bir rakamla gösterilen merkezi eğilim ölçüleri, o serinin merkezi hakkında bazı faydalı bilgiler verse de tek başına o serinin dağılımı ve diğer serilerle karşılaştırılması için ayrıntılı bilgi vermez ve ilave bilgilere ihtiyaç vardır. Araştırmacı serinin dağılımı (yayıklığı) yani serideki değerlerin ortalamadan ne ölçüde uzak ya da yakın olduğunu ölçmeye ve serileri karşılaştırmaya da ihtiyaç duyar. Bunun içinde serilerin merkezi eğilim ölçülerine ilave olarak “DEĞİŞİM” ölçülerinin de hesaplanması gerekir. Değişim ölçülerinin önemini bir örnekle açıklayabiliriz.

5 DEĞİŞKENLİĞİN TANIMI VE ÇEŞİTLERİ
İstatistikte değişkenliği tanımlayabilir. DEĞİŞKENLİĞİN TANIMI VE ÇEŞİTLERİ ÖRNEK: Aşağıdaki seriler İktisat ve Kamu Yönetimi bölümündeki öğrencilerin istatistik final notlarını vermektedir İki sınıfında aritmetik ortalaması ve medyanı hesaplandığında, sınıfların aynı aritmetik ortalamaya ve medyana sahip olduğu görülmektedir.   𝑋 𝑖 = 𝑌 𝑖 = =50 ve Medyan = 50 İktisat Bölümü (Xi) Kamu Yönetimi Bölümü (Yi) 30 5 35 10 40 20 45 25 50 55 75 60 80 65 90 70 95 𝑿 𝒊 =𝟒𝟓𝟎 𝒀 𝒊 =𝟒𝟓𝟎

6 DEĞİŞKENLİĞİN TANIMI VE ÇEŞİTLERİ
İstatistikte değişkenliği tanımlayabilir. DEĞİŞKENLİĞİN TANIMI VE ÇEŞİTLERİ Merkezi eğilim ölçülerine baktığımızda iki sınıf arasında bir fark gözükmüyor olsa da verilerin yayılımında farklılık olduğu dikkatlerden kaçmamaktadır. İktisat bölümündeki öğrencilerin notları göreceli olarak Kamu Yönetimi bölümündeki öğrencilerin notlarından birbirine daha yakındır. Diğer bir ifadeyle, İktisat bölümündeki öğrencilerin notları Kamu Yönetimi bölümündeki öğrencilerin notlarıyla karşılaştırıldığından ortalama değer etrafında daha yakın dağılmıştır. Bu nedenle serilerin diğer özelliklerini de ortaya koyacak merkezi eğilim ölçüleri dışında değişim ölçülerine ihtiyaç vardır. Değişim ölçüleri genel olarak Değişim Aralığı (Range), Ortalama Sapma, Standart Sapma, Varyans ve Değişim (Varyans) Katsayısı olarak bilinir.

7 İstatiksel olarak toplanan verilerin ortalama mutlak sapmasını hesaplayabilir ve yorumlayabilir.
3. ORTALAMA MUTLAK SAPMA (OMS)   Bir serideki gözlem değerlerinin o serinin aritmetik ortalamasından farklarının (sapmalarının) mutlak değerinin ortalamasına “ORTALAMA MUTLAK SAPMA” denir. Bu değişim ölçüsü gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan ne kadar saptığını göstermesi açısından değişkenlik hakkında bilgi içerir. Ortalama mutlak sapma basit seriler, tasnif edilmiş seriler ve gruplanmış seriler için hesaplanabilir Basit Seride Ortalama Mutlak Sapma   Basit seride Ortalama Mutlak Sapma aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır.   𝑂𝑀𝑆= 𝑖=1 𝑁 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑁  

8 İstatiksel olarak toplanan verilerin ortalama mutlak sapmasını hesaplayabilir ve yorumlayabilir.
ÖRNEK: İstatistik dersi sınavına giren 5 öğrencinin aldığı notlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Öğrencilerin aldığı notların ortalama mutlak sapmasını hesaplayınız 𝑂𝑀𝑆= 𝑖=1 𝑁 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑁 = =16.8   Beş öğrencinin notlarının ortalamadan sapması mutlak değer olarak 16.8 bulunmuştur. İstatistik Notları (Xi) Ortalama Sapmalar (𝑿 𝒊 − 𝑿 ) Ortalama Mutlak Sapmalar 𝑿 𝒊 − 𝑿 70 = 4 4 80 = 14 14 40 = -26 26 90 = 24 24 50 50 – 66 = -16 16 𝑿 =𝟔𝟔 𝒊=𝟏 𝑵 𝑿 𝒊 − 𝑿 =𝟖𝟒

9 İstatiksel olarak toplanan verilerin ortalama mutlak sapmasını hesaplayabilir ve yorumlayabilir.
3.2. Tasnif Edilmiş Seride Ortalama Mutlak Sapma   Tasnif edilmiş seride Ortalama Mutlak Sapma aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır.   𝑂𝑀𝑆= 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖

10 İstatiksel olarak toplanan verilerin ortalama mutlak sapmasını hesaplayabilir ve yorumlayabilir.
ÖRNEK: Maliye bölümü öğrencilerinin İstatistik final sınavı notlarının tasnif edilmiş seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımın ortalama mutlak sapmasını hesaplayınız İlk aşamada aritmetik ortalama hesaplanır. X = i=1 k f i X i i=1 k f i = =70 𝑂𝑀𝑆= 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 = =11 olarak bulunur. Öğrencilerin Notları (Xi) fi fi Xi 𝑿 𝒊 − 𝑿 𝒇 𝒊 𝑿 𝒊 − 𝑿 40 1 30 50 2 100 20 60 4 240 10 70 6 420 80 320 90 180 Toplam 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 =20 𝒊=𝟏 𝒌 𝒇 𝒊 𝑿 𝒊 =𝟏𝟒𝟎𝟎 𝒊=𝟏 𝒌 𝒇 𝒊 𝑿 𝒊 − 𝑿 = 𝟐𝟐𝟎

11 İstatiksel olarak toplanan verilerin ortalama mutlak sapmasını hesaplayabilir ve yorumlayabilir.
  3.3. Gruplanmış Seride Ortalama Mutlak Sapma   Gruplanmış seride Ortalama Mutlak Sapma aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır.   𝑂𝑀𝑆= 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 𝑚 𝑖 − 𝑋 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 ÖRNEK: Sakarya Üniversitesi İİBF öğrencilerinin istatistik yılsonu notlarının gruplanmış seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımın ortalama mutlak sapmasını hesaplayınız.

12 Not Sınıfları (Gruplar)
İstatiksel olarak toplanan verilerin ortalama mutlak sapmasını hesaplayabilir ve yorumlayabilir. ORTALAMA MUTLAK SAPMA İlk aşamada aritmetik ortalama hesaplanır. X = i=1 k f i m i i=1 k f i = =67 𝑂𝑀𝑆= 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 𝑚 𝑖 − 𝑋 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 = =16.7 olarak bulunur. Not Sınıfları (Gruplar) mi fi mifi 𝒎 𝒊 − 𝑿 𝒇 𝒊 𝒎 𝒊 − 𝑿 90-100 95 50 4750 28 1400 85-89 87 60 5220 20 1200 80-84 82 40 3280 15 600 75-79 77 3850 10 500 70-74 72 100 7200 5 60-69 64,5 3225 2.5 125 50-59 54,5 3270 12.5 750 40-49 44,5 1780 22.5 900 0-39 19,5 975 47.5 2375 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑖 =500 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 𝑚 𝑖 − 𝑋 = 8350

13 STANDART SAPMA VE VARYANS
standart sapma ve varyansını hesaplayabilir STANDART SAPMA VE VARYANS 4. STANDART SAPMA VE VARYANS Mutlak ortalama sapmaya alternatif olarak bir değişkenlik ölçüsü olarak standart sapma kullanılabilir. Bir serideki gözlem değerlerinin o serinin aritmetik ortalamasından farklarının (sapmalarının) karesinin toplamının ortalamasına “VARYANS” ve karekökü alınan varyansa “STANDART SAPMA” denir. Ana kütlenin varyansı 𝜎 2 ve standart sapması σ (sigma) simgesi ile gösterilirken, örneklemin varyansı 𝑠 2 ve standart sapması s simgesi ile gösterilir. Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri minimum olduğundan standart sapma ortalama mutlak sapmadan daha küçük çıkacağından değişim ölçüsü olarak standart sapma daha genel kabul görmektedir. Serilerdeki varyans ve dolayısıyla standart sapma arttıkça serinin yayıklığı artmaktadır. Ana kütlenin aritmetik ortalaması μ ve örneklemin aritmetik ortalaması 𝑋 simgesi ile gösterilir. Bu bölümde ana kütle üzerinde çalışacağımız varsayımı altında aritmetik ortalama μ ile gösterilecektir.

14 STANDART SAPMA VE VARYANS
standart sapma ve varyansını hesaplayabilir STANDART SAPMA VE VARYANS 4.1. Basit Seride Standart Sapma ve Varyans   Basit serilerde Varyans ve Standart Sapma aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır.   𝜎 2 = 𝑖=1 𝑁 ( 𝑋 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑁   𝜎 = 𝑖=1 𝑁 ( 𝑋 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑁

15 STANDART SAPMA VE VARYANS
standart sapma ve varyansını hesaplayabilir STANDART SAPMA VE VARYANS ÖRNEK: İstatistik dersi sınavına giren 5 öğrencinin aldığı notlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Öğrencilerin aldığı notların (basit serinin) varyansını ve standart sapmasını hesaplayınız 𝜎 2 = 𝑖=1 𝑁 ( 𝑋 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑁 = = 𝜎 = 𝑖=1 𝑁 ( 𝑋 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑁 = = =18.5 İstatistik Notları (Xi) Ortalama Sapmalar (𝑿 𝒊 − 𝝁) Ortalama Mutlak Sapmalar (𝑿 𝒊 − 𝝁 ) 𝟐 70 = 4 16 80 = 14 196 40 = -26 676 90 = 24 576 50 50 – 66 = -16 256 µ=𝟔𝟔 𝒊=𝟏 𝑵 (𝑋 𝑖 − 𝜇 ) 𝟐 =𝟏𝟕𝟐𝟎

16 STANDART SAPMA VE VARYANS
standart sapma ve varyansını hesaplayabilir STANDART SAPMA VE VARYANS 4.2. Tasnif Edilmiş Seride Standart Sapma ve Varyans   Tasnif edilmiş serilerde Varyans ve Standart Sapma aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır.   𝜎 2 = 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 ( 𝑋 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖   𝜎 = 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 ( 𝑋 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖

17 STANDART SAPMA VE VARYANS
standart sapma ve varyansını hesaplayabilir STANDART SAPMA VE VARYANS İlk aşamada aritmetik ortalama hesaplanır. µ= i=1 k f i X i i=1 k f i = =70   𝜎 2 = 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 ( 𝑋 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 = =210   𝜎 = 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 ( 𝑋 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 = = =14.5 Öğrencilerin Notları (Xi) fi (𝑿 𝒊 − 𝝁) ( 𝑿 𝒊 − 𝝁 ) 𝟐 𝒇 𝒊 ( 𝑿 𝒊 − 𝝁 ) 𝟐 40 1 -30 900 50 2 -20 400 800 60 4 -10 100 70 6 80 10 90 20 30 Toplam 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 =20 𝒊=𝟏 𝑵 𝒇 𝒊 ( 𝑿 𝒊 − 𝝁 ) 𝟐 =𝟒𝟐𝟎𝟎

18 STANDART SAPMA VE VARYANS
standart sapma ve varyansını hesaplayabilir STANDART SAPMA VE VARYANS   4.3. Gruplanmış Seride Standart Sapma ve Varyans   Gruplanmış serilerde Varyans ve Standart Sapma aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır.   𝜎 2 = 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 ( 𝑚 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖   𝜎 = 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 ( 𝑚 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖

19 STANDART SAPMA VE VARYANS Not Sınıfları (Gruplar)
standart sapma ve varyansını hesaplayabilir STANDART SAPMA VE VARYANS İlk aşamada aritmetik ortalama hesaplanır. µ= i=1 k f i m i i=1 k f i = =67 𝜎 2 = 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 ( 𝑚 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 = =445 𝜎 = 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 ( 𝑚 𝑖 − 𝜇 ) 2 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 = = =21 Not Sınıfları (Gruplar) mi fi mifi ( 𝒎 𝒊 − 𝝁) ( 𝒎 𝒊 − 𝝁 ) 𝟐 𝒇 𝒊 ( 𝒎 𝒊 − 𝝁 ) 𝟐 90-100 95 50 4750 28 784 39200 85-89 87 60 5220 20 400 24000 80-84 82 40 3280 15 225 9000 75-79 77 3850 10 100 5000 70-74 72 7200 5 25 2500 60-69 64,5 3225 -2.5 6.25 312.5 50-59 54,5 3270 -12.5 156.25 9375 40-49 44,5 1780 -22.5 506.25 20250 0-39 19,5 975 -47.5 Toplam 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑖 =500 33550 𝑖=1 𝑁 𝑓 𝑖 ( 𝑚 𝑖 −𝜇 ) 2 =

20 DEĞİŞİM KATSAYISI (DK)
standart sapma ve varyansını hesaplayabilir DEĞİŞİM KATSAYISI (DK) 5. DEĞİŞİM KATSAYISI (DK)   Ölçüm birimleri aynı olan iki serinin dağılımının değişkenliğini karşılaştırmak mümkün iken farklı ölçü birimleri kullanan iki serinin dağılımının değişimlerini gösteren standart sapmaları karşılaştırmak mümkün değildir. Bu nedenle serilerin standart sapmasının ortalamasına göre yüzdesi alınarak “DEĞİŞİM KATSAYISI” hesaplanır. Serilerin değişim katsayıları yardımıyla değişkenlikleri karşılaştırılabilir. Değişim katsayısının formülü aşağıda verilmiştir.   𝐷𝐾= 𝜎 𝜇 Bu formül yardımıyla hesaplanan değişim katsayılarında ölçü birimleri ortadan kalkarak bir değişim oranı bulunmuştur ve bu oranlar karşılaştırılabilir.

21 DEĞİŞİM KATSAYISI (DK)
standart sapma ve varyansını hesaplayabilir DEĞİŞİM KATSAYISI (DK) ÖRNEK: Tabloda 5 kişiye ait yaş ve ağırlıklardan vermektedir. Bu kişilerin yaş ve ağırlıklarından oluşan bu iki serinin değişkenliklerini karşılaştırınız µyaş = =40 𝑦ı𝑙 µağırlık = =76 kg   σyaş = = =14.4 𝑦ı𝑙 σağırlık = = =15.4 𝑘𝑔 DKyaş = = DKağırlık = =20.2 Yaş (Yıl) (Xi - µyaş)2 Ağırlık (Kilogram) (Xi - µağırlık)2 20 400 52 576 30 100 70 36 40 75 1 50 85 81 60 98 484 =𝟐𝟎𝟎 =𝟏𝟎𝟎𝟎 =𝟑𝟖𝟎 =𝟏𝟏𝟕𝟖