Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)

... konulu sunumlar: "Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)"— Sunum transkripti:

1 Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)
Analitik Ortalamalar Aritmetik Geometrik Harmonik Kareli ortalama Analitik olmayan ortalamalar Mod Medyan Kartil, Desil ve Santiller

2 I. Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)
Bir veri setinin merkez noktasını gösteren, serinin normal değerinin bir göstergesi olan ve veriyi tek bir değerle ifade eden değerlere merkezi eğilim ölçüleri adı verilir. Bir verinin ortalaması onun en küçük ve en büyük değeri arasında yer alır. Ortalamaların Faydaları: Ortalamaların faydaları kısaca şöyle özetlenebilir. Ortalamalar çoğu zaman serinin normal değerini gösterir. Tabi bunun için serinin dağılımının da aşırı çarpık olmaması gerekir. İstatistik analiz işleminin temel elemanlarından biridir. Aynı birimle ölçmek kaydıyla farklı serileri karşılaştırmaya imkan tanır. Tek bir sayı olması sebebiyle hatırda tutulması kolaydır.

3 Ortalamalar verinin tamamını kapsayıp kapsamamasına göre analitik ve analitik olmayan ortalamalar şeklinde iki grupta incelenir. Analitik (Hassas ortalamalar) Verideki bütün değerleri dikkate alarak hesaplanan ortalamalardır. Analitik ortalamalar verinin özelliğine ve hesap tarzına göre dört farklı şekilde elde edilir. 1.1. Aritmetik ortalama 1.2. Geometrik ortalama (G) 1.3. Harmonik ortalama (H) 1.4. Kareli ortalama (K).

4 1.1. Aritmetik ortalama Aritmetik ortalama serideki gözlem değerleri toplamının toplam gözlem sayısına oranıdır. Basit seride Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride Xi : i. gözlem değeri fi : i. değerin frekansı mi : i. sınıfın orta noktası N : toplam gözlem sayısı

5 Nisan ayı yağışları (Kg) (Xi)
Örnek: Adapazarı'nda nisan ayı ortalama yağışlarını tahmin etmek için geçmiş nisan ayı yağış rakamlarından rasgele 7 tanesi seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Bu verilerden hareketle Adapazarı'nda nisan ayı yağışlarının aritmetik ortalamasını hesaplayınız. Nisan ayı yağışları (Kg) (Xi) 60 75 80 100 120 130 155 ∑Xi=720

6 Parça üretim süresi(dk)(Xi)
Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten işçilerin bu parçayı üretim sürelerinin dağılımı aşağıdaki gibi gözlenmiştir. Parça üretim süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz. Parça üretim süresi(dk)(Xi) İşçi sayısı (fi) fi.Xi 12 2 24 13 5 65 14 10 140 15 7 105 16 4 64 Toplam 28 398

7 Örnek Bir işyerinde yapılan telefon görüşmelerinin süresinin dağılımı için aşağıdaki gruplanmış seri verilmiştir. Buna göre görüşme süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz. Görüşme süresi Görüşme sayısı (fi) mi fimi 5 1 10 3 30 40 200 6 - 8 7 210 8 - 10 25 9 225 Toplam 110 670

8 Tartılı Aritmetik Ortalama
Bir serideki gözlem değerlerlerinin önem dereceleri farklı olursa, bu tür serilerin aritmetik ortalaması tartılı olarak hesaplanır. Bunun için önem derecesini gösteren katsayılar (tartılar) kullanılır. Örnek olarak öğrencilerin ortalama notlarını hesaplarken derslerin kredileri tartı olarak düşünülürken, ücretlerin belirlenmesinde kıdem tartı olarak kabul edilebilir. Basit seride Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride

9 Örnek Aşağıda bir öğrencinin almış olduğu dersler, notları ve kredileri verilmiştir. Not ortalamasını tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız. Dersler Notlar (Xi) Kredi (ti) tiXi İstatistik 70 3 210 Matematik 60 4 240 Fizik 50 150 Kimya 80 2 160 Toplam 260 ti=12 tiXi=760

10 Örnek Bir işletmede işçilerin saat ücretleri çalıştıkları süre (kıdem) dikkate alınarak belirlenmektedir. Veriler aşağıdaki gibi olduğuna bu işletmede ortalama saat ücretini tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız. Saat ücreti (milyon) (YTL) İşçi sayısı (fi) Ortalama kıdem (ti) mi fiti fitimi fimi 1.00 – 1.40 10 2.5 1.20 25 30.0 12.00 1.40 – 1.60 30 5.0 1.50 150 225.0 45.00 1.60 – 1.80 50 9.5 1.70 475 807.5 85.00 1.80 – 2.00 15 13.0 1.90 195 370.5 16.90 2.00 – 2.50 5 18.0 2.25 90 202.5 11.25 Toplam 110 935 1635.5 170.15

11 Tartılı aritmetik ortalamanın kullanıldığı yerler
- Veriler arasında önem farkı bulunması halinde kullanılır. - Oranların ve ortalamaların ortalaması hesaplanırken kullanılır. - Ortalama maliyet ve satış fiyatı, bileşik fiyat ve miktar indekslerinin hesaplanmasında da tartılı ortalama kullanılır. Örnek Bir işletmede bulunan üç tezgahın belli bir günde ürettikleri malların sayısı ve üretimlerindeki kusurlu oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre bu tezgahlarının ürettiği mamul kütlesinin kusurlu oranını bulunuz. Tezgahlar Üretim miktarı (ti) Kusurlu oranı (Xi) tiXi A 100 0.03 3 B 200 0.05 10 C 50 0.01 0.5  ti = 350 Xi = 0.09 tiXi = 13.5

12 Aritmetik ortalamanın özellikleri
1 - Aritmetik ortalama hassas bir ortalama olup serideki aşırı değerlerden etkilenir ve aşırı değere doğru kayma gösterir. 2 - Serinin gözlem sayısı ile aritmetik ortalaması çarpılırsa serinin toplam değeri elde edilir. 3- Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları toplamı sıfır olur. 4- Serideki değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimum olur. 5- Aritmetik ortalama özellikle normal dağılıma yakın serilerin ortalaması için elverişlidir. 6- Bir serinin değerleri, diğer iki serinin değerleri toplamından oluşuyorsa bu serinin aritmetik ortalaması da diğer iki serinin aritmetik ortalamaları toplamına eşit olur. X =Y +Z

13 2- Geometrik Ortalama (G)
Bir serideki gözlem değerlerinin birbirleri ile çarpımlarının, gözlem sayısı derecesinde kökünün alınması ile elde edilir. Basit seri için şöyle yazılır. olup yazılırsa kısaca geometrik ortalama olarak yazılır. Ancak bu yoldan geometrik ortalamayı bulmak için gözlem sayısının az olması gerekir. Gözlem sayısı arttıkça bu yoldan geometrik ortalamayı hesaplamak güçleşmektedir. Bunun yerine logaritmik dönüşüm uygulanarak geometrik ortalama hesaplanır.

14 ifadesi üslü olarak yazılır, bu ifadenin her iki tarafının logaritması alınırsa Çarpımın logaritması ayrı ayrı logaritmalar toplamına eşit olduğuna göre; olup düzenlenirse, Burada logG’yi G ye çevirmek için logG’nin ters logaritması alınarak geometrik ortalama elde edilir.

15 Tasnif edilmiş seride;
logaritmik olarak; olur. Gruplanmış seri için; Geometrik ortalamanın özellikle geometrik dizi şeklindeki serilere uygun olduğunu söylemek mümkündür. Geometrik bir diziye logaritması alınarak aritmetik diziye dönüşür.

16 Kusurlu parça sayısı (Xi)
Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten 5 işçinin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayıları aşağıda verilmiştir. Bu işçilerin parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. Kusurlu parça sayısı (Xi) logXi 3 0.477 5 0.699 8 0.903 15 1.176 30 1.477 log Xi = 4.732

17 Örnek 1.10) Bir işletmede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına günlük kusurlu parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. Kusurlu parça sayısı İşçi sayısı (fi) mi logmi filogmi 0 – 10 5 10 – 13 8 11.5 1.0606 8.4848 13 – 15 10 14 1.146 11.46 15 – 20 12 17.5 1.243 14.316 20 – 40 30 1.477 7.385 fi = 40 filogmi = =13,918 G=13,918 parça

18 Tartılı Geometrik Ortalama: Önem derecesi farklı olan verilere tartılı ortalamalar tatbik edilmektedir. Tartılı geometrik ortalama aşağıdaki formüllerle hesaplanır. Basit seride: Tasnif edilmiş seride: Gruplanmış seride:

19 Örnek Bir işletmede verimin tecrübeye bağlı olduğu düşünülmektedir
Örnek Bir işletmede verimin tecrübeye bağlı olduğu düşünülmektedir. Bu işletmede çalışan işçilerin üretim miktarları ve tecrübe (çalışılan yıl) dağılımı aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. İşçi başına günlük üretimin tartılı geometrik ortalamasını hesaplayınız. Günlük üretim (adet) İşçi sayısı (fi) Tecrübe (çalışılan yıl) (ti) logXi fiti fitilogXi 40 5 3 1.602 15 24.03 45 7 8 1.653 56 92.568 50 1.699 225 55 20 1.74 400 696,14 Toplam 696 1195,313 logG = G = 101,717  G = 52,12 parça

20 Geometrik Ortalamanın Tahmin Amacıyla Kullanımı
Geometrik diziye benzer değişim gösteren nüfus, milli gelir artışı, fiyat artışı ve sermaye artışı gibi değişkenlerin tahmininde geometrik ortalama özelliğinden yararlanılabilir. Bu tür seriler genel olarak bir önceki yılın belli bir yüzdesi şeklinde değişim göstermektedir. Bunun için bir dönemlik (ay yıl vs)değişim oranı geometrik ortalama ile belirlenir. Bu eğilimin gelecekte de benzerlik göstereceği varsayımı ile gelecek dönem ile ilgili tahminler elde edilebilir. Bir malın fiyatı için: Po: başlangıç dönemi değeri, Pn: n. Dönemin değeri, r : bir dönemlik değişim yüzdesi şeklinde olur.

21 Fiyat artış oranı için geometrik artış dikkate alınırsa;
Örnek Bir X malının 1995 yılı fiyatı TL , 2003 yılı fiyatı TL olduğu bilindiğine göre; Bu malın yıllık fiyat artış oranını hesaplayınız 2010 yılı için X malının fiyatını tahmin ediniz 1985 yılı fiyatı ne olmuş olabilir 1999 yılı fiyatını tahmin ediniz Hangi yılda fiyatlar TL olur? Çözüm P1995 = P2003 = n= 8 ( ) Fiyat artış oranı için geometrik artış dikkate alınırsa; fiyat artışı %53 b) formülünden 2010 yılı fiyatı tahmin edilebilir. P2010 = P2003(1,53)( ) P2010 = (1,53)7 = (19,626) P2010 = TL olur.

22 Geometrik ortalamanın özellikleri
1) Geometrik ortalamanın gözlem sayısı kadar üssü alınırsa serinin çarpımı elde edilir. GN = X1X2X3XN GN = Xi 2) Bir serideki gözlem değerlerinin geometrik ortalamaya oranları çarpımı 1’e eşittir. 3) Bir serideki değerlerin logaritmalarının serinin geometrik ortalamasının logaritmasından farklarının toplamı sıfır olur (logXi - logG) = 0 logXi - NlogG = 0 4) Serideki aşırı değerlere karşı, aritmetik ortalama kadar hassas değildir.

23 5- İki serinin gözlem sayısı ve çarpımları eşit ise geometrik ortalamaları da eşit olur. 6) Seride sıfır veya negatif gözlem değeri varsa geometrik ortalama hesaplanamaz. 7) Geometrik ortalama özellikle geometrik dizi şeklindeki (değişim oranı sabit) serilerin ortalamasının hesaplanmasında kullanılır. (2,4,8,16,32,64 tam geometrik 1,10,100,1000,10000 tam geometrik vs.) Xi logXi 3 0,477 9 0,954 27 1,431 81 1,908 243 2,386

24 3- Harmonik Ortalama Harmonik ortalama bir serideki gözlem değerlerinin terslerinin aritmetik ortalamasının tersine eşittir. Basit bir seri için bu ifade şöyle gösterilebilir. Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride

25 1 dakikada okunan kelime sayısı (Xi)
Örnek Bir ilkokulda 5. Sınıf öğrencilerinin okuma hızlarını ölçmek için yapılan araştırmada alınan sonuçlar şöyledir. Buna göre öğrencilerin ortalama okuma hızını harmonik ortalama ile bulunuz 1 dakikada okunan kelime sayısı (Xi) 60 0,0166 68 0,0147 72 0,0139 75 0,0133 80 0,0125 Toplam 0,0710 H=70,42 kelime

26 Örnek: Sakarya ilinde aylık yağışların dağılımı ile ilgili yapılan çalışmada aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilerden hareketle aylık yağışların harmonik ortalamasını bulunuz. Yağış (kg/m2) Ay sayısı (fi) mi 4 10 0,4 20- 40 6 30 0,2 40- 60 50 60- 80 7 70 0,1 27 0,9

27 Harmonik ortalamanın kullanıldığı yerler
Harmonik ortalama az kullanılan ortalamalardan biri olup, özellikle oran şeklinde ortaya çıkan verilerin ortalamasında kullanılır. Bir seride sabit ve değişken unsurun yer değiştiriyorsa, yani sabit unsur, değişken, değişken unsur sabit oluyorsa böyle durumlarda harmonik ortalama kullanılır. Hız → yol (km)/zaman(saat):zaman sabit, alınan yol değişken Verim → zaman/parça: üretilen parça sabit,zaman değişken Fiyat → ödenen para(TL)/miktar(kg): miktar sabit, ödenen para değişken olarak ifade edilir. Bu ifadeler tam ters şekilde; yani sabit unsuru değişken, değişken unsuru sabit tutmak sureti ile de ifade edilebilir. Hız → zaman/yol şeklinde ters olarak ifade edilebilir. (Belli uzunluktaki bir yolun ne kadar zamanda alındığı ifade edilebilir.) Verim → parça/zaman: Belli bir zamanda ne kadar parça üretildiği Fiyat → miktar/ödenen para: Para miktarı sabit iken, bu paraya alınabilecek değişen mal miktarı şeklinde düşünülebilir Bu gibi durumlarda harmonik ortalama en uygun sonucu verir.

28 İşçiler Üretim süresi A 5 B 6 C 10 D 20
Örnek: Bir işletmede çalışan ve aynı parçayı işleyen 4 işçinin bu parçayı üretim sürelerinin dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu işçiler hep birlikte bu parçayı 4 saat süre ile Ürettiklerinde ürettikleri parçaların Ortalama üretim süresini bulunuz. Çözüm: Üretim süresi 4*60=240 dakika İşçinin üretimi 240/5=48 parça İşçinin üretimi 240/6=40 parça, İşçinin üretimi 240/10=24 parça, İşçinin üretimi 240/20=12 parça. İşçilerin 4 saatteki toplam üretimi =124 parça Toplam işçilik süresi 4*240=960 dakika Parçanın ortalama üretim süresi: 960/124=7,74 dakika/parça İşçiler Üretim süresi A 5 B 6 C 10 D 20

29 Yukarıdaki örneğin Harmonik ortalama ile çözümü:
Üretim süresi (Xi) 1/Xi 5 0,2 6 0,167 10 0,1 20 0,05 Toplam 0,517 Harmonik ortalamanın özellikleri - Harmonik ortalama seride sıfır değeri varsa hesaplanamaz, Seride farklı işaretli değerler varsa harmonik ortalama mantıklı olmayan sonuçlar verir. Xi: -2, 5,10,20 serisinin harmonik ortalaması olup sonuç mantıksızdır.

30 4. Kareli Ortalama (K) Kareli ortalama serideki değerlerin karelerinin aritmetik ortalamasının kareköküdür.Kareli ortalama aşağıdaki formüllerle hesaplanır. Basit seride: Tasnif edilmiş seride: Gruplanmış seride:

31 Örnek: Bir otomobil servis istasyonuna günlük olarak gelen araçların dağılımı aşağıda verilmiştir.
Araç sayısı (Xi) Gün sayısı (fi) 1 4 2 8 32 3 12 9 108 10 16 160 5 6 25 150 Toplam ∑fi= 40

32 Örnek Bir şehirdeki konutlarda elektrik enerjisi tüketimi üzerine yapılan araştırmada, 200 konut rasgele seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Aylık elektrik Tüketimi (Kwh) Konut sayısı (fi) mi fimi2 0 – 60 10 30 9000 60 – 100 20 80 128000 100 – 120 40 110 484000 120 – 140 50 130 845000 140 – 180 45 160 180 – 250 35 215 Toplam 200

33 Kareli ortalamanın kullanıldığı yerler
Diğer ortalamaların kullanılmadığı durumlarda kareli ortalama kullanılabilir. Bir seride sıfır ve/veya farklı işaretli değerler varsa geometrik ve harmonik ortalamalar hesaplanamaz, hesaplansa da mantıklı sonuçlar vermez. Eğer aritmetik ortalama da makul bir sonuç vermiyorsa kareli ortalama kullanılabilir. Kareli ortalama özel olarak sapmalar serisinin ortalamasında kullanılır. Sapmalar serisi verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarını veren seridir. Yani serisidir. Zira sapmalar serisinin toplamı sıfır olduğundan { =0 }, bu serinin ortalaması kareli ortalama ile hesaplanabilir. Bu şekilde hesaplanan ortalamaya standart sapma adı verilir. Analitik ortalamalar arasındaki ilişkiler Normal bir seride ortalamalar arasında aşağıdaki gibi bir büyüklük ilişkisi vardır. K >X > G > H

34 Kareli ortalamayı bulunuz.
Örnek: Bir işletmede gerçekleştirilen günlük üretim miktarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle; Aritmetik ortalamayı, Geometrik ortalamayı, Harmonik ortalamayı, Kareli ortalamayı bulunuz. Aritmetik ortalama: , logGeometrik ortalama: 2,105 Harmonik ortalama: , Geometrik ortalama: ,36 Kareli ortalama: ,53 K = 145,53>X = 137,63 > G = 127,36> H = 112,64 olduğu görülür. Üretim (Kg) fi mi fi.mi fi/mi mi2 fimi2 logmi filogmi 0 – 60 10 30 300 0,3333 900 9000 1,47712 14,771 60 – 100 20 80 1600 0,25 6400 128000 1,90309 38,062 100 – 120 40 110 4400 0,3636 12100 484000 2,04139 81,656 120 – 140 50 130 6500 0,38462 16900 845000 2,11394 105,7 140 – 180 45 160 7200 0,2813 25600 2,20412 99,185 180 – 250 35 215 7525 0,1628 46225 2,33244 81,635 Toplam 200 27525 1,7756 12,0721 421,01

35 KAYNAKLAR 1. Yüksel, İ., ‘İstatistik ve Olasılık Ders Notları’, 2011.