Farklı Varyans Var(u i |X i ) = Var(u i ) = E(u i 2 ) =  2  Eşit Varyans Y X 1.

... konulu sunumlar: "Farklı Varyans Var(u i |X i ) = Var(u i ) = E(u i 2 ) =  2  Eşit Varyans Y X 1."— Sunum transkripti:

1

2 Farklı Varyans Var(u i |X i ) = Var(u i ) = E(u i 2 ) =  2  Eşit Varyans Y X 1

3 Farklı Varyans Var(u i |X i ) = Var(u i ) = E(u i 2 ) =  i 2  Farklı Varyans Hata Zaman 2

4 Farklı Varyans ile Karşılaşılan Durumlar Kesit Verilerinde. Kar dağıtım modellerinde. Sektör modellerinde. Ücret modellerinde. Deneme - Yanılma modellerinde. 3

5 Farklı Varyansı Gözardı Etmenin Sonuçlar Tahminci Özelliklerine etkisi. Tahminciler sapmasız ve tutarlıdırlar. ancak etkin değildirler. Hipotez testleri üzerine etkisi. Tahminciler minimum varyanslı olma özelliklerini kaybettiklerinden. bunlara bağlı olarak elde edilen t ve F istatistiklerine ve elde edilen güven aralıklarına güvenilemeyecektir. Öngörümleme üzerine etkisi. Önceden değerleri sapmalı olacaktır. 4

6 Parametre Tahmincilerinin Özellikleri 1.Sapmasızlık Anakütle regresyon modeli Sapma nedeni ile  i nin beklenen değeri sıfırdan farklı ise. 5

7 Parametre Tahmincilerinin Özellikleri 1.Sapmasızlık 6

8 Parametre Tahmincilerinin Özellikleri 2.Etkinlik Modelde sabit varyans varsayımının geçerli olmaması durumunda parametre tahmincileri  0 * ve  1 * olsun.  0 * ve  1 * ın varyanslarınn doğrusal sapmasız tahmin yöntemi ile belirlenmesi: Doğrusallık şartı gereği: 7

9 2.Etkinlik in beklenen değeri ve varyansı: 8

10 3.Tutarlılık  ’nin tutarlı tahmincisidir. 9

11 3.Tutarlılık 10

12 Farklı Varyansın Tesbit Edilmesi Grafik Yöntemle. Sıra Korelasyonu testi ile. Goldfeld-Quandt testi ile. Breusch – Pagan testi ile. Glejser Testi ile. White testi ile. Lagrange çarpanları testi ile Ramsey Reset testi ile Park testi ile. 11

13 Grafik Yöntem 12

14 Grafik Yöntem 13

15 Grafik Yöntem 14

16 Sıra Korelasyonu Testi 1.Aşama H 0 :  = 0 H 1 :   0 2.Aşama  = ? s.d.=? 3.Aşama t tab =? 4.Aşama H 0 hipotezi reddedilebilir t hes > t tab 15

17 Sıra Korelasyonu Testi 75 88 95 125 115 127 165 172 183 225 Y 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 X 7.0545 4.7091 -3.6364 11.0182 -14.327 -17.672 4.9818 -3.3636 -7.7091 18.9455 eXsXs eses didi di2di2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 3 6 8 7 9 5 7 1 3 3 -3 0 -4 49 1 9 1 9 9 9 9 0 16  d i 2 =112 16

18 Sıra Korelasyonu Testi = 0.3212 1.Aşama H 0 :  = 0 H 1 :   0 2.Aşama  = 0.05 s.d.= 8 3.Aşama t tab = 2.306 = 0.9593 4.Aşama H 0 hipotezi reddedilemez. t hes < t tab 17

19 Goldfeld-Quandt Testi Y X 2s X 3... X k Y = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 +... + b k X k + u I.Alt Örnek n 1 II.Alt Örnek n 2 Çıkarılan Gözlemler Y I = b 11 + b 21 X 2 + b 31 X 3 +... + b k1 X k + u Y II = b 12 + b 22 X 2 + b 32 X 3 +... + b k2 X k + u n(1/6) < c < n(1/3)  e 1 2 =?  e 2 2 =? 18

20 Goldfeld-Quandt Testi 1.Aşama H 0 : Eşit Varyans H 1 : Farklı Varyans 2.Aşama  = ? 3.Aşama F tab =? 4.Aşama H 0 hipotezi reddedilebilir F hes > F tab 19

21 lnMaas = b 1 + b 2 Yıl + b 3 Yıl 2 Goldfeld-Quandt Test Dependent Variable: lnMaas Included observations: 222 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C3.8093650.04133892.151040.0000 Yıl0.0438530.0048299.0816450.0000 Yıl 2 -0.0006270.000121-5.1906570.0000 R-squared0.536179 Mean dependent var4.325410 Adjusted R-squared0.531943 S.D. dependent var0.302511 S.E. of regression0.206962 Akaike info criterion-0.299140 Sum squared resid9.380504 Schwarz criterion-0.253158 Log likelihood36.20452 F-statistic126.5823 Durbin-Watson stat1.618981 Prob(F-statistic)0.000000 20

22 1.alt örnek sonuçları: Goldfeld-Quandt Test Dependent Variable: lnmaas Sample: 1 75 Included observations: 75 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C3.9541060.05953866.413240.0000 Yıl-0.0219300.021019-1.0433490.3003 Yıl 2 0.0043750.0016002.7339290.0079 R-squared0.465625 Mean dependent var4.031098 Adjusted R-squared0.450781 S.D. dependent var0.167536 S.E. of regression0.124160 Akaike info criterion-1.295318 Sum squared resid1.109926 Schwarz criterion-1.202619 Log likelihood51.57443 F-statistic31.36845 Durbin-Watson stat1.807774 Prob(F-statistic)0.000000 21

23 Goldfeld-Quandt Test 2.Altörnek Sonuçları: Dependent Variable: lnmaas Sample: 148 222 Included observations: 75 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C4.0075070.9763464.1045980.0001 Yıl0.0199280.0606030.3288230.7432 Yıl 2 -0.0001020.000920-0.1104430.9124 R-squared0.078625 Mean dependent var4.513929 Adjusted R-squared0.053031 S.D. dependent var0.231175 S.E. of regression0.224962 Akaike info criterion-0.106594 Sum squared resid3.643762 Schwarz criterion-0.013895 Log likelihood6.997288 F-statistic3.072027 Durbin-Watson stat1.684803 Prob(F-statistic)0.052446 22

24 Goldfeld-Quandt Testi 1.Aşama H 0 : Eşit Varyans H 1 : Farklı Varyans 2.Aşama  = 0.05 3.Aşama 1.43<F tab <1.53 4.Aşama H 0 hipotezi reddedilebilir F hes > F tab = 3.2830 23

25 Breusch – Pagan Testi Y i = b 1 + b 2 X 2i + b 3 X 3i +……+ b k X ki +u i (1) 1.Aşama (1) Nolu denklem EKKY ile tahmin edilip. e 1. e 2. …..e n örnek hata terimleri hesaplanır. Bu e i lerden hareketle hesaplanır. 2.Aşama 3.Aşama p i = a 1 + a 2 Z 2i + a 3 Z 3i +……+ a m Z mi +v i (2) RBD = ? 24

26 Breusch – Pagan Testi 4.Aşama 5.Aşama H 0 : a 2 = a 3 =…..=a m = 0 (Eşit varyans) H 1 : En az biri sıfırdan farklıdır. (Farklı varyans) H 0 reddedilir. 25

27 YıllarGSMHITetYıllarGSMHITet 1971 16.40200 1.171000 5.317850 1981 69.24600 8.933000-1.520700 1972 20.69800 1.563000 4.522890 1982 63.01400 8.843000 0.111170 1973 26.08100 2.086000 3.558590 1983 59.60700 9.235000 1.444510 1974 35.97600 3.778000 2.516650 1984 58.40200 10.75700 3.299440 1975 44.86500 4.739000 1.021660 1985 65.00800 11.34300 2.060240 1976 51.33100 5.129000-0.374870 1986 72.86100 11.10500-0.347510 1977 58.61000 5.796000-1.719020 1987 83.75300 14.15800-0.303920 1978 64.86500 4.599000-4.644250 1988 87.35000 14.33500-1.120760 1979 88.80100 5.069000-10.78770 1989 103.7470 15.80000-4.186170 1980 67.34400 7.909000-2.019190 1990 145.3810 22.30000-9.189460 Breusch – Pagan Testi IT: İthalat 26

28 Breusch – Pagan Testi 1.Aşama 2.Aşama 27 pi 0.0451110.018977 0.0068130.064343 0.0044460.42876 0.0009641.914014 0.0557651.384578 0.2667040.285573 0.5406141.163423 2.8029390.820382 9.7644750.15752 0.1944940.080743

29 Breusch – Pagan Testi 3.Aşama RBD = 4.59 4.Aşama 5.Aşama H 0 : a 2 = a 3 =…..=a m = 0 (Eşit varyans) H 1 : En az biri sıfırdan farklıdır. (Farklı varyans) H 0 reddedilemez. 28

30 Glejser Farklı Varyans Testi 1.Aşama:Y ile X (veya X’ler) arasındaki ilişki tahmin edilerek, ilgili örnek hata terimleri e’ler bulunur. 2.Aşama:  i 2 ile ilişkili olduğu düşünülen bağımsız değişken için aşağıdaki modeller denenmektedir. 29

31 Glejser Farklı Varyans Testi 3.Aşama:Korelasyon katsayısı ve a’ların standat hata değerlerine göre en uyun model seçilip H 0 : a 2 = 0 H 1 : a 2 ≠ 0 test edilir. 4.Aşama: H 0 kabul edilirse eşit varyans gerçeklemiştir sonucuna varılır. 30

32 Glejser Farklı Varyans Testi 1.Aşama: YıllarGSMHITetYıllarGSMHITet 1971 16.40200 1.171000 5.317850 1981 69.24600 8.933000-1.520700 1972 20.69800 1.563000 4.522890 1982 63.01400 8.843000 0.111170 1973 26.08100 2.086000 3.558590 1983 59.60700 9.235000 1.444510 1974 35.97600 3.778000 2.516650 1984 58.40200 10.75700 3.299440 1975 44.86500 4.739000 1.021660 1985 65.00800 11.34300 2.060240 1976 51.33100 5.129000-0.374870 1986 72.86100 11.10500-0.347510 1977 58.61000 5.796000-1.719020 1987 83.75300 14.15800-0.303920 1978 64.86500 4.599000-4.644250 1988 87.35000 14.33500-1.120760 1979 88.80100 5.069000-10.78770 1989 103.7470 15.80000-4.186170 1980 67.34400 7.909000-2.019190 1990 145.3810 22.30000-9.189460 IT: İthalat 31

33 2.Aşama: Glejser Farklı Varyans Testi 3.Aşama:H 0 : a 2 = 0 H 1 : a 2 ≠ 0 4.Aşama: Prob = 0.2058 > 0.05 H 0 reddedilemez. Eşit varyans gerçekleşmiştir. 32

34 White Testi Y = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 + u White Testi için yardımcı regresyon: u 2 = a 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 + a 4 X 2 2 + a 5 X 3 2 + a 6 X 2 X 3 + v R y 2 = ? White Testi Aşamaları: 1.Aşama 2.Aşama  = ? 3.Aşama 4.Aşama H 0 : a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 =0 H 1 : a i ’lerin en az bir tanesi anlamlıdır s.d.= k-1  2 tab =? W= n.R y 2 = ? W >  2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir 33

35 White Testi lnMaaş = 3.8094 + 0.0439yıl - 0.0006 yıl 2 White Testi için yardımcı regresyon: 1.Aşama 2.Aşama  = 0.05 3.Aşama 4.Aşama H 0 : a 2 = a 3 = a 4 = a 5 =0 ; H 1 : a i ’lerin en az bir tanesi anlamlıdır s.d.=5-1=4  2 tab =9.4877 W= n.R y 2 = 222(0.0901)= 20.0022 W >  2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir e 2 = -0.0018 + 0.0002 Yıl + 0.0007 Yıl 2 - 0.00003 Yıl 3 + 0.0000004Yıl 4 R y 2 = 0.0901 34

36 Lagrange Çarpanları(LM) Testi Y = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 + u LM testi için yardımcı regresyon: R y 2 = ? LM Testi Aşamaları: 1.Aşama 2.Aşama  = ? 3.Aşama 4.Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b  0 s.d.= k-1  2 tab =? LM= n.R y 2 = ? LM >  2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir 35

37 Lagrange Çarpanları(LM) Testi lnmaaş = 3.8094 + 0.0439yıl - 0.0006 yıl 2 LM Testi için yardımcı regresyon: 1.Aşama 2.Aşama  = 0.05 3.Aşama 4.Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b  0 s.d.=2-1=1  2 tab =3.84146 LM= n.R y 2 = 222(0.0537)= 11.9214 LM >  2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir e 2 = -0.2736 + 0.0730 (lnmaas-tah) 2 R y 2 = 0.0537 36

38 Ramsey Reset Testi Y = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 +…..+b k X k + u i Ramsey Reset testi için yardımcı regresyon: H 0 : a 2 = 0 (Eşit Varyans) H 1 : a 2 ≠ 0 (Farklı Varyans) Hipotezler  hata payı ile t tablosundan bulunacak değer ile karşılaştırılır. 1.Aşama: 2.Aşama: 3.Aşama: t hes > t tab H 0 reddedilir. 37

39 Ramsey Reset Testi H 0 : a i = 0 (Eşit Varyans) H 1 : a i ≠ 0 (Farklı Varyans) 1.Aşama: 2.Aşama: 38

40 3.Aşama: t tab = t n-k,  = t 20-2, 0.05 = 2.101 Ramsey Reset Testi 4.Aşama: t hesap = 0.514 < t tab = 2.101 H o reddedilemez 39

41 Park Testi  i 2 bilinmediğinden bunun yerine hata kareler toplamı e i 2 kullanılır. 40

42 Park Testi 1.Aşama: 2.Aşama: H 0 :  = 0 (Eşit Varyans) H 0 :  ≠ 0 (Farklı Varyans) 3.Aşama: t hes > t tab H 0 reddedilir. 41

43 Park Testi 1.Aşama: 2.Aşama: H 0 :  = 0 (Eşit Varyans) H 0 :  ≠ 0 (Farklı Varyans) 3.Aşama: t tab = t 18, 0.01 = 2.878 t hes < t tab H 0 reddedilemez. 42

44 UYGULAMA: 32 ailenin yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelirleri (X) aşağıda verilmiştir. Aile SayısıYXu YXu 12.22.8-0.75464171.52-1.25412 233.5-0.1301185.87.21.74247 34.113.5-1.53666198.218.11.41032 43.58.2-0.80818204.36.20.49313 54.25.90.46833219.416.13.11164 66.315.30.21216225.125.2-3.46933 74.69.7-0.08417232.48.2-1.90818 88.826.4-0.07012248.113.42.48841 97.318.20.48526254.95.61.24352 104.46.70.46782634.2-0.30556 116.711.31.61478274.68.80.14142 123.54.70.06911281.93.5-1.2301 136.826.3-2.04505292.612.4-2.76094 147.222.3-0.64243303.94.30.56938 153.16.1-0.6818131712.91.51373 162.43.2-0.65493211.226.52.30482 43

45 UYGULAMA: Y i =  0 +  1 X i +  i modeli için sabit varyans varsayımının geçerli olup olmadığını Grafik Yöntemle. Sıra Korelasyonu testi ile. Goldfeld-Quandt testi ile. Breusch – Pagan testi ile. Glejser Testi ile. White testi ile. Lagrange çarpanları testi ile Ramsey Reset testi ile Park testi ile. 44

46 Grafik Yöntem 45

47 Sıra Korelasyonu Testi 1.Aşama H 0 :  = 0 H 1 :   0 2.Aşama  = 0.05 s.d.=? 3.Aşama t tab =? 4.Aşama H 0 hipotezi reddedilebilir t hes > t tab 46

48 Sıra Korelasyonu Testi 1.Aşama H 0 :  = 0 H 1 :   0 2.Aşama  = 0.05 s.d.= 30 t tab = 2.042 = 1.9454 4.Aşama H 0 hipotezi reddedilemez. t hes < t tab 47

49 Goldfeld-Quandt Testi c = 32 / 5 = 6.4 6 gözlem atılacak. (14.-19. gözlemler) 13 gözlemden oluşan iki grup için modeller 1.-13. gözlemler için Y i = 0.5096 + 0.6078X i 20.-32. gözlemler için Y i = 3.8153 + 0.1723X i 48

50 Goldfeld-Quandt Testi 1.Aşama H 0 : Eşit Varyans H 1 : Farklı Varyans 2.Aşama  = 0.05 3.Aşama F tab =2.82 4.Aşama H 0 hipotezi reddedilebilir F hes > F tab 49

51 Breusch – Pagan Testi 1.Aşama 2.Aşama 50

52 Breusch – Pagan Testi 3.Aşama RBD = 13.12 4.Aşama 5.Aşama H 0 : a 2 = a 3 =…..=a m = 0 (Eşit varyans) H 1 : En az biri sıfırdan farklıdır. (Farklı varyans) H 0 reddedilebilir. 51

53 1.Aşama: Glejser Farklı Varyans Testi 2.Aşama:H 0 : a 2 = 0 H 1 : a 2 ≠ 0 4.Aşama: t hes > t tab H 0 reddedilebilir. Eşit varyans gerçekleşmemiştir. 3.Aşama:  = 0.05 n –k = 32 – 2 =30 t tab = 2.042 52

54 White Testi White Testi için yardımcı regresyon: 1.Aşama 2.Aşama  = 0.05 3.Aşama 4.Aşama H 0 : a 2 = a 3 = 0 ; H 1 : a i ’lerin en az bir tanesi anlamlıdır s.d.=3-1=2  2 tab =5.99 W= n.R y 2 = 32(0.2296) = 7.3472 W >  2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir e 2 = -0.6909 + 0.3498X – 0.0058X 2 R y 2 = 0.2296 53

55 Lagrange Çarpanları(LM) Testi LM Testi için yardımcı regresyon: 1.Aşama 2.Aşama  = 0.05 3.Aşama 4.Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b  0 s.d.=2-1=1  2 tab =3.84146 LM= n.R y 2 = 32(0.201) = 6.432 LM >  2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir R y 2 = 0.201 54

56 Ramsey Reset Testi H 0 : a i = 0 (Eşit Varyans) H 1 : a i ≠ 0 (Farklı Varyans) 1.Aşama: 2.Aşama: 55 3.Aşama: t hes > t tab H 0 reddedilir.

57 3.Aşama: t tab = t n-k,  = t 32-2, 0.05 =2.042 Ramsey Reset Testi 4.Aşama: t hesap = 2.753 > t tab = 2.042 H 0 reddedilebilir. 56

58 Park Testi 1.Aşama: 2.Aşama: H 0 :  = 0 (Eşit Varyans) H 0 :  ≠ 0 (Farklı Varyans) 3.Aşama: t tab = t 32-2=30, 0.05 = 2.042 t hes < t tab H 0 reddedilemez. 57

59 Farklı Varyans

60  nin BİLİNMESİ HALİ FARKLI VARYANSI ORTADAN KALDIRMA YOLLARI  nin BİLİNMEMESİ HALİ

61  nin BİLİNMESİ HALİ Y i = b 1 + b 2 X i + u i Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

62  Sabit terimi yoktur.  İki tane bağımsız değişken vardır.

63 Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

64

65 EKKY ve GEKKY Arasındaki Fark EKKY GEKKY min

66  nin BİLİNMEMESİ HALİ 1.HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER 2.HAL:

67  nin BİLİNMEMESİ HALİ 3.HAL:

68 4.HAL:  nin BİLİNMEMESİ HALİ bölünür

69 5.HAL:  nin BİLİNMEMESİ HALİ

70 UYGULAMA: 32 ailenin yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelirleri (X) aşağıda verilmiştir. Aile SayısıYXu YXu 12.22.8-0.75464171.52-1.25412 233.5-0.1301185.87.21.74247 34.113.5-1.53666198.218.11.41032 43.58.2-0.80818204.36.20.49313 54.25.90.46833219.416.13.11164 66.315.30.21216225.125.2-3.46933 74.69.7-0.08417232.48.2-1.90818 88.826.4-0.07012248.113.42.48841 97.318.20.48526254.95.61.24352 104.46.70.46782634.2-0.30556 116.711.31.61478274.68.80.14142 123.54.70.06911281.93.5-1.2301 136.826.3-2.04505292.612.4-2.76094 147.222.3-0.64243303.94.30.56938 153.16.1-0.6818131712.91.51373 162.43.2-0.65493211.226.52.30482 69

71 1.HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER 1.Aşama 2.Aşama  = 0.05 3.Aşama 4.Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b  0 s.d.=2-1=1  2 tab =3.84146 LM= n.R y 2 = 32(0.0178) = 0.5696 LM <  2 tab H 0 hipotezi reddedilemez.

72 2.HAL: 1.Aşama 2.Aşama  = 0.05 3.Aşama 4.Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b  0 s.d.=2-1=1  2 tab =3.84146 LM= n.R y 2 = 32(0.0509) = 1.6288 LM <  2 tab H 0 hipotezi reddedilemez.

73 3.HAL: 1.Aşama 2.Aşama  = 0.05 3.Aşama 4.Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b  0 s.d.=2-1=1  2 tab =3.84146 LM= n.R y 2 = 32(0.2365) = 7.568 LM >  2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir.

74 5.HAL: 1.Aşama 2.Aşama  = 0.05 3.Aşama 4.Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b  0 s.d.=2-1=1  2 tab =3.84146 LM= n.R y 2 = 32(0.0290) = 0.928 LM <  2 tab H 0 hipotezi reddedilemez.