Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

... konulu sunumlar: "Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü"— Sunum transkripti:

1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV f(x) = x3- 4.Sin(x) denkleminin xo=1.5 civarında bir kökünün olduğu bilindiğine göre kökü ε k = yaklaşımla basit iterasyon yöntemini kullanarak bulunuz. (x radyan alınacak) x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

3 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER Çözüm f(x) = x3- 4.Sin(x) x3= 4.Sin(x) x= (4.Sin(x))1/3 f’(x) = 1/3 (4.sinx)^ -2/3 *4.cosx f’(xo) = 1/3 (4.sin xo)^ -2/3 *4.cos xo f’(xo) = 0,03748< 1 f(x1) = (4.Sin(xo))1/3 = (4.Sin(1,5))1/3 = 1, f(x2) = (4.Sin(x1))1/3 = (4.Sin(1, ))1/3 = 1, x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

4 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER f(x3) = (4.Sin(x2))1/3 = (4.Sin(1, ))1/3 = 1, ε t=(1, , ) / 1, =-0, f(x4) = (4.Sin(x3))1/3 = (4.Sin(1, ))1/3 = 1, ε t=(xk+1 - xk) / xk+1 ε t=(1, , )) / 1, = 0, x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

5 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER Soru 2 f(x)= Sinx + 3cosx -3x fks.nun bir kökünü xo=0 için εk = hassasiyetle Newton-Rapshon yöntemini kullanarak bulunuz. f(x)= Sinx + 3cosx -3x f’(x)= cosx – 3sinx -3 f(xo)= Sinxo + 3cosxo -3xo = 0+3-0=3 f’(xo)= cosxo – 3sinxo -3 = 1-0-3=-2 xk+1=xk- f(xk)/ f’(xk) x1=0- 3/ -2=1,5 f(x1)= Sin(1,5) + 3cos(1,5) -3*1,5 = f’(x1)= cosxo – 3sinxo -3 = 1-0-3=-2 x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

6 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER f(x1)= Sin(1,5) + 3*cos(1,5) -3*1,5 =-3, f’(x1)= cos(1,5) – 3*sin(1,5) -3 = -5, x2=x1- f(x1)/ f’(x1) x2=1,5- (-3, )/-5, =0,944371 f(x2)= Sin(0,944371) + 3*cos(0,944371) -3*0,944371 =- 0, f’(x2)= cos(0,944371) – 3*sin(0,944371) -3 = -4, x3=x2- f(x2)/ f’(x2) x3=0, (- 0, /-4, ) =0, f(x3)= Sin(0, ) + 3*cos(0, ) -3*0, =-0, f’(x3)= cos(0, ) – 3*sin(0, ) -3 =-4, x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

7 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER x4=x3- f(x3)/ f’(x3)=0, (-0, /-4, ) x4=0, =(0, , )/0, ε t =-0, f(x4)= Sin(0, ) + 3*cos(0, ) -3*0, =-0, f’(x3)= cos(0, ) – 3*sin(0, ) -3 =-4, x5=x4- f(x4)/ f’(x4)=0, (-0, /-4, ) x5=0, ε t =(0, , )/0, =0, x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır