OTOKORELASYON.

... konulu sunumlar: "OTOKORELASYON."— Sunum transkripti:

1 OTOKORELASYON

2 Birinci dereceden Otokorelasyon
Otokorelasyon, anakütle hata terimi ut serisi ile ilgili bir konudur. ut hata teriminin birbirini izleyen değerleri arasında ilişki olması demektir. Yt = a + bXt + ut  Cov (ut,us)  0  ut = r ut-1 + et Birinci dereceden Otokorelasyon Birinci Dereceden Otoregressif Süreç; AR(1) ut ut nin t döneminde (yıl, ay, gün gibi) aldığı değer ut-1 ut nin bir önceki dönemde aldığı değeri göstermektedir.

3 ut ile ut-1 arasında otokorelasyon; kovaryansların veya beklenen değerlerin sıfıra eşitliği demektir. E(ut)=E(ut-1)=0 varsayımı veri iken Anket verileri için ise

4 olmaktadır. Otokorelasyon olması durumunda iki değer arasında ilişki vardır ve bu durum aşağıdadır:
Otokorelasyonun en basit durumu AR(1) dir. Burada r otokorelasyon katsayısıdır. AR(1) AR(2)

5 ut = r ut-1 + vt Birinci dereceden otokorelasyonu gösterdiğinde r değeri aşağıdaki gibidir: -1<r<1

6 OTOKORELASYON İLE KARŞILAŞILAN DURUMLAR
Modele Bazı Bağımsız Değişkenlerin Alınmaması Modelin Matematiksel Biçiminin Yanlış Seçilmesi, Bağımlı Değişkenin Ölçme Hatalı Olması, Verilerin İşlenmesi, Örümcek Ağı Olayı, u’nun yanlış tanımlanması.

7 OTOKORELASYONU GÖZARDI ETMENİN SONUÇLARI
X “gerçek” doğru    “tahminlenmiş” doğru      

8 OTOKORELASYONU GÖZARDI ETMENİN SONUÇLARI
Hipotez testleri üzerine etkisi, Tahmin edilen katsayı varyansları gerçek varyans değerinden daha küçük elde edilir ve bu varyans değerleri sapmalı ve tutarsızdır. Dolayısıyla bunlara bağlı olarak, değeri olduğundan büyük tahmin edilebilir, elde edilen t ve F istatistiklerine ve elde edilen güven aralıklarına güvenilemeyecektir.

9 Öngörümleme üzerine etkisi.
Tahminler sapmasız olduğundan, öngörümleme değerleri de sapmasız olacaktır. Ancak daha büyük varyanslı olma nedenleriyle etkinlik özelliğini kaybedeceklerdir.

10 OTOKORELASYONUN BELİRLENME YÖNTEMLERİ
Grafik Yöntem, Durbin-Watson testi, Breusch-Godfrey testi,,

11 GRAFİK YÖNTEM

12 GRAFİK YÖNTEM

13 DURBİN-WATSON TESTİ d=2(1-r) H0: r = 0 H1: r  0 Pozitif Otokorelasyon
Bölgesi. Negatif Otokorelasyon Bölgesi r=0 Kararsızlık Kararsızlık 2 4 dL dU 4-dU 4-dL d=2(1-r)

14 DURBİN-WATSON TESTİ Y=-467.1080+6.394X dw=0.765 Dependent Variable: Y
Sample: Included observations: 16 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Y= X dw=0.765

15 DURBİN-WATSON TESTİ Y 43 53 59 82 92 100 102 97 101 110 116 130 148 162 182 190 X 80 81 82 84 86 88 89 90 92 94 91 95 97 96 99 101 et et-1 - et- et-1 - (et- et-1)2 - 0.156 et2 S

16 H0: Otokorelasyon yoktur. H1 : Otokorelasyon vardır.
TEST AŞAMALARI 1.Aşama H0: Otokorelasyon yoktur. H1 : Otokorelasyon vardır. 2.Aşama n = k’= 1 dL = dU = 1.371 H0 reddedilir. Pozitif otokorelasyon var. 3.Aşama : Pozitif Otokorelasyon Bölgesi. Negatif Otokorelasyon Bölgesi r=0 Kararsızlık Kararsızlık Otokorelasyon yok 0.76 1.106 1.371 2 2.629 2.894 4

17 DURBİN-WATSON TESTİ Model sabit terimsiz ise,
Bağımsız X değişkenleri stokastikse, Otokorelasyonun derecesi 1’den büyük ise, Zaman serisinde ara yıllar noksan ise, Modelde bağımsız değişken olarak gecikmeli bağımlı değişken varsa dw testi uygulanmaz.

18 BREUSCH-GODFREY (B-G) TESTİ(LM)
Y = b1 + b2 X2 + b3 X3+ e LM testi için yardımcı regresyon: et = b1 + b2 X2 + b3 X3+ r1et-1 + r2et rset-s + vt Ry2 = ? B-G Testi Aşamaları: 1.Aşama H0: r1 = r2= ... = rs = 0 H1 : ri0 2.Aşama s.d.= s c2tab=? a = ? 3.Aşama B-G= (n-s).Ry2 = ? B-G > c2tab H0 hipotezi reddedilebilir 4.Aşama

19 BREUSCH-GODFREY (B-G) TESTİ
Dependent Variable: HATA Method: Least Squares Sample (adjusted): 16 Included observations: 15 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.   C X HATA(-1) R-squared     Mean dependent var Adjusted R-squared     S.D. dependent var S.E. of regression     Akaike info criterion Sum squared resid     Schwarz criterion Log likelihood    F-statistic Durbin-Watson stat     Prob(F-statistic) Hata= X+0.989Hatat-1 Yardımcı regresyon denklemi Ry2 = 0.958

20 H0 hipotezi reddedilebilir
TEST AŞAMALARI 1.Aşama H0: r1 = 0 H1 : r1  0 2.Aşama a = 0.05 c2tab=3.84 s.d.= 1 3.Aşama B-G= (16-1)*0.958 = 14.37 4.Aşama B-G > c2tab H0 hipotezi reddedilebilir

21 Otokorelasyonun Önlenmesi
GEKKY, Fonksiyonel Biçimin Değiştirilmesi, Genel Dinamik Yapı Tanımlanması, Birinci dereceden Farkların Alınması, Cochrane-Orcut Yöntemi, 21

22 Otokorelasyonun Önlenmesi
I. r nin bilinmesi halinde otokorelasyonun önlenmesi yöntemi (GEKKY) II. r nin bilinmemesi halinde otokorelasyonun önlenmesi yöntemi (GEKKY) 22

23 I.p nin Bilinmesi Halinde Otokorelasyonun Önlenmesi Yöntemi (GEKKY)
Denklemin GEKK Çözümü 23

24 r nin Bilinmesi Halinde Otokorelasyonun Önlenmesi Yöntemi (GEKKY)
Genelleştirilmiş Fark Denklemi 24

25 Birinci Dereceden Farklar Yöntemi Durbin-Watson d istatistiği Yöntemi
II. r nin Bilinmemesi Halinde Otokorelasyonun Önlenmesi Yöntemi (GEKKY) Birinci Dereceden Farklar Yöntemi Durbin-Watson d istatistiği Yöntemi Theil –Nagar Yöntemi Tekrarlı İki Aşamalı Cochrane – Orcut Yöntemi Tekrarlı Cochrane – Orcut Yöntemi Hildreth – Lu Yöntemi 25

26 1.Birinci Dereceden Farklar Yöntemi
Birinci dereceden faklar yönteminde; genelleştirilmiş fark denkleminde r=1 alınarak yani pozitif otokorelasyon olduğu kabul edilerek şu denklem tahminlenir: Birinci Dereceli Fark Denklemi 26

27 UYGULAMA: 1974-1994 yılları için Satış ve Kar verileri
(Ramanathan Data 9.4) SATIŞLAR KARLAR 1060.6 58.7 1065.2 49.1 1203.2 64.5 1328.1 70.4 1496.4 81.1 1741.8 98.7 1912.8 92.6 2144.7 101.3 2039.4 70.9 2114.3 85.8 2335 107.6 2331.4 87.6 2220.9 83.1 2378.2 115.6 2596.2 154.6 2745.1 136.3 2810.7 111.6 2761.1 67.5 2890.2 23.2 3015.1 83.9 3258.4 176.6 SATIŞ(-1) KAR(-1) - 1060.6 58.7 1065.2 49.1 1203.2 64.5 1328.1 70.4 1496.4 81.1 1741.8 98.7 1912.8 92.6 2144.7 101.3 2039.4 70.9 2114.3 85.8 2335 107.6 2331.4 87.6 2220.9 83.1 2378.2 115.6 2596.2 154.6 2745.1 136.3 2810.7 111.6 2761.1 67.5 2890.2 23.2 3015.1 83.9 KAR - KAR(-1) SATIŞ - SATIŞ(-1) - -9.6 4.6 15.4 138 5.9 124.9 10.7 168.3 17.6 245.4 -6.1 171 8.7 231.9 -30.4 -105.3 14.9 74.9 21.8 220.7 -20 -3.6 -4.5 -110.5 32.5 157.3 39 218 -18.3 148.9 -24.7 65.6 -44.1 -49.6 -44.3 129.1 60.7 92.7 243.3 27

28 Genel Dinamik Yapının Tanımlanması
Data 9-4: Kar= b1 + b2 Satış Dependent Variable: Kar Sample: Included observations: 21 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C Satış R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Kar= Satış 28

29 Otokorelasyon Testi: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID Method: Least Squares Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C Satış RESID(-1) R-squared Mean dependent var 1.45E-1 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 29

30 H0: r1 = r2= ... = rs = 0 H1 : ri0 a = ? s.d.= s c2tab=3.182
1.Aşama H0: r1 = r2= ... = rs = 0 H1 : ri0 2.Aşama a = ? s.d.= s c2tab=3.182 3.Aşama B-G= (n-1).Ry2 = ? B-G > c2tab 4.Aşama Hata= Satış hatat-1 R2= B-G=(21-1)*0.1776=3.552 a=0.10 olsun prob= prob<a H0:red

31 Birinci farklar yöntemi kullanılarak otokorelasyonun önlenmesi
(Kart – Kart-1) = b2 (Satışt – Satışt-1 ) + vt Dependent Variable: (Kart – Kart-1) Method: Least Squares Sample(adjusted): Included observations: 20 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. (Satışt – Satışt-1 ) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat (Kart – Kart-1) = (Satışt – Satışt-1 ) + vt 31

32 Birinci Farklar Yöntemi Kullanılarak Otokorelasyonun Önlenmesi
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID Method: Least Squares Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(SALES) RESID(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) a=0.05 olsun prob=0.121. prob>a H0 kabul 32

33 2.Durbin-Watson d istatistiği Yöntemi
33

34 Uygulama: Data 9-4: Kar= b1 + b2 Satış Dependent Variable: Kar
Sample: Included observations: 21 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C Satış R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 34

35 Dependent Variable: (Kart – rKart-1) Method: Least Squares
Sample(adjusted): Included observations: 20 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C (Satışt – rSatışt-1 ) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 35

36 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID Method: Least Squares Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C SALES RESID(-1) R-squared Mean dependent var 1.56E-14 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) a=0.05 olsun prob=0.1142 prob>a H0:kabul 36

37 n = Toplam Gözlem Sayısı (Örnek Hacmi)
3.Theil – Nagar Yöntemi n = Toplam Gözlem Sayısı (Örnek Hacmi) d = DW İstatistiği Değeri k = Tahmin Edilen Katsayı Sayısı 37

38 Uygulama: n = 21 d = 1.076 k = 2 38

39 4. Tekrarlı İki Aşamalı Cochrane – Orcut Yöntemi
1.Aşama: (1) nolu denklem EKKY ile tahminlenip ut örnek hata terimleri hesaplanır ve p değeri tahminlenir: 2.Aşama: r değeri Genelleştirilmiş fark denkleminde yerine konur. 39

40 Uygulama: ut -3.47 -13.2 -1.45 1.13 7.37 18.5 7.81 10.4 -17.2 -4.34 11.6 -8.3 -9.87 51.7 29.4 2.98 -39.8 -87.5 -30.1 56.1 SATIŞLAR KARLAR 1060.6 58.7 1065.2 49.1 1203.2 64.5 1328.1 70.4 1496.4 81.1 1741.8 98.7 1912.8 92.6 2144.7 101.3 2039.4 70.9 2114.3 85.8 2335 107.6 2331.4 87.6 2220.9 83.1 2378.2 115.6 2596.2 154.6 2745.1 136.3 2810.7 111.6 2761.1 67.5 2890.2 23.2 3015.1 83.9 3258.4 176.6 ut-1 --  -3.47 -13.2 -1.45 1.13 7.37 18.5 7.81 10.4 -17.2 -4.34 11.6 -8.3 -9.87 51.7 29.4 2.98 -39.8 -87.5 -30.1 ∑ ut*ut-1 -- 45.7 19.2 -1.64 8.34 136 144 80.9 -179 74.8 -50.3 -96.3 81.9 -182 954 1520 87.6 -119 3484 2639 -1691 6957 ut2 173.95 18.806 97.342 7661.9 908.88 40

41 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
Prob>a H0:kabul Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID Method: Least Squares Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C (Satışt – pSatışt-1 ) RESID(-1) R-squared Mean dependent var 1.49E-14 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 41

42 Uygulama 2: 18 Mart 1951 – 11 Temmuz 1953 yılları arasında 4 haftalık dönemlerde dondurma talebi için elde edilen model Dependent Variable: DONDURMA TALEBİ Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C FIYAT GELIR SICAKLIK R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 42

43 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
prob<a H0:red Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID Method: Least Squares Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C FIYAT GELIR SICAKLIK RESID(-1) R-squared Mean dependent var 1.44E-1 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 43

44 et et-1 et(et-1) et2 -- -1.3E-05 6.76E-07 -1.7E-05 5.58E-05 7.53E-06 -5E-05 1.35E-05 5.56E-05 5.7E-05 3.72E-05 2.42E-05 -2.8E-05 3.23E-05 4.46E-05 2.37E-05 -3.3E-05 4.6E-05 1.85E-05 7.45E-06 -5.3E-06 3.72E-06 5.32E-06 7.61E-06 ∑ 44

45 Dependent Variable: CO(TALEP) Method: Least Squares
Sample(adjusted): 2 30 Included observations: 29 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C CO(FIYAT) CO(GELIR) CO(SICAKLIK) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 45

46 Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
Prob>a H0:kabul Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID Method: Least Squares Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C COFIYAT COGELIR -5.93E COSICAKLIK -3.70E RESID(-1) R-squared Mean dependent var 2.30E-17 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 46