SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ

... konulu sunumlar: "SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ"— Sunum transkripti:

1 SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ
PROF. DR. NAZMİYE YAHNİOĞLU

2 ÖZET: MODEL PROBLEM: Kesin çözüm

3 VARYASYONEL FORMÜLASYON: GALERKİN YÖNTEMİ
İşlem Adımları: Hata fonksiyonu elde edilir, Çözüm bölgesi üzerinde hata fonksiyonunun, test/deneme fonksiyonu ile çarpımının integrali sıfıra eşitlenir, Kısmi integrasyon yardımıyla aranan fonksiyon ile test fonksiyonu arasında türev mertebesi eşitlenir, Sınır koşulları kısmi integrasyondan gelen terimlere uygulanır.

4 MODEL PROBLEMİN VARYASYONEL FORMÜLASYONU
Test fonksiyonları homojen sınır koşullarını sağlasın, Test fonksiyonları (1.13) integrallerini anlamsız yapmasın Varyasyonel ifade

5 SEY ÇÖZÜMÜ Aranan fonksiyon ve Test/Deneme fonksiyonu aynı
dereceden türevi olan fonksiyonlar kümesinin elemanıdır. Baz takımı i;j =1,2,3,…,N

6 SEY ÇÖZÜMÜ

7 SEY ÇÖZÜMÜ j=1 için j=2 için j=3 için ………………………………………………… j=N için

8 SEY ÇÖZÜMÜ u F K

9 SEY ÇÖZÜMÜ Çözüm bölgesi için eşit uzunluklu 4 sonlu eleman ve 5 noddan oluşan bir sonlu eleman ağı oluşturulsun. koşul

10 SEY ÇÖZÜMÜ

11 SEY ÇÖZÜMÜ

12 SEY ÇÖZÜMÜ Sınır Koşulları olur. (Benzer şekilde bulunur.)

13 SEY ÇÖZÜMÜ İndirgenmiş sistem: (sınır koşullarından bilinen değerlere
ait satır ve sutünlar sistemden çıkarılır.) Çözüm

14 SEY ÇÖZÜMÜ

15 SEY ÇÖZÜMÜ “h” yaklaşımı: Sonlu eleman boyutlarının küçültülmesi.
Kesin çözüm ile sonlu Eleman çözümünün karşılaştırılması: Ancak, Kesin çözüm bilinmediği zaman Sonlu Eleman çözümünün doğruluğu nasıl test edilir ??? ÇÖZÜMÜN HASSASLAŞTIRILMASI: “h” yaklaşımı: Sonlu eleman boyutlarının küçültülmesi. “p” yaklaşımı: Baz fonksiyonlarının derecesinin artırılması.

16 2. BÖLÜM BİR BOYUTLU PROBLEMLER
Klasik ikinci dereceden bir bilinmeyenli adi diferansiyel denklem içeren sınır değer problemleri:

17 BİR BOYUTLU PROBLEMLER
Bu tür problemlerle mühendisliğin ve matematiksel fiziğin pek çok dalında karşılaşılabilir :

18 BİR BOYUTLU PROBLEMLER
Süreksizlikler: Diferansiyel denklemin katsayı fonksiyonları ile sağ taraf fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar. Malzemede süreksizlik ( ) Noktasal Kaynak/Tekil Kuvvet ( ) Kuvvette süreksizlik ( ) Kesit alanında süreksizlik ( ) Süreksizlikler sonlu eleman ayrıklaştırmasında mutlaka noda karşı getirilmelidir !!!!

19 BİR BOYUTLU PROBLEMLER
Sınır Koşulları: Doğal (Neumann) Sınır Koşulları: Varyasyonel işlemde göz önüne alınır K ve F matrislerini etkiler ; Esas (Dirichlet) Sınır Koşulları İndirgenmiş sistemin bulun. göz önüne alın. ; K ve F matrislerini etkiler Karışık Sınır Koşulları ;