Diferansiyel Denklemler

... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler"— Sunum transkripti:

1 Diferansiyel Denklemler
Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm Homojen Eşitlikler:

2 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.5.Homojen Eşitlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen Eşitlikler olarak sınıflandırılmıştır.

3 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.5.Homojen Eşitlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen Eşitlikler olarak sınıflandırılmıştır.Diferansiyel denklemin çözümü için y = vx (1.22) diyelim. Burada y ve v değişkenleri x’in fonksiyonlarıdır.

4 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.5.Homojen Eşitlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen Eşitlikler olarak sınıflandırılmıştır.Diferansiyel denklemin çözümü için y = vx (1.22) diyelim. Burada y ve v değişkenleri x’in fonksiyonlarıdır. Her iki tarafın x’e göre türevi alınırsa, (1.23) elde edilir.

5 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.22) ve (1.23) nolu ifadeler eşitliğinde yerine konursa (1.24) bulunur.

6 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.22) ve (1.23) nolu ifadeler eşitliğinde yerine konursa (1.24) bulunur. (1.24) nolu ifade düzenlenirse (1.25) elde edilir.

7 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
(1.22) ve (1.23) nolu ifadeler eşitliğinde yerine konursa (1.24) bulunur. (1.24) nolu ifade düzenlenirse (1.25) elde edilir. Bunun sonucu olarak değişkenlerine ayrılan eşitliği elde edilir. Her iki tarafın integrali alınır ve ilgili değişkenler yerine konursa verilen homojen diferansiyel denklemin genel çözümü bulunur.

8 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.12. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

9 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.12. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. Önce bu diferansiyel denklem türünü belirlemeye çalışalım.

10 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan bu homojen diferansiyel türüdür.

11 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan bu homojen diferansiyel türüdür. ifadesinin x’e göre türevi alınırsa (v, x’in bir fonksiyonudur) elde edilir.

12 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

13 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

14 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, (1.26) bulunur.

15 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem türüne dönüştürmeye çalışalım. (1.27)

16 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem türüne dönüştürmeye çalışalım. (1.27) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa, (1.28) elde edilir.

17 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifadeyi değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem türüne dönüştürmeye çalışalım. (1.27) eşitliğinin her iki tarafının integrali alınırsa, (1.28) elde edilir. Bu eşitlikte konursa, (1.29) elde edilir. (1.29) nolu eşitlik verilen diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

18 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.13. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

19 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.13. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. (1.30) olduğundan, y = v x diyelim. ifadesi (1.30) nolu eşitlikte yerine konursa,

20 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

21 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

22 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

23 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

24 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
elde edilir. Her iki tarafın integrali alınırsa,

25 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

26 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

27 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

28 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

29 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

30 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
bu son eşitlikte yerine konursa,

31 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

32 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

33 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
elde edilir. Bu ifade verilen diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

34 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.14. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

35 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.14. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

36 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

37 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan verilen diferansiyel denklemde, y = v x konursa,

38 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

39 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

40 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

41 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
elde edilir.

42 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

43 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

44 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

45 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Her iki tarafın integrali alınırsa,

46 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

47 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

48 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
elde edilir. Bu ifade ilgili diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

49 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.15. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

50 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
dolayısıyla

51 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
dolayısıyla y = v x eşitliğinden, bulunur.

52 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifade verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

53 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifade verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

54 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifade verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

55 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu ifade verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

56 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

57 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

58 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

59 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

60 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

61 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

62 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

63 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

64 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

65 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Genel çözümü elde edilir. Genel Çözümde x = 1 için y = 0 şartı konursa,

66 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Genel çözümü elde edilir. Genel Çözümde x = 1 için y = 0 şartı konursa, bulunur.Bunun sonucunda özel çözümü elde edilir.

67 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.16. diferansiyel denkleminin x = 1 için y = -2 şartını kullanarak özel çözümünü elde ediniz.

68 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.16. diferansiyel denkleminin x = 1 için y = -2 şartını kullanarak özel çözümünü elde ediniz.

69 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.16. diferansiyel denkleminin x = 1 için y = -2 şartını kullanarak özel çözümünü elde ediniz.

70 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Örnek 1.16. diferansiyel denkleminin x = 1 için y = -2 şartını kullanarak özel çözümünü elde ediniz.

71 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan, y = v x eşitliği verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

72 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan, y = v x eşitliği verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

73 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan, y = v x eşitliği verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

74 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
olduğundan, y = v x eşitliği verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,

75 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

76 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

77 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

78 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

79 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitliğinden A = 1, B = -1 elde edilir.

80 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitliğinden A = 1, B = -1 elde edilir.

81 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitliğinden A = 1, B = -1 elde edilir.

82 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
eşitliğinden A = 1, B = -1 elde edilir.

83 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

84 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

85 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler

86 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
genel çözümü bulunur. Bu çözümde x = 1 için y = -2 şartı kullanılırsa

87 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
genel çözümü bulunur. Bu çözümde x = 1 için y = -2 şartı kullanılırsa eşitliğinden elde edilir.

88 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu değer genel çözümünde yerine konursa,

89 Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
Bu değer genel çözümünde yerine konursa, özel çözümü elde edilir.