A409 Astronomide Sayısal Çözümleme

... konulu sunumlar: "A409 Astronomide Sayısal Çözümleme"— Sunum transkripti:

1 A409 Astronomide Sayısal Çözümleme
VI. Nümerik Türev

2 Türev

3 İleri Türev Formülleri
Taylor serisi Birinci türevi çekersek ; Taylor serisi İkinci türevi çeker ve 1. türev ifadesinde yerine koyarsak ;

4 İleri Türev Formülleri

5 Geri Türev Formülleri Taylor serisi

6 Merkezi Türev Formülleri
Taylor serileri Taraf tarafa çıkarır birinci türevi çekersek ; Taraf tarafa toplar İkinci türevi çekersek ;

7 Merkezi Türev Formülleri

8 Türev Formülleri Örnek : İleri Türev Formülü GeriTürev Formülü
Merkezi Türev Formülü

9 Richardson Ekstrapolasyonu
Gördüğünüz gibi nümerik türevin hassasiyetini arttırmanın bir yolu daha fazla sayıda nokta almak (Taylor serisinde daha derine gitmek), bir diğeri ise adım saysını (h'yi) küçültmektir. Bir başka yol ise iki türev tahminine dayanarak bir üçüncüsünü hesaplamak üzere Richardson ekstrapolasyonunu kullanmaktır. Burada D(h2) ve D(h1), iki farklı adım büyüklüğü (h1,h2) için ileri, geri ya da merkezi türev formülleri kullanılarak elde edilen türevleri göstermektedir. Aynı tekniği integral hesabı için de kulanmak mümkündür.! Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h1=0.5 ve h2=0.25 adım büyüklükleri için birinci dereceden merkezi türev formüllerini ve Richardson ekstrapolasyon formülünü kullanarak hesaplayınız.

10 Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri
Lagrange İnterpolasyon formülünü el alıp ; Türevini alacak olursak ; Bu şekilde bir xi noktasındaki türevi ondan bir sonraki ve bir önceki noktayı kullanarak elde edebiliriz! Üstelik bu nokta ile diğer noktalar arasındaki uzaklık da aynı olmak zorunda değil!

11 Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri

12 Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h1=0.5 adım büyüklüğü için Lagrange interpolasyonundan yararlanarak hesaplayınız.

13 Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h2=0.25 adım büyüklüğü için Lagrange interpolasyonundan yararlanarak hesaplayınız.

14 Kısmi Türevler

15 Kaynaklar Numerical Methods for Engineers 6th ed., Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, McGraw Hill, 2010 Numerical Methods, Rao V. Dukkipati, New Age International, 2010 Numerical Analysis Using Matlab and Excel 3rd ed., Steven T. Karris, Orchard Publications, 2007