Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

... konulu sunumlar: "Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü"— Sunum transkripti:

1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
DERS DÜZENİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

3 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
DERS HAKKINDA SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. x y a b y=f(x) y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

4 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER LİNEER OLMAYAN BİR DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ Lineer olmayan bir denklem takımının çözümü için izlenecek yöntem: Birkaç veya bütün köklerin bulunması Köklerin gerçek ya da sanal olmasına Kökler için yaklaşık değer bulunup, bulunmadığına bağlı olarak seçilir. Bazı yöntemler tek bir denklemin, bazılarında bir denklem takımının çözümüne daha uygundur a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

5 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

6 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK f(x)= x3-x-1=0 dekleminin bir kökünü bulmaya çalışalım. Bu denklemin xo=1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre önce şartları sağlayıp sağlamadığına bakalım. x=g(x) şeklinde yazılsın a) x=x3-1  g(x)= x3-1 ve gı(x)=3x2 olur. | gı(xo) | > 1 b) f(x)=x(x2-1)-1 =0’ dan  c) x3=x+1 ’ den ol.dan yaklaşım vardır C şıkkı yakınsama şartını yerine getirdiğinden iterasyon bu şekilde başlatılır. Xk+1 = g(xk) demiştik X1=g(xo) olacak g(x)= (x+1)1/3  x1= (bulunan bu değer g fks.nda yerine konuldu) x2= g(x1)  x2= x3= x4= x5= x6= x7= x8= x9= 9 iterasyon sonunda hassasiyetle köke yaklaşılmıştır. İterasyonu sonlandırmak için | xn – xn-1 | < ε şartına bakılır (daha önce εk olarak gösterilmişti). Ε problemi çözen tarafından belirlenen çok küçük bir sayıdır. Köke yaklaşma hassasiyeti ne ölçüde isteniyorsa εk ona göre seçilir. LİNEER OLMAYAN BİR DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ Lineer olmayan bir denklem takımının çözümü için izlenecek yöntem: Birkaç veya bütün köklerin bulunmasına Köklerin gerçek ya da sanal olmasına Kökler için yaklaşık değer bulunup, bulunmadığına bağlı olarak seçilir. Bazı yöntemler tek bir denklemin, bazıları da bir denklem takımının çözümüne daha uygundur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

7 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER Örnek 2x4-3x-2=0 fks.nun köklerini bulunuz Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton-Raphson yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Sekant Yöntemi Grafik yöntemi y x 0.5 1 1.5 -0.5 1.0 -2.0 x1 x2 Xo=1.3 ve x= -0,5 civarında bir kökün olduğu görülmektedir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Öncelikle xo= 1.3 civarındaki kökü arayalım. 1) 2) 3) x1= x2= x3= x4= x5= x6= x7= x8= 8 iterasyon sonucunda hassasiyetle kök bulunmuştur. İterasyona son vermek için | xn- xn-1|< εk şartı aranabilir. ε k problemi çözen tarafından saptanır. Ne kadar küçük olursa iterasyon sayısı o kadar artar. ε k seçiminde köke yaklaşma hassasiyetine göre karar verilir.

8 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER xo=-0.5 yakınlarındaki kök için BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) Bu yöntemde kökün bulunması için bir formül kullanılır. f(x)= 0 şeklinde verilen denklem; x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Denklemin asıl kökü (r) için I gı(r) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. İterasyona, | εt | < εk şartı sağlandığında son verilir. ε t=(xk+1 - xk) / xk+1 1) x1= x2= x3= x4= x5= x6= x7= x8= x9= x10= x11= x12= Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

9 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK f(x)= x3-x-1=0 denkleminin xo=1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre, gerçek kökü εk = hassasiyetle basit iterasyon yöntemiyle bulunuz. Bu denklemin xo=1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre önce şartları sağlayıp sağlamadığına bakalım. ÖDEV f(x) = x3-Sin4x Xo=1.5 civarında bir kökünün olduğu bilindiğine göre gerçek kökü ε k = yaklaşımla bulunuz. (x radyan olarak dikkate alınacak) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Çözüm: Denklemi; x=g(x) şeklinde yazılım. (Yani x=g(x) dönüşümü yapılır) a) x=x3-1  g(x)= x3-1 ve gı(x)=3x2 olur. | gı(xo) | = | 3x2 | = 5.07 > 1 olduğu için yaklaşım çok zordur. Yani kök yoktur.

10 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER Yakınsama ve Iraksama İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyon hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fks. iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. Grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. b) f(x) = x( x2 - 1) -1 =0’ dan | gı(xo) | = 5.46 > 1 olduğu için yaklaşım çok zor. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü c) x3=x+1 ’ den f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) Olduğu için yaklaşım vardır. Yani köke ulaşılır. c) şıkkı yakınsama şartını yerine getirdiğinden iterasyon bu şekilde başlatılır. ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. Xk+1 = g(xk) yaklaşımıyla köke ulaşılmaya çalışılır. X1=g(xo) olacaktır. y y=e-x-x y f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x x a) x b) b

11 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi k=0 için x1= g(xo)= (x+1)1/3 = (1.3+1)1/3  x1= x y y1=x y2 = g(x) Kök xo Iraksak x y Yakınsak y1=x y2 = g(x) Kök xo x1 x2 Mutlak hata Et = x1 –xo = – 1.3 = | εt | < εk şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir. Bağıl hata εt = Et / x1 = / =  % 1,5156 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Yakınsama ve ıraksama şartı y1 = x  y|1 = 1 (Eğim) y2= g(x)  | g|(xo) | < 1 ise yakınsak | g|(xo) | > 1 ise ıraksak Burada y2= g(x) fks.nun eğiminin mutlak değeri y1 = x fks.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır.

12 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır k= 1 için  x2= g(x1) = (x1+1)1/3 = ( )1/3 = Et = x2 –x1 = – = εt = Et / x2 = / = | εt | < εk şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x k= 2 için  x3= g(x2) = (x2+1)1/3 = ( )1/3 = c) x2 = x + 3 ‘ den Et = x3 –x2 = – = y1 = x εt = Et / x3 = | εt | < εk şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

13 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır εt Et k= 3 için x4= k= 4 için x5= k= 5 için x6= k= 6 için x7= k= 7 için x8= k= 8 için x9= Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x 9 iterasyon sonunda hassasiyetle köke yaklaşılmıştır. İterasyonu sonlandırmak için | εt | < εk şartına bakılır (εk daha önce anlatılmıştı). εk problemi çözen kişi tarafından belirlenen çok küçük bir sayıdır. Köke yaklaşma hassasiyeti ne ölçüde isteniyorsa εk ona göre seçilir. c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

14 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK f(x)= 2x4-3x-2=0 fks.nun xo= 1.3 ve xo= -0.5 civarında kökleri olduğu bilindiğine göre εk= hassayetle basit iterasyon yöntemiyle denklemin köklerini bulunuz ÖDEV 1) xe3x = 1 kökünün basit iterasyon ile bulunuz. 2) f(x) = sinx + 3cosx -3x ‘ in kökünü ε= hassasiyetle bulunuz. 3) f(x) = x4 – x -10 = 0 kökünü bulunuz. y x 0.5 1 1.5 -0.5 1.0 -2.0 x1 x2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Çözüm: Denklem; x=g(x) şeklinde yazılım. (Yani x=g(x) dönüşümü yapılır)

15 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER Öncelikle xo= 1.3 civarındaki kökü arayalım. 1. Adım Başla xo, ε 2. Adım Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) 3. Adım E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

16 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER Xk+1 = g(xk) yaklaşımıyla köke ulaşılmaya çalışılır. X1=g(xo) olacak. Başla 8 iterasyon sonucunda hassasiyetle kök bulunmuştur. İterasyona son vermek için | εt |< εk şartı aranır. ε k problemi çözen tarafından saptanır. Ne kadar küçük olursa iterasyon sayısı o kadar artar. ε k seçiminde köke yaklaşma hassasiyetine göre karar verilir. x0= x1= x2= x3= x4= x5= x6= x7= xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

17 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER xo=-0.5 yakınlarındaki kök için 1) Başla x0= x1= x2= x3= x4= x5= x6= x7= x8= x9= x10= x11= xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) 12 iterasyon sonucunda hassasiyetle kök bulunmuştur. E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

18 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV f(x) = x3- 4.Sin(x) denkleminin xo=1.5 civarında bir kökünün olduğu bilindiğine göre kökü ε k = yaklaşımla basit iterasyon yöntemini kullanarak bulunuz. (x radyan alınacak) Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

19 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
Yakınsama ve Iraksama SAYISAL YÖNTEMLER İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyondaki hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fonksiyon iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

20 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo x y a) y=e-x-x x y b) f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

21 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi SAYISAL YÖNTEMLER x y Yakınsak y1=x y2 = g(x) Kök xo x1 x2 x y y1=x y2 = g(x) Kök xo Iraksak Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo Yakınsama ve ıraksama şartı y1 = x  y|1 = 1 (Eğim) y2= g(x)  | g|(xo) | < 1 ise yakınsak | g|(xo) | > 1 ise ıraksak y = f(x) Burada y2= g(x) fks.nun eğiminin mutlak değeri y1 = x fks.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır. E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

22 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ’ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

23 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER x ( x -1 ) – 3 = 0 ’ dan b) y1 = x Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo x2 = x + 3 ’ den c) y = f(x) y1 = x y2 = (x+3)1/2 E |x-y| ≤ εk Y H ol.dan yakınsaktır y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

24 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER Başla Başla xo, εk xo, ε x = xo Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü y = f(x) x = xo y = f(x) E |(y-x)/y| < εk Y H E |x-y| ≤ εk y = x Y H Dur y = x İterasyon yönteminin algoritması Dur İterasyon yönteminin algoritması

25 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

26 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER x0=0; es=1.2; n=0; Nmax=100; xkeski=x0; while (n<Nmax) n=n+1; xkyeni=g(xkeski) if xkyeni~=0 ea=abs((xkyeni-xkeski)/xkyeni)*100 if ea<es disp('Kök='); disp(xkyeni); disp('Tekrar Sayisi='); disp(n); disp('Yüzde bagil Hata=');disp(ea); n=Nmax; end else disp('Sifira bolme hatasi'); xkeski=xkyeni; g.m dosyası function [xkyeni] = g(xkeski) xkyeni=1.0*exp(-xkeski); Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

27 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV f(x)= x·e3x -5 kökünün basit iterasyon ile bulunuz. 2) f(x) = sinx + 2cosx -x ‘ in kökünü ε= hassasiyetle bulunuz. 3) f(x) = x4 – x -8 = 0 kökünü bulunuz. Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması