EKONOMETRİK SİMULASYON MODELLERİ

EKONOMETRİK SİMULASYON MODELLERİ

Giriş… Simülasyon, dışsal değişkenlerin ileride alacakları değerlere göre içsel değişkenlerin zamanla nasıl bir seyir takip edeceklerinin bulunmasıdır. İçsel değişkenin, muntazam bir çizgi üzerinde (istikrarlı) veya inişli çıkışlı değişmelere sahip olduğu (istikrarsız olduğu) ortaya konur.

…. Giriş… Simülasyon, Belirli kararların sonuçlarını ve gidişatlarını tahmin etmede Gözlemlenen sonuçların sebeplerini belirlemede Yatırım yapmadan önce problemi belirlemede Değişikliklerin etkilerini ortaya çıkarmada Sistem değişkenlerinin bulunmasını sağlamada Fikirleri değerlendirmede ve verimsizlikleri belirlemede Yeni fikir geliştirmeyi ve yeni düşünceyi teşvik etmede Planların bütünlüğünü ve fizibilitesini test etmede kullanılır.

… Giriş… Simülasyon, sistemin davranışını anlayabilmek veya değişik stratejileri değerlendirebilmek için deneyler yürütülmesi sürecidir. Son 20 yılda simülasyon modellerinin ekonomideki yaygınlığı gittikçe artmaktadır. Çeşitli amaçlar için farklı modeller uygulanıp strateji ve yöntemler kullanılmaktadır.

…Giriş… Simülasyon modelleri, özellikle, kamu yararını gösteren politikaların tasarımında yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Bir simülasyon modeli eşanlı modeldir; Bazen tek denklemli bir modelin simülasyonu yapılabilir. Bu durumda bağımsız değişkenlere değişmeler verilerek, bağımlı değişkenin zaman içindeki değişmesi elde edilir.

…Giriş… İçsel (veya tek denklemli modellerde bağımlı) değişkende zaman içindeki değişme yani simülasyon, ya cebirsel olarak veya bilgisayarla elde edilmektedir(Katz, 1982; Akkaya ve Pazarlıoğlu, 2000). Ekonometrik simülasyon genel olarak bir eşanlı model üzerinde açıklanabilir(Kılıçbay, 1980).

…Giriş… Basit bir makro-ekonometrik model aşağıdadır:
Yt= Ct + It + Gt (1) Ct= d0 + d1 Yt (2) It= β0 + β1 (Yt-1 - Yt-2) (3) Bu yapısal model değişkenler arasındaki farklara bağlı, fark denklemlerine dayalı bir dinamizme sahiptir. Modelde Y, C, I içsel değişkenler, G dışsal değişkendir.

…Giriş… Denklem (2) ve (3), denklem (1)’de yerine yazılırsa. (4)
elde edilir. Simülasyon sonucu elde edilen sonucun gerçekte var olan durumu yansıttığından emin olmamız gerekmektedir.

…Giriş… Eğer GSMH son 20 yıl içerisinde Şekil 1 A’da olduğu gibi bir davranış gösterirse, simülasyon sonunda elde edilen yeni çözümün B’deki gibi bir davranış göstermesi beklenecektir. Şekilden de görüldüğü gibi C eğrisi, dengesiz bir çözüm göstermektedir(Pindyck ve Rubinfeld, 1991).

Şekil 1: Dengeli ve Dengesiz Çözümler
…Giriş… Şekil 1: Dengeli ve Dengesiz Çözümler

…Giriş… Modeldeki d ve β parametrelerinin hesaplanmasıyla içsel ve dışsal değişkenler arasında dinamik bir bağlantı kurulabilir, yani simülasyon yapılabilir. Bunun için şu dört adım uygulanmalıdır: (i) Yapısal modelin parametreleri d ve β'lar uygun bir yöntemle tahmin edilir. (ii) Model için bir başlangıç yılı belirlenir ve bu yıl için içsel değişkenlerle dışsal değişkenlerin başlangıç yıl değerleri ölçülür.

…Giriş… (iii) Modeldeki dışsal değişkenlerin zaman içinde değişme biçimleri bulunur. Dışsal değişkenlerin zaman serisi verileri istatistiksel kaynaklardan elde edilir. (iv) Verilere göre dinamik model, içsel ve dışsal değişkenler arasında, zaman içindeki ilişkileri gösteren biçimde çözülür. Sonuçta modelin özelliğine, parametrelerin başlangıç değerlerine ve dışsal değişkenlerin zaman akışına göre çözüm yapılmış olur.

…Giriş… Ele alınan yapısal model için son adım şöyle uygulanır: içsel değişkenlerin simülasyon değerlerini bulabilmek için aşağıdaki simülasyon denklemi kurulur: (5) =Simülasyon denklemi (2) ve (3), (1)’de yerine konarak (5) no’lu denklem elde edilmiştir ve ikinci dereceli bir fark denklemidir.

…Giriş… (4) (5) te Yt yalnız bırakılıp t= 2, t= 3, … için değerleri bulunur. Bunlar simülasyon değerleridir. Bu değerler Y' nin istikrarlı veya istikrarsız bir gidişe sahip olduğunu gösterir.

…Giriş Ekonometrik simülasyonu, matematiksel simülasyondan ayıran hususlar şunlardır: Yapısal modelin parametreleri, dışsal değişkenin zaman içindeki değişmesi ve başlangıç değerleri teorik değerler olmayıp, ölçülmüş değerlerdir. Simülasyon modellerinden geleceğin tahmininde de faydalanılmaktadır.

…Simülasyon ModellerininTahminlenmesi…
Tek denklemli modelde: Tek denklemli regresyon modellerinin ele alındığı durumlarda, modelde yer alan parametrelerinin tahminlenmesinde ve bu parametrelerin tek tek veya topluca anlamlığının test edilmesinde de (R2, t ve F gibi ) çeşitli testler kullanılmaktadır. Modelin geçerli bir model olabilmesi için hata varsayımlarının da test edilmesi gerekmektedir. Bu varsayımların test edilmesi için kullanılan çeşitli istatistiksel testler mevcuttur(D-W testi, Breusch-Pagan testi gibi…).

Modelin oluşturulması aşamasında, araştırmacının modelin fonksiyonel biçiminin seçilmesine ve parametrelerin tahminlenmesi sonucunda elde edilen katsayı tahminlerinin beklentiler yönünde olup olmadığına karar vermesi gerekmektedir. Özellikle, modelin yapısının araştırılan konunun amacına uygun ve ihtiyaçları karşılayacak düzeyde olması gerekmektedir.

Modeldeki parametrelerin anlamlı olup olmadığı ile ilgileniliyorsa t-testi ile oluşturulan hipotezlerin sınanması yeterli olabilmektedir. Model öngörümleme amaçlı bir model ise bu durumda t-testlerinin geçerliliği yerine, modelin küçük bir öngörümleme hatasına sahip olması tercih edilecektir Rubinfeld, 1991).

…Simülasyon Modellerinin Tahminlenmesi…
Eşanlı modelde: Eşanlı denklemlerde ise modeli tek tek ele almak yerine bir bütün olarak ele almak dinamik yapıyı ortaya çıkarır. Tek tek denklemler çözüldüğünde, veriye uygun davranış göstermesine ve tahminler istatistiksel açıdan anlamlı olsa da modelin tamamı ile simülasyon yapıldığında simülasyon değerleri ile gerçek değerlerin yakın bir yol izleyip izlemediğine bakılır.

Eşanlı denklemlerde de kurulan model araştırmanın amacına uygun olmalıdır. Eşanlı denklemlerde, denklemler elde bulunan veri ile uygun mudur? Bu sorusuya cevap vermek için eşanlı denklem tahmin yöntemleri kullanılsa bile tek denklemli regresyon modelleri ve yapısı ele alınmaktadır.

Modelde yer alan denklemlerden bazılarının veri ile uygun olduğu görülebilir. Modelin kuruluş aşamasında ayrıntılı olarak model ve parametre ile ilgili istatistiklerin incelemesi gerekmektedir. Elde edilen simülasyon sonuçlarının gerçek verilere yakın bir davranış sergilemesi gerekmektedir.

Her içsel değişkenin daha önceki verilerle nasıl bir davranış gösterdiğini belirlemek için geçmişe dönük simülasyon modeli yapılmakta ve incelenmektedir. Bu noktada bazı nicel ölçümlere sahip olmak elde edilen simülasyon sonuçlarının gerçek veriler ile nasıl bir davranış sergilediğini belirlemede önemli bilgiler vermektedir. Bu ölçümler bir önceki bölümdeki öngörümleme konusunda ele alınmıştı.

Bir denklemin istatistiksel açıdan tüm beklentileri karşılaması iyi bir simülasyon modeli olduğu anlamına gelmemektedir. Örneğin piyasa fiyatlarını açıklayan bir denklem ele alınsın(fiyat burada bağımlı değişkendir). Model büyük bir R2 değerine veya küçük bir standart hataya sahip olsa bile aynı fiyat değişkenlerinin simülasyon hatası çok yüksek çıkabilir. Bu nedenle eşanlı denklemler tahminlenirken simülasyon hata istatistikleri önemlidir.

Düşük bir simülasyon hatası simülasyon modellerinde istenen bir durum olmasına karşılık, diğer önemli bir nokta elde edilen simülasyon sonucuna göre veri içindeki dönüşüm noktalarının gerçek veri ile nasıl bir davranış gösterdiğidir. (Pindyck ve Rubinfeld, 1991):

A eğrisi, X içsel değişkeninin geçmişe dönük veri serisi B ve C eğrileri de iki farklı model sonucunda elde edilen simülasyon sonuçları C eğrisi büyük simülasyon hatalı, dönüşüm noktalarını tahminlemede başarılı olmasıdır. Şekil 2: Simülasyon Hatası Örneği

…Simülasyon Modellerinin Tahminlenmesi
B eğrisinin başarısız olduğu görülmektedir. Veri içerisindeki hızlı dönüşümlerin ve dönüşüm noktalarının benzerinin elde edilebilmesi modelinin tahmini için önemli bir kriterdir. Eğer model öngörümleme için oluşturulsaydı bu durumda öngörümleme bölümünde anlatılan diğer ölçümlerden simülasyon öngörümleme hatası önemli bir kriter olarak kullanılacaktı.

Bir Simülasyon Modeli Örneği: Çarpan Hızlandıran Modeli: Model I… [1]
Eşanlı bir simülasyon modeli aşağıdadır: (hata terimleri alınmamıştır): (6) Model 1 (7) (8) C = tüketim, I = yatırım, Y = gelir veya çıktı G = hükümet harcamaları. [1] Bu örnek, Şahin Akkaya, M. Vedat Pazarlıoğlu, Ekonometri II Bölüm 17’den alınmıştır.

…Bir Simülasyon Modeli Örneği: Çarpan Hızlandıran Modeli: Model I…
Bu yapısal model makro ekonomideki bir çarpan hızlandıran modelidir. C, I, Y =i çsel değişkenler, G = dışsal değişken. Amaç, dışsal değişkende verilen bir değişmenin, içsel değişkenleri verilen bir zaman döneminde (20, 25 yıllık gibi) nasıl değiştirdiğini hesaplamaktır. Bunun için dört adım uygulanır:

…3. Bir Simülasyon Modeli Örneği: Çarpan Hızlandıran Modeli: Model I…
(6)-(8) yapısal modeli parametreleri b'ler uygun bir yöntemle (DEKK, 2AEKK, gibi) zaman serisi verilerine göre (1979–1991 dönemi verileri) çözülür. 2AEKKY ile model aşağıda tahmin edilmiştir: Ct= Yt (9) It= (Yt-1 - Yt-2) (10) Yt= Ct + It + Gt (11)

…Bir Simülasyon Modeli Örneği: Çarpan Hızlandıran Modeli: Model I…
Böylece; b1= 100, b2= 0.75, b3= 50, b4= 0.25 olarak tahmin edilmiştir. Başlangıç yılı ilk yıl (t=1) olsun ve değişkenlerin bu ilk dönemdeki başlangıç değerleri şöyle ölçülmüş olsun: C1= 1150, I1= 50, G1=200 ve Y1= Y0= Y-1=1400 Dışsal değişken G ikinci yıl (t=2) den itibaren 40 birim artsın yani 240 olsun.

Bu durumda başlangıç yılından sonra gelen 24 yılda bu değişme (artış) içsel değişkenleri nasıl değiştirecektir? (Artışın sonra gelen yıllarda sabit olduğu kabul edilecektir). Yukarıdaki sorunun cevabını bulabilmek için simülasyon denkleminin elde edilmesi gerekir: Bunun için (6) ve (7) nin eşiti (8) de yerine koyulursa:

=simülasyon denklemi elde edilir. Buradan Yt yalnız bırakılır: (12)

t=2 için içsel değişkenlerin değerleri (12) de başlangıç değerleri ve parametre tahminleri konarak şöyle bulunur: b1= 100, b2= 0.75, b3= 50, b4= 0.25 C1= 1150, I1= 50, G1=200 ve Y1= Y0= Y-1=1400 C2 ve I2 içsel değişkenleri değerleri ise (9) ve (10) da üstteki Y2 değeri yerine koyularak bulunur:

C2= Y2= (1560)= 1270 I2= (Y1 - Y0)= ( )= 50 Üçüncü yılda t=3 için: Yt-1=Y2=1560 ve Yt-2=Y1=1400 ve G3=240. Sonuçlar(12) de yerine koyulursa: (b katsayıları aynıdır), b1= 100, b2= 0.75, b3= 50, b4= 0.25

C3 = Y3 = (1720) = 1390 I3 = (Y2 - Y1) = (1560 – 1400) = 90 elde edilir. Benzer şekilde t=4 için hesaplar şöyle yapılır: Yt-1= Y4-1= Y3= 1720; Yt-2= Y4-2= Y2= 1560; Gt= G4= 240 olarak: b1= 100, b2= 0.75, b3= 50, b4= 0.25

C4= (1720)= 1390, I4= (1720 – 1560)= 90 Böylece, t=5, t=6, …, t=25' e kadar Y, C ve I içsel değişkenlerin simülasyon değerleri hesaplanabilir. Hesap sonuçları aşağıdaki Tablo 1(sayfa 64) da gösterilmektedir.

…Bir Simülasyon Modeli Örneği: Çarpan Hızlandıran Modeli: Model I
Tablo 1 verileri için çizilen grafik modelin kararsız ve devrî olduğunu göstermektedir. Devirlerin (iniş-çıkışların) her üç içsel değişken içinde düzenli ve geleceği tahmin edilebilirdir. Şekil 3. Çarpan-hızlandıran Modeli I şekli

…Çarpan Hızlandıran Modeli: Model II… [1]
Ct= b1 + b2 Yt (13) It= b3 + b4 (Yt-1 - Yt-2) (14) Yt= Ct + It + Gt (15) Modelin şeklini değiştirmek sonuçları önemli ölçüde değiştirmektedir. Model I' de ilk denklemde Yt yerine Yt-1 değişkenini alarak yeni bir model kurulsun ve MODEL II olarak gösterilsin: [1] Bu konu, Şahin Akkaya, M. Vedat Pazarlıoğlu, Ekonometri II Bölüm 17’den alınmıştır.

…Çarpan Hızlandıran Modeli: Model II…
Simülasyon işlemlerinin dört adımı uygulanır: Model II' nin parametreleri b' lerin yine 2AEKKY ile tahmin edildiği ve aynı değerlerin bulunduğu varsayılsın Başlangıç ilk t=1 yılı için değişkenlerin değerlerinin aynı olduğu kabul edilsin. Dışsal değişken G her dönem için 240 olarak değişsin(200 den 240' a çıksın).

4.Simülasyon denkleminin elde edilişi: (13) ve (14) denklemlerini (15)' te yerine koyularak, Y yalnız bırakılırsa, Y dışsal değişkenlerin fonksiyonu şeklinde ifade edilmiş olur: (16) Bu denklemde başlangıç değerlerini yerine koyarak t=2 için içsel değişkenler C, I ve Y nin değerleri bulunur:

(16) b1= 100, b2= 0.75, b3= 50, b4= 0.25 C1= 1150, I1= 50, G1=240 ve Y1= Y0= Y-1=1400 t=2 için (16) da başlangıç değerleri ve parametre tahminleri konarak şöyle bulunur:

b1= 100, b2= 0.75, b3= 50, b4= 0.25 C1= 1150, I1= 50, G1=240 ve Y1= Y0= Y-1=1400 t=3 için (16) da başlangıç değerleri ve parametre tahminleri konarak şöyle bulunur:

Diğer dönemler (t= 3, t= 4, … t= 25) için de üç değişkenin değerleri bulunduğunda, aşağıdaki Tablo 2 deki sonuçlar elde edilir. Bu sonuçlara göre Model II' nin istikrarlı olduğu anlaşılmaktadır. Her içsel değişken bir denge değerine doğru yaklaşmakta ve belli bir yıldan sonra sürekli aynı değerleri (denge değeri) almaktadır.

Model I' de olduğu gibi yatay eksende t dikey eksende C, I, Y değerlerini alarak Tablo 2 verileri ile çizilen grafikte, gelir Y ve tüketim C' nin devri olmayan bir seyir takip ettikleri ve sürekli olarak artan bir doğru şeklinde denge değerlerine (1560 ve 1270) yaklaştıkları görünmektedir (Şekil 4 te). Yatırım değişkeni I ise denge değerine (50) ulaşmadan önce devri bir hareket göstermektedir.

Uzun dönem denge çarpanı Denge değeri

… Çarpan Hızlandıran Modeli: Model II
Şekil 4: Model II Grafiği

…Dinamik Çarpanlar … Tablo 2 deki ΔY gelir değişmeleri sütunundan; hükümet harcamasındaki 40 birimlik artışın ikinci yılda gelirde bir artışa sebep olduğu; üçüncü yılda 40, dördüncü yılda 30, beşinci yılda 20, altıncı yılda 12.5 birim şeklinde gittikçe azalan artışlar yaptığı, nihayet t=17’inci yıldan, itibaren gelirde bir artış veya azalış olmadığı ΔY=0 olduğu görülmektedir.

…Dinamik Çarpanlar t=17 den itibaren gelirdeki artış sıfır olup denge haline gelinmektedir. Tablonun son sütununda her yıl için dinamik çarpanlar hesaplanmıştır. Bunlar, gelirdeki artış (ΔY) hükümet harcamaları başlangıç değişme(artış) miktarı ΔG=40’a bölünerek hesaplanmıştır. Tüm yılların dinamik çarpanları toplamı 4 olup, bu da uzun dönem denge çarpanını vermektedir.

…Parametrelerdeki Değişmelerin Dinamik Etkileri… [1]
Simülasyon modelinin analizi, modelin parametrelerdeki değişmelerin dinamik etkilerini ölçmeye de yarar. Model II' deki b4 katsayısı hızlandıran katsayısıdır. It= b3 + b4 (Yt-1 - Yt-2) Bu katsayıdaki değişmenin modelin istikrarı üzerindeki etkisi ölçülebilir. Bunun için Model II' de diğer parametreleri sabit tutarak, uzun bir zaman dönemi için simüle etmek gerekmektedir. [1] Bu konu, Şahin Akkaya, M. Vedat Pazarlıoğlu, Ekonometri II Bölüm 17’den alınmıştır.

…Parametrelerdeki Değişmelerin Dinamik Etkileri…
Hızlandıran b4' ün muhtelif değerleri için modelin gelir değişkenindeki değişmeler hesaplanır. Aşağıdaki Tablo 3 de Model II nin 50 yıllık bir dönem için üç simülasyonu sonuçları yer almaktadır. Tablo 3 teki ilk simülasyon (SIM 1) için b4= 0.75; SIM 2 için b4=1.25 ve SIM 3 için b4=3.5 kabul edilmiştir.

İlk simülasyon Y(SIM 1) için b4= 0.75; b1= 100, b2= 0.75, b3= 50, b4= 0.75 t=2 t=3 t=4

Tablodan SIM 1' in devrî (inişli-çıkışlı) olmakla beraber istikrarlı olduğu (yani gelirin 15’inci yıldan sonra 1560 denge değerine yaklaştığı) görülüyor. SIM 2 devrî ve istikrarsız; SIM 3 istikrarsız ve düzgün (devrî olmadığı) görülüyor. Her üç simülasyonda da Model II marjinal tüketim eğilimi b2= 0.75 şeklinde sabit tutulmuştur.

…Parametrelerdeki Değişmelerin Dinamik Etkileri
Tablo 3. Hızlandıran katsayısının üç farklı değeri için Model II simülasyonları

…Simulasyon Modeli İle Kestirim(Geleceğin Tahmini)…
Simulasyon modelleri geleceğin tahmininde de kullanılmaktadır. Bu konuyu çarpan-hızlandıran MODELİ II üzerinde açıklansın. Ct= b1 + b2 Yt (13) It= b3 + b4 (Yt-1 - Yt-2) (14) Yt= Ct + It + Gt (15) 1979–1991 dönemi Ct, It, Yt ve Gt verileri: [1] Bu konu, Şahin Akkaya, M. Vedat Pazarlıoğlu, Ekonometri II Bölüm 17’den alınmıştır.

…Simulasyon Modeli İle Kestirim (Geleceğin Tahmini)…

Bu gerçek gözlenen verilerle (13) (14) ve (15) denklemlerinden oluşan yapısal MODEL II nin Basit EKKY tahminleri şöyle bulunmuştur:

Bu modelde Yt-1 ve (Yt-1 - Yt-2) nin Tablo 4 teki değerleri yerine konarak döneminde içsel değişkenler C ve I nın simulasyon (tahmini) değerleri hesaplanabilir

(17) den benzer şekilde I' nın simulasyon değerleri Is' ler hesaplanabilir: Y' nin simülasyon değerleri ise (18) da Cs, Is ve G leri yerine koyularak bulunabilir.

Bu simülasyon değerlerinin kalitesini üç şekilde ölçmek mümkündür: i) Yılları yatay eksende ve her değişkenin gerçek ve simülasyon değerlerini dikey eksende alarak elde edilecek grafiklerden,

ii) Ortalama Hata Karesi Karekökü (OHKK) formülünden. iii) OHKK Yüzdesi formülünden:

formülde: n=gözlem sayısı, =Ys=Tahmini veya simülasyon değerleri, Y=gerçek değerler. Yukarıdaki verilerle Y, C ve I nın OHKKY değerleri şöyle hesaplanmıştır: OHKKY (Y) =5.31, OHKKY (C) =5.22, OHKKY (I) =16.61

…Simulasyon Modeli İle Kestirim (Geleceğin Tahmini)
Y ve C' nin OHKKY leri düşük, I’ nınki yüksektir. Model II' nin, Y ve C içsel değişkenleri için uygun, I için uygun olmadığını gösterir (Y ve C için gerçek ve simülasyon değerleri birbirine yakın olduğu halde I için birbirinden uzaktır). Bu farklılık hızlandıran katsayısının, değişkenlere yaptığı farklı etkiden ileri gelmektedir. Yatırım değişkenindeki yıllara göre farklılıklar bu değişkenin gerçeğe yakın tahminini güçleştirmektedir.

…İçsel Değişkenlerin Kestirimi…
Değişkenlerin ileride alabileceği değerleri de kestirmek(öngörümlemek) mümkündür. Örneğin 1997 ye kadar içsel değişkenlerin alabileceği değerler tahmin edilmek istensin.

Dışsal değişkenlerin kestirim dönemindeki değerlerinin tahmin edilir. 1992 den 1997 ye kadar bu modeldeki dışsal değişken G' nin değerlerinin ne olacaktır? Varsayım: G’nin, gelecek yıllarda da geçmiş dönemindeki hızı ile artacağı varsayılsın. Geçmiş dönemde G' nin %9 yıllık bir hızla arttığı bilinmektedir:

1992 yılı G değeri; G1992=G (G1991x0.09) = (435.6x0.09) = 475 1993 yılı G değeri; G1993 = G (G1992x0.09)=475 + (475x0.09)=518 G değerleri aşağıdaki Tablo 5’dedir.

Örneğin 1992 yılı için: Yt-1= Y1991= , Yt-2= Y1990= dir. 1993 den itibaren bu değerler yukarıdaki gibi elde edilir. Modelde G değerleri ile beraber yerine konarak model çözülür (Buna yapısal modelden hareketle kestirim= ileriye ait tahmin diyoruz).

Tablo 5 te her ileriye ait yılın içsel değişken değerleri şöyle bulunur:

…İçsel Değişkenlerin Kestirimi
1992' ye ait tahmini değer aşağıdaki şekilde elde edilir (G' nin %9 büyüme hızı varsayımı): C1992= (2127.6)= 1521 I1992= ( )= 379 Y1992= C I G1992= = 2375 G' nin büyüme oranını %13 kabul ederek 1992 yılı tahminleri Tablo 5’dedir.

EKONOMETRİK SİMULASYON MODELLERİ

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "EKONOMETRİK SİMULASYON MODELLERİ"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

EKONOMETRİK SİMULASYON MODELLERİ

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "EKONOMETRİK SİMULASYON MODELLERİ"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim