Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

... konulu sunumlar: "Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol"— Sunum transkripti:

1 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
DERS 7 TÜREV Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

2 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Değişim Oranı: fonksiyonunun değişimini ile, x in değişimini İle gösterelim. Değişim oranı olur. Diğer taraftan olduğundan, Değişim oranı olur. Örnek: alalım. olur. Yani y deki değişim x teki değişimin iki katıdır. Değişim oranı 2 dir.Bu durumu grafik üzerinde görelim. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

3 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

4 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

5 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
x y değişim oranı AB doğrusunun eğimi olur. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

6 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
veya yazılarak x y değişim oranı AB doğrusunun eğimi olur. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

7 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
oranı y = f(x) fonksiyonunun x a dan a+h a kadar olan değişiminin ortalamasını (otalama değişimi) verir. h daha küçük seçilerek sıfıra yaklaştırıldığında B noktası A ya yaklaşır. için limit durumunda B noktası A ile çakışır ve AB doğrusu A noktasında y = f(x) eğrisine teğet konumuna gelir. durumunda oranı anlık değişim oranını verir. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

8 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
y = f(x) Fonksiyonunun x = a Noktasındaki Türevi: fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi denir ve anlık değişim oranına y = f(x) ile gösterilir. limiti varsa bu limite f(x) fonksiyonunun soldan türevi denir. limiti varsa bu limite f(x) fonksiyonunun sağdan türevi denir. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

9 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
y = f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki teğetinin eğimidir. x y Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denkleminden A(a,f(a)) noktasındaki teğet ve normalin denklemleri ┐ Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

10 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: fonksiyonunun x = 3 noktasındaki türevini bulunuz. Çözüm: fonksiyonu veriliyor. Çözüm: Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

11 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Herhangi Bir x Noktasındaki Türev: x = a noktasındaki türev ifadesinde a yerine x yazılırsa herhangi bir x noktasındaki türev bulunur. Örnek: Çözüm: Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

12 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

13 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Çözüm: Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

14 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
TÜREV TEOREMLERİ: Zincir kuralı Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

15 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
veriliyor. Örnek: a) Türevini bulunuz. b) x = 1 noktasındaki teğet ve normal denklemlerini yazınız. Çözüm: Teğetin denklemi Normalin denklemi Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

16 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Çözüm: Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

17 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi: Örnek: Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

18 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Tam Değer Fonksiyonunun Türevi: ise fonksiyon bu noktalarda süreksiz olduğundan sağ ve sol limitlere bakılır. Örnek: türev yoktur. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

19 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

20 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Ters Fonksiyonun Türevi fonksiyonu birebir örten ve olsun. olsun. Bu durumda, Gerçekten, eşitliğinde her iki tarafın x’e göre türevini alırsak Örnek: Çözüm: 1. yol: 2. yol: Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

21 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: Çözüm: 1. yol: 2. yol: Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

22 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
fonksiyonunun türevi: Örnek: Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

23 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
fonksiyonunun türevi: Örnek: Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

24 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
1. Aşağıda denklemleri verilen eğrilere karşılarında apsisleri yazılı noktalardan çizilen teğet ve normallerin denklemlerini 2. Aşağıda verilen fonksiyonların türevlerini hesaplayınız. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

25

26 Örnek:

27 Örnek:

28

29 Örnek:

30 Örnek:

31 Diferansiyel Kavramı:
x y dy’ ye y = f(x) fonksiyonunun diferansiyeli dx’e de x’in diferansiyeli denir.

32 Hata hesaplarında alınabilir.
Örnek: fonksiyonu veriliyor. için değerlerini hesaplayınız. Çözüm:

33 Örnek: Bir ülkede otomobil sektöründeki ithalat miktarı y, ithalatta alınan vergi oranı x olsun. İthalat miktarı ile vergi oranı arasında bağıntısı olduğuna göre vergi oranı e çıktığında ithalattaki değişim miktarını hesaplayınız Çözüm:

34 Logaritmik Türev: F ve g türevlenebilen fonksiyonlar; f(x)>0 ve f(x)≠1 olmak üzere fonksiyonu verilsin.

35 Örnek:

36

37 Limitlerde Üslü Belirsizlikleri:
Bir f(x) fonksiyonunun limiti alınırken bu durumlardan biri ile karşılaşıldığında f(x) in logaritması alındıktan sonra limit alınır. Daha sonra da eşitliğinden yaralanılarak bulunur.

38 Örnek: Çözüm:

39 Çözüm: buradan

40 Çözüm: buradan

41 Limitlerde ve belirsizlikleri için L. Hospital Kuralı:
F(x) ve g(x) fonksiyonları a reel sayısının bir epsilon komşuluğunda türevlenebilen fonksiyonlar ve olsun.

42 Örnek: Çözüm: Çözüm:

43 Çözüm: Çözüm:

44 Ödev:

45 10. Aşağıdaki fonksiyonların, artan ve azalan oldukları aralıklar ile ekstremum değerlerini ve dönüm noktalarını bularak grafiklerini çiziniz.

46 ÖDEV: 1. Aşağıdaki fonksiyonların f '(x) türevlerini hesaplayınız.
2. Aşağıdaki kapalı fonksiyonların türevlerini hesaplayınız.

47 3. Aşağıdaki fonksiyonların diferansiyellerini hesaplayınız.
4. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.

48 1. Aşağıda denklemleri verilen eğrilere karşılarında apsisleri yazılı noktalardan çizilen teğet ve normallerin denklemlerini Parabolünün, eğimi m =2 olan teğetinin denklemini yazınız.

49 3. Aşağıda verilen fonksiyonların türevlerini hesaplayınız.

50 4. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini hesaplayınız

51 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
5. Aşağıda denklemleri verilen eğrilere karşılarında apsisleri yazılı noktalardan çizilen teğet ve normallerin denklemlerini Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

52 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
fonksiyonu veriliyor. f(x) fonksiyonu x=3 noktasında süreklimidir? Nedenini açıklayınız. x = 2 ve x = 3 noktalarında türevlenebilir midir? Açıklayınız. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

53 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Ödev: fonksiyonu veriliyor. a) Bu fonksiyonun birebir olduğunu gösteriniz. b) Tersini bulunuz ve verilen fonksiyon ile tersinin grafiğini aynı koordinat sisteminde çiziniz. fonksiyonunun hangi aralıklarda tersi tanımlıdır. Bu aralıklarda fonksiyonun ve tersinin grafiğini çiziniz. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

54 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
fonksiyonunun tersini bulunuz ve grafiğini çiziniz. fonksiyonu veriliyor. a) Grafiğini çiziniz. b) Hangi aralıkta tersi tanımlıdır? Bu aralıkta tersinin grafiğini çiziniz. fonksiyonunun birebir olduğunu gösteriniz, tersini bulunuz, fonksiyonun ve tersinin grafiğini çiziniz. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

55 Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
fonksiyonu veriliyor. a) Birebir midir?Gösteriniz. b) c) fonksiyonu veriliyor. tanımlı mıdır? Tanımlı ise değerlerini bulunuz. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol