KÜMELER KAZANIMLAR 1-Bir kümeyi modelleri ile belirler, farklı temsil biçimleri ile gösterir. 2-Boş küme ve evrensel kümeyi modelleriyle açıklar.

... konulu sunumlar: "KÜMELER KAZANIMLAR 1-Bir kümeyi modelleri ile belirler, farklı temsil biçimleri ile gösterir. 2-Boş küme ve evrensel kümeyi modelleriyle açıklar."— Sunum transkripti:

1 KÜMELER KAZANIMLAR 1-Bir kümeyi modelleri ile belirler, farklı temsil biçimleri ile gösterir Boş küme ve evrensel kümeyi modelleriyle açıklar Bir kümenin alt kümelerini belirler Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini modelleriyle açıklar, şema ve sembol kullanarak gösterir, problemleri çözmede kullanır.

2 İÇİNDEKİLER Kümelerin Gösterimi 1. Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı 2. Kümelerin Gösterilişi a-) Şema Yöntemi (Venn Şeması) b-) Liste Yöntemi c-) Ortak Özellik Yöntemi Kümelerde İşlemler 1. Kümelerde Birleşme İşlemi 2. Kümelerde Kesişme İşlemi 3. Kümelerde Fark İşlemi 4. Kümelerde Tümleme İşlemi

3 Küme: İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir
Küme: İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Buradaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan varlıklar demektir. Kümeler genellikle büyük harflerle isimlendirilir ve gösterilirler.Ör: A kümesi Küme Belirtmez Çalışkan öğrenciler Uzun boylu insanlar Bazı hayvanlar Birkaç gün Küme Belirtir Boyu 1.50m’den uzun olan öğrenciler Uçan hayvanlar P harfi ile başlayan günler

4 Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı Kümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman denir. Eleman € sembolü ile gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir. Ör: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun. Pazartesi € A , Pazartesi A kümesinin elemanıdır. Salı A kümesinin elemanı değildir.Öyleyse; s(A)=3 , A kümesinin eleman sayısı 3'tür.

5 Kümelerin Gösterilişi Kümeler Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir. Not: Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme { A, T, Ü, R, K } olur a-) Şema Yöntemi (Venn Şeması) Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir. Yanda A = { a, b, c } kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir. Şema ile gösterilirken her elemanın başına nokta konulur ve kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır. A .a .b .c

6 b-) Liste Yöntemi Kümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Örnek: A = { 1, 2, 3 } - A kümesinin eleman sayısı 3'tür. B = { 123 } - B kümesinin eleman sayısı 1'dir. Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123'tür c-) Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

7 A = {x : (x in özeliği)} Burada “x :” ifadesi “öyle x’lerden oluşur ki” diye okunur. Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir. Örnek: A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir. K = { 0, 1, 2, 3 } ise bu küme K = { x | x Î N ve x < 4 } olarak gösterilebilir. P = { a, b, c } ise bu küme P = { Alfabemizin ilk 3 harfi } olarak gösterilebilir.

8 BOŞ KÜME Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir
BOŞ KÜME Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme{ } ya da Ø sembolü ile gösterilir. NOT: {Ø} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir. Örnek: 5 ile 6 arasında bulunan doğal sayılar kümesini yazabilir misiniz ? 5 ile 6 arasında doğal sayı olmadığı için, böyle bir kümenin elemanı yoktur. Bu yüzden bu küme "boş küme"dir.

9 EVRENSEL KÜME Belirli bir alandaki tüm elemanları içeren kümeye Evrensel Küme denir. Genellikle E harfi ile gösterilir. A={ 1, 7, 9 } ve B={ 11, 13 } olsun. Bu kümelerin evrensel kümesi Tek Sayılar veya Sayılar olabilir A={1,3,6} B={-3,-9,-11} olsun A ve B kümelerinin elemanları, tam sayılar kümesinden seçildiğine göre, burada evrensel küme, tam sayılar kümesidir. E = Z A B

10 EŞİT KÜMELER Elemanları ve eleman sayıları aynı olan kümelere eşit kümeler denir. A = { 5’ten küçük doğal sayılar } B = { 0, 1, 2, 3, 4} A ve B kümeleri eflit kümelerdir. A = B şeklinde gösterilir C ve D kümeleri eşittir. C D

11 DENK KÜMELER Eleman sayıları aynı olan kümelere denk kümeler denir
DENK KÜMELER Eleman sayıları aynı olan kümelere denk kümeler denir s(E)=? s(F)=? E ve F kümelerinin eleman sayıları eşit olduğuna göre E ve F kümeleri denk kümelerdir. E=F şeklinde ifade edilir. E F .a b .c .d e

12 ALT KÜMELER Herhangi bir B kümesinin bütün elemanları bir A kümesinin de elemanı ise “B kümesi A kümesinin alt kümesidir.” ya da “A kümesi B kümesini kapsar.” denir. NOT: Boş küme, her kümenin alt kümesidir Her küme, kendisinin alt kümesidir. KÜMELERDE İŞLEMLER 1.Kümelerde Birleşme İşlemi A ve B gibi iki kümenin elemanlarından oluşan kümeye birleşim kümesi denir. AUB şeklinde gösterilir. Örnek: A={a,b,c,d,e} B={1,2,3} kümeleri verilsin.Bu kümelerin birleşimi AUB={a,1,b,2,c,d,3,e} şeklindedir.

13 Birleşim İşleminin Özellikleri 1. AUA=A‘dır. 2
Birleşim İşleminin Özellikleri 1. AUA=A‘dır. 2.Birleşim işleminin değişme özelliği vardır. AUB=BUA’dır. 3.Birleşim işleminin birleşme özelliği vardır. AU(BUC)=(AUB)UC’dir. 4.AUØ=ØUA’dır. 5.E, evrensel küme olmak üzere, AUE=EUA=E’dir. Kümelerde Kesişme İşlemi A ve B gibi iki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir.A∩B şeklinde gösterilir. Örnek: A={m,n,p,r} B={n,r,z,t} olsun. Bu kümelerin kesişimi A∩B={n,r} olur.

14 Kesişim İşleminin Özellikleri 1. A∩A=A’dır. 2
Kesişim İşleminin Özellikleri 1.A∩A=A’dır. 2.Kesişim işleminin değişme özelliği vardır. A∩B=B∩A’dır. 3.Kesişim işleminin birleşme özelliği vardır. A∩(B∩C)=(A∩B)=C’dir. 4.A∩Ø=Ø∩A=Ø 5.E, evrensel küme olmak üzere, A∩E=E∩A=A’dır. 6.A ve B ayrık kümeler ise A∩B=Ø’dir. Kümelerde Fark İşlemi A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

15 Örnek: A={1,5,7,9} B={5,7,a,b,k} şeklinde veriliyor
Örnek: A={1,5,7,9} B={5,7,a,b,k} şeklinde veriliyor. A \ B={1,9} ve B \ A={a,b,k} olur. Kümelerde Tümleme İşlemi Bir E evrensel kümesi ile alt kümesi olan bir A kümesi verilsin. Evrensel kümenin olan ancak A kümesinin elemanı olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye, A kümesinin tümleyeni denir A kümesinin tümleyeni A' ile gösterilir Taralı bölge, A′ dür. E A A´

16 Tümleme İşleminin Özellikleri 1
Tümleme İşleminin Özellikleri 1.E evrensel küme olmak üzere; Ø'=E, E'=Ø’dir. 2.AUA'=A‘UA=E’dir. 3.A∩A'=A'∩A=Ø’dir. 4.s(A)+s(A')=s(E)’dir. 5.A ile A' ayrık kümelerdir.

17 KAYNAKÇA http://matematikpark
KAYNAKÇA Furkan TAMER İ.ö.Matematik Öğretmenliği 2-B (Gece)