Karakter Çizelgesi Character Tables.

... konulu sunumlar: "Karakter Çizelgesi Character Tables."— Sunum transkripti:

1 Karakter Çizelgesi Character Tables

2 Character Tables Each point group has a complete set of possible symmetry operations that are conveniently listed as a matrix known as a Character Table. Point Group Label Symmetry Operations – The Order is the total number of operations In C2v the order is 4: 1 E, 1 C2, 1 v and 1 ’v C2V E C2 v (xz) ’v (yz) A1 1 A2 -1 B1 B2 Character Symmetry Representation Labels 4 characters: İrreducible represention of B2

3 1 2 3 - C s Karakter Çizelgesi A1 A2 E C E C C s s ' s ' ' G 1 1 1 1 1
Simetri işlemleri C E C C 2 s s ' s ' ' 3 v 3 3 v v v G 1 1 1 1 1 1 1 G İndirgenemez gösterimler (İG) Irreducible representations (IR) 1 1 1 - 1 - 1 - 1 2 G 2 - 1 - 1 3 3 sınıf mevcuttur Grup derecesi h = 6 (h = ) A1 A2 E 1 2 3 - v C s Eşdeğer elemanlar ve eşdeğer atomlar sınıf oluşturur. Mulliken Sembolleri

4 Mulliken Sembolleri Alt indis Alt indis Üst indis
A baş dönme eksenine göre simetrik (+) B baş dönme eksenine göre antisimetrik (−) A veya B tek boyutlu İG E iki boyutlu İG T ( veya F) üç boyutlu İG Alt indis 1 C2 ( Cn) eksenine, yoksa v işlemine göre simetrik ( = +1) 2 C2 ( Cn) eksenine, yoksa v işlemine göre antisimetrik ( = -1) Alt indis g (gerade) evirme işlemine göre simetrik ( = +1) u (ungerade) evirme işlemine göre antisimetrik ( = −1) Üst indis ' (tek üs) h düzlemine göre simetrik (+) '' (çift üs) “ antisimetrik (−)

5 Mulliken labels

6 Karakter Çizelgeleri ve Mulliken Sembolleri-1
C1 group. Consists of a single operation E; thus its order h=1 and number of classes is 1. There is a single irreducible representation. Cs group. Consists of two operations, E and sh; thus its order h is 2 and the number of classes is 2. There are two irreducible representations. Ci group. Consists of two operations, E and i. Both its order h and number of classes is 2. Similarly to Cs, the group includes two irreducible one-dimensional representations. C1 E 1 Cs E sh 1 x,y, Rz -1 z,Rx,Ry Ci E i 1 Rx -1 x,y,z

7 Karakter Çizelgeleri ve Mulliken Sembolleri-2
ÖRNEK: C2v ve C3v nokta gruplarının karakter çizelgelerindeki Mulliken sembollerini belirleyiniz. C2v E C2 sxz syz A Tz A Rz B Tx or Ry B Ty or Rx C3v E 2C3 3sv A Tz A Rz E (Tx, Ty) or (Rx, Ry)

8 Karakter Çizelgeleri ve Mulliken Sembolleri-3
C4v nokta grubunun tam karakter çizelgesi ) , ( ), 2 1 4 yz xz R y x E xy B A z C d v - + s İkili fonksiyonlar ( d orbitalleri) Tekli fonksiyonlar (p orbitalleri) These are basis functions for the irreducible representations. They have the same symmetry properties as the atomic orbitals with the same names.

9 Atom Orbitallerinin Simetrileri-1
When bonds are formed, atomic orbitals combine according to their symmetry. Symmetry properties and degeneracy of orbitals can be learned from corresponding character tables by their inspection. Hold in mind the following transformational properties: Atomic orbital Transforms as s x2+y2+z2 px x py y pz z dz2 z2, 2z2-x2-y2 dx2-y2 x2-y2 dxy xy dxz xz dyz yz Totaly symmetric

10 Atom Orbitallerinin Simetrileri-2
C2v A1 z x2, y2, z2 A2 Rz xy B1 x, Ry xz B2 y, Rx yz Atomic orbital Mulliken labels C2v D3h D4h Td Oh s px py pz dz2 dx2-y2 dxy dxz dyz D3h A1’ x2+y2, z2 A2’ Rz E’ (x,y) (x2-y2, xy) A1” A2” z E” (Rx,Ry) (xz, yz) D4h A1g x2+y2, z2 B1g x2-y2 B2g xy Eg (Rx,Ry) (xz, yz) A2u z Eu (x, y) Td A1 x2+y2+z2 A2 E (2z2-x2-y2, x2-y2) T1 (Rx,Ry,Rz) T2 (x,y,z) (xz, yz, xy) Oh A1g x2+y2+z2 Eg (2z2-x2-y2, x2-y2) T1g (Rx,Ry,Rz) T2g (xz, yz, xy) T1u (x,y,z) …

11 C2v +1 -1 Ty, Rx Atom Orbitallerinin İndirgenemez Gösterimleri-1
ÖRNEK: SO2 molekülünde py orbitalinin indirgenemez gösterimini oluşturunuz. S O O C2v E C2 s(xz) s(yz) +1 -1 Ty, Rx py has the same symmetry properties as Ty and Rx vectors

12 Atom Orbitallerinin İndirgenemez Gösterimleri-2
ÖRNEK: D4h nokta grubunda px ve py orbitallerinin İG oluşturunuz. y the px and py orbitals in a system with a C4 axes. C4 px px’  py py py’  px x A 2x2 transformation matrix In matrix form:

13 Atom Orbitallerinin İndirgenemez Gösterimleri-3
ÖRNEK: D4h nokta grubunda dx2-y2 orbitalinin indirgenemez gösterimini oluşturunuz. sh Au Au C4 [AuCl4]- sh.[d x2-y2] = (+1) .[d x2-y2] Au C4.[d x2-y2] = (-1) .[d x2-y2] D4h E 2C4 C2 2C2’ 2C2” i 2S4 sh 2sv 2sd +1 -1

14 Vektörlerin İndirgenemez Gösterimleri-1
ÖRNEK: Ty vektörünün indirgenemez gösterimini oluşturunuz. Ty unit vector on each atom represents translation in the y direction z z C2 S y - y S O O O O E .(Ty) = (+1) Ty C2.(Ty) = (-1) Ty syz .(Ty) = (+1) Ty sxz .(Ty) = (-1) Ty

15 Vektörlerin İndirgenemez Gösterimleri-2
ÖRNEK: 1-SO2 molekülünde Rz dönme vektörünün İG oluşturunuz. 2- Simetrisini belirleyiniz. x E(Rz) = (+1)(Ty) C2(Rz)= (+1)(Ty) sxz(Rz) = (-1)(Ty) syz(Rz) = (-1)(Ty) y A2 simetrisi

16 Vektörlerin İndirgenemez Gösterimleri-3
ÖRNEK: Rz dönme vektörünün indirgenemez gösterimini oluşturunuz. A2 transforms like a rotation around z. sv -Rz E +Rz C2 +Rz sd -Rz C4 +Rz

17 İndirgenebilir Gösterimler Reducible representations
Bir grubun Gr indirgenebilir gösterimi, Gi indirgenemez gösterimlerin toplamından meydana gelmiştir. ni sayısı, i indirgenemez gösteriminin, indirgenebilir gösterimde kaç tane bulunduğunu gösterir. n C2v E C2 sxz syz A1 1 z A2 -1 Rz B1 x, Ry B2 Gr 9 3 y, Rx İndirgenebilir Gösterim

18 İndirgeme Formülü ni = indirgenemez gösterim sayısı
h = nokta grubunun simetri işlemi sayısı (grup derecesi) c(R) = indirgenebilir temsildeki R işleminin karakteri ci(R) = i indirgenemez temsildeki R işleminin karakteri Best to get used to this by practice!

19 İndirgeme İşlemi-1 Gr = 2A1+E
ÖRNEK: Aşağıdaki r indirgenebilir temsili, indirgenemez gösterimlerine indirgeyiniz. Gr = 2A1+E

20 C2V E C2 v (xz) ’v (yz)  4 2 İndirgeme İşlemi-2
2 C2V E C2 v (xz) ’v (yz) A1 1 z x2,y2,z2 A2 -1 Rz xy B1 x, Ry xz B2 y, Rx yz red = 2A1 + B1 + B2

21 aA1 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x1) + (1x1x1) + (1x3x1)] = (12/4) =3
İndirgeme İşlemi-3 s(xz) s(yz) C2v E C2 G3N +9 -1 +1 3 aA1 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x1) + (1x1x1) + (1x3x1)] = (12/4) =3 aA2 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x1) + (1x1x-1) + (1x3x-1)] = (4/4) =1 aB1 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x-1) + (1x1x1) + (1x3x-1)] = (8/4) =2 aB2 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x-1) + (1x1x-1) + (1x3x1)] = (12/4) =3 G3N = 3A1 + A2 + 2B1 + 3B2

22 İndirgeme İşlemi-4 E 2C3 3sv C3v 15 3 G3N n(A1) = 1/6[(1x 15x1) + (2 x 0 x 1) + (3 x 3x 1)] = 1/6 [ ] = 4 n(A2) = 1/6[(1 x 15 x 1) + ( 2 x 0 x 1) + (3 x 3x –1)] = 1/6 [ ] = 1 n(E) = 1/6[ (1 x 15 x 2) + (2 x 0 x –1) + (3 x 3 x 0)] = 1/6[ ] = 5 G = 4A1 + A2 + 5E

23 IR Seçim Kuralı IR seçim kuralına göre, bir titreşim esnasında dipol değişimi oluyorsa elektromanyetik dalga ile etkileşebilir. Titreşim modu, o nokta grubuna ait öteleme vektörlerinden (Tx, Ty, Tz) en az biri ile aynı simetride ise, bu IR geçişi simetri izinlidir. Nokta Grubu IR aktif titreşim modları A1, B1, B2 E', A2 ' ' A2u, Eu T2 T1u C2v D3h D4h Td Oh