MATRİSLER ve DETERMİNANTLAR

... konulu sunumlar: "MATRİSLER ve DETERMİNANTLAR"— Sunum transkripti:

1 MATRİSLER ve DETERMİNANTLAR
devam etmek için tıklayınız

2 devam etmek için tıklayınız
MATRİSLER DETERMİNATLAR devam etmek için tıklayınız

3 devam etmek için tıklayınız
Tanım: m,n  N+ için (i=1,2,3...,m; j=1,2,3...,n) olmak üzere, aij reel sayılarından oluşturulan; a11 a a1j ... a1n a21 a a2j ... a2n ai1 ai2 ... aij ... ain am1 am2 ... amj ..amn j. sütun i. satır tablosuna, m x n biçiminde matris denir. 1 devam etmek için tıklayınız

4 devam etmek için tıklayınız
A matrisindeki her sayıya,matrisin elemanı yada bileşeni ve aij elemanındaki i sayısına indis, j sayısına da ikinci indis denir. aij elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütunun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisine kısaca A= [aij]m x n şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin sayısını, n de sütun sayısını gösterir. 2 A matrisinin, ai1 ai2 ... aij ... ain elemanlarına i.satır elemanları; ai1 ai2 ... aij ... ain elemanlarına da j.sütun elemanları denir. devam etmek için tıklayınız

5 Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her satırına, satır matrisi denir.
B1 = [a11 a a1n] (1.satır matrisi) B2 = [a21 a a2n] (2.satır matrisi) Bm = [am1 am amn] (m.satır matrisi) A= [aij]m x n = şeklinde gösterilir. A matrisi satır matrisine bağlı olarak, 3 devam etmek için tıklayınız

6 Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir.
A1 :1.satır matrisi A2 : 2.satır matrisi ... An : n.satır matrisi A matrisi sütun matrisine bağlı olarak , A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir. 4 devam etmek için tıklayınız

7 devam etmek için tıklayınız
Kare Matris Tanım: n x n tipindeki A= [aij]m x n matrisine, n. basamaktan kare matris denir. Örneğin; matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir. 5 devam etmek için tıklayınız

8 devam etmek için tıklayınız
Sıfır Matrisi Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir. Örneğin; matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir. 6 devam etmek için tıklayınız

9 devam etmek için tıklayınız
Asal Köşegen , Yedek Köşegen Tanım : A= [aij]n x n kare matrisine a11,a22,a33,...,ann elemanlarının oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an1,a(n-1)2,...,a1n terimlerinin oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir. Örneğin; Yedek köşegen Asal köşegen a11,a22,a33 : asal köşegen a31,a22,a13 : yedek köşegen 7 devam etmek için tıklayınız

10 devam etmek için tıklayınız
Köşegen Matris Tanım: A= [aij]n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir. Örneğin; matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir. 8 devam etmek için tıklayınız

11 devam etmek için tıklayınız
Skalar Matris Tanım: A= [aij]n x n köşegen matrisinde a11 = a22 = a33 ...= ann = k ise,(k  R) bu matrise, skalar matris denir. Örneğin; matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir. 9 devam etmek için tıklayınız

12 devam etmek için tıklayınız
Birim Matris Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir. n x n tipindeki bir birim matris In ile gösterilir. Örneğin; (asal köşegen) matrisi , 4.sıradan bir birim matrisidir. I4 ile gösterilir. 10 devam etmek için tıklayınız

13 devam etmek için tıklayınız
İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrisler denir.  (i, j)  M x N için, aij = bij  [aij]m x n = [bij]m x n ÖRNEK: = ú û ù ê ë é 2 4 y x B ve A + 5 3 b a 11 olmak üzere, A = B ise kaçtır ? devam etmek için tıklayınız

14 devam etmek için tıklayınız
ú û ù ê ë é + 5 2 3 b a = 4 y x matrislerinin eşitliğinden, ÇÖZÜM : A = B  5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan 5a = 22 5b = 2  52b = 22  5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer x/y de yerine yazılırsa; bulunur. 12 devam etmek için tıklayınız

15 MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Tanım: A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n matrisleri verilmiş olsun. A + B = [aij]m x n + [bij]m x n= A= [aij+ bij]m x n matrisine, A ve B matrislerinin toplamı denir. O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır. ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır? ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi. Buna göre; m+1 = n+1  p-2 =  m = n  p = 4 3xk = (m+1)x 2 den m+1 =  k = 2 m =n 2 , p = 4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = = 8 dir. 13 devam etmek için tıklayınız

16 MATRİSİN TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
Tanım: A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun. - A= [aij]m x n matrisine, A= [aij]m x n matrisinin toplamı işlemine göre tersi denir. Örneğin; matrisinin toplama işlemine göre tersi, matrisidir. 14 devam etmek için tıklayınız

17 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır. A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrisleri için; A+B = [aij]m x n [bij]m x n = [aij+ bij]m x n = [bij + aij]m x n = [bij]m x n [aij]m x n = B + A 15 devam etmek için tıklayınız

18 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. A = [aij]m x n , B = [bij]m x n C = [cij]m x n matrisleri için; A+(B+C) = [aij]m x n ( [bij]m x n + [cij]m x n ) = [aij]m x n + [bij + cij]m x n = [aij+ (bij + cij)]m x n = [(aij+ bij) + cij]m x n = [aij + bij ]m x n + [cij]m x n = (aij]m x n + [ [bij]m x n ) + [cij]m x n = (A+B) + C olur. 16 devam etmek için tıklayınız

19 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
3. Sıfır matrisi toplama işleminin etkisiz elemanıdır. A = [aij]m x n ve O = [O]m x n matrisleri için; A+O = [aij]m x n [O]m x n = [aij+ O]m x n = [aij]m x n = A O + A = [O]m x n + [aij]m x n = [O + aij]m x n = [aij]m x n = A dır. 17 devam etmek için tıklayınız

20 TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
4.. A = [aij]m x n matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi, A = [aij]m x n matrisidir. A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrisleri için; A+(-A) = [aij]m x n [-aij]m x n = [aij - aij]m x n = [0ij]m x n A+(-A) = [-aij]m x n + [aij]m x n = [- aij+aij]m x n = [0ij]m x n dir. 18 devam etmek için tıklayınız

21 devam etmek için tıklayınız
İki Matrisin Farkı Tanım: A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrislerinin farkı, A - B = A +(-B) = [aij]m x n + [-bij]m x n = [aij - bij]m x n dir. 19 devam etmek için tıklayınız

22 MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI
Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun. k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir. C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına skalar denir. ÖRNEK: matrisi ve k = 2 sayısı için, k . A matrisini bul. ÇÖZÜM: bulunur. = 2. 20 devam etmek için tıklayınız

23 SKALARLA ÇARPMANIN ÖZELLİKLERİ
Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k,k1,k2 olsun. Her A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrisleri için; k . (A+B) = k . A + k . B (k1+k2) . A = k1 . A + k2 . A k1 .(k2 . A) = (k1. k2) . A 21 devam etmek için tıklayınız

24 MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ
Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için 1.matrisin sütun sayısı,2.matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n olmak üzere; = S jk ij n j b a . 1 elemanları cik toplamıyla bulunan C=[cik]mxp matrisine, A ve B matrislerinin çarpımı denir ve Cmxp = Amxp . Bmxp şeklindedir. ai1 .b1k +ai2 . b2k ain . bnk Buna göre,A . B matrisinin i.satır j.sütun elemanı cjk ise, bu eleman Bi satır vektörü ile Aj sütun vektörünün skalar çarpımıdır. O halde birinci matrisin her satırı, ikinci matrisin her sütununa karşılık gelen elemanlarıyla çarpılıp toplanır. 22 devam etmek için tıklayınız devam etmek için tıklayınız

25 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B  B . A 2. A  O ve B  O olduğu halde, A . B = O olabilir. Örneğin; ve olup; dır. 23 devam etmek için tıklayınız

26 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
3. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde yutan elemandır. 4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır. 24 devam etmek için tıklayınız

27 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]p x r olmak üzere ; A.(B .C) = (A .B) . C dir. 6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır. a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği; A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]n x p olmak üzere ; A.(B +C) = A .B + A . C dir. 25 devam etmek için tıklayınız

28 MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği; A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler, (A +B) C . = A .C + B . C olur. 7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir. 26 devam etmek için tıklayınız

29 devam etmek için tıklayınız
8. A  O ve A . B = A . C iken, B = C olmayabilir. ÖRNEK: matrisleri veriliyor. A . B= A . C olduğunu gösterelim. ÇÖZÜM: A . B = A . C = 27 O halde, A . B = A .C dir.dikkat edilirse, A . B = A .C iken B  C dir. devam etmek için tıklayınız

30 devam etmek için tıklayınız
Kare Matrisin Kuvveti Tanım: n.sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. K N+ olmak üzere; A0=In , A1=A , A2= A . A ,A3=A.A2 ,...,Ak=A.Ak-1 dir. Örnek; n.sıradan A ve B kare matrisleri için, A2 - B2 = (A-B).(A+B) eşitliği doğru olmayabilir. Açıklayalım. Çözüm; (A-B).(A+B) = A . A + A . B - B . A - B . B = A2 + A.B-B.A - B2 dir. Matrislerde çarpma işleminin değişme özelliği olmadığından,A.B=B.A yazılamaz. Bu nedenle A2 - B2 = (A-B).(A+B) ifadesi doğru olmayabilir. Aynı şekilde,(A+B)2=A2+2AB+B2 eşitliği de doğru değildir. 28 devam etmek için tıklayınız

31 MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
Tanım: n.sıradan bir A matrisi için, A.B=B.A=In koşulunu sağlayan n. sıradan B kare matrisi varsa, B matrisine, A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir. A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir. A. A-1 = A-1.A = In Örnek: matrisinin çarpma işlemine göre tersi matrisini bulalım. 29 devam etmek için tıklayınız

32 devam etmek için tıklayınız
ÇÖZÜM: A -1= olsun. A. A-1 = A-1.A = I2 olduğundan yazalım: elde edilir. Matrislerin eşitliğinden, bulunur. O halde, A-1 = 30 devam etmek için tıklayınız

33 ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERS MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ
1. k  R-0 olmak üzere, n.sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine göre tersi varsa (k.A)=1/k.A-1dir. 2. n. sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, A-1 ve B-1 ise; (A.B)-1 = A-1 . B-1 dir. 3. ise, dır. Eğer, ad - bc = 0 ise ,A-1 yoktur. 31 devam etmek için tıklayınız

34 BİR MATRİSİN TRANSPOROZU (DEVRİĞİ)
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin sütunları ya da satırları sütun haline getirmekle elde edilen A = [aij]m x n matrisine,A matrisinin transporozu denir ve AT veya Ad ile gösterilir. Örneğin; matrisinin transporozu, dır. 32 devam etmek için tıklayınız

35 devam etmek için tıklayınız
Teorem: A ve B matrisleri m x n türünden iki matris ve k bir skalar ise; 1. (AT)T = A , (A+B)T = AT + BT , 3. (k.A)T = k.AT dir. 33 devam etmek için tıklayınız

36 devam etmek için tıklayınız
Teorem: A= [aij]m x n ve B = [bij]n x p matrisleri için, (A.B)T = AT . BT dir. Örnek: , ise, (A.B)T = BT . AT olduğunu gösterelim. Çözüm: 34 devam etmek için tıklayınız

37 devam etmek için tıklayınız
Teorem: A tersi olan bir matris ise, (AT)-1 =(A-1)T dir. Örnek: Çözüm: 35 devam etmek için tıklayınız

38 devam etmek için tıklayınız
Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun; 1. AT = A ise, A matrisine, simetrik matris denir AT = -A ise, A matrisine, antisimetrik matris denir AT = A-1 ise, A matrisine, ortogonal matris denir. 36 devam etmek için tıklayınız

39 devam etmek için tıklayınız
Örnek: matrislerinin hangisinin simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim. Çözüm: simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir. matrisi, antisimetrikmatristir. Çünkü, AT = -A dır. 37 Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır. devam etmek için tıklayınız

40 devam etmek için tıklayınız
DETERMİNANTLAR Tanım:1x1 biçimindeki matrisinin determinantı, dir. Örneğin; A=[7] matrisi için dir. Tanım: 2x2 biçimindeki matrisinin determinantı dir. 38 devam etmek için tıklayınız

41 devam etmek için tıklayınız
Tanım 39 devam etmek için tıklayınız

42 devam etmek için tıklayınız
hesaplayalım. y ı A göre, olduğuna 4 - 5 1 2 3 : ú û ù ê ë é = Örnek [ ] bulunur. 34 ) ( 30 4 2 . ). 1 .( 5 3 - A : Çözüm = + 40 devam etmek için tıklayınız

43 41 MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)
Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, elemanının Minör’ü denir ve ile gösterilir. 41 devam etmek için tıklayınız

44 devam etmek için tıklayınız
Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi olsun. olmak üzere, ile tanımlı fonksiyonuna , determinant fonksiyonu denir. 42 devam etmek için tıklayınız

45 devam etmek için tıklayınız
Örnek: determinantını hesaplayalım. Çözüm: 3000=a dersek, olur. Buna göre, =(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8 açılımını 43 devam etmek için tıklayınız

46 44 DETERMİNANT FONKSİYONU devam etmek için tıklayınız
Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi olsun. olmak üzere ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= ifadesine de A matrisinin determinantı denir. 44 devam etmek için tıklayınız

47 devam etmek için tıklayınız
Örnek: değerini bulalım. Çözüm: = -1.( )+2.( ) = -1.(-10)+2.(3)=16 bulunur. 45 devam etmek için tıklayınız

48 46 DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ =0 dır. devam etmek için tıklayınız
1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir. 2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır. A karesel matris ise, dir. determinantı verilmiş olsun. Bu determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, dır. 3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır. =0 dır. 46 devam etmek için tıklayınız

49 devam etmek için tıklayınız
4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir. (Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır.) ise (1. Satır ile 2. Satır yer değiştirmiştir.) 5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir. 6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar. ise olur. 47 devam etmek için tıklayınız

50 devam etmek için tıklayınız
7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez. dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra eklenmiştir.) 8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir. Determinantı aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılırsa ; olur. 48 devam etmek için tıklayınız

51 devam etmek için tıklayınız
9. Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur. 3. Sıradan bir determinantta a11*A21+a12*A22+a13*A23 = 0 dır. 10. N. Mertebeden A ve B matrisleri için, dir. ve 49 devam etmek için tıklayınız

52 devam etmek için tıklayınız
Tanım: n. mertebeden Kare matrisi verilmiş olsun. aij elemanının kofaktörü ise ; matrisine, A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir. Matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır. İşaretleri değişir. Yerleri değişir. EK MATRİS 50 devam etmek için tıklayınız

53 devam etmek için tıklayınız
EK MATRİS ÖZELLİĞİ A.Ek(A)=Ek(A).A= .I Yukarıdaki özelliği, A= Matrisi için gösterelim: =(ad-bc) 51 devam etmek için tıklayınız

54 52 A-1 MATRİSİNİN EK MATRİS YARDIMIYLA BULUNUŞU: Teorem: A matrisi
olan bir matris olmak üzere, ‘dır. 52 devam etmek için tıklayınız

55 devam etmek için tıklayınız
matrisinin tersini bulalım. olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım. Örnek: Çözüm: 53 devam etmek için tıklayınız

56 Sunum sona ermiştir. Arz ederim
54