TBF Genel Matematik I DERS – 1 : Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

... konulu sunumlar: "TBF Genel Matematik I DERS – 1 : Sayı Kümeleri ve Koordinatlar"— Sunum transkripti:

1 TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 1 : Sayı Kümeleri ve Koordinatlar
Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2 b, K nın elemanı değildir.
Kümeler. Matematiğin temel kavramlarından biri küme kavramıdır. Bu dersi alan öğrencilerin küme kavramına yabancı olmayıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kabul ediyoruz. b, K nın elemanı değildir. a, K nın elemanıdır. Küme: Nesneler topluluğu. Topluluktaki nesnelerden her birine kümenin bir elemanı denir. aK , bK K : küme. a , b : nesneler. Boş Küme: Hiç elemanı bulunmayan küme.  Altküme: A  B ; A nın her elemanı B nin elemanıdır. Eşit kümeler: Elemanları aynı olan kümeler. A = B  A  B ve B  A. Küme gösterimi: Kümeler, elemanları { ve } işaretleri arasına listelenerek veya elemanları tanımlanarak gösterilir. Türkçe alfabedeki ilk üç küçük harften oluşan küme : {a,b,c} 1 den 5 e kadar olan doğal sayıların kümesi : {1,2,3,4,5} = {x : 1  x  5} Küme işlemleri: A ve B kümeler. A ve B nin birleşimi AB ={x : xA veya xB} A ve B nin kesişimi A B ={x : xA ve xB} A \ B ={x : xA ve x  B} A ve B nin farkı

3 Venn Çizelgeleri K A a A  K aA , bA b B B A A A B AB B A A \ B

4 Sayılar. Matematiğin temel kavramlarından biri de sayı kavramıdır.
Bu dersi alan öğrencilerin sayı kavramına yabancı olmadıklarını, sayılarla ilgili temel özellikleri bildiğini kabul ediyoruz. Şimdi, ders içinde kullanacağımız gösterimleri tanıtacağız ve bu vesileyle sayılarla ilgili temel özelliklerden bazılarını hatırlayacağız. ℕ : doğal sayılar kümesi: 1 , 2 , 3 , . . . ℤ : tam sayılar kümesi: . . . , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . ℚ : rasyonel sayılar kümesi: ℝ : reel sayılar kümesi: rasyonel ve irrasyonel sayılardan oluşur. ℝ \ ℚ: irrasyonel sayılar kümesi:

5 Bu dersi alan öğrencilerin reel sayıların dört işlemi (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) hakkında yeterince bilgi sahibi olduğunu kabul ediyoruz. Ayrıca, herhangi bir reel sayının ya pozitif, ya negatif, ya da sıfır olduğunun bilindiğini kabul ediyoruz. Bununla beraber, reel sayıların kökleri ile ilgili olarak birkaç hususu belirtmekte yarar görüyoruz. m ϵ ℕ bir tek (çift olmayan) sayı ve x ϵ ℝ ise, x in m’inci mertebeden kökü, m’inci kuvveti x olan sayıdır. Görüldüğü üzere, m ϵ ℕ tek ise, her reel sayının m’inci mertebeden kökü vardır. Eğer m ϵ ℕ çift, x ϵ ℝ ve x negatif değilse, x in m’inci mertebeden kökü, negatif olmayan ve m’inci kuvveti x olan sayıdır. Sadece negatif olmayan sayıların çift mertebeden köklerinin tanımlandığına ve onların da köklerinin negatif olmayan sayılar olduğuna dikkat ediniz. Negatif sayıların çift mertebeden kökleri (reel sayı olarak) tanımlı değildir. x reel sayısının m’inci mertebeden kökü, veya ile gösterilir. Böylece, m ϵ ℕ ve x ϵ ℝ için Bir sayının ikinci mertebeden köküne karekök, üçüncü mertebeden köküne de küpkök denir. Karekök gösteriminde bir ayrıcalık vardır: x ϵ ℝ nin karekökü ile gösterilir. Şu örnekleri dikkatle inceleyiniz:

6 Reel Sayılarda Sıralama Bağıntısı : <
Reel Sayılarda Sıralama Bağıntısı : < . Herhangi bir reel sayının ya pozitif ya negatif ya da sıfır olduğunu biliyoruz. İki reel sayı, x ve y verildiğinde, eğer (y – x) pozitif ise, x sayısı y den küçüktür denir ve x < y yazılır. x , y , z  ℝ için x < y ve y < z ise, x < z dir. x < y , x = y ve y < x ten bir ve yalnız biri geçerlidir. x < y ise, x + z < y + z dir. x < y ve 0 < z ise, x z < y z dir. # Bazen x < y yerine y > x de yazılır ve y sayısı x den büyüktür denir. (x < y ve 0 > z ise, x z > y z dir. ) # x < y veya x = y ise, x  y ( veya y  x ) yazılır.

7 Üçgen Eşitsizlikleri Mutlak Değer. x  ℝ nin mutlak değeri
olarak tanımlanır. Örnekler: Özellikler: ℝ için ℝ için ℝ için Üçgen Eşitsizlikleri ℝ için Yukarıdaki ifadelerde de görüldüğü gibi, herhangi bir sayıyı veya daha genel olarak bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için x, y, z, ... gibi harfler veya semboller kullanırız. Bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için kullanılan harf veya sembole bir değişken denir.

8 Sigma Gösterimi. Bir n doğal sayısı için a1, a2, , an reel sayıları verilmiş olsun. Bu sayıların toplamı olan a1+ a an toplamı için ∑ (sigma) gösterimi adı verilen gösterimi kullanılır:  Benzer şekilde, 1 ≤ k ≤ n olmak üzere,   ak+ ak an toplamı için  gösterimi kullanılır:  Sigma gösterimi ile ilgili birkaç özelliği aşağıya listeliyoruz. Her r reel sayısı için Her 1 ≤ k < n için Her r reel sayısı için Örnekler.

9 Denklemler ve Eşitsizlikler.
Bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için kullanılan harf veya sembole bir değişken denir. Bu dersimizde, aksi belirtilmedikçe, değişkenler reel sayılar için kullanılacaktır. Derslerimizde, örneklerinde olduğu gibi değişkenler içeren denklem veya eşitsizlikler üzerinde çalışmamız gerekecektir. Bir denklem veya eşitsizliği sağlayan her sayıya o denklem veya eşitsizliğin bir çözümü denir. Örneğin, 5 sayısı yukarıda verilen denklemin; 2 sayısı da oradaki eşitsizliğin bir çözümüdür:

10 Bir denklem veya eşitsizliğin tüm çözümlerinin oluşturduğu kümeye o denklem veya eşitsizliğin çözüm kümesi denir. Örneğin, x2-5=2x+10 denkleminin çözüm kümesi {-3, 5} tir. Eğer iki denklem aynı çözüm kümesine sahipse, o iki denkleme denk denklemler denir. Çözüm kümeleri aynı olan eşitsizliklere de denk eşitsizlikler denir. Bir denklemi (veya bir eşitsizliği) çözmek için uygulanan standart yöntem şudur: Verilen denklem (veya eşitsizlik), kendisine denk olan öyle bir dizi denklemle (veya eşitsizlikle) değiştirilir ki, bu dizideki son denklemin (veya eşitsizliğin) çözüm küme-sinin ne olduğu kolayca görülebilmektedir. Örnek. x2-5=2x+10 denkleminin çözümü : x2-5=2x+10 , x2-2x-15=0 , (x+3)(x-5) =0. Yukarıdaki denklemler dizisindeki her denklem diğerine denktir ve son denklemin çözüm kümesinin {-3, 5} olduğu açıktır.

11 Lise bilgilerinizden, önceki örnekte ele alınan türden denklemlere ikinci dereceden denklemler dendiğini anımsayınız. İkinci dereceden denklemlerin genel ifadesi, a, b, c reel sayılar, a sıfırdan farklı olmak üzere ax2 + bx + c = 0 biçimindedir ve çözümleri aşağıdaki formülle elde edilir: Önceki örnekteki x2-5=2x+10 denklemi x2-2x-15=0 biçiminde düzenlenince ikinci derece-den bir denklem olur. Bu denkleminin çözümü : Eşitsizliklerin çözümünü ileride ele alacağız.

12 Sayı Ekseni. Reel sayılar sistemi ℝ , esas itibariyle ölçüm yapmak için kullanılır. Başka bir deyişle, reel sayılar sistemini, bir doğru üzerinde her noktaya bir reel sayı karşılık getirerek koordinatlar tanımlamak için kullanırız. Şöyle ki, verilen bir doğru üzerinde bir nokta(orijin , merkez) ve bir birim uzunluk işaretlendiği takdirde, doğru üzerindeki noktalar ile reel sayılar sistemi arasında bire-bir bir eşleme elde edilir. -3 -1 1 3 sayı ekseni Orijin olarak işaretlenen nokta 0 (sıfır) sayısı ile, orijinin sağına doğru bir birim uzaklık-taki nokta 1 (bir) sayısı ile eşlenir. Üzerinde orijin ve birim uzunluk işaretlenmiş doğruya sayı ekseni denir. Sayı ekseni üzerinde, bir a pozitif reel sayısı ile eşlenen nokta, orijinin sağ tarafında ve orijinden a birim uzaklıktaki nokta; bir b negatif reel sayısı ile eşlenen nokta da orijinin sol tarafında ve orijinden -b birim uzaklıktaki noktadır. Sayı ekseni üzerinde bir noktanın eşlendiği sayıya o noktanın koordinatı denir. Böylece, orijinin koordinatı 0; orijinin bir birim sağındaki noktanın koordinatı 1 dir. Yukarıda, koordinatları -3, -1, -1/2, 1/2, 3 ve 5/2 olan noktaları işaretleyelim.

13 Sayı ekseni üzerinde koordinatı x olan noktaya gönderme yapılırken, bazen “x noktası” deyimi kullanılır. Örnek olarak, sayı ekseni üzerinde noktası denince aşağıdaki şekilde görülen nokta anlaşılır. 2 3 -3 1 Sayı ekseni üzerinde a ve b noktaları arasındaki uzaklık dır. a b Sayı ekseni üzerinde bakınca, x in mutlak değeri orijinden x e olan uzaklıktır. -x x y

14 Aralıklar. Sayı ekseni kullanılarak her reel sayı kümesi sayı ekseni üzerinde noktalar kümesi olarak gösterilebilir. Bunlardan en çok karşılaşacağımız küme türleri aralıklardır. Aşağıda, aralıkların tanımlarını ve sayı ekseni üzerinde gösterilişlerini veriyoruz: a b açık aralık a b yarıaçık aralık a b yarıaçık aralık a b kapalı aralık Örnek. Sayı ekseni üzerinde aralıklarını işaretleyelim. -3 -2 -1 1 2 3 4

15 Sonsuzluk. Reel sayılar sistemi ℝ ye her reel sayıdan büyük olduğu kabul edilen  (sonsuz) sembolü ve her reel sayıdan küçük olduğu kabul edilen - (eksi sonsuz) sembo-lü katılarak sonsuz aralıklar tanımlanır: a a a a

16 Eşitsizlikler. Reel sayılar ile ilgili olarak verilen eşitsizliklerin çözüm kümesini belirle-menin standart yöntemini daha önce belirtmiştik. Şimdi eşitsizlik çözümü için bazı ör-nekler vereceğiz ve bir eşitsizliğin çözüm kümesinin aralıklar cinsinden ifade edilebil-diğini göreceğiz Örnek. 2x + 1 < 0 eşitsizliğini düşünelim. 2x + 1 < 0  2x < -1  x < -1/2. Yukarıdaki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir ve son eşitsizliğin çözüm kümesinin (- , -1/2) aralığı olduğu açıktır ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki gibi gösterilebilir. -1/2 1

17 + + + - - - - - - - - - - - + + + x2-5 < 2x+10  x2-2x-15<0
Örnek. x2-5 < 2x+10 eşitsizliğinin çözümü : x2-5 < 2x+10  x2-2x-15<0  (x+3)(x-5) <0 Yukarıdaki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir. Son eşitsizliğin çözüm kümesinin (-3,5) aralığı olduğu açıktır ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki gibi gösterile-bilir. -3 5 Son eşitsizliğin çözüm kümesi belirlenirken aşağıdaki tablodan yararlanılabilir: -3 5

18 -1 1 - - - - - - - - - - - + + - - - + + + + + +
Bazı eşitsizliklerin çözüm kümesi doğrudan doğruya tablodan yararlanılarak buluna-bilir. Örnek. eşitsizliğini düşünelim. -1 1 Tablodan, çözüm kümesinin (-1,1] aralığı olduğu görülür ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki gibi gösterilebilir: -1 1

19 Mutlak değer eşitsizlikleriyle verilen kümeler çoğu zaman aralıklara karşılık gelir.
Örneğin, -c c a-c a a+c

20 Düzlemde Koordinatlar
Düzlemde Koordinatlar. Sayı ekseni tanımını genişleterek düzlemde ve uzayda noktalar için de koordinatlar tanımlayabiliriz. Düzlemde noktaların koordinatlarını tanımlamak için, düzlemde birbirini orijinlerinde dik olarak kesen iki sayı ekseni almak yeterlidir. Genellikle bu eksenlerden biri yatay diğeri de düşey olarak seçilir; yatay olan eksene x-ekseni , düşey olana y-ekseni denir. y Orijin x O Kartezyen Koordinat Sistemi Düzlemde bu şekilde seçilmiş eksenlerin oluşturduğu şekle Kartezyen Koordinat Sistemi , eksenlerin kesim noktasına da bu sistemin orijini denir ve genellikle O harfi ile gösterilir.

21 II I III IV y 1 x O 1 x- ve y- eksenleri düzlemi dört bölgeye ayırır.
Bu bölgelerden her birine bir çeyrek düzlem ya da kadran denir. Çeyrek düzlemler şekilde görüldüğü gibi numaralanırlar.

22 Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı ikilileri arasında bire-bir bir eşleme olduğu; yani, düzlemde her noktaya bir ve yalnız bir sıralı reel sayı ikilisi, her sıralı reel sayı ikilisine de düzlemde bir ve yalnız bir nokta karşılık geldiği gösterilebilir. Sıralı reel sayı ikilileri ℝ2 = ℝℝ = {(a , b) : a , b  ℝ} kümesinin elemanlarıdır. Bu eşlemenin nasıl gerçekleştirildiğini şimdi göreceğiz.

23 Düzlemde bir noktaya karşılık gelen sıralı reel sayı ikilisi şöyle belirlenir:
(a,b) (0,1) (1,1) (0,0) (1,0) a x Verilen noktadan her iki eksene birer dikme indirilir. x-eksenine indirilen dikmenin ayağı bir a sayısına, y-eksenine indirilen dikmenin ayağı bir b sayısına karşılık gelir. Verilen noktaya karşılık gelen reel sayı ikilisi (a,b) dir. a sayısına o noktanın x-koordinatı veya apsisi b sayısına da y-koordinatı veya ordinatı denir.

24 Verilen bir (a,b) sıralı reel sayı ikilisine karşılık gelen noktayı bulmak için yukarıdaki işlem tersine işletilir: y b (a,b) (0,0) a x Daha açık bir ifadeyle, önce x-ekseni üzerinde a noktası ve y-ekseni üzerinde b noktası bulunur ve sonra her iki noktadan ait oldukları eksene birer dikme çıkılır; bu dikmele- rin kesim noktası, apsisi a ve ordinatı b olan noktadır.

25 Bundan böyle Kartezyen koordinat sistemi seçilmiş bir düzlemde bir noktayı o noktaya karşılık gelen sıralı reel sayı ikilisi ile özdeşleyeceğiz; yani, (a,b) noktası denince, apsisi a ve ordinatı b olan noktayı anlayacağız. x y (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) (2,3) noktası ... (-2,3) (2,3) (-2,3) noktası ... (-2,-3) noktası ... (2,-3) noktası ... (3,0) (0,-1) (3,0) noktası ... (0,-1) noktası ... (-2,-3) (2,-3)

26 Örneğin, düzlemde kenar uzunluğu 1 birim olan karesel bölge
Düzlemde Kartezyen koordinat sistemi seçmek ne işe yarar? Bu seçim, düzlemde noktaları veya nokta kümelerini sayısal ifadelerle belirlememize, pek çok geometri problemini cebirsel yöntemlerle çözmemize ve karşıt olarak, pek çok cebirsel problemi geometrik olarak yorumlamamıza yardımcı olur. Örneğin, düzlemde kenar uzunluğu 1 birim olan karesel bölge y x (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 1 uygun bir Kartezyen koordinat sistemi seçimi ile (yukarıda sağdaki şekle bakınız) {(x,y)  ℝ2 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1} nokta kümesi ile özdeşlenebilir.

27 x y (0,0) y (x ,y) d y - b b (a,b) x - a a x
Koordinat sistemi seçiminin sağladığı en önemli kolaylıklardan biri düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığın hesabıdır. x y (0,0) y (x ,y) d y - b b (a,b) x - a a x Örnek. (1,-2) ve (5,1) noktaları arasındaki uzaklık:

28 İki değişkenli bir denklem; örneğin x2 + y2 = 1, verildiğinde, bu denklemi sağlayan reel sayı ikililerinden her birine o denklemin bir çözümü, denklemi sağlayan tüm (x , y) sayı ikililerinin kümesine de o denklemin çözüm kümesi denir. Örneğin, (1,0) , ( 0,1) , sıralı ikililerinden her biri x2 + y2 = 1 denkleminin bir çözümüdür. Bu denk- lemin çözüm kümesi Kartezyen düzlemde bir nokta kümesi olarak düşünülünce elde edilen şekle o denklemin grafiği(grafik) denir. Örnek. x2 + y2 = 1 denkleminin grafiği, orijinden 1 birim uzaklıktaki noktaların oluşturduğu şekildir ki buna Kartezyen düzlemde birim çember denir. y (1,0) x (0,0) x2 + y2 = 1

29 Her hangi bir denklem veya bağıntı verildiğinde, o denklem veya bağıntının grafiğini çizmek için izlenebilecek yollardan biri, denklemi veya bağıntıyı sağlayan –mümkün olduğunca çok- noktalar bulup o noktaları Kartezyen düzlemde işaretlemektir. İşaretlenen noktalar yardımıyla, grafik tahmin edilmeğe çalışılır. x y Örnek. y = 10 - x2 denkleminin grafiğini çizmek için bazı çözümler bulalım ve Kartezyen düzlemde işaretleyelim. (0,10) (-1,9) (1,9) (-2,6) (2,6) (-3,1) (3,1) (0,0) Örnek. x2 + y2 < 1 in grafiği y = 10 - x2 y x2 + y2 < 1 (1,0) x (0,0) x2 + y2 = 1

30 Kartezyen düzlemde koordinat eksenleri
Düzlemde simetri. Düzlemde M ve N gibi iki nokta ile bir d doğrusu verilmiş olsun. Eğer d doğrusu M ve N yi birleştiren doğru parçasının orta dikmesi ise, M ve N noktaları d doğrusuna göre simetrik noktalardır denir. M d O N |OM|=|ON | Başka bir deyişle, M ve N nin d doğrusuna göre simetrik olmaları için gerek ve yeter koşul, d doğrusunun M ve N yi birleştiren doğru parçasının orta noktasından geçmesi ve o doğru parçasına dik olmasıdır. Eğer M ve N noktaları d doğrusuna göre simetrik noktalar ise, bu noktalardan her birine diğerinin d doğrusuna göre simetrik eşi ya da yansıması denir. y x Kartezyen düzlemde koordinat eksenleri ve bazı doğrulara göre simetri, noktaların koordinatları cinsinden ifade edilebilir. Örneğin, Kartezyen düzlemde y=x (–x,y) (x,y) (x, –y) (y,x)   (x,y) ve (x,–y) noktaları x–eksenine göre simetriktir. (x,y) ve (–x,y) noktaları y–eksenine göre simetriktir. (x,y) ve (y,x) noktaları y=x doğrusuna göre simetriktir.

31 Düzlemde bir şeklin tüm noktalarının bir d doğrusuna göre yansımalarının (simetrik eşlerinin) oluşturduğu şekle başlangıçtaki şeklin d doğrusuna göre yansıması denir. Örnek. Aşağıda bazı nokta kümelerinin (şekillerin) x–eksenine göre yansımaları görülmektedir. Her bir şekil ve yansıması farklı renklerle gösterilmiştir. x y y x x y Örnek. Aşağıda bazı nokta kümelerinin (şekillerin) y–eksenine göre yansımaları görülmektedir. Her bir şekil ve yansıması farklı renklerle gösterilmiştir. x y y x x y

32 Örnek. Aşağıda bazı nokta kümelerinin (şekillerin) y=x doğrusuna göre yansımaları görülmektedir. Her bir şekil ve yansıması farklı renklerle gösterilmiştir. x y y x x y Eğer bir şeklin bir doğruya göre yansıması kendisi ile çakışırsa o şekil o doğruya göre simetriktir denir. Örnek. İlerde göreceğimiz mutlak değer fonksiyonunun grafiği ve kare fonksiyonunun grafiği y–eksenine göre simetriktir. Birim çember hem x–eksenine, hem y–eksenine, hem de y=x doğrusuna göre simetriktir.

33 Matematiksel Modelleme
Matematiksel Modelleme. Gerçek yaşamdan bir problemi çözmek veya bir olayı açıklamak için matematik kullanılarak izlenen sürece matematiksel modelleme denir. Matematiksel modelleme üç adımda gerçekleştirilir. İlk adımda, problem veya olay tamamen matematiksel terimlerle yeniden ifade edilir. Yeni ifadeye problemin veya olayın matematiksel modeli denir. Matematiksel model oluşturulurken problemde veya olayda belirlenmesi istenen değer(ler) için değişken(ler) atanır; problem veya olayın veri ve koşulları atanan değişken(ler) cinsinden denklem veya eşitsizlikler olarak ifade edilir. İkinci adımda, matematiksel model çözülür. Matematiksel modelin çözümü başlangıçtaki gerçek yaşam probleminin çözümü veya olayın açıklanması hakkında fikir verir. Üçüncü adımda, matematiksel modelin çözümü yorumlanarak, başlangıçtaki problemin çözümü veya olayın açıklaması elde edilir. Örnek. Toptan fındık ticareti yapan bir şirketin stoklarında kilogramı 7 TL den satışa sunulmuş olan 50 ton fındık bulunmaktadır. Şirket, gelecek ay fiyata kilogram başına 0.50 TL zam yapmaya karar vermiş olmakla beraber zam uygulanıncaya kadar satışlara devam ediyor. Diğer yandan, şirket gelecek ayın sonunda fındık satışından kasasına en az TL girmesini arzu ediyor. Stoktaki fındığın tamamının satılabileceği varsayı-larak, şirketin arzusunun gerçekleşmesi için bu ay en çok kaç ton fındık satılmalıdır?

34 Örnek. Toptan fındık ticareti yapan bir şirketin stoklarında kilogramı 7 TL den satışa sunulmuş olan 50 ton fındık bulunmaktadır. Şirket, gelecek ay fiyata kilogram başına 0.50 TL zam yapmaya karar vermiş olmakla beraber zam uygulanıncaya kadar satışlara devam ediyor. Diğer yandan, şirket gelecek ayın sonunda fındık satışından kasasına en az TL girmesini arzu ediyor. Stoktaki fındığın tamamının satılabileceği varsayılarak, şirketin arzusunun gerçekleşmesi için bu ay en çok kaç ton fındık satılmalıdır? Çözüm. Bu ay ne kadar az fındık satılırsa gelecek ayın sonunda şirketin kasasına o kadar çok para gireceğine dikkat edelim. Örneğin, fındığın tamamı gelecek ay satılsa, kasaya kilogramı 7.5 TL den, dolayısıyla tonu 7500 TL den 7500  50 = TL girer. Kasaya TL girmesi durumunda da firmanın arzusu gerçekleşmiş olacağına göre, bu ay bir miktar fındık satılabilir. Bu ay stoklardaki fındığın x tonu satılsın. Bu durumda 7000x (50–x) = denklemi sağlanmalıdır. Problemin matematiksel modeli: “7000x +7500(50–x) = denklemini çözünüz.” 7000x +7500(50 – x) =  x – 7500x =  – 500x =  – 500x =  500x =  x = 20. Bu ay stoklardaki fındığın 20 tonu satılmalıdır.

35 300–9x–6y = 240 biçiminde düzenlenerek problemin matematiksel modeli
Örnek. Bir taşıma şirketi 20 araçtan oluşan 240 ton taşıma kapasiteli bir taşıma filosu oluşturmak için 6 tonluk, 9 tonluk ve 15 tonluk kamyonlardan her birinden en az 1 adet satın alacaktır. Şirket bu filoyu her tür kamyondan kaçar adet satın alarak gerçekleştirebilir? Çözüm. 240 ton taşıma kapasiteli filodaki 20 kamyondan kaçı 6 tonluk, kaçı 9 tonluk ve kaçı 15 tonluk olacak? Satın alınacak 6 tonluk kamyon sayısına x, 9 tonluk kamyon sayısına y diyelim. Toplam 20 kamyon satın alınacağından, satın alınacak 15 tonluk kamyon sayısı 20–(x + y) olur ve aşağıdaki denklemler sağlanmalıdır: 6x+9y+15(20–(x+y))=300–9x–6y . Bu denklem 300–9x–6y = biçiminde düzenlenerek problemin matematiksel modeli aşağıdaki gibi ifade edilebilir: “300–9x–6y = 240 denklemini çözünüz.” 300–9x–6y = 240 → 9x + 6y = 60 → 3x + 2y = 20 → 2y = 20 – 3x → y = 10 – (3/2)x. Son denklemden görüyoruz ki, x ve y pozitif tamsayılar olacağından, x in aldığı değerler 2 nin katı ve en çok 6 olmalıdır. x in 2, 4 ve 6 değerleri için y = 10 –(3/2) x in alacağı değerler, sırasıyla, 7, 4 ve 1 dir. Matematiksel modelin çözümü olan 3 tane (x,y) ikilisi vardır: (2,7), (4,4) ve (6,1). Dolayısıyla, satın alma işlemi dört farklı biçimde gerçekleştirilebilir: 2 adet 6 tonluk, 7 adet 9 tonluk ve 20–(2+7)= 11 adet 15 tonluk kamyon. 4 adet 6 tonluk, 4 adet 9 tonluk ve 20–(4+4)= 12 adet 15 tonluk kamyon. 6 adet 6 tonluk, 1 adet 9 tonluk ve 20–(6+1)= 13 adet 15 tonluk kamyon.