A409 Astronomide Sayısal Çözümleme

... konulu sunumlar: "A409 Astronomide Sayısal Çözümleme"— Sunum transkripti:

1 A409 Astronomide Sayısal Çözümleme
II. Matrisler

2

3 Basit Matris İşlemleri
+ - - 2 * ? ? * ? AT ? det A

4 Minör ve Kofaktör Matrisleri
[M12], [M22], [M23] = ? α12, α22, α23 = ? [Mij], αij = ? (Laplace Yöntemi) |A| = ?

5 Denklem Sistemi Çözümü : Gauss Eleminasyon Yöntemi
[1] + [3] 3*[3] + [2] v3, v2, v1

6 Denklem Sistemi Çözümü : Cramer Kuralı
v1,2,3 = ?

7 Bir Matrisin Tersi A-1 = ? AX = B A-1AX = A-1B X = A-1B x1,2,3 = ?

8 Uygulamalar I. Leke Çevrimlerinin Simetrisi
1. Çevrim başına yıllık ortalama leke sayılarını hesaplayınız. 2. Leke çevrimi başı ve sonundaki ortalama leke sayıları arasındaki farkı hesaplayınız. 3. Çevrimlerin simetrik olup olmadığının değerlendirmesini yapınız.

9 Uygulamalar II. Mutlak - Görünen Parlaklık
1. Mutlak parlaklık matrisi verilen yıldızların 100 pc’teki görünen parlaklıklarını veren matrisi hesaplayınz. 2. G0 tayf türünden bir anakol yıldızının 1000 pc’teki görünen parlaklığını hesaplayınız.

10 Uygulamalar III. Kütle - Ağırlık
cm/s2 kg Her bir cismin, her bir gökcismi üzerinde verilen her bir yükseklikteki ağırlığını hesaplayınız. Bir insanın Mars yüzeyindeki ağırlığını hesaplayınız.

11 Ödev (Ekstra!): 24 Ekim Cuma Güneş Patlamaları
4-6 Şubat 2000 tarihleri arasında Güneş’le ilgilenen astrofizikçiler, toplamda 705 mFU’luk (1 mFU = 10-6 watt/m2) X-ışını üreten 37 C-sınıfı, 1 M-sınıfı ve 1 X-sınıfı Güneş patlaması (flare) kaydettiler. 4-6 Mart 1991 tarihleri arasında ise toplamda mFU’luk X-ışını akısına sebep olan 15 C-sınıfı, 14 M-sınıfı ve 4 X-sınıfı Güneş patlaması kaydedildi. 1-3 Nisan 2001 tarihleri arasında kaydedilen 5 C-sınıfı, 9 M-sınıfı ve 4 X-sınıfı Güneş patlamasının toplamda ürettiği x-ışını akısı 2475 mFU’dur. 1. Yukarıdaki verileri kullanarak; C, M ve X-sınıfı güneş patlamlarının ortalama kaçar mFU’luk X-ışını akısı ürettiğini bulunuz. Soruyu mutlaka bir python programı yazarak çözünüz ve programınızı 24 Ekim Cuma 2014 gece yarısına kadar teslim ediniz.

12 Uygulamalar V. Koordinat Sistemi Dönüşümleri
P (x,y) noktasının koordinat sisteminin [X,Y] düzleminde θ derece döndürülmesi sonucu yeni koordinatları ne olur? P(x,y) P’(x’,y‘)

13 Uygulamalar VI. Koordinat Sistemi Dönüşümleri (2)
1.Dönüşüm formülünü θ cinsinden matris formatında yazınız. 2.Dönüşüm matrisini 90 (saat yönünde), 90 (saat yönünün tersine), 180 ve 60 derece için yazınız. 3.Dönüşüm matrisinin tersini alınız.

14 Ödev 3, Soru1: CCD Görüntülerini Birleştirmek
Astronomlar sönük yıldızları gözlemek için genellikle CCD görüntülerini birleştirmeyi tercih ederler. Yanda aynı bölgenin biri 8 s. süre ile tek pozda, diğeri pek çok pozun birleştirilmesiyle elde edilmiş iki CCD görüntüsü yer alıyor. Birleştirilmiş bir görüntünün oluşturulabilmesi için gökyüzünün aynı bölgesinden gelen ışığın hep aynı piksele düşmesi gerekir. Oysa ufuk koordinat sisteminde çalışan teleskoplarda eğer bir alan döndürücüsü (field rotator) yoksa görüntü sürekli olarak döner. Pek çok görüntünün birleşmesinden oluşan CCD görüntüsünde bir noktanın koordinatları (X´,Y´) ile tek bir CCD görüntüsünde aynı noktanın koordinatları ise (X,Y) ile verilsin. İki koordinat sistemi arasındaki dönüşüm X´= X cos(θ) - Y sin(θ) Y´= X sin(θ) + Y cos(θ) ile sağlanır. 1.Bir CCD görüntüsü, birçok CCD görüntüsünden oluşan ortalama bir görüntüye göre saat yönünde 5o dönmüştür. Ham görüntüdeki P(x,y)=(245,3690) noktası, ortalama CCD görüntüsündeki hangi nokta ile çakıştırılmalıdır ki birleştirme doğru yapılmış olsun? 2. 128x128 bir CCD üzerinde P1 = (30,40) piksel koordinatlarına gelen bir yıldız bir sonraki görüntüde S1 = (18.6, 46.4); P2 = (50,20) koordinatlarına gelen bir yıldız ise bir sonraki görüntüde S2 = (43.1,32.2) piksel koordnatlarına kaşrılık gelmektedir. CCD bu arada kaç derece, hangi yönde dönmüştür? Çözüm için sadece matris işlemlerini kullanınız!

15 Ödev 3, Soru 2: Görüntü İşleme Teslim Tarihi: 31 Ekim 2014 Cuma
Görüntü işleme, modern astronominin temel yöntemlerinden biri haline gelmiştir. Görüntü işleme yapılırken görüntülerin döndürülmesi temel problemlerden biridir. Görüntü döndürme, görüntü işleme programları (Adobe Photoshop, Maxim DL gibi) tarafından aşağıdaki gibi bir matris ifadesiyle gerçekleştirilir. 1.Yandaki şekilde verilen I, A, B ve C matrislerinin görüntüleri ne şekilde etkilediğini bulunuz. 2.Yandaki şekilde verilen her bir matrisin tersinin görüntüleri ne şekilde etkilediğini bulunuz. 3.A*B matrisiyle verilen dönüşümün görüntüleri ne şekilde etkilediğini bulunuz. A+B matrisiyle verilen dönüşümün de etkisi aynı mıdır? 4.A*A-1 matrisiyle verilen dönüşüm görüntülerde ne gibi bir etkiye neden olur? 5.Bir gözlemevinin indirgeme rutininde ABA-1CB-1 ile verilen bir seri dönüşüm uygulanmaktadır. Bu dönüşüm görüntüleri ne şekilde etkiler

16 xkcd.com

17 Kaynaklar Numerical Analysis Using Matlab and Excel 3rd ed., Steven T. Karris, Orchard Publications, 2007 Sayısal Çözümleme Cilt I, Ziya Aktaş, Hilmi Öncül, Saim Ural, ODTÜ Yayınları, 1981 Lineer Cebir Cilt I 9. Baskı, H. Hilmi Hacısalihoğlu, Hacısalihoğlu Yayınları, 2009 Sayısal Yöntemler, Oğuz Borat, İstanbul Ticaret Üniversitesi Mühendislik ve Tasarım Fakültesi, 2011