İSTATİSTİK VE OLASILIK I

... konulu sunumlar: "İSTATİSTİK VE OLASILIK I"— Sunum transkripti:

1 İSTATİSTİK VE OLASILIK I
İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İSTATİSTİK VE OLASILIK I 3. Hafta: Dağılma Ölçüleri Öğr. Gör. Berk Ayvaz 2013

2 Dağılma Ölçüleri Uygulamada bir serinin tasvir edilmesinde sadece yer ölçüleri yeterli gelmez. Serideki birimlerin merkezi eğilim etrafındaki dağılma durumunu da ortaya koymak gerekir. Mesela ortalamaları eşit iki seri düşünelim. Bu serilerin hangisinde, birimlerin ortalama etrafında daha sık, hangisinde daha seyrek biçimde dağıldığını bilmek isteriz. Çünkü birimleri ortalama değer etrafında daha sık dağılan serilerde ortalama değeri seriyi yüksek temsil gücüne sahiptir. Bu durumun tespiti için dağılma ölçülerine ihtiyaç vardır. Dağılma ölçüleri serideki bir kısım rakamlar üzerinden hesaplanan (parametrik olmayan) ve serideki tüm rakamlar üzerinden hesaplanan (parametrik) olmak üzere ikiye ayırmak mümkündür.

3 Dağılma Ölçüleri Dağılma Ölçüleri Parametrik Olmayan Parametrik
Değişim aralığı Kartil aralığı Yarı kartil aralığı Desil aralığı Yarı desil aralığı Ortalama sapma Varyans Standart sapma Değişim katsayısı

4 Parametrik Olmayan Dağılma Ölçüleri
1- Değişim Aralığı Basit bir seride en büyük sayıdan en küçük sayının çıkartılması ile elde edilir. Gruplandırılmış serilerde ise en yüksek sınıfın üst sınırından en düşük sınıfın alt sınırı çıkartılarak elde edilir. Değişim aralığı=DA= X max − X min Değişim aralığı serinin değişkenliği hakkında zaman kaybetmeden genel bir bilgi sağlar. En büyük dezavantajı serideki bütün birimlerin hesaplamaya girmeyip, sadece iki değerle neticeye ulaşılmasıdır. Bundan dolayı değişim arağılı aşırı değerlerin direkt etkisi altındadır.

5 Örnek 1 Basit Seride: Değişim aralığı: 𝐗 𝐦𝐚𝐱 − 𝐗 𝐦𝐢𝐧 : 20-10 = 10 X f
12 18 20 Değişim aralığı: 𝐗 𝐦𝐚𝐱 − 𝐗 𝐦𝐢𝐧 : = 10 Sınıflandırılmış Seride: X f 4 1 5 2 7 9 3 Değişim aralığı: 𝐗 𝐦𝐚𝐱 − 𝐗 𝐦𝐢𝐧 : = 5

6 Örnek 2 Gruplar f 2-4 2 5-7 13 8-10 4 11-13 1

7 Çözüm 2 Gruplar f 2-4 2 5-7 13 8-10 4 11-13 1 Değişim aralığı: 𝐗 𝐦𝐚𝐱 − 𝐗 𝐦𝐢𝐧 : = 11

8 Örnek 3 Sınıflar X f ( Frekans) 4-8 1 8-12 2 12-16 16-20 20-24 24-28
28-32 32-36 36-40 Verilen sınıflandırılmış serinin değişim aralığı nedir ? D.A = 40 – 4 = 36’dır.

9 2- Kartil Aralığı Üçüncü kartilden birinci kartilin çıkarılmasıyla elde edilir. Serinin üst ve alt kısımlarındaki %25’lik değerler dikkate alınmadığı için uç değerlerden daha az etkilenir. Kartil aralığı: KA: 𝐐 𝟑 − 𝐐 𝟏 Kartil aralığı ikiye bölünmek suretiyle yarı kartil aralığı bulunur. Yarı Kartil Aralığı: KA: 𝐐 𝟑 − 𝐐 𝟏 𝟐

10 Örnek 4 Gruplar f k.f 1-3 1 3-5 2 3 5-7 4 7 7-9 10 Gruplandırılmış serinin kartil ve yarı kartil aralıklarını bulunuz.

11 Çözüm 4 Gruplar f k.f 1-3 1 3-5 2 3 5-7 4 7 7-9 10 Gruplandırılmış serinin kartil ve yarı kartil aralıklarını bulunuz. 𝑄 1 = L 1 + N 4 − f i f 𝑄 c 𝑄 3 = L N 4 − f i f 𝑄 c Hatırlatma 𝑄 1 =3+ 2,5−1 2 .2=4,5 𝑄 3 =7+ 7,5−7 3 .2=7,33 Kartil aralığı: 𝐐 𝟑 − 𝐐 𝟏 = 7,33 – 4,5 =2,83 Yarı Kartil Aralığı: 𝐐 𝟑 − 𝐐 𝟏 𝟐 = 2,83 / 2 = 1,42

12 3- Desil Aralığı Bilindiği üzere kartil aralığı en büyük ve en küçük %25 ‘lik dilimlerdeki değerleri dikkate almamaktadır. Bundan dolayı bazı istatistikçiler bu dilimlerdeki rakamların dikkate alınmamasının hatalı sonuçlar doğurabileceğini söylemişlerdir. Desil aralığı en büyük desilden en küçük desilin çıkarılması ile elde edilir. Bu şekilde en büyük ve en küçük %10 ‘luk dilimdeki değerler dikkate alınmamış olur. Desil Aralığı: DA: 𝐃 𝟗 − 𝐃 𝟏 Desil aralığı ikiye bölünmek suretiyle yarı desil aralığı bulunur. Yarı Desil Aralığı: YDA: 𝐃 𝟗 − 𝐃 𝟏 𝟐

13 Örnek 5 Gruplar f k.f 1-3 1 3-5 2 3 5-7 4 7 7-9 10 Gruplandırılmış seride desil aralığını hesaplayınız.

14 Çözüm 5 Gruplar f k.f 1-3 1 3-5 2 3 5-7 4 7 7-9 10 Gruplandırılmış seride desil aralığını hesaplayınız. Hatırlatma 𝐷 1 = L 1 + N 10 − f i f 𝐷 c 𝐷 9 = L N 10 − f i f 𝐷 c 𝐷 1 =1+ 1−0 1 .2=3 𝐷 9 =7+ 9−7 3 .2=8,33 Kartil aralığı: 𝐃 𝟗 − 𝐃 𝟏 = 8,33 – 3= 5,33 Yarı Kartil Aralığı: 𝐃 𝟗 − 𝐃 𝟏 𝟐 = 5,33 / 2 = 2,67

15 Parametrik Dağılma Ölçüleri
Parametrik olmayan dağılma ölçülerinin en büyük dezavanatjı serideki tüm birimleri dikkate almamasıdır. Bu dezavantaj parametrik dağılma ölçüleri ile bertaraf edilmektedir. Bu ölçülerin tümü serideki rakamların aritmetik ortalamadan sapmalarını dikkate alır.

16 1- Ortalama Sapma 𝑶𝑺= 𝑿− 𝑿 𝒏 𝑶𝑺= 𝒇 𝑿− 𝑿 𝒇
Serideki rakamların aritmetik ortalamadan farklarının toplamı sıfırdır. Elde edilen farkların bir kısmı negatif, bir kısmı pozitif değer taşır. Toplandığında sıfıra eşit olurlar. Bu farkların mutlak değerlerinin toplamı rakam sayısına bölündüğünde ortalama sapma değeri bulunur. 𝑶𝑺= 𝑿− 𝑿 𝒏 Gruplanmış serilerde sınıf sınırlarından sınıf değerleri hesaplandıktan sonra, seri sınıflandırılmış seriye çevrilmiş olur. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serilerde 𝑋− 𝑋 farkları karşılarındaki frekanslarla çarpılarak toplanır. Bulunan toplam, serideki rakam sayısına bölünür. 𝑶𝑺= 𝒇 𝑿− 𝑿 𝒇

17 Örnek 6 X 10 12 18 20 Yandaki serinin ortalama sapma değerini hesaplayınız.

18 Çözüm 6 OS= 𝐗− 𝐗 𝐧 = 𝟏𝟎−𝟏𝟓 + 𝟏𝟐−𝟏𝟓 + 𝟏𝟖−𝟏𝟓 + 𝟐𝟎−𝟏𝟓 𝟒 = 𝟏𝟔 𝟒 = 4
X 10 12 18 20 Yandaki serinin ortalama sapma değerini hesaplayınız. X 𝐗− 𝐗 10 -5 5 12 -3 3 18 20 𝑋 = 𝑋 𝑛 = = 15 OS= 𝐗− 𝐗 𝐧 = 𝟏𝟎−𝟏𝟓 + 𝟏𝟐−𝟏𝟓 + 𝟏𝟖−𝟏𝟓 + 𝟐𝟎−𝟏𝟓 𝟒 = 𝟏𝟔 𝟒 = 4

19 Örnek 7 Gruplar f 1-3 1 3-5 2 5-7 4 7-9 3 Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride Ortalama sapma değerini bulunuz.

20 Çözüm 7 Gruplar f 1-3 1 3-5 2 5-7 4 7-9 3 Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride Ortalama sapma değerini bulunuz. Öncelikle sınıf sınırlarından sınıf değerleri hesaplanır. X f fX 𝐗− 𝐗 f 𝐗− 𝐗 2 1 -3,8 3,8 4 8 -1,8 1,8 3,6 6 24 0,2 0,8 3 2,2 6,6 𝑋 = 𝑓𝑋 𝑓 = = 5,8 OS= f X− X 𝑓 = 𝟏∗ 𝟐−𝟓,𝟖 +𝟐∗ 𝟒−𝟓,𝟖 +𝟒∗ 𝟔−𝟓,𝟖 +𝟑∗ 𝟖−𝟓,𝟖 𝟏𝟎 = 𝟏𝟒,𝟖 𝟏𝟎 = 1,48

21 Örnek 8 Sınıflar X f ( Frekans) 0-4 1 4-8 2 8-12 12-16 16-20 20-24
Verilen sınıflandırılmış serinin ortalama sapmasını bulunuz ?

22 Çözüm 8 Sınıflar X f ( Frekans) Xi f. Xi Xi – X │ Xi – X │ f.│Xi – X │
0-4 1 2 -11 11 4-8 6 12 -7 7 14 8-12 10 20 -3 3 12-16 16-20 18 36 5 20-24 22 44 9 N = 10 T =128 Topl = 60

23 2- Varyans Ortalamadan sapmaların karelerinin toplamının serideki birim sayısına bölünmesi ile elde edilir. s 2 = X− X n−1 Örneklemdeki eleman sayısı büyük ise n-1 yerine n alınabilir. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serilerde varyans aşağıdaki şekilde hesaplanır. s 2 = f X− X 𝑓

24 Örnek 9 X 10 12 16 18 Yandaki serinin varyansını hesaplayınız.

25 Çözüm 9 X 10 12 16 18 Yandaki serinin varyansını hesaplayınız. X 𝐗− 𝐗 (𝐗− 𝐗 ) 𝟐 10 -5 25 12 -3 9 16 3 18 5 𝑋 = 𝑋 𝑛 = = 15 s 2 = X− X n = − − − − = 22,67

26 Örnek 10 Gruplar f 1-3 1 3-5 2 5-7 4 7-9 3 Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride varyans değerini bulunuz.

27 Çözüm 10 Gruplar f 1-3 1 3-5 2 5-7 4 7-9 3 Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride varyans değerini bulunuz. X f fX 𝐗− 𝐗 (𝐗− 𝐗 ) 𝟐 f (𝐗− 𝐗 ) 𝟐 2 1 -3,8 14,44 4 8 -1,8 3,24 6,48 6 24 0,2 0,04 0,16 3 2,2 4,84 14,52 𝑋 = 𝑓𝑋 𝑓 = = 5,8 s 2 = f X− X 𝑓 = 35,6 10 =3,56

28 3- Standart Sapma Varyansın karekökü alındığında standart sapma elde edilir. Standart sapma uygulamada en çok kullanılan dağılma ölçüsüdür. Anakütle ya da örneklemdeki birimlerin ölçüsü (m, kg, cm, TL) ne ise standart sapmanın da ölçüsü o ölçü cinsindendir. Genellikle örneklem standart sapması s, anakütle standart sapması 𝝈 sembolleri ile ifade edilir. s 2 = X− X n−1 Basit seriler için s 2 = f X− X 𝑓 Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seriler için

29 4- Değişim Katsayısı 𝑫𝑲= 𝒔 𝑿 . 100
Gerek standart sapma gerekse dağılma ölçüleri ölçü biriminden bağımsız değildir. Bundan dolayı aynı seri farklı ölçü birimleriyle ifade edildiğinde değişik standart sapma değerleri elde edileceği gibi, farklı ölçü birimleriyle ifade edilmiş iki ayrı serinin mukayesesi de yanıltıcı sonuçlar verecektir. İşte diğer dağılım ölçülerinin bu dezavantajını gidermek için değişim katsayısı geliştirilmiştir. Bu katsayıda mutlak yerine nisbi dağılma esas alınmıştır. Yani, değişim katsayısında standart sapma aritmetik ortalamanın yüzdesi olarak ifade edilir. 𝑫𝑲= 𝒔 𝑿

30 Örnek 11 a Ortalaması 15 ve standart sapması 4,76 olan serinin değişim katsayısını bulunuz. DK= s X = 4, =%31,73

31 Örnek 11 b Bir işletmenin yaptığı üretim belirli bir zaman diliminde ölçülmüş ve aşağıdaki veriler elde edilmiştir. 115 94 110 103 92 104 114 106 100 102 95 97 113 98 101 99 93 107 96 108 90 111 105 91 109 112 119 Dağılım aralığı ?

32 Örnek 12 Yukarıdaki değerlere göre; a)Aritmetik ortalamayı,
Sınıflar    Frekans 90-92 3 93-95 5 96-98   8 99-101   12    14    11    9       Yukarıdaki değerlere göre; a)Aritmetik ortalamayı, b)Ortancayı, c) Standart sapmayı, d) Standart hatayı bulunuz 

33 Çözüm 12

34 Örnek 13 Sınıflar X f ( Frekans) 0-4 2 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24 1 24-28 28-32 3 32-36 36-40 Verilen sınıflandırılmış serinin varyans ve standart sapmasını bulunuz ?

35 Çözüm 13 Sınıflar X f ( Frekans) Xi f. Xi Xi – X ( Xi – X ) 2
0-4 2 4 -18 324 648 4-8 6 12 -14 196 292 8-12 10 20 -10 100 200 12-16 14 28 -6 36 72 16-20 18 -2 8 20-24 1 22 24-28 26 52 28-32 3 30 90 64 300 32-36 34 68 392 36-40 38 76 N = 20 T =408 Topl = 2736

36 Örnek 14 8 öğrenciden oluşan bir grup lise 1 öğrencisi yabancı dil eğitimi için yurt dışına gönderilmiş , döndüklerinde sınava tabi tutulmuşlardır. Aldıkları puanlar aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin aldıkları puanlara ilişkin varyansı ve standart sapmayı hesaplayınız.

37 Çözüm 14

38 Örnek 15

39 Çözüm 15

40 Örnek 16

41 Çözüm 16