İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ

... konulu sunumlar: "İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ"— Sunum transkripti:

1 İKİ DEĞİŞKENLİ BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ
Regresyon Y ile X (X ler) arasındaki ortalama ilişkinin matematik fonksiyonla ifadesidir. Sabit terim Eğim X’e bağlı olarak Y’nin ortalamasının nasıl değiştiğini gösterir.

2 Yi deki değişim=[Düzenli değişim]+[Rassal değişim]
Yi deki değişim=[Açıklanan değişim]+[Açıklanamayan değişim] Ekonometrik modelin ortaya çıkmasına sebep olan hata teriminin kaynakları: ÖLÇME HATALARI: Toplam tüketim ve milli gelir, kiralar ve hane gelirleri gibi değişkenlerin değerlerinden hareketle ekonometrik bir modeli tahmin ediyoruz. ‘‘Bu değerler nasıl tespit edilmektedir’’sorusunun cevabı bize ölçme hatalarını açıklayacaktır.

3 Tarım ve sanayi sektöründe üreticilerin fiyatlarını tespit ederken üreticiler yanlış beyanda bulunabilir. Yine hanelerle anket yaparken gelirlerini düşük beyan ederken, çeşitli mal ve hizmetler(kira,gıda,ulaştırma, vb.) yaptıkları harcama tutarlarını olduğundan fazla söyleyebilirler. İşte bu tür hatalara ölçme hataları veya sistematik hatalar denir. Bütün bu hatalar tüketim veya gelirler veyahut başka bir konuda topladığımız rakamların gerçeklerden sapmasına sebep olurlar ki bunların hepsine birden ölçme hataları denir.

4 C ve Yd değerleri gerçeğe nazaran (C+X) ve (Yd+Z) gibi sapmalı olacaktır. Böylece,
C=a+bYd de ve tahmini değerleri, X ve Z sapmaları nisbetinde güvenilemez olacaktır. İktisat kanunlarının doğruluğu veya anlaşılabilmesi, istatistik verilerinin (tüketim,gelir, kira, nüfus miktarları ile ilgili rakamların) kalitesine, doğruluğuna ve elde bulunmasına bağlıdır.

5 Bu rakamların objektif ve doğru bir şekilde toplanamaması halinde ortaya çıkan ölçme hataları ortadan kaldırılamamaktadır. İstatistik ve ekonometride gerçekleştirilen tüm metodolojik yenilikler, bunların hatalı verilere uygulanması durumunda faydasız olacaktır. TOPLAMA HATALARI: Ekonomik analizlerde birbirinden farklı hane halklarına veya kişilere ait değerler toplanır ve bunların ortalaması hesaplanır.(toplam tüketim,ortalama tüketim,ortalama gelir gibi) Her ortalama ise serisini tek bir kıymetle ifade eden bir tahmindir.

6 Ortalama hesabı ile her hane veya birime ait değerler bir tek değere indirilmiş olmakta ve birimlerin kendi değerleri(özellikleri) kaybolmaktadır. En yüksek gelirli ile en düşük gelirli; en yüksek kira ödeyenle en az kira ödeyen ortalama gelir veya ortalama kira tutarı ile bir tutulmaktadır. Burada bir hata olduğu açıktır, bu hatalarada ‘‘toplama hataları denilmektedir.’’

7 ÖRNEKLEME HATALARI(TESADÜFİ HATALAR, STOKASTİK HATALAR): Memurların dalgınlığı veya dikkatsizliği sonucu bazı rakamların yanlış yazılması ile ortaya çıkan hatalarla örnekleme yapılması sebebiyle ortaya çıkan hataları kapsar. Örneğin, Türkiye’de ortalama kirayı bulabilmek için, toplam 3 milyon kiracıdan %1’ini (30bin) seçerek örnekleme yapılabilir. %1 örnekleme yerine binde bir yani 3bin kiracı alabiliriz veya 12 yıllık dönem yerine 25 yıllık dönem alabiliriz.

8 , ve ’lerin bir kısmı anakütle gerçek b1 ve b2
Bu farklı hane sayısı veya yıl sayısı (örnek büyüklüğü) ile yapılacak kira ve tüketim fonksiyonları için farklı katsayılar (a ve b’ler) bulunacaktır. Muhtelif örnekler arasında, örneğe giren birimlerin kiraları arasındaki farklılıklar sebebiyle ortaya çıkan tahmin farklılıkları örnekleme hatalarını oluşturur. Bu hatalar artı ve eksi iki yönlüdür. Yani mümkün olan bütün örnekler çekildiği ve kira fonksiyonu tahmin edildiğinde , ve ’lerin bir kısmı anakütle gerçek b1 ve b2 katsayılarından küçük; bir kısmının da bu anakütle değerlerinden büyük ve dağılımlarının normal olduğu görülür.

9 Bu sebeple üç milyonluk anakütleden çekilebilecek tüm örneklerin, katsayı tahminleri hesaplanır ve ayrı ayrı ortalamaları veya beklenen değerleri hesaplanırsa, ve (marjinal kira tüketim eğilimi)’dır. Ölçme hataları, ortadan kaldırılmadığı halde örnekleme hataları iki yönlü (artı ve eksi) olduklarından birbirinin tesirini ortadan kaldırabilirler.

10 SPESİFİKASYON HATALARI: İktisadi teori,gerçeğin bilerek basitleştirilmiş şeklidir. Toplam tüketim sadece harcanabilir gelire bağlı değildir, tüketicilerin zevkleri, fiyatlar seviyesi, servet gelir dağılımı, yaş piramidi, tüketicilerin son zamanlardaki gelir durumu gibi diğer bazı bağımsız değişkenlerede bağlıdır. Modele tüm bu değişkenleri alabilsek bile-ki uygulamalarda veri noksanlığı gibi sebeplerle bu mümkün olamamaktadır- değişkenler arasındaki ilişki C=a+b Yd şeklinde doğrusal olmayabilir.

11 Gerçek ilişki; gibi veya daha karmaşık bir ilişki olabilir. Veya tüketim fonksiyonu böyle tek denklemli değilde, 6 denklemli bir model olarak çözülmesi gerekebilir. Bütün bu sebeplerden ortaya çıkan hatalar “spesifikasyon hataları” denilmektedir. Bu hatalar ekonometrik bir araştırmada ilk olarak göz önünde tutulması gereken hatalardır.

12 . . . . { y E(y|x) = b0 + b1x y4 u4 { u3 y3 y2 u2 u1 y1 x1 x2 x3 x4 x
} . y2 u2 { . u1 y1 } x1 x2 x3 x4 x

13 Y y2 ΔY= b2 ΔX y1 ΔX b1 X x1 x2 Doğrusal denklemin grafiği düz bir çizgi olup sabit ve eğim katsayılarını birbirinden ayırma özelliğine sahiptir. Sabit sayı X=0 olduğu zaman Y’nin alacağı azami değer ve eğim ise ΔY/ ΔX oranı olup X üzerindeki bir noktadan diğer bir noktaya olan hareketliliği göstermektedir.

14 b1 ve b2 hakkında bazı çıkarsamalar:
Eğer b2 pozitif ise çizginin veya doğrunun eğimi soldan sağa yukarıya doğru; yok eğer negatif ise tersi geçerlidir. Eğer b2’in mutlak değeri büyükse doğru daha dik olmaktadır. Eğer b2= 0 ise doğru X eksenine b1 noktasında paralleldir. Bir çok fonksiyonlar düz çizgi halinde değildirler

15 Anakütle Regresyon Denklemi
Örneğin: 4000 nüfuslu bir kasabada 500 hane bulunsun ve bunlardan sadece 60’ı memur olsun.

16

17

18 Örnek Regresyon Denklemi

19

20 En Küçük Kareler Denklemleri
İfadesini minimize eden parametre tahmincilerinin değerlerini bulabilmek için eşitliğin 0 ve 1 ‘e göre türevleri alınıp 0’a eşitlenir. 0‘a göre türev alınırsa; 1‘e göre türev alınırsa; Her iki denklemi de 0’a eşitlersek;

21 Parantezleri açarsak;
Bu denklemlere doğrunun NORMAL DENKLEMLERİ denir. Normal denklemler alt alta yazılıp birlikte çözüldüklerinde b0 ve b1 tahmincileri bulunur. şeklindeki formüller yardımıyla da tahminciler bulunabilir.

22 Ortalamadan Sapmalar Yoluyla En Küçük Kareler Denklemlerinin İspatı
olduğundan Bu ifadenin her iki tarafını n ile böldüğümüzde

23 veya elde edilir. Bu eşitlik ortalamalar orjinine göre regresyon denklemidir. Ortalamalar orjinine göre regresyon denkleminden tahmini anakütle regresyon denklemi şöyle yazılabilir: elde edilir. olmak üzere,

24 Hata terimleri kareleri toplamı şu şekilde ifade edilebilir:
Bu ifadenin ‘e göre türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde; elde edilir. için diğer bir formül ise şöyledir:

25 Basit En Küçük Kareler Regresyon Modelinin Varsayımları
Varsayım 1: Hata terimi ortalaması sıfıra eşit stokastik bir değişkendir: Hata terimi u, pozitif ve negatif her iki yöndeki çok sayıda sebeplerin toplamının etkisini göstermektedir. Bu sebepten anakütle hata terimi u, X’in her değeri için şansa bağlı olarak pozitif, negatif veya sıfır değerlerini belli bir ihtimalle alabilmektedir. Yani u stokastik bir değişkendir ve değerleri önceden kesin olarak bilinmemektedir.

26 Bazı bağımsız değişkenlerin modele alınamaması, modelin matematiksel biçiminin yanlış seçilmiş olması, değişkenlerdeki ölçme hataları, fertlerin davranışlarının yaradılış icabı farklı olması gibi durumlar u’nun artı değer alabileceği gibi eksi değer de alabileceğini gösterir. Modele dahil edilmeyen değişkenlerin etkisi, bazen Y’yi gözlenebilecek olan değerinden daha büyük bazen de daha küçük değerli yapabilecektir. Yani genelde, sürekli olarak artış yönünde veya sürekli olarak azalış yönünde olan sapmalar(farklar) beklenmeyecektir. Bu da u’nun stokastik olduğu anlamına gelir.

27 u’lar sürekli artan veya sürekli azalan bir görünüm arzetmezler, düzensiz bir görünüm sergilerler.
Ayrıca, ui nin muhtelif değerleri birbirinden bağımsız stokastik değişkenlerdir. Tüketim örneğinde, u’nun stokastik ve değerlerinin birbirinden bağımsız olması şöyle açıklanabilir: Bir hane için ui hata terim değerini pozitif elde etme ihtimali ne artar, ne de azalır. Ayrıca u hata terimi değerlerinin dağılımının normal, ortalamasının sıfır ve varyansının olduğunu varsayacağız.

28 Sonuç olarak, yazılabilir. Yani ui ler, birbirinden bağımsız, sıfır ortalamalı, eş,t varyanslı normal dağılımlıdır.

29 Varsayım 2: Hata terimi u normal dağılımlıdır:
EKK tahmincilerinin ihtimal dağılımları, ui nin ihtimal dağılımı hakkında yapılan varsayıma bağlıdır. Bu sebepten b tahminleri konusunda bir test uygulamak gerektiğinde (t,F testi gibi)dağılımlarının normal olması gerekir, bu da ui nin dağılımının normal olmasını gerektirmektedir. Uygulamalarda anakütle u değerleri bilinmediğinden, Merkezi Limit Teoremi’ne göre normal dağıldıkları kabul edilir.

30 E(ui)=0 ui değerleri u’ların normal dağılımı

31 Normal dağılım eğrisinde, absiste u’nun ortalamasına (0)
tekabül eden noktadan çıkılacak dikmenin iki tarafı tam bir simetri arzeder. ui normal dağılıyorsa, EKK nin tahmincileride normal dağılırlar. Uygulamalarda u’nun dağılımının normal olup olmadığı, Lilliefors grafik testi, χ2 uygunluk testi ve Jarque-Bera testi ile araştırılmaktadır.

32 Varsayım 3: Hata terimi ui değerleri arasında ilişki(otokorelasyon)
yoktur: u’nun herhangi bir ui değeri kendisinden önceki uj değeri ile bağımlı değildir. Bu varsayım ui ve uj nin kovaryanslarının sıfıra eşit olmasını gerektirir: Kov(ui ,uj )=E[ui – E(ui)] [E[uj – E(uj)] varsayım 1’e göre E(ui)=E(uj)=0’dır. O halde, Kov(ui ,uj )=E(uiuj)=0, i≠j Bu varsayım, Kov(Yi ,Yj )=0, i≠j varsayımı demektir.

33 Varsayım 4: Hata terimi ui nin varyansı eşittir,sabittir
Varsayım 4: Hata terimi ui nin varyansı eşittir,sabittir. (homoskedastiklik veya eşit varyanslılık) ui nin varyansının her Xi için eşit olduğu varsayımı şöyle ifade edilmektedir: Var(ui │Xi)= E[ui – E(ui)]2 Varsayım 1’e göre E(ui)=0 olduğundan, Var(ui │Xi)= E[ui2] Var(ui │Xi)=σ2 veya Var(ui)=σ (1) (1) eşit varyanslık halini göstermektedir.

34 Bu varsayımın anlamı şudur: Her Xi değeri için hata terimi ui’nin
varyansı belli bir sabit sayı olup σ2 ’ye eşittir. Buna homoskedastiklik varsayımı, veya eşit(homo) dağılan(skedastik), veya eşit varyans varsayımı da denir.

35 Varsayım 5: Bağımsız değişken X, hata terimi u ile ilişkili
olmayıp, stokastik değildir: Bağımsız değişken Xi ile hata terimi ui arasında ilişki yoktur, yani kovaryansları sıfıra eşittir: Kov(ui,Xi)= E[ui – E(ui)] [Xi – E(Xi)] Kov(ui ,Xi)=0 X değişkeninin birden fazla olduğu çoklu modellerde de ui ile her X değişkeni arasındaki kovaryans sıfıra eşit olmalıdır: Kov(ui ,X2)=Kov(ui ,X3)=0

36 Bu varsaymın anlamı şudur:
Anakütle Regresyon Denkleminde Xi ve u’nun Y’ye etkisi ayrıayrıdır(toplanabilirdir). Eğer, X ile u arasında ilişki varsa, herbirinin Y bağımlı değişkeni üzerindeki etkisini ferdi olarak takdir edemeyiz. Eğer X ile u arasında aynı yönde pozitif ilişki varsa, u artarken X’de artacak ve u azalırken X’de azalacaktır. Benzer şekilde X ile ters yönde negatif ilişkili iseler, u azalırken X artar ve u artarken X azalır. Bu nedenle, X ve u’nun Y üzerindeki etkisinin tahmini mümkün olmayacaktır.

37 Varsayım 6: Bağımsız değişken X, tekrarlı örneklere göre sabittir
Varsayım 6: Bağımsız değişken X, tekrarlı örneklere göre sabittir. Xi ile ui arasında ilişki olmaması yani Kov(ui,Xi)=0 varsayımı X’in stokastik bir değişken olmamasını (tesadüfi dağılmasını) gerektirir. Bu da istatistiki olarak, anakütleden çekilebilecek tüm örnekler için X değerlerinin sabit değerli olduğunu gösterir.(aynı X değişkeni değerleri için ayrı Y değerleri sözkonusu.) Şöyleki: Kov(ui,Xi)= E[ui – E(ui)] [Xi – E(Xi)] Varsayım 1’e göre E(ui)=0 olduğundan:

38 Kov(ui,Xi)= E[ui – E(ui)] [Xi – E(Xi)] E(ui)=0 Kov(ui,Xi)= E[ui(Xi – E(Xi)] = E[uiXi– uiE(Xi)] Xi ‘ler sabit kabul edilirse, E[E(Xi)]=E(Xi) Kov(ui,Xi)= E(uiXi)– E(ui)E(Xi) Varsayım 1’ e göre E(ui)=0’dır. Yani; Kov(ui,Xi)= E(uiXi) = 0 (Varsayım 5 gereği)

39 Varsayım 7: Bağımsız değişken X’in varyansı sonlu pozitif bir sayı olmalıdır. Anakütleden çekilebilecek örneklerin herbiri için X değişkeni değerlerinin sabit kabul edilmesi,X değişkeninin tüm değerlerinin eşit olması demek değildir. Buna rağmen X değerlerinin aynı zamanda eşit olması halinde ,

40 Burada tüm X değerleri eşit ise ‘dır ve payda olacaktır
Burada tüm X değerleri eşit ise ‘dır ve payda olacaktır. Böylece sabit/0= olacağından ve dolayısıyla tahmin edilemeyecektir. Yani , Sonlu olmalıdır. Burada Q sonlu pozitif sabit bir sayıyı göstermektedir.

41 Varsayım 8: Modelin spesifikasyonu doğrudur
Varsayım 8: Modelin spesifikasyonu doğrudur. İki değişkenli doğrusal regresyon modelinin EKK ile tahmininde kabul edilen en önemli varsayımlardan biri regresyon modelinin spesifikasyonunun doğru yapıldığı, modelin spesifikasyon hatası taşıyıp taşımadığıdır. Modele bazı değişkenlerin alınmaması , eğrisel bir fonksiyon alınması gerekirken doğrusal fonksiyon alınması, model değişkenleri konusunda hatalı varsayımlar yapılması hallerinde tahmin edilen fonksiyon güvenilir olmayacak, spesifikasyon hatalı olacaktır.

42 Varsayım 9: Bağımsız değişkenler arasında İlişki yoktur
Varsayım 9: Bağımsız değişkenler arasında İlişki yoktur. (Çoklu doğrusal Bağlantı olmaması Varsayımı) EKKY’nin bu varsayımı, birden fazla bağımsız değişkeni olan çoklu modellerle ilgilidir. Bu varsayıma göre ,çoklu modellerde bağımsız değişkenler arasında ilişki yoktur.

43 Bağımlı Değişken Y nin Dağılımı
Y bağımlı değişkeninin ortalaması Varyansı olduğu gösterilecektir.

44 1. Y nin ortalaması kendisinin beklenen değerine eşittir.
Beklenen değer alındığında b1 ve b2 parametreler iken Xi değerleri değişmez değerler kümesinden geldikleri için bulunur.

45 2. Yi nin varyansı ve eşitliklerini varyans tanımında yerine koyarsak ui lar sabit varyanslıdır. Yani hepsinin varyansı sabit değerlidir. Yani

46 3. Yi nin dağılımı normaldir.
Yi nin dağılımının biçimi, ui nin dağılımının biçimiyle belirlenir ve bu dağılım varsayım gereğince normaldir. b1 ve b2 sabit parametreler olmaları nedeniyle Yi nin dağılımını etkilemezler. Ayrıca Xi açıklayıcı değişkenin değerleri de varsayım gereğince değişmez değerler kümesinde olduğundan Yi nin dağılım biçimini etkilemezler.

47 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ
Katsayıların Tahmini Normal Denklemler ile, Doğrudan Formüller ile, Ortalamadan Farklar ile,

48 Tüketim Gelir 75 80

49 SY = n + SX SXY= SX + SX2 SY=? , SX=? , SXY= ? , SX2= ? , n
NORMAL DENKLEMLER SY = n SX SXY= SX SX2 SY=? , SX=? , SXY= ? , SX2= ? , n

50 X YX Y X2 75 88 95 125 115 127 165 172 183 225 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 6000 8800 11400 17500 18400 22860 33000 37840 43920 58500 6400 10000 14400 19600 25600 32400 40000 48400 57600 67600 SY=1370 SX=1700 SYX=258220 SX2=322000

51 NORMAL DENKLEMLER -170 / = = = = 25320 = = =

52 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ

53 DOĞRUDAN FORMÜLLER =

54 DOĞRUDAN FORMÜLLER =

55 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ

56 ORTALAMADAN FARKLAR x=? Syx=? Sx2=? y=?

57 Ortalamalar Orijinine göre Örnek Regresyon Doğrusu (ÖRD)

58 SY=1370 SX=1700 Sy=0 Sx=0 ORTALAMADAN FARKLAR X Y 75 88 95 125 115 127
165 172 183 225 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 -62 -49 -42 -12 -22 -10 28 35 46 88 -90 -70 -50 -30 -10 10 30 50 70 90 SY=1370 SX=1700 Sy=0 Sx=0

59 yx x2 y2 Syx=25320 Sx2=33000 Sy2=20606 ORTALAMADAN FARKLAR 5580 3430
2100 360 220 -100 840 1750 8100 900 100 2500 3844 2401 1764 144 484 100 784 1225 2116 7744 Syx=25320 Sx2=33000 Sy2=20606

60 ORTALAMADAN FARKLAR = =137-(0.7672).(170) =

61 ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ

62 ELASTİKİYETLERİN HESAPLANMASI
Nokta Elastikiyet Ortalama Elastikiyet

63 NOKTA ELASTİKİYET X0 = 130

64 NOKTA ELASTİKİYET 0.94

65 ORTALAMA ELASTİKİYET = 0.95

66 Tahminin Standart Hatası ve Varyansı
Tahminin standart hatası, regresyon doğrusu etrafındaki dağılımın bir ölçüsüdür. (n30 ise) (n<30 ise)

67 Tahminin Standart Hatası ve Varyansı

68 Tahminin Standart Hatası ve Varyansı
Tüketim Gelir 75 88 95 125 115 127 165 172 183 225 7.0545 4.7091 4.9818 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 SY=1370 Se=0 Se2=

69 Tahminin Standart Hatası ve Varyansı
=12.138 s2= SY2 =? SY = ? SYX=? b1 =? b2 =? =

70 Tahminin Standart Hatası ve Varyansı
Sy2 = ? Syx = ? b2= ? =

71 DEĞİŞKENLİKLER Y X Yi    Xi

72 DEĞİŞKENLİKLER 3844 2401 1764 144 484 100 784 1225 2116 7744 Sy2=20600 Se2=

73 DEĞİŞKENLİKLER 20606 = 19427.3455 + 1178.6545 Sy2 = Se2 + varyanslar
=

74 BELİRLİLİK KATSAYISI KORELASYON KATSAYISI
Noktaların doğruya yakınlık derecesini göstermektedir. Y’deki değişmelerin yüzde kaçının X tarafından açıklanabildiğini ifade etmektedir. R2 0 ile 1 arasında değişmektedir. KORELASYON KATSAYISI Y ile X arasındaki ilişkinin yönünü ve şiddetini vermektedir. -1 ile +1 arasında yer almaktadır.

75 BELİRLİLİK KATSAYISI = = =

76 Belirsizlik katsayısı

77 BELİRLİLİK KATSAYISI = =

78 DAĞILMA DİYAGRAMLARI

79 STANDARTLAŞTIRILMIŞ HATA TERİMLERİ
ei ei/s Xi 0.5812 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 4.9818

80

81 EKK Tahminlerinin Standart Hataları ve Kullanılışı
EKK tahminleri ve örnek verilerine dayanarak hesaplanır. Bir anakütleden bir çok örnek çekilebilir, bu durumda her örnek seti için farklı tahminciler elde edilecektir. Örnek değerlerinin anakütle değerleri b1 ve b2 ye ne ölçüde yakın olduğu standart hatalarla hesaplanır. Standart hata, tahmincinin örnekleme dağılımının standart hatasıdır.

82 Bir tahmincinin örnekleme dağılımı anakütleden seçilebilecek aynı büyüklükteki örneklerin lerin dağılımıdır. (75 milyar) 60 hanelik anakütleden çekebileceğimiz onluk (75 milyar) örnek için hesaplanan değerlerinin örnekleme dağılımı ortalama etrafında normal dağılmaktadır. Anakütleden çekilen örnekler için hesaplanan EKK leri örneklerin farlı değerli Y(tüketim) ve X(gelir gibi) e sahip hanelerden oluşması gibi örnekleme hatalarından dolayı gerçek değerinden farklıdır. Örnekleme hataları + ve – yönde aynı ihtimalle ortaya çıkan hatalardır. Ortalama ölçüsü standart hatadır.

83 En Küçük Karalerle Parametre Tahminlerinin Ortalama ve Varyansı
’in ortalaması: ’in varyansı:

84 ’nin ortalaması: ’n'in varyansı:

85 EKK’de Parametre Tahminlerinin Ortalama ve Varyansı
’nin Ortalamasının İspatı: Y=b1+b2X ’nin ortalaması=E( )=b2 eşitliğini yerine koyalım,

86 olduğundan, Varsayım gereği x değerleri sabittir. Bunun sonucu olarak
oranı da örnekten örneğe aynı kalır. Bu orana k diyecek olursak, ’nin tahminini şu biçimde gösterebiliriz:

87 (∑k=0 ∑kX=1) ∑k=0 için ispat:
Y=b1+b2X+u eşitliğindeki Yi’yi burada yerine koyar ve bulduğumuz ifadeyi yeniden düzenlersek; (∑k= ∑kX=1) ∑k=0 için ispat:

88 ∑kX=1 için ispat: Pay için; Payda için;

89

90 Bu nedenle;

91 ’nin varyansı: Şu ifadenin doğruluğu ispatlanabilir: İspat:
Varsayım gereği

92 ’in ortalaması için ispat:
İfadesini yerine koyalım.

93 n,k ve örnekten örneğe sabit kaldığını düşünürsek ve ide yerine koyarsak;
Y=b1+b2X’

94 ’in Varyansı: İspat:

95

96

97 Katsayıların Standart Hataları
= 11.99 =

98 Aralık Tahminleri ±t a/2 . s( ) = 0.7672727  2.306 (0.0668)
< b2 < ± t a/2 . s( ) =  (11.99) < b1 <

99 Hipotez Testleri Güven Aralığı Yaklaşımı İle
< b2 < < b1 <

100 Hipotez Testleri Anlamlılık Testi Yaklaşımı İle
Hipotezlerin Formüle Edilmesi Tablo Değerlerinin Bulunması Test İstatistiğinin Hesaplanması Karar Verilmesi

101 Hipotez Testleri ta,sd =? t0.05,8=? =2.306 1.Aşama H0: b2 = 0
= ; S.d.=? = n-k = 10-2=8 ta,sd =? t0.05,8=? =2.306 3.Aşama = 4.Aşama |thes= | > |ttab= | H0 hipotezi reddedilebilir

102 Regresyon ve Varyans Analizi

103 Regresyon ve Varyans Analizi

104 EKK Modelinde Önceden Tahmin
İleriye Ait Tahmin Önceden Tahmin Örnekten Tahmin Edilen İlişkinin Ayni Kaldığı X Değerlerinin Aynı Eğilimde Olacağı

105 Y’nin Aralık Tahmini

106 Y ˆ 33000 ) 80 ( 10 1 - + 170 Y’nin Aralık Tahmini 2 X0=80 = 67.9455
Y ˆ X0=80 = 2 33000 ) 80 ( 10 1 - + 170 ± (12.318) Y0| X0 

107 Y’nin Ortalamasının Aralık Tahmini
- 2 1 ( X X ) ˆ + Y ± t . s a /2 n å 2 x

108 Y’nin Ortalamasının Aralık Tahmini
Y ˆ X0=80 = 2 33000 ) 80 ( 10 1 - + 170 ± (12.318) E(Y0| X0) 

109 Y’nin Güven Aralıkları
Y’ninAralık Tahminleri Y’nin OrtalamasınınAralık Tahminleri X0 Alt Sınır Üst Sınır Alt Sınır Üst Sınır 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00 220.00 240.00 260.00

110

111 En Küçük Kareler Tahminlerinin Özellikleri
1. Tahmin Edicilerin Küçük Örnek Özellikleri Genellikle bir tahminin ana kütle parametresinin gerçek değerine yakın olması ve bu gerçek parametre yakınlarında dar bir aralıkta değişmesi istenir. Ana kütle parametresine ‘yakınlık’ çeşitli ekonometri tahmin yöntemleri ile bulunmuş tahminlerin örnekteki dağılımların ortalaması ve varyansıyla ölçülür.

112 En Küçük Kareler Tahminlerinin Özellikleri
Burada her zamanki varsayımsal yenilemeli örnekleme süreci kullanılır, yani her biri n gözlemli çok sayıda örneğin alındığı varsayılır. Ekonometri yöntemlerinin her birini kullanarak her örnekten hesaplanıp dağılımları oluşturulur. Küçük örnekten bulunmuş iyi bir tahmin edici için temel ölçütler:Sapmasızlık, En küçük varyans, Etkinlik, Doğrusal en iyi, sapmasızlık (DES), En küçük ortalama hata karesi (OHK), Yeterlilik dir.

113 a. Sapmasız Tahmin Edici
Bir tahmin edicinin sapması, beklenen değeriyle gerçek parametre arasındaki fark olarak tanımlanır. Sapma= b Eğer sapma sıfırsa yani = b ise, sapmasız olur. Bu da örneklerin sayısı artıkça, sapmasız tahmin edicinin, parametrenin gerçek değerlerine yaklaştığı anlamına gelir. Sapmasız bir tahmin edici ‘ortalama olarak’ parametrenin gerçek değerini verir. Aranan bir özellik olmasına karşın, sapmasızlık kendi başına çok önemli değildir. Ancak küçük bir varyansla birleşirse önemli olur.

114 a. Sapmasız Tahmin Edici
, b’nin sapmasız tahmin edicisidir , b’nin sapmalı tahmin edicisidir

115 b. En Küçük Varyanslı Tahmin Edici (En İyi Tahmin Edici)…
Bir tahmin, başka ekonometri yöntemleriyle bulunmuş başka herhangi bir tahminle karşılaştırıldığında en küçük varyansa sahip olduğu görülürse en iyi tahmindir. nin en iyi olma koşulu: < Ya da; Var( )<Var( ) Burada , gerçek parametre b nin (sapmasız olması gerekmeyen) herhangi bir başka tahminidir.

116 b. …En Küçük Varyanslı Tahmin Edici (En İyi Tahmin Edici)
Varyansı küçük olduğu halde sapması büyük olan bir tahmin edici, gerçek b parametresinden oldukça uzak bir değer etrafında toplanabilmektedir. , b nin büyük varyanslı sapmasız tahmin edicisidir. , b nin küçük varyanslı sapmalı bir tahmin edicisidir.

117 c. Etkin Tahmin Edici Bir tahmin edici; sapmasız ve başka herhangi sapmasız tahmin ediciyle karşılaştırıldığında daha düşük varyansa sahipse etkin tahmin edicidir. Aşağıdaki iki koşul yerine getirilirse etkindir: (i) ve Burada , gerçek b nin başka bir sapmasız tahmin edicisidir. Başka bir deyişle, etkin tahmin edici, bütün tahmin sapmasız ediciler sınıfı içinde en düşük (en iyi) varyansa sahip olan tahmin edicidir. (ii)

118 d. Doğrusal Tahmin Edici…
Bir tahmin edici, örnekteki gözlemlerin doğrusal bir fonksiyonuysa doğrusal sayılır. Örnek gözlemleri veriyken, doğrusal bir tahmin edici şu biçimi alır: Burada ki ler sabit değerlerdir. Örneğin olduğundan örnek ortalaması doğrusal bir tahmin edicidir. Çünkü:

119 d...Doğrusal Tahmin Edici…
örnek ortalaması hesaplanırken her gözleme, 1/n ye eşit olan aynı k ağırlığı verilmiştir.

120 e. Doğrusal en iyi sapmasız tahmin edici (DEST)
Bir tahmin edici, doğrusalsa sapmasızsa ve gerçek b nin öteki doğrusal sapmasız tahmin edicileriyle karşılaştırıldığında en küçük varyansa sahipse, DEST olur.

121 f. En küçük ortalama hata kareli (OHK) tahmin edici
Ortalama hata karesi ölçütü, sapmasızlık ve en küçük varyans özelliklerinin bir bileşimidir. Burada OHK, tahmin edicinin, ana kütledeki gerçek parametre b ile olan farkının karelesinin beklenen değeri olarak tanımlanır: OHK nin, tahmin edicinin varyansıyla sapma karesinin toplamına eşit olduğu gösterilebilir:

122 f… En küçük ortalama hata kareli (OHK) tahmin edici…
İspat:

123 f. En küçük ortalama hata kareli (OHK) tahmin edici

124 g. Yeterli tahmin edici Yeterli bir tahmin edici, gerçek parametre hakkında bir örneğin içerdiği bütün bilgileri kullanıma koyan bir tahmin edicidir. Bu başka hiçbir tahmin edicinin, tahmin edilmekte olan gerçek ana kütle parametresi hakkında daha fazla bilgi sunamayacağı anlamına gelir.

125 2. Tahmin edicilerin büyük örnek özellikleri: Asimtotik özellikler
Büyük örnek özelliklerinin, bir tahminin iyiliğini belirleme ölçütü olarak kullanılması, örneğin sonsuz büyük olmasını gerektirir. İşte bu nedenle bu özelliklere asimtotik özellikler denir. Örnek büyük olduğu zaman bu özelliklerin yaklaşık olarak sağlandığı varsayılır. Özellikler ise şunlardır: asimtotik sapmazlık, tutarlılık ve asimtotik etkinlik.

126 2...Tahmin edicilerin büyük örnek özellikleri: Asimtotik özellikler
Asimtotik dağılım: Bir dizi rassal değişken düşünüldüğünde; Bunlardan her birinin kendi dağılımı, ortalaması ve varyansı vardır. Dağılımlar gitgide artan örnek büyüklüklerinden oluşturulmuştur. nT sonsuza giderken bu dağılımlar da belli bir dağılıma doğru yaklaşıyor olabilirler. İşte bu dağılıma {X(n)} dizisinin asimtotik dağılımı denir.

127 a. Asimtotik sapmasızlık…
Eğer edicisinin asimtotik ortalaması, ana kütlenin gerçek b parametresine eşit ise, bu tahmin edici, bu parametrenin asimtotik sapmasız tahmin edicisidir. Bir tahmincinin asimtotik sapması, asimtotik ortalaması ile gerçek parametre arsındaki farka eşittir.

128 a… Asimtotik sapmasızlık
Asimtotik bir sapmasız tahmin edici, örnek büyüklüğü yeterine büyük olduğunda sapması kaybolan bir tahmin edicidir. Eğer bir tahmin edici (sonlu küçük örneklerde) sapmasızsa aynı zamanda asimtotik sapmasızdır, ama bunun tersi doğru değildir.

129 asimtotik sapmasız olmalıdır.
b. Tutarlılık… Bir edicisi, aşağıdaki iki koşulla, ana kütlenin b gerçek parametresinin tutarlı bir tahmin edicisidir: asimtotik sapmasız olmalıdır. 1. n sonsuza giderken 'nin varyansı sıfıra yaklaşmalıdır: 2.

130 Tutarlılık… Eğer varyans sıfırsa, dağılım ana kütlenin gerçek parametresinin üstünde bir noktada toplanır. Bir tahmin edicinin tutarlı olup olmadığını anlamak için, n arttıkça sapmanın ve varyansının ne olduğuna bakılmalıdır. (n) büyüdükçe hem sapma hem varyans azalmalı ve limitte ( iken) sıfır olmalıdır. Tutarlılık kavramı aşağıda çizilmiştir. Örnek büyüklüğü artıkça hem sapma hem varyans azalmaktadır.

131 c. Asimtotik etkinlik Eğer tutarlıysa
Başka herhangi bir tutarlı tahmin ediciye göre daha küçük bir asimtotik varyansı varsa bu tahmin edici ana kütlenin gerçek b parametresinin asimtotik etkin bir tahmincisidir. Eğer; ise asimtotik etkindir. Burada , b nin başka bir tutarlı tahmin edicisidir. Tutarlı tahmin ediciler karşılaştırıldığında hangisinin varyansı daha hızla sıfıra yaklaşıyorsa o, asimtotik etkendir.

132 3. En Küçük Kareler Tahmin Edicilerinin Özellikleri
Hata terimi u'nun bazı genel varsayımları yerine getirmesi, yani ortalamasının sıfır ve varyansının sabit olması koşuluyla, en küçük kareler tahmincilerinin DES ( doğrusal, en iyi, sapmasız) özelliklerini sağlamasına Gauss-Markow en küçük kareler teoremi denmektedir.

133 a. Doğrusallık En küçük kareler tahminleri ve gözlenen örnekteki Yi değerlerinin doğrusal fonksiyonlarıdır. Varsayım gereği Xi ler hep aynı değerlerle göründüklerine göre en küçük kareler tahminlerinin yalnız Y değerlerine bağlı olduğu gösterilebilir. İspat: Varsayım gereği X değerleri sabit değerler kümesidir. Bu durumda ki lerde örnekten örneğe değişmezler.

134 …Doğrusallık Bu durumda şunu yazabiliriz:
Y’lerin doğrusal bir fonksiyonudur. Bağımlı değişken değerlerinin doğrusal bir bileşimidir. ve ki Örnekten örneğe değişmez. katsayı tahmini sadece Y ye bağlıdır.

135 ve nin sapmasızlık özelliği ve
b. Sapmasızlık ve nin sapmasızlık özelliği ve şeklindedir. Bu özelliğin anlamı, örneklerin sayısı artıkça tahminler de parametrelerin gerçek değerine yaklaşır. Başka bir deyişle, n sayıda Y ve X gözleminden oluşan, olanak içindeki bütün örnekleri seçildiğinde ve ile tahminleri her örnek için hesaplandığında, bu tahminlerden çok fazla sayıda elde edilir. Bunların ortalaması ise ilişkinin parametrelerine eşit olur. Tahminlerin dağılımı, orta nokta olarak parametrenin gerçek b değeri üzerinde toplanacaktır.

136

137 c. En Küçük Varyans Gauss-Markow teoremi ispatı: Bu teoreme göre en küçük kareler tahminleri, başka ekonometri yöntemleriyle bulunmuş herhangi bir başka doğrusal sapmasız tahmin ediciler arasında en iyisidir ( varyansı en küçük olandır). EKK yönteminin tercih edilmesinin temel nedeni de bu özelliktir.