Diferansiyel Denklemler

Name: Diferansiyel Denklemler
Uploaded: 2017-10-20T13:34:23+00:00
Duration: PTM17S39
Channel: Nazenin Turkoglu
Description: Diferansiyel Denklemler

Diferansiyel Denklemler
Prof.Dr.Şaban EREN Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Bölüm

Bölüm 1 – Diferansiyel Denklemler
1.6. Verilen diferansiyel denklemde c veya c sabitlerinden en az birinin sıfır olmadığı varsayılmaktadır. Her ikisinin sıfır olduğu durumda eşitlik homojen diferansiyel türüne dönüşür. Bu diferansiyel denklemin çözümünde iki durumun gözönüne alınması gerekir.

Durum-I: ax + by + c = 0 ve ax + by + c = 0 doğrularının kesişmesi durumu. Bu durum Şekil:1.2’de görülmektedir. Şekilden de görüldüğü gibi P noktasının koordinatları Oxy koordinat sistemine göre P(x,y) ve OXY koordinat sistemine göre P(X,Y)’dir. O noktasının bu iki doğrunun kesim noktası ve koordinatlarının (h, k) olduğunu varsayalım.

Şekil: 1.2. P noktasının Oxy ve O’XY koordinat eksenlerine göre pozisyonu.

(1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem

(1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem (1.32) şekline dönüşür.

(h, k) iki doğrunun kesim noktası olup doğru denklemlerinde yerine konduğunda ah + bk + c = 0 ve ah + bk + c = 0 olacağından (1.32) nolu eşitlik, (1.33) homojen denklem türüne dönüşür. Bu tür denklemlerin çözümü bir önceki bölümde açıklanmış idi.

Örnek 1.17. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz.

Örnek 1.17. diferansiyel denkleminin çözümünü elde ediniz. Pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit olmadığından doğrular kesişir. Kesim noktasının koordinatlarının (h, k) olduğu varsayılırsa, 2x + 3y –1 doğrusundan 2h + 3k – 1 = ve x – 2y – 4 doğrusundan h – 2k – 4 = 0 eşitlikleri elde edilir.

Bu eşitliklerden h = 2 ve k = -1 değerleri bulunur. Verilen diferansiyel denklemde, x = X + h ve y = Y + k konursa diferansiyel denklem (1.34) homojen denklem türüne dönüşür.

(1.34) nolu eşitlikte, konursa

(1.34) nolu eşitlikte, konursa (1.34) nolu eşitlik şekline dönüşür ve buradan,

elde edilir.

(1.35) değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel çözüm

(1.35) değerleri (1.35) nolu eşitlikte yerine konursa genel çözüm şeklinde olur.

Eğimleri eşit olmadığından pay ve paydadaki doğruların kesim noktası(h, k) olsun. h – k = 0 h – 8k + 7 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir.

Eğimleri eşit olmadığından pay ve paydadaki doğruların kesim noktası(h, k) olsun. h – k = 0 h – 8k + 7 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir. Dolayısıyla x = X + h den X = x – h = x– ve y = Y + k dan Y = y – k = y – 1 elde edilir.

x = X + h ve Y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, diferansiyel denklemimiz (1.36) homojen denklem türüne dönüşür.

x = X + h ve Y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, diferansiyel denklemimiz (1.36) homojen denklem türüne dönüşür. Y = VX ifadeleri (1.36)’da yerine konursa,

(1.37) bulunur.

X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine konursa

X = (x – 1), Y = (y – 1) değerleri (1.37)’de yerine konursa genel çözümü elde edilmiş olur.

Pay ve paydadaki doğruların eğimi eşit değildir. Dolayısıyla bu doğrular kesişir ve kesim noktasının (h, k) olduğunu varsayalım. 2h – k = 0 h +2k – 5 = 0 eşitliklerinden h = 1, k = 2 bulunur. Dolayısıyla X = x – 1 ve Y = y – 2’dir.

x = X + h ve y = Y + k eşitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa diferansiyel denklemimiz, (1.38) homojen denklem türüne dönüşür.

Y = VX eşitlikleri yardımıyla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz,

Y = VX eşitlikleri yardımıyla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz, şekline dönüşür.

Buradan,

genel çözümü elde edilir.

Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır.

Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır. dersek

Durum II. Doğruların paralel olması durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki doğruların eğimleri eşit yani doğrular paralel ise denklemin çözümü için aşağıdaki adımlar uygulanır. dersek (1.39) olur.

eşitliğinden elde edilir.

eşitliğinden elde edilir. eşitliği (1.39)’da yerine konursa

eşitliğinden elde edilir. eşitliği (1.39)’da yerine konursa (1.40)

ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.41) bulunur.

ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.41) bulunur. Görüldüğü gibi verilen diferansiyel denklem değişkenlerine ayrılmış olduğundan eşitliğinin integrali alınarak sonuca gidilir.

olduğundan doğrular paraleldir.

olduğundan doğrular paraleldir. z = x – 2y dersek Dolayısıyla,

olduğundan doğrular paraleldir. z = x – 2y dersek Dolayısıyla, olur.

Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa

Bu eşitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa ve bu eşitliğin düzenlenmesi sonucunda (1.42) elde edilir.

(1.42) nolu eşitlik değişkenlerine ayrılabilir duruma düzenlenebilir. Bu eşitliğin her iki yanının integrali alınırsa, ifadesinden

eşitliği bulunur. Bu eşitlikte z = x – 2y konursa (1.43) genel çözümü elde edilir.

Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir.

Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde,

Eşitlikten de görüldüğü gibi olduğundan doğrular paraleldir. Verilen denklemde, konursa,

eşitlik

eşitlik (1.44) şekline dönüşür.

Her iki tarafın integrali alınırsa,

(1.45) genel çözümü bulunur.

Diferansiyel Denklemler

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

Diferansiyel Denklemler

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "Diferansiyel Denklemler"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim