Matlab ile sayısal integrasyon yöntemleri.

... konulu sunumlar: "Matlab ile sayısal integrasyon yöntemleri."— Sunum transkripti:

1 Matlab ile sayısal integrasyon yöntemleri.
SAYISAL İNTEGRAL Matlab ile sayısal integrasyon yöntemleri.

2 Şekilde görüldüğü gibi
İntegral hesabında, fonksiyonun her bir verilen noktasında kümülatif alanı hesaplanır. Sayısal integrasyon ise, integralin analitik değerine, çeşitli yöntemlerle yaklaşmadır.

3 Sayısal İntegrasyon Yöntemleri
Sayısal integral yöntemleri, grafik üzerinde görüldüğü gibi yaklaşık değerler verir.

4 Sayısal İntegrasyon Yöntemleri
Kare Yöntemi Bu yöntemde Fonksiyonun her bir aralıkta sabit bir değeri olduğu varsayılır. Trapez Yöntemi Bu yöntem verilen fonksiyonun belirli integrali hesaplanırken a ve b aralığında x ekseni ile arasına uygun bir yamuk çizilerek bu yamuğun alanı hesaplanır. Simpson Yöntemi Bu yöntem trapez yönteminden daha iyi sonuç vermektedir. Burada integralin alt ve üst sınırı büyükse bu aralığı n>=2 ve çift olacak şekilde n tane alt aralığa bölerek ardışık çift aralıklar için bu yöntem kullanılır.

5 Sayısal İntegrasyon Yöntemleri
İntegrali alınacak fonksiyonun grafik gösterimi

6 Sayısal İntegrasyon Yöntemleri
İntegralin analitik çözümü (Gerçek Çözüm)

7 Sayısal İntegrasyon Yöntemleri
Gerçek çözüme sayısal yöntemle yaklaşım

8 Kareler ile İntegral Fonksiyonun her bir aralıkta sabit bir değeri olduğu varsayılır.

9 Trapez ile integral Kareler yerine yamuklar kullanır.

10 Simpson 1/3 kuralı En yaklaşık sonucu verir.

11 Kare Metodu Uygulama function [F] = rectangle(a, b, n) %Bu fonksiyon kare yöntemini uygulayarak integralin yakaşıkl değerini bulur. %Giriş değerleri % a=ilk değer, b=son değer, n=iterasyon sayısı. h = (b - a) / n; % x = a + h * [0:n-1]; % sol köşe için: O(h) x = a + h * ([0:n-1] + .5); % merkezi için: O(h²) % x = a + h * [1:n]; % sağ köşe için: O(h) F = f(x) * h; function [func] = f(x) func = 3 * x.^2; % fonksiyon buraya yazılıre end

12 Trapez Yöntemi Uygulama
function [F] = trap(f,a,b,n) %% f=fonksiyon, a=başlangıç değeri, b=son değeri, n=number of intervals h = (b - a) / n; x = [a:h:b]; for ii = 1: length(x) y(ii) = f(x(ii)); end F = h*(y(1) + 2*sum(y(2:end-1)) + y(end))/2;

13 The trapezoidal rule is one of a family of formulas for numerical integration called Newton–Cotes formulas, of which the midpoint rule is similar to the trapezoid rule. Simpson's rule is another member of the same family, and in general has faster convergence than the trapezoidal rule for functions which are twice continuously differentiable,

14 TRAPZ –Integrasyon Fonksiyonu
Tanım : Trapezoid Kuralı, İntegrale dikdörtgenler yerine yamuklarla yaklaşma metodudur. Verilen x ve y noktalarının oluşturacağı yamukların alanı yaklaşık integral değerini verir. Kullanım : Z = trapz(Y) Z = trapz(X,Y) Z = trapz(...,dim)

15 TRAPZ – Trapezoidal Integrasyon
Örnek 1: >>x = 0:pi/100:pi; >>y = sin(X); z = trapz(X,Y) veya z = pi/100*trapz(Y)

16 TRAPZ – Trapezoidal Integrasyon
Örnek 2: Aşağıdaki tabloda verilerin integralini trapez kuralıyla hesaplayın x f(x) [ ] İntegral = ( ) ( ) + 2 10 = 2.05 >> x = [ ]; >> y = [ ]; >> trapz(x,y)

17 TRAPZ – Trapezoidal Integrasyon
Örnek 2 Çözüm : Trapez yöntemi ile kendimiz çözersek, aşağıdaki giib bir denklem kurmamız gerekir. İntegral = ( ) ( ) + 2 10 = 2.05 [ ] Aynı problemi, matlabda trapz komutu ile çözeriz. >> x = [ ]; >> y = [ ]; >> trapz(x,y) Ans = 2.0500

18 QUAD- Sayısal İntegral
Tanım : Bu komut yinelemeli Simpson 1/3 yöntemini kullanarak [a − b] aralığında integrali hesaplar. Adapte Gauss kuadratörü ile integral alınır. Kullanım : q = quad(fun,a,b) q = quad(fun,a,b,tol) q = quad(fun,a,b,tol,trace) [q,fcnt] = quad(...)

19 QUAD- Sayısal İntegral
Örnek : Fonksiyonun 0-2 aralığında integralini çözün. Çözüm : Önce fonksiyon m-dosyasında tanımlanır function y = myfun(x) y = 1./(x.^3-2*x-5); end 0-2 aralığında integralini almak için quad çağrılır 1 x3 – 2x5

20 QUAD- Sayısal İntegral
Örnek : Aynı fonksiyon, anymous şekilde de tanımlanabilir. f Bu şekilde tanımlandığında, ismi verilmesi yeterlidir. quad(F,0,2);

21 QUAD- Sayısal İntegral
Fonksiyon daha önce tanımlanarak gönderilebileceği gibi y = *x-200*x.^ *x.^3-900*x.^ *x.^5; quad(y) karakter dizisi şeklinde direkt fonksiyona gönderilebilir. quad(' *x-200*x.^ *x.^3-900*x.^ *x.^5', 0,.8) y2 = x.^5 + 7*x.^4 + 4*x.^3 + 3 * x.^2 + 5 *x + 2 quad('y2 = x.^5 + 7*x.^4 + 4*x.^3 + 3 * x.^2 + 5 *x + 2', 0,.5)

22 DBLQUAD – Çift Değişkenli İntegral Çözücü
Tanım : Dblquad komutu MATLAB’de iki değişkenli (bivariate) fonksiyonların integrallerini almayı sağlar. Yani f (x, y) gibi iki değişkene bağlı fonksiyonların integrali dblquad ile hesaplatılabilir. Kullanım : q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax) q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)

23 DBLQUAD – Çift Değişkenli İntegral Çözücü
Örnek : f(x,y) = ySin(y)sin(x) + xcos(y) Şeklinde tanımlı fonksiyonun integrali için Matlabda Önce fonksiyon yazılır ve dblquad her bir değer için aralık verilerek çağrılır. f q = dblquad(f,pi,2*pi,0,pi) ans =

24 QUAD2D – 2 Alanda İntegral
Tanım : Bir yüzey alanı boyunca sayısal integrali hesaplar. Kullanım : q = quad2d(fun,a,b,c,d) [q,errbnd] = quad2d(...) q = quad2d(fun,a,b,c,d,param1,val1,param2,val2,...)

25 QUAD2D – 2 Alanda İntegral
Örnek 1: [(x+y)1/2 (1+x+y)2]-1 integralini 0 <y<1 aralığında hesaplayın. % % fun 1./(sqrt(x + y) .* (1 + x + y).^2 ) ymax 1 - x; Q = quad2d(fun,0,1,0,ymax)

26 QUAD2D – 2 Alanda İntegral
Örnek 2 : Y*sin(x) + x * cos(y) fonksiyonun π ≤ x ≤ 2 π ve 0 ≤ y ≤ π aralıklarında integrali Quad2d(x,y) = y. * sin(x) + x. *cos(y),pi,2 *pi,0,pi) ans =

27 QUADL Tanım : Adaptive Lobatto quadrature yöntemi ile, yaklaşık integrali daha yüksek ayrıntı ile hesaplar. Kullanım : q = quadl(fun,a,b) q = quadl(fun,a,b,tol) quadl(fun,a,b,tol,trace) [q,fcnt] = quadl(...)

28 QUADL Örnek : fonksiyonun integrali Quadl(@fonksiyon,0,2)
şeklinde çözülebileceği gibi, Aynı fonksiyon sabit parametresi ile de çağrılabilir. Quad = 1 x3 – 2x5

29 QUADV - Vectörize quadrature
Tanım : Compleks dizi şeklinde tanımlı fonksiyonların integralini hesaplar. Kullanım : Q = quadv(fun,a,b) Q = quadv(fun,a,b,tol) Q = quadv(fun,a,b,tol,trace) [Q,fcnt] = quadv(...)

30 QUADV - Vectörize quadrature
Örnek : Aşağıdaki şekilde array parametreli bir fonksiyon tanımlanmış olsun % % function Y = myarrayfun(x,n) Y = 1./((1:n)+x); 0 ve 1 arasında, parametere 10 verilerek hesaplanmak istenirse Qv =

31 QUADV - Vectörize quadrature
Not: Aynı fonksiyon, skalar olarak tanımlanıp, for döngüsü üçünde quad ile çağrılsaydı, aynı sonuçlar alınmayacaktı. for k = 1:10 Qs(k) = end % skalar fonksiyon : % % function y = myscalarfun(x,k) y = 1./(k+x);