LİMİT.

... konulu sunumlar: "LİMİT."— Sunum transkripti:

1 LİMİT

2 Matematiğin, ekonomi ve diğer uygulamalı
bilimlerde en çok kullanılan kavramları olan türev ve integral kavramları limit kavramı üzerine inşa edilmiştir. Limit kavramı, x bağımsız değişkeninin belirli bir sayıya yaklaşırken y=f(x) fonksiyon değerlerinin belirli bir sayıya yaklaşıp yaklaşmadığını konu alır.

3 Bağımsız değişken olan x sayısının verilen
bir sayıya yaklaşması demek, a sabit bir sayı olmak üzere, x ile a arasındaki fark x değiştiğinde istenildiği kadar küçük bir sayıdan daha küçük kalıyorsa x sayısı a sayısına yaklaşıyor demektir. Başka bir deyişle x değişkeni a dan farklı ve a sayısına istenildiği kadar yakın değerler alıyorsa x, a sayısına yaklaşıyor denir. Sembolik olarak şeklinde gösterilir.

4 Eğer x değişkeni a sayısına a dan büyük
değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve ile gösterilir. Eğer x değişkeni a sayısına a dan küçük soldan yaklaşma denir ve ile

5

6

7 f(x) değerlerinin anlamlı olması için a ya
yaklaşan x değerlerinin fonksiyonun tanım kümesine ait olması gerekir. Örnek: fonksiyonunu göz önüne alalım. x değişkeni 2 ye yaklaşırken f(x) fonksiyon değerlerinin belirli bir sayıya yaklaşıp yaklaşmadığı aşağıdaki tabloda incelenmiştir.

8

9 Tabloda görüldüğü üzere hem için
hem de için fonksiyon değerleri 1 sayısına yaklaşmaktadır. İşte bu 1 sayısına f(x) fonksiyonunun 2 noktasındaki limiti denir ve sembolik olarak biçiminde gösterilir.

10 Bu fonksiyonun 2 noktasındaki limitini
aşağıdaki grafikte inceleyebiliriz.

11 LİMİT ÖZELLİKLERİ 1. c bir sabit sayı ve olmak üzere; olur. 2.

12 fonksiyonları verilsin ve olsun. Bu durumda f+g fonksiyonlarının x=a noktasında limiti vardır ve olur. Toplamın limiti limitler toplamına eşittir. Aynı şekilde çıkarmanın limiti çıkarılan fonksiyonların limitlerinin farkına eşittir.

13 fonksiyonları verilsin ve olsun. f.g fonksiyonunun x=a noktasında limiti var ve olur. Çarpımların limiti limitlerin çarpımına eşittir.

14 fonksiyonları verilsin, ve ise fonksiyonunun a noktasında limiti vardır ve olur.

15 6. fonksiyonu verilsin ve
olsun. olmak üzere, olur.

16 7. fonksiyonları verilsin ve x in a sayısına yakın tüm değerleri için eşitsizliği sağlansın. Eğer oluyorsa bu durumda f fonksiyonunun a noktasında limiti vardır ve olur.

17 için limit alınırken aşağıdaki kurallar uygulanır. * * a>1 olmak üzere: * * olmak üzere:

18 ile ilgili işlemler aşağıdaki gibi tanımlanır.

19

20

21 Tek Yönlü Limitler: Eğer için f fonksiyonunun L gibi bir limiti varsa bu limite a noktasındaki sağdan limit denir ve biçiminde gösterilir. soldan limit denir ve

22 Bir sayının belirli bir noktada limitinin
olması için o noktada sağdan ve soldan limitlerinin olması ve bunların eşit olması gerekir. Aksi takdirde fonksiyonun o noktada limiti yoktur denir.

23 Örnek: limitini hesaplayalım.
olur. Sağdan ve soldan limitler vardır fakat eşit değildir. Bu durumda bu verilen noktada fonksiyonun limiti yoktur denir.