Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

... konulu sunumlar: "Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü"— Sunum transkripti:

1 Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Mühendislik Ekonomisi Yrd. Doç. Dr. Cenk Budayan

2 Mühendislik nedir? Çalışmakla, deneyimle ve pratikle elde edilen matematiksel ve doğa bilimleri ile ilgili bilginin, kişisel yargıyla birleştirerek insanlık yararına çevredeki malzemeden ve doğa güçlerinden ekonomik olarak yararlanma yollarının geliştirilmesidir (Mühendislik ve Teknoloji Akreditasyon Kurumu). Arthur Mellen Wellington mühendislik tanımını şu şekilde yapar. “Beceriksiz birinin iki dolara kötü yaptığı bir şeyi bir dolara iyi yapma sanatıdır.” Bu tanımlardan da anlayacağımız gibi bir mühendis iş süreci boyunca ekonomiyi sürekli göz önünde tutmalıdır.

3 Bir Mühendisin İş Hayatındaki Rolü
Çeşitli karar aşamalarında yer almak; (proses, üretim, pazarlama, finans gibi), Ekipman tedarikinde bulunmak, Ürün tasarımı yapmak.

4 Ekonomi İnsan ihtiyaçlarını karşılamak, içinde bulunduğu maddi şartları düzeltmek, toplumun refahını en üst seviyeye çıkartmak için, eldeki mevcut ekonomik kaynaklardan optimum faydayı sağlamayı planlayan bilim dalıdır.

5 Mühendislik Ekonomisi
Mühendislik ekonomisi mühendislik dalının ekonomik cephesiyle ilgilenen mühendislik disiplinidir, önerilen teknik bir projenin masrafının ve yararlarının sistematik olarak değerlendirilmesini içerir. Mühendislik ekonomisinin prensipleri ve metodolojisi mühendislik tasarımında, teknik ve genel yönetimde çok geniş bir uygulama alanına sahiptir. Bir mühendislik firmasında bir gelir ve giderin olduğu her yerde mühendislik ekonomisi prensiplerinden yararlanılır.

6 Mühendislik Ekonomisi
Unutulmaması gereken bir noktada gelecek ile ilgili kararları sizin vermeniz gerekir. Mühendislik ekonomisi ise size karar vermenize yardım eden araçlar bütünüdür, diğer bir deyişle bu araçlar sizin için karar veremezler. Mühendislik ekonomisi gelecek ile ilgili kararların tahmin edilmesine dayanır, diğer bir deyişle gelecekle ilgili riskler ve belirsizliklerle ilgilenir. Mühendislikle ilgili bir çok parametre ise zamanla değişir.

7 Mühendislik Ekonomisi Neden Gerekli?
Mühendislerin genellikle verdiği kararlar finansal kaynakların nasıl kullanılacağını tayin eder. Mesela: Yeni ürün geliştirme Eskiyen ekipmanın yenilenmesi Yap veya satın al kararları Yeni bir üretim hattı veya fabrikanın yapılması Birkaç tasarım alternatifinden birisinin seçilmesi Mühendisler kısıtlı finansal kaynaklarla çalışırlar. Bu sınırlı finansal kaynakların en verimli şekilde kullanılması gerekir. Sonuç olarak bu kaynaklar firmalara ait değildir. Finansal kaynaklarının çoğunu bankalardan aldığı kredilerle sağlarlar. Hatta, firmalara ait olduğunu düşündüğümüz anaparalar firma sahipleri tarafından firmalara borç olarak verilirler ve bu paraların şirketlere bir maliyeti vardır. Mühendislik ekonomisi bu karar verme süreçlerinde sistematik bir yaklaşım ve matematiksel araçları sağlar Mühendislik ekonomisi prensiplerinin önemli rol oynadığı bazı durumlar aşağıda belirtilmiştir.

8 Mühendislik Ekonomisi Neden Gerekli?
Büyük Ölçekli Mühendislik Projeleri Büyük yatırım maliyetleri gerektirir. Finansal sonuçlarını görmek uzun zaman alır. Gelir ve gider akışlarının öngörmek zordur. Ayrıca, bireyler için de özellikle büyük ölçekli parasal yatırım /alış-verişlerde işe yarar. Yeni ev/araba alınması veya kiralanması Kredi kartının taksitlendirilmesi Yatırım fonu seçimi Hazine bonosu alımı

9 Karar verme sürecinin aşamaları
Problemin belirlenmesi Problemin analize tabi tutulması Hedef ve amaçlar belirlenir İlgili bilgi ve veriler toplanır Problem için değişik alternatiflerin geliştirilmesi Karar verme kriterlerinin belirlenmesi En iyi seçeneğin belirlenmesi Çözümün uygulanması Sonuçların izlenmesi İlk aşamada problemin belirlenmesi gerekmektedir. Karar verme sürecinin diğer safhalarına geçmeden önce problemin iyi bir şekilde anlaşılması ve açıkça belirtilmesi gereklidir. İlk basamak diğer basamaklarında düzgün bir şekilde yerine getirilebilmesi için çok önemlidir. Bu aşamada bu aşama ilgili bilgi ve datalar oluşturulur ve hedef ve amaçlar belirlenir. Problem için değişik alternatiflerin geliştirilir. Daha sonra firmanın amaçları ve hedefleri doğrultusunda karar verme kriterleri geliştirilir. Değişik alternatif karşılaştırma metotlarıyla alternatifler karşılaştırılır ve en iyi alternatif belirlenir. Bu derste genel olarak bu kısmında kullanılan metotlardan bahse dilinecek. Daha sonra bu alternatif uygulanır. Ama karar verme sürecinde pek çök bilinmeyen ve risk olduğundan dolayı bulunan çözümün sonuçları mutlaka gözlenmeli ve alınan sonuçlar değerlendirilmelidir.

10 Karar verme sürecinin aşamaları
Problemin tanımlanması: Arabaya ihtiyaç var. Problemin analize tabi tutulması Dayanıklı ve düşük aylık ödemeleri olan bir araba kiralamak. Teknik ve finansal verilerin toplanması (aylık kira, peşinat, vb.) Yapılabilir seçeneklerin tanımlanması ve gerçekçi tahminlerin yapılması (Saturn veya Honda’nın kiralanması) Karar verme kriterlerinin belirlenmesi (Şimdiki ve yakın gelecekteki ihtiyaçları karşılamak ve belirli kısıtlar dahilinde kalmak) En iyi seçeneğin belirlenmesi (Honda) Çözümün uygulanması Sonuçların izlenmesi

11 Başa-Baş Noktası (Break even poınt)

12 Başa baş analizinin tanımı
Başa-baş noktası, üretim miktarı, maliyet akışları ve satış gelirleri arasındaki ilişkilere dayanarak, Giderler = Gelirler olduğu faaliyet düzeyini gösterir. Kar ve zararın sıfır olduğu bu noktaya, Sıfır kâr noktası, Ölü nokta, Kâr’a geçiş noktası gibi adlar da verilir.

13 Başa-baş analizinin kullanıldığı yerler
İşletme faaliyetini zarardan koruyacak en düşük kapasite kullanım oranının bulunması, Yeni yapılacak yatırımların en az kapasite oranının bulunması, Çeşitli kapasite kullanımları için sermaye ihtiyacı ve birim maliyetlerin tespiti, Planlanan başa-baş noktası ile gerçekleşen başa-baş noktasının karşılaştırılması yoluyla uygulanan yönetim ve politikaların değerlendirilmesi, Üretim, yatırım, fiyat politikalarında kararlara yardımcı olmak, Fiyat, gider, kapasite kullanım oranı ve satış hacmi değişmelerinin kâr’a etkisini bulmak.

14 Firma Maliyetleri Sabit maliyetler Değişken maliyetler
Firmaya temel üretim kapasitesini sağlamanın maliyeti. Bu maliyet geniş bir girdi veya çıktı aralığı (ilgili aralık/relevant range) için sabittir. Üretim miktarı ile toplam sabit maliyette değişim olmaz. Bazı sabit maliyetler sigorta, emlak vergisi, kira, ve yönetim giderleri. Değişken maliyetler Üretim veya satışların düzeyine/miktarına bağlı maliyetlerdir. Üretim büyüklüğü ile doğru orantılı olarak artar/azalır. Bazı değişken maliyetler direk hammadde ve işçilik giderleri. Karma maliyetler Tam olarak sabit veya değişken olmayan maliyetlerdir. Üretim seviyesi/miktarıyla artıp/azalır ancak üretim olmasa da yine vardır. Bazı karma maliyetler amortisman ve elektrik tüketimi. Sabit maliyetler Sigorta, emlak vergisi, kira, yönetim giderleri Değişken maliyetler direkt hammade ve direkt işçilik giderleri Karma maliyetlere amortisman, elektrik tüketimi.

15 Toplam Maliyet+ Üretim Grafiği

16 Ortalama birim maliyeti (Average Unit Cost)
Toplam üretim maliyetinin üretim miktarına bölünmesiyle bulunan birim başına düşen ortalama maliyettir. Sabit maliyetler Toplam sabit maliyetin birim maliyetine etkisi üretim miktarıyla değişir. Değişken maliyetler Toplam değişken maliyetin birim maliyetine etkisi sabittir. Karma maliyetler Toplam karma maliyetin birim maliyetine etkisi üretim miktarıyla değişir.

17 Birim Maliyet-Üretim Grafiği

18 Araç satın alma ve kullanım maliyeti

19 Üret veya Satın Al Örneği
A firması çim makinelerinde kullanılan gaz filtresinden yılda 20,000 adet üretmektedir. Beklenen yıllık üretim maliyetleri aşağıda özetlenmiştir: Doğrudan malzeme $100,000 Doğrudan işçilik $9.5/adet Enerji ve su $1.75/adet Fabrika için verilen kira $20,000 Isınma ve aydınlatma $20,000 Amortisman $100,000

20 Üret veya Satın Al Örneği
B firması ise 20,000 adet gaz filtresini A firmasına $17.00/adet birim fiyatta satmayı teklif etmiştir. Eğer A firması bu teklifi kabul ederse mevcut üretim tesisi üçüncü bir firmaya kiralayarak $35,000 gelir elde edecektir. A firması bu teklifi kabul etmeli midir?

21 Üret veya Satın Al Örneği

22 Operasyon planlama örneği
Bir fabrika haftada 5 gün tek vardiya ile ful-kapasite (24,000 adet/hafta) üretim yapılmaktadır. Bunun sabit maliyeti $90.000/haftadır ve bu üretim hacmi için ortalama birim maliyeti $30/birimdir. Fabrika adet/haftalık bir sipariş aldığında aşağıdaki iki seçenekten ikincisini seçmesi için gereken üretim miktarı aralığını belirleyiniz. Hafta içi mesai veya Cumartesi günü çalışma ile kapasiteyi birim/haftaya çıkartmak. Bu durumda, sabit maliyetin değişmeyeceği, değişken maliyetin ise $36/birim olacağı tahmin edilmekte. Kapasitesi birim/hafta olan ikinci vardiyanın eklenmesi. Bu durumda, yeni vardiya için $13500/haftalık bir sabit maliyetin ve $31,50/birimlik bir değişken maliyetin olacağı tahmin edilmekte.

23 Operasyon planlama ve başa-baş örneği
Opsiyon 1: fazla mesai veya Cumartesi mesaisi: 36Q Opsiyon 2: İkinci vardiya: $13, Q Başabaş noktası: 36Q = $13, Q Q = 3,000 adet

24 Maliyet Fonksiyonu Sabit maliyet s1 Değişken maliyet d1* q
Karma maliyetler s2 + d2* q q= iş hacmi d= parça başına düşen değişken maliye Gi(q)= s1+d1*q + s2 + d2 * q  Gi(q) = (s1 + s2) + q* (d1 + d2) Gi(q) = S+ q * D (Sabit olduğu düşünülürse)

25 Maliyet Fonksiyonu

26 Getiri Fonksiyonu Ge(q , p) = q*p p= parça başına alınan ücret
(Sabit olduğu düşünülürse) R(q) p * q q

27 Kar Fonksiyonu K(q) =R(q) – C(q) K(q) = p*q – (s + d*q)
K(q) = q*(p-d) –s

28 9/19/2019 Örnek 1 Bir oyuncak mağazası bir oyuncak üretebilmek için $ harcamak zorundadır. Ayrıca sabit olarak $1302 harcaması gerekmektedir. Her oyuncağı $15.50 sattığına göre; Maliyet fonksiyonunu yazınız. Gelir fonksiyonun yazınız. Kar fonksiyonunu yazınız.

29 Örnek 1 C(q) = 10,25 * q – 1302 R(q) = 15,50q K(q) = 15,50q- 10,25q -1302 K(q) = 5,25q

30 9/19/2019 Örnek 2 X firması M malını üretecek bir proje için kapasite tespit etmek istemektedir. Yapılan çalışmalar sonunda M mamulü için birim hasılat fonksiyonu r(q)= 0,13*q^2-15*q+50 ve birim maliyet fonksiyonu da c(q)= 0,10*q^2-10q+40 şeklinde tespit edilmiştir. O halde maksimum karı verecek proje kapasitesi ne olacaktır.

31 Örnek 2 TK = (0,13*q^2-15*q+50)*q–(0,10*q^2-10q+40)*q
Türevi alınır 𝑑𝑇𝐾 𝑑𝑞 = 0,09*q^2- 10*q+10 0,09*q^2- 10*q+10 = 0 −𝑏 ± √∆ 2𝑎  ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 ∆=100−4∗0,09∗10 ∆=96,4 10 ± √96,4 2∗0, q1 = 1,01 q2 = 110,1

32 9/19/2019 Örnek 3 Bir saat firması aylık sabit maliyeti $73,000 ve ürün başına değişken maliyeti $83 olan saatler üretmektedir. Bu saat firmasının satış fiyatı p=$180-0,02q fonksiyonuna bağlı ise maksimum kar ettiği üretim miktarını ve kara geçmeye başladığı üretim miktarını bulunuz.

33 Örnek 3 C(q) = 73000+83 * q R(q) = (180 -0,02q) * q
TK (q) = (180q -0,02q^2) – 83q TK (q) = 97q – 0,02q^ 𝑑𝑇𝐾 𝑑𝑞 = 97 -0,04q 97 -0,04q = 0 q=2425 unit TK = (180q -0,02q^2) – 83q TK = (180*2425 – 0,02*2425^2) – *2425 TK = 44612

34 Örnek 3 97q – 0,02q^2 -73000 =0 −𝑏 ± √∆ 2𝑎  ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐
−𝑏 ± √∆ 2𝑎  ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 q1 = 931,48 q2 = 3918,53

35 Örnek 4 X matbaacılık AŞ firması mühendislik ekonomisi konusunda kitap çıkarmak istemektedir. Kitabın başabaş satış adedini bulunuz. Kitabın Satış Fiyatı (Fi) = 500 TL Sabit Maliyet (SM)’ ler; Telif ücreti = TL Resim gideri = TL Dizgi giderleri = TL Toplam = TL

36 Örnek 4 Birim Değişken Maliyet (BDM)’ ler; Gider(q)= 530000+200q
Baskı ve kıvırma = 35 TL Mürekkep ve kağıt = 110 TL Kitabevi iskontosu = 50 TL Diğer değişken giderler = 5 TL Toplam = 200 TL Gider(q)= q Gelir(q)= 500q Kar(q)=500q q =0 başabaş noktası için q = / (500 – 200) = 1767 ünit

37 Örnek 4 1767 Maliyet veya Hasılat Başa baş noktası Üretim Miktarı
Kârlılık Alanı TSH (Toplam Satış Hasılat) Başa baş noktası TÜM (Toplam Üretim Maliyeti) SM (Sabit Maliyet) Zarar Alanı Üretim Miktarı 1767

38 Para Yönetimi ve Paranın Zaman Değeri
Faiz: Paranın maliyeti Ekonomik Eşdeğerlik Faiz Formülleri Özel Eşdeğerlik Hesaplamaları

39 Paranın Zaman Değeri Paranın zaman değeri vardır, çünkü para zaman içerisinde daha fazla para kazandırabilir (kazanma gücü). Paranın zaman değeri faiz oranı cinsinden ölçülür. Faiz paranın maliyetidir. Borç alan için maliyet, borç veren için ise kazançtır. Faiz borç verene parasının kullanıldığı için ödenmesi gereken ücrettir.

40 Faiz Hesaplama Yöntemleri
Basit faiz: sadece başlangıçtaki ana paraya faiz uygulanması Birleşik faiz: başlangıçtaki ana paraya ve önceki ödenmemiş birikimli faize faiz uygulanması Yıl Sonu Başlangıç Bakiye Faiz Sonuç Bakiye $1,000 1 $80 $1,080 2 $1,160 3 $1,240 Yıl Başlangıç Bakiye Biriken Faiz Yıl Sonu Bakiye $1,000 1 $80 $1,080 2 $86.40 $1,166.40 3 $93.31 $1,259.71

41 Örnek Bay A, 100 bin lira yıllık %40 faizle 5 yıl vadeli kredi aldığı düşünülürse eğer faiz basit faiz olarak alınırsa beş yıl sonunda toplam ödediği faiz miktarı ne olur? eğer faiz bileşik faiz olarak alınırsa beş yıl sonunda toplam ödediği faiz miktarı ne olur?

42 Örnek F= P+ P.i.n F= 100000+100000*0,4*5 F=300000 TL F= P(1+i)n

43 Örnek Bir banka yıllık faizi %24 ama aylık olarak faiz hesaplanmak üzere borç vermektedir. Buna göre bu bankanın verdiği yıllık faiz oranı nedir?

44 Nakit Akış (Cash Flow) Diyagramı
Nakit akış diyagramı bir proje süresince meydana gelen bütün girdilerin ve çıktıların görsel olarak gösterilmesine yarar. Nakit akış diyagramlarının kullanılması şiddetle tavsiye edilir ve mühendislik ekonomisi çok önemlidir. Çünkü, alternatiflerin karşılaştırılmasında temel bir rol üstlenir. Free body diyagramlar gibi düşünülebilir. Nakit akış diyagramları bakış açısını yansıtması gerekir.

45 Nakit Akış (Cash Flow) Diyagramı

46 Örnek Şimdi borç alınan 2000 liranın yıllık %6 faiz oranında 5 yıl sonra geri ödenecek toplam miktarını nakit akış diyagramı üzerinde gösteriniz.

47 Örnek %7 yıllık faiz oranı ile şimdiden başlayarak her yıl 1000 lira tasarruf edilirse ve toplam beş kere yapılırsa. En son yapılan tasarrufla birlikte biriken toplam tasarruf miktarı ne olacaktır. Nakit akış diyagramını gösteriniz.

48 Örnek Bir firma liralık bir yatırım yapmaktadır. Bu yatırımın yıllık kazancı 5310 liradır ve beş yıl sonunda bu yatırımın liralık hurda getirisi vardır. Bu beş yıl boyunca senelik olarak bakım ve operasyon maliyetleri lira olacaktır. Buna göre bu yatırımın net nakit akış diyagramını çiziniz.

49 Ekonomik Eşdeğerlik Ekonomik eşdeğerlik, iki nakit akışının aynı ekonomik etkiye sahip olması ve bu yüzden birbiriyle değiştirilebilmesidir. Nakit akışındaki miktarlar ve zamanlar farklı olmasın rağmen, uygun bir faiz oranı iki nakit akışını birbirine eşit yapar.

50 Örnek Yıllık %10 faiz oranı 4 yıl için 8000 liralık bir borç alırsak. Aşağıdaki ödeme şekillerine göre ödeyeceğimiz toplam tutarları bulalım. Yıl sonunda 2000 lira ve o yıl ki faiz ödenirse Yıl sonunda o yılın faizi ve ana para ise 4 sene sonunda ödenirse Bütün ödemeler 4 yıl sonunda yapılırsa.

51 Yıl sonunda 2000 lira ve o yıl ki faiz ödenirse
Yıl başındaki Borç Yılın faizi Yıl sonundaki toplam borç Ana paradan ödeme Yıl sonundaki toplam ödeme 1 8000 800 8800 2000 2800 2 6000 600 6600 2600 3 4000 400 4400 2400 4 200 2200 10000

52 Yıl sonunda o yılın faizi ve ana para ise 4 sene sonunda ödenirse
Yıl başındaki Borç Yılın faizi Yıl sonundaki toplam borç Ana paradan ödeme Yıl sonundaki toplam ödeme 1 8000 800 8800 2 3 4 3200 11200

53 Bütün ödemeler 4 yıl sonunda yapılırsa.
Yıl başındaki Borç Yılın faizi Yıl sonundaki toplam borç Ana paradan ödeme Yıl sonundaki toplam ödeme 1 8000 800 8800 2 880 9680 3 968 10648 4 1064,8 11712,8 3712,8

54 Ekonomik Eşdeğerlik Görüleceği gibi üç seçenekte farklı nakit akışlarına sahiptir. Karar verebilmek için üç seçeneği karşılaştırılabilir şekilde düzenlemek gerekir. Bizim bütün seçenekleri zaman içinde bazı noktalardaki karşılaştırılabilir denklik değerini bulmamız gerekir. Bu iki seçeneğin şimdiki değeri 8000 liraya denktir, yani aynı çekiciliğe sahiptir. Bu da göstermektedir ki, verilen nakit akışlarla bir sonuca ulaşmak imkansızdır. Sonuca ulaşabilmek için nakit akışlarının şimdiki denk değerini hesaplamak gerekir.

55 İki Nakit Akışının Eşdeğerliği
Yaz 2008 İki Nakit Akışının Eşdeğerliği Prensip 1: Paranın değerini hesaplayacağınız zamanı seçin. Eğer bugünü seçerseniz “bugünkü değeri” (present worth) hesaplamış olursunuz, gelecekte bir zamanı seçerseniz “gelecekteki değeri” (future worth) hesaplarsınız. Prensip 2: Eşdeğerlilik seçilen faiz oranına bağlıdır. Prensip 3: Eşdeğeri hesaplarken birden fazla ödemeyi tek bir ödemeye değiştirmemiz gerekebilir. Prensip 4: Karşılaştırılan nakit akışlarının birbirine eşdeğer olması seçilen zamana bağlı değildir.

56 Örnek Size bugün için P dolar ödeme veya 5 yıl sonunda $3000 ödeme alternatifleri sunulmuş olsun. Şu anda paraya ihtiyacınız olmadığı için size verilen P doları %8 yıllık faizle bankaya yatırmaya karar vermiş olun. Hangi P miktarı sizin için bu iki alternatif ödeme planını eşdeğer yapacaktır?

57 “Eşdeğer Nakit Akışları Herhangi Bir Zaman Noktasında Eşdeğerdir”

58 Nakit Akış Türleri Tek nakit akışı Eş (uniform/equal) ödeme serisi
Doğrusal artımlı (Linear Gradient) seri Geometrik artımlı seri Düzensiz ödemeli seri

59 Tek Nakit Çıkışlı Formül
Tek ödeme, bileşik faiz, gelecek değer Verilen: İstenen: Compound factor F N P Appendix’deki tablolar formüller yerine kullanılabilir!!!

60 Tek Nakit Girişli Formül
Tek ödeme, bileşik faiz, şimdiki (bugünkü) değer Verilen: İstenen: Discount factor F N P

61 Tek Nakit Formülü F=P(1+i)N 20 = 10(1+i)5 i=%14.87
Örnek: Şimdi $10 aldığınız bir hisse senedini 5 yıl sonra $20’dan satmış olun. Bu durumda ortalama yıllık geri dönüş oranı nedir? Çözüm: Formülde deneme-yanılma yaparak değerin bulunması (uzun ve verimsiz bir yöntem) Faiz çarpımlar tablosunu kullanarak (yaklaşık değerin) bulunması (tam sayı olmayan faiz oranları için zor) Finansal fonksiyonları özen hesap makinesi yada Excel gibi programların kullanılması F=P(1+i)N 20 = 10(1+i)5 i=%14.87

62 Tek Nakit Formülü Örnek: XYZ firmasının 100 adet hisse senedini $60/hisse fiyattan almış olalım. Planımız hisse senedinin değeri iki katına çıktığında elimizden çıkarmaktır. Hisse fiyatının yılda %20 artacağını tahmin edildiğinde, hisseyi satmak için kaç yıl beklememiz gerekir? F=P(1+i)N = P(F/P, i,N) 12,000 = 6,000 (1+0.20)N log 2 = N . log 1.2 N=3.80 veya yaklaşık 4 yıl Veya Excel => NPER (0.2, 0, -6000, 12000) => Dönem_Sayısı(0,2; 0; -6000; 12000)

63 Düzensiz ödeme serisi Örnek: Aşağıda belirtilen 4 yıllık harcamaları karşılamak için ne kadar para bankaya yatırılmalıdır (faiz oranı %10)? Yıl 1: Müşteri hizmetleri için bilgisayar ve yazılımları için $25,000 Yıl 2: Mevcut sistemi yükseltmek için $3000 Yıl 3: Harcama yok Yıl 4: Yazılım yükseltmeler için $5,000

64 Düzensiz ödeme serisi: Örnek
İKT 321 Mühendislik Ekonomisi Düzensiz ödeme serisi: Örnek