Farklı Varyans Var(ui|Xi) = Var(ui) = E(ui2) = s2  Eşit Varyans Y X.

... konulu sunumlar: "Farklı Varyans Var(ui|Xi) = Var(ui) = E(ui2) = s2  Eşit Varyans Y X."— Sunum transkripti:

1 Farklı Varyans Var(ui|Xi) = Var(ui) = E(ui2) = s2  Eşit Varyans Y X

2 Farklı Varyans Var(ui|Xi) = Var(ui) = E(ui2) = si2  Farklı Varyans
Hata Zaman

3 EKKY’nin varsayımlarından biri anakütle regresyon fonksiyonu ui lerin eşit varyanslı olmasıdır.
Her hata terimi varyansı bağımsız değişkenlerin verilen değerlerine göre s2 ye eşit aynı (sabit) bir değerdir. Bu nedenle eşit varyansa sabit varyans da denir. i=1,2,3,…N =Eşit varyans =Farklı varyans

4 Farklı Varyans ile Karşılaşılan Durumlar
X değişkeninin değeri arttıkça Yi nin şartlı varyansı sabit değil veya eşit değildir. Farklı Varyans ile Karşılaşılan Durumlar Kesit Verilerinde. Kar dağıtım modellerinde. Sektör modellerinde. Ücret modellerinde. Deneme - Yanılma modellerinde.

5 Farklı Varyansın Ortaya Çıkardığı Sonuçlar
Katsayı tahmincilerine etkisi.(EKKY uygulandığında farklı varyans varsa t ve F testleri doğru olmayan anlamsız katsayı tahminleri verecektir. Standart hatalar olduğundan daha büyük çıkacaktır, elde edilen güven aralıklarına güvenilemeyecektir. Tahminciler doğrusal ve sapmasızdırlar , ancak etkin ve eniyi tahminci olma yani minimum varyanslı olma özelliğini kaybederler. EKKY varyans formülleri kullanılamayacaktır.

6 Parametre Tahmincilerinin Özellikleri
Sapmasızlık Anakütle regresyon modeli Sapma nedeni ile i nin beklenen değeri sıfırdan farklı ise.

7 Parametre Tahmincilerinin Özellikleri
Sapmasızlık

8 Parametre Tahmincilerinin Özellikleri
Etkinlik Modelde sabit varyans varsayımının geçerli olmaması durumunda parametre tahmincileri 0* ve 1* olsun. 0* ve 1* ın varyanslarınn doğrusal sapmasız tahmin yöntemi ile belirlenmesi: Doğrusallık şartı gereği:

9 Etkinlik in beklenen değeri ve varyansı:

10 Tutarlılık ’nin tutarlı tahmincisidir.

11 Tutarlılık

12 Farklı Varyansın Belirlenmesi
Grafik Yöntemle. Sıra Korelasyonu testi ile. Goldfeld-Quandt testi ile. Breusch – Pagan testi ile. Glejser Testi ile. White testi ile. Lagrange çarpanları testi ile Ramsey Reset testi ile Park testi ile.

13 Grafik Yöntem

14 Grafik Yöntem

15 Grafik Yöntem

16 Sıra Korelasyonu Testi
1.Aşama H0: r = 0 H1: r  0 ttab =? 2.Aşama a = ? s.d.=? 3.Aşama 4.Aşama thes > ttab H0 hipotezi reddedilebilir

17 Sıra Korelasyonu Testi
X e Xs es di2 di 75 88 95 125 115 127 165 172 183 225 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 7.0545 4.7091 4.9818 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 -4 16 3 -1 1 2 1 1 7 -3 9 8 -3 9 9 -3 9 4 3 9 1 7 49 6 3 9 10 Sdi2=112 Mutlak değerli olarak bulundukları yer itibariyle küçükten büyüğe sıra numarası verilir d=X-e

18 Sıra Korelasyonu Testi
= 1.Aşama H0: r = 0 H1: r  0 ttab = 2.306 2.Aşama a = 0.05 s.d.= 8 3.Aşama = 4.Aşama thes < ttab H0 hipotezi reddedilemez.

19 Goldfeld-Quandt Testi
Büyük örneklere uygulanan bir F testidir. Bu test s2i nin farklı varyansının bağımsız değişkenlerden biri ile pozitif ilişkili olduğunu varsayar. s2i Xi ile pozitif (aynı yönde) ilişkilidir ve s2i farklı varyansı X’in karesi ile orantılıdır. Yani Xi değerleri arttıkça s2i değeri de artmaktadır.

20 Goldfeld-Quandt Testi
Y = b1 + b2 X2 + b3 X bk Xk + u Y X2s X Xk I.Alt Örnek n1 YI = b11 + b21 X2 + b31 X bk1 Xk + u Se12=? Çıkarılan Gözlemler n(1/6) < c < n(1/3) II.Alt Örnek n2 YII = b12 + b22 X2 + b32 X bk2 Xk + u Se22=?

21 Goldfeld-Quandt Testi
1.Aşama H0: Eşit Varyans H1: Farklı Varyans 2.Aşama a = ? Ftab =? 3.Aşama X bağımsız değişkeninin değerleri küçükyen büyüğe doğru ilgili Y bağımlı değişkeninin değerleri de taşınarak sıralanır. Ortadan c kadar gözlem çıkarılır. 4.Aşama Fhes > Ftab H0 hipotezi reddedilebilir

22 Yıl Tasarruf Gelir 1 264 8777 2 105 9210 3 90 9954 4 131 10508 5 122 10979 6 107 11912 7 406 12747 8 503 13499 9 431 14269 10 588 15522 11 898 16730 12 950 17663 13 779 18575 14 819 19635 15 1222 21163 16 1702 22880 17 1578 24127

23 Gelir bağımsız değişkenine göre tasarrufu da sıralıyoruz.
1654 Gelir 25604 1400 26500 1829 27670 2200 28300 2017 27430 2105 29560 1600 28150 2250 32100 2420 32500 2570 35250 1720 33500 1900 36000 2100 36200 2300 38200 Gelir bağımsız değişkenine göre tasarrufu da sıralıyoruz.

24 Ortadan 31/4=8 veya 9 gözlem çıkarılacak. İki alt grup oluşturuldu.
Tasarrfuf Gelir n2 1 264 8777 1829 27670 2 105 9210 1600 28150 3 90 9954 2200 28300 4 131 10508 2105 29560 5 122 10979 2250 32100 6 107 11912 2420 32500 7 406 12747 1720 33500 8 503 13499 2570 35250 9 431 14269 1900 36000 10 588 15522 2100 36200 11 898 16730 2300 38200 Gelire göre sırandı. Ortadan 31/4=8 veya 9 gözlem çıkarılacak. İki alt grup oluşturuldu.

25 (189.4) (0.015) (0.02) (709.8)

26 f1=f2=(n-c-2k)/2=9 sd de Ftab=3.18

27 Goldfeld-Quandt Test lnMaas = b1 + b2 Yıl + b3 Yıl2
Dependent Variable: lnMaas Included observations: 222 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C Yıl Yıl R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

28 Goldfeld-Quandt Test 1.alt örnek sonuçları: Dependent Variable: lnmaas
Sample: 1 75 Included observations: 75 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C Yıl Yıl R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

29 Goldfeld-Quandt Test 2.Altörnek Sonuçları: Dependent Variable: lnmaas
Sample: Included observations: 75 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C Yıl Yıl R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

30 Goldfeld-Quandt Testi
1.Aşama H0: Eşit Varyans H1: Farklı Varyans 2.Aşama a = 0.05 1.43<Ftab<1.53 = 3.Aşama 4.Aşama Fhes > Ftab H0 hipotezi reddedilebilir

31 Breusch – Pagan Testi Yi = b1 + b2 X2i + b3 X3i+……+ bk Xki +ui (1)
1.Aşama (1) Nolu denklem EKKY ile tahmin edilip. e1. e2. …..en örnek hata terimleri hesaplanır. Bu ei lerden hareketle hesaplanır. 2.Aşama 3.Aşama pi = a1 + a2 Z2i + a3 Z3i+……+ amZmi +vi (2) RBD = ?

32 Breusch – Pagan Testi pi = a1 + a2 Z2i + a3 Z3i+……+ amZmi +vi (2)
4.Aşama m: (2) nolu denklemdeki parametre sayısı 5.Aşama H0 : a2= a3 =…..=am = 0 (Eşit varyans) H1 : En az biri sıfırdan farklıdır. (Farklı varyans) H0 reddedilir.

33 Breusch – Pagan Testi IT: İthalat Yıllar GSMH IT et 1971 16.40200
1981 1972 1982 1973 1983 1974 1984 1975 1985 1976 1986 1977 1987 1978 1988 1979 1989 1980 1990 IT: İthalat

34 Breusch – Pagan Testi 1.Aşama 2.Aşama pi 0.045111 0.018977 0.006813

35 Breusch – Pagan Testi 3.Aşama RBD = 4.59 4.Aşama 5.Aşama
H0 : a2 = a3 =…..=am = 0 (Eşit varyans) H1 : En az biri sıfırdan farklıdır. (Farklı varyans) H0 reddedilemez.

36 Glejser Farklı Varyans Testi
1.Aşama: Y ile X (veya X’ler) arasındaki ilişki tahmin edilerek, ilgili örnek hata terimleri e’ler bulunur. 2.Aşama: i2 ile ilişkili olduğu düşünülen bağımsız değişken için aşağıdaki modeller denenmektedir.

37 Glejser Farklı Varyans Testi
3.Aşama: Korelasyon katsayısı ve a’ların standat hata değerlerine göre en uyun model seçilip H0 : a2 = 0 H1 : a2 ≠ 0 test edilir. 4.Aşama: H0 kabul edilirse eşit varyans gerçeklemiştir sonucuna varılır.

38 Glejser Farklı Varyans Testi
1.Aşama: Yıllar GSMH IT et 1971 1981 1972 1982 1973 1983 1974 1984 1975 1985 1976 1986 1977 1987 1978 1988 1979 1989 1980 1990 IT: İthalat

39 Glejser Farklı Varyans Testi
2.Aşama: 3.Aşama: H0 : a2 = 0 H1 : a2 ≠ 0 4.Aşama: prob = > 0.05 H0 reddedilemez. Eşit varyans gerçekleşmiştir.

40 White Testi Y = b1 + b2 X2 + b3 X3+ u
White Testi için yardımcı regresyon: u2 = a1 + a2 X2 + a3 X3+ a4 X22 + a5 X32 + a6 X2X3 + v Ry2 = ? White Testi Aşamaları: 1.Aşama H0: a2 = a3 = a4 = a5 = a6=0 H1 : ai’lerin en az bir tanesi anlamlıdır 2.Aşama s.d.= k-1 c2tab=? a = ? 3.Aşama W= n.Ry2 = ? W > c2tab H0 hipotezi reddedilebilir 4.Aşama

41 White Testi lnMaaş = 3.8094 + 0.0439yıl - 0.0006 yıl2
White Testi için yardımcı regresyon: e2= Yıl Yıl Yıl Yıl4 Ry2 = 1.Aşama H0: a2 = a3 = a4 = a5=0 ; H1 : ai’lerin en az bir tanesi anlamlıdır 2.Aşama a = 0.05 s.d.=5-1=4 c2tab=9.4877 3.Aşama W= n.Ry2 = 222(0.0901)= 4.Aşama W > c2tab H0 hipotezi reddedilebilir

42 Lagrange Çarpanları(LM) Testi
Y = b1 + b2 X2 + b3 X3+ u LM testi için yardımcı regresyon: Ry2 = ? LM Testi Aşamaları: 1.Aşama H0: b = 0 H1 : b0 2.Aşama s.d.= 1 c2tab=? a = ? 3.Aşama LM= n.Ry2 = ? LM > c2tab H0 hipotezi reddedilebilir 4.Aşama

43 Lagrange Çarpanları(LM) Testi
lnmaaş = yıl yıl2 LM Testi için yardımcı regresyon: e2 = (lnmaas-tah)2 Ry2 = 1.Aşama H0: b = 0 H1 : b0 2.Aşama a = 0.05 s.d.=1 c2tab= 3.Aşama LM= n.Ry2 = 222(0.0537)= 4.Aşama LM > c2tab H0 hipotezi reddedilebilir

44 Ramsey Reset Testi Y = b1 + b2 X2 + b3 X3+…..+bkXk + ui 1.Aşama:
Ramsey Reset testi için yardımcı regresyon: 2.Aşama: H0: a2 = 0 (Eşit Varyans) H1: a2 ≠ 0 (Farklı Varyans) Hipotezler  hata payı ile t tablosundan bulunacak değer ile karşılaştırılır. 3.Aşama: thes > ttab H0 reddedilir.

45 Ramsey Reset Testi 1.Aşama: 2.Aşama: H0: ai = 0 (Eşit Varyans)
H1: ai ≠ 0 (Farklı Varyans)

46 Ramsey Reset Testi ttab = tn-k,a = t20-2, 0.05 = 2.101 3.Aşama:
thesap = < ttab = Ho reddedilemez

47 Park Testi i2 bilinmediğinden bunun yerine hata kareler toplamı ei2 kullanılır.

48 Park Testi 1.Aşama: 2.Aşama: H0 :  = 0 (Eşit Varyans)
H0 :  ≠ 0 (Farklı Varyans) t hes > t tab H0 reddedilir. 3.Aşama:

49 Park Testi 1.Aşama: 2.Aşama: H0 :  = 0 (Eşit Varyans)
H0 :  ≠ 0 (Farklı Varyans) 3.Aşama: t tab = t 18, 0.01 = ???????? t hes < t tab H0 reddedilemez.

50 UYGULAMA: 32 ailenin yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelirleri (X) aşağıda verilmiştir. Aile Sayısı Y X u 1 2.2 2.8 17 1.5 2 3 3.5 18 5.8 7.2 4.1 13.5 19 8.2 18.1 4 20 4.3 6.2 5 4.2 5.9 21 9.4 16.1 6 6.3 15.3 22 5.1 25.2 7 4.6 9.7 23 2.4 8 8.8 26.4 24 8.1 13.4 9 7.3 18.2 25 4.9 5.6 10 4.4 6.7 0.4678 26 11 11.3 27 12 4.7 28 1.9 13 6.8 26.3 29 2.6 12.4 14 22.3 30 3.9 15 3.1 6.1 31 12.9 16 3.2 32 11.2 26.5

51 UYGULAMA: Yi = 0 + 1Xi + i modeli için sabit varyans varsayımının geçerli olup olmadığını
Grafik Yöntemle. Sıra Korelasyonu testi ile. Goldfeld-Quandt testi ile. Breusch – Pagan testi ile. Glejser Testi ile. White testi ile. Lagrange çarpanları testi ile Ramsey Reset testi ile Park testi ile.

52 Grafik Yöntem

53 Sıra Korelasyonu Testi
1.Aşama H0: r = 0 H1: r  0 ttab =? 2.Aşama a = 0.05 s.d.=? 3.Aşama 4.Aşama thes > ttab H0 hipotezi reddedilebilir

54 Sıra Korelasyonu Testi
1.Aşama H0: r = 0 H1: r  0 ttab = 2.042 2.Aşama a = 0.05 s.d.= 30 = 4.Aşama thes < ttab H0 hipotezi reddedilemez.

55 Goldfeld-Quandt Testi
c = 32 / 5 = gözlem atılacak. ( gözlemler) 13 gözlemden oluşan iki grup için modeller gözlemler için Yi = Xi gözlemler için Yi = Xi

56 Goldfeld-Quandt Testi
1.Aşama H0: Eşit Varyans H1: Farklı Varyans 2.Aşama a = 0.05 Ftab =2.82 3.Aşama 4.Aşama Fhes > Ftab H0 hipotezi reddedilebilir

57 Breusch – Pagan Testi 1.Aşama 2.Aşama

58 Breusch – Pagan Testi 3.Aşama RBD = 13.12 4.Aşama 5.Aşama
H0 : a2 = a3 =…..=am = 0 (Eşit varyans) H1 : En az biri sıfırdan farklıdır. (Farklı varyans) H0 reddedilebilir.

59 Glejser Farklı Varyans Testi
1.Aşama: 2.Aşama: H0 : a2 = 0 H1 : a2 ≠ 0 3.Aşama:  = n –k = 32 – 2 = ttab = 2.042 4.Aşama: thes > ttab H0 reddedilebilir. Eşit varyans gerçekleşmemiştir.

60 White Testi White Testi için yardımcı regresyon:
e2= X – X2 Ry2 = 1.Aşama H0: a2 = a3 = 0 ; H1 : ai’lerin en az bir tanesi anlamlıdır 2.Aşama a = 0.05 s.d.=3-1=2 c2tab=5.99 3.Aşama W= n.Ry2 = 32(0.2296) = 4.Aşama W > c2tab H0 hipotezi reddedilebilir

61 Lagrange Çarpanları(LM) Testi
LM Testi için yardımcı regresyon: Ry2 = 0.201 1.Aşama H0: b = 0 H1 : b0 2.Aşama a = 0.05 s.d.=2-1=1 c2tab= 3.Aşama LM= n.Ry2 = 32(0.201) = 6.432 4.Aşama LM > c2tab H0 hipotezi reddedilebilir

62 Ramsey Reset Testi 1.Aşama: 2.Aşama: H0: ai = 0 (Eşit Varyans)
H1: ai ≠ 0 (Farklı Varyans) 3.Aşama: thes > ttab H0 reddedilir.

63 Ramsey Reset Testi ttab = tn-k,a = t32-2, 0.05 =2.042 3.Aşama:
thesap = > ttab = 2.042 H0 reddedilebilir.

64 Park Testi 1.Aşama: 2.Aşama: H0 :  = 0 (Eşit Varyans)
H0 :  ≠ 0 (Farklı Varyans) 3.Aşama: t tab = t 32-2=30, 0.05 = 2.042 t hes < t tab H0 reddedilemez.

65 FARKLI VARYANSI ORTADAN KALDIRMA YOLLARI
Farklı varyans durumunda EKKY tahmincileri etkinlik özelliklerini kaybettiklerinden güvenilir değildirler. Bu sebeple farklı varyans ortadan kaldırılmadan EKKY uygulanmamalıdır. Yi lerin (veya ui lerin) farklı varyansları s2i nin bilinip bilinmemesine göre farklı varyansı kaldıran iki yol vardır: nin BİLİNMESİ HALİ nin BİLİNMEMESİ HALİ

66 Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)
nin BİLİNMESİ HALİ Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY) Yi = b1 + b2 Xi + ui

67 Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)
Sabit terimi yoktur. İki tane bağımsız değişken vardır.

68 Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

69 Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

70 EKKY ve GEKKY Arasındaki Fark
min GEKKY min

71 nin BİLİNMEMESİ HALİ 1.HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER 2 .HAL:

72 nin BİLİNMEMESİ HALİ 3 .HAL:

73 nin BİLİNMEMESİ HALİ 4 .HAL: bölünür

74 nin BİLİNMEMESİ HALİ 5 .HAL:

75 UYGULAMA: 32 ailenin yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelirleri (X) aşağıda verilmiştir. Aile Sayısı Y X u 1 2.2 2.8 17 1.5 2 3 3.5 18 5.8 7.2 4.1 13.5 19 8.2 18.1 4 20 4.3 6.2 5 4.2 5.9 21 9.4 16.1 6 6.3 15.3 22 5.1 25.2 7 4.6 9.7 23 2.4 8 8.8 26.4 24 8.1 13.4 9 7.3 18.2 25 4.9 5.6 10 4.4 6.7 0.4678 26 11 11.3 27 12 4.7 28 1.9 13 6.8 26.3 29 2.6 12.4 14 22.3 30 3.9 15 3.1 6.1 31 12.9 16 3.2 32 11.2 26.5 75

76 1.HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER
1.Aşama H0: b = 0 H1: b  0 2.Aşama a = 0.05 s.d.=2-1=1 c2tab= 3.Aşama LM= n.Ry2 = 32(0.0178) = 4.Aşama LM < c2tab H0 hipotezi reddedilemez.

77 2 .HAL: 1.Aşama H0: b = 0 H1: b  0 2.Aşama a = 0.05 s.d.=2-1=1
c2tab= 3.Aşama LM= n.Ry2 = 32(0.0509) = 4.Aşama LM < c2tab H0 hipotezi reddedilemez.

78 3 .HAL: 1.Aşama H0: b = 0 H1: b  0 2.Aşama a = 0.05 s.d.=2-1=1
c2tab= 3.Aşama LM= n.Ry2 = 32(0.2365) = 7.568 4.Aşama LM > c2tab H0 hipotezi reddedilebilir.

79 5 .HAL: 1.Aşama H0: b = 0 H1: b  0 2.Aşama a = 0.05 s.d.=2-1=1
c2tab= 3.Aşama LM= n.Ry2 = 32(0.0290) = 0.928 4.Aşama LM < c2tab H0 hipotezi reddedilemez.