Sabit Katsayılı Doğrusal Diferansiyel Denklemler:

... konulu sunumlar: "Sabit Katsayılı Doğrusal Diferansiyel Denklemler:"— Sunum transkripti:

1 Sabit Katsayılı Doğrusal Diferansiyel Denklemler:
f(t): Girdi u(t): Çıktı (cevap) Örnek: Homojen çözüm f(t)= u(t)=est Matlab İle: Karakteristik Denklem: s3est + 4s2est + 14sest + 20est= 0 a=[1,4,14,20];roots(a) s3 + 4s2 + 14s + 20 = 0 Özdeğerler: -13i, - 2 uh(t) = C1e(-1+3i)t + C2 e(-1-3i)t + A2e-2t uh(t) = A1e-tcos(3t-φ)+A2e-2t

2 uh(t) = A1e-tcos(3t-φ)+A2e-2t
Başlangıç koşulları: at t=0 -1.2 = A1 cosφ + A2 2.5 = -A1 cosφ +3A1 sinφ -2A2 -3.1= -8A1 cosφ - 6A1 sinφ + 4A2 A1, A2 ve φ Newton-Raphson yöntemi ile bulunabilir.

3 Laplace Dönüşümü:

4 Türevin Laplace Dönüşümü :

5 (zamanda öteleme veya gecikme):

6 Başlangıç koşullarına bağlı çözümün Laplace dönüşümü:
t=0 da başlangıç koşulları:

7 Basit kesirlere ayırma:
Matlab İle; num=[-1.2,-2.3,-9.9]; den=[1,4,14,20]; [r,p,k]=residue(num,den) r(1)= i, r(2)= i, r(3)=-1.01

8 Homojen çözüm : uh(t) = A1e-tcos(3t-φ)+A2e-2t Matlab İle; z= i A1=2*abs(z) fi=angle(z)

9 t=0 da verilmiştir. θ(t) ‘yi bulunuz.
ÖRNEKLER: Bir basit sarkacın zorlanmasız hareketi için hareket denklemi şu şekilde verilmiştir: m g θ Mafsal sürtünmesi, B L m=2 kg B=4 Nms/rad L=2 m t=0 da verilmiştir. θ(t) ‘yi bulunuz. Laplace dönüşümü uygulanırsa,

10 Sistem stabildir çünkü tüm köklerin gerçek kısımları negatiftir.
ÖRNEKLER : Homojen çözümün Laplace dönüşümü (başlangıç koşullarına bağlı) Özdeğerler Sistem stabildir çünkü tüm köklerin gerçek kısımları negatiftir. clc;clear num=[4 10]; den=[ ]; [r,p,k]=residue(num,den) r(2) A=2*abs(r(2)) Fi=angle(r(2)) Re 0.25 0.2556 Img

11 ÖRNEKLER : clc;clear dt=0.1418; ts=25.149; t=0:dt:ts; tetat=0.7151*exp(-0.25*t).*cos(2.2006*t ); plot(t,tetat)