BİRİM UYUMU: Kâğıt üzerinde formüllerle işlemler yaparken hata yapılmış olabilir. Bu hataları teşhis etmeyi çoğu zaman kolaylaştıran bir yöntem “birim.

... konulu sunumlar: "BİRİM UYUMU: Kâğıt üzerinde formüllerle işlemler yaparken hata yapılmış olabilir. Bu hataları teşhis etmeyi çoğu zaman kolaylaştıran bir yöntem “birim."— Sunum transkripti:

1 BİRİM UYUMU: Kâğıt üzerinde formüllerle işlemler yaparken hata yapılmış olabilir. Bu hataları teşhis etmeyi çoğu zaman kolaylaştıran bir yöntem “birim doğrulama”dır. Bu, yaygın olarak “elmayla armut toplanmaz” ilkesi olarak bilinir. Kâğıt üstündeki hesaplamaları sona yakın aşamalara kadar sayılar yerine sembollerle yapmak, bu yöntemle hata bulma kolaylığı avantajı sağlayabilir. Sayıları birimleriyle yazmak da bu avantajı devam ettirir. Fakat çoğu insan bunu sıkıcı bulur ve birimi sadece sonuçlara yazmakla yetinir; öyle yapınca da bu avantajı kaybeder. Birim uyumunda başlıca kurallar şunlardır: ● Eşitliklerde ve eşitsizliklerde, her iki taraftaki her bir toplam (çıkartmalar dahil) terimi aynı birimlere sahip olmalıdır. ● Her bir toplam terimi içinde çarpılan veya bölünen terimler varsa bunlar birimleriyle birlikte çarpılır veya bölünür. Gerekli sadeleştirmeler sonucunda o toplam teriminin bütününün birimi bulunur. ● Birimini bilmediğimiz katsayı gibi bazı terimlerin birimlerini aynı uyum çerçevesinde anlayabiliriz. Örnek 1: Net kuvvet = Yay kuvveti + yerçekimi + sürtünme kuvveti Kuvvet birimi N, kütle (m) birimi kg, konum (x) birimi m, hız (v) birimi m/s, yerçekimi ivmesi (g) birimi m/s2 olduğunu biliyoruz. Demek ki yay sabiti (k) birimi N/m ve sürtünme katsayısı (b) birimi N/(m/s) = N.s/m ’dir. Aynı zamanda bilmeyip merak eden, kuvvet biriminin N = kg.m/s2 olduğunu buradan anlayabilir.

2 ● Benzer şekilde polinom katsayılarının birimlerine de dikkat edilmelidir.
Örnek 2: ve x ’in birimi m ise c’nin birimi m3, b’nin birimi m2 ve a’nın birimi m’dir. ● Aynı boyutta oldukları halde birimleri birbirinin birimsiz bir katı olan terimler formüllerde toplanabilir; ancak sayısal işlem yaparken aynı birime getirilerek toplanmalıdır. Kiloohm ile ohm, miliamper ile amper, derece ile radyan, kalori ile joule çiftleri gibi. ● Farklı türde oldukları halde aynı boyutta olan birimler de toplanabilir. Meselâ tork birimi Nm ile enerji birimi joule farklı anlamlarda olsalar da birisi kuvvet × kuvvet kolu, diğeri ise kuvvet × yol olduğundan aynı boyuttadırlar ve formüllerde toplanabilirler. ● Derece, radyan, adet, çift, düzine, mol gibi bazı birimler aslında birimsizdirler. Birimsizlik de bir birim sayılabilir; yani birimsizler kendi aralarında toplanabilir, başka birimlilerle toplanamaz. Ama sayısal olarak toplarken aynı türe getirmek gerekir. ● Üstel (eksponansiyel) (ex , 10x veya 2x gibi) ve temel trigonometrik (sin(x), tan(x) gibi) fonksiyonların argümanları (örneklerdeki x’e karşılık gelen kısımları) birimsizdir. Bunun yerinde çarpılan veya bölünen terimler varsa birimleri mutlaka sadeleşerek birimsiz türlerden birine dönüşebilmelidir. Örnek 3: e-𝞷𝟂t ifadesinde sönüm oranı 𝛏 birimsiz, 𝛚 rad/s, t ise s birimli olup üçünün çarpımı radyan birimsizdir. Örnek 4: cos(2πt/T) ifadesinde t ile T, s birimli olup oranları birimsizdir. 2π ise radyan alınsa bile cos içindeki ifade birimsiz türdendir.

3 ● Türev alınınca, hangi değişkene göre türev alındıysa o değişkenin birimine bölüm olur.
Örnek 5: Endüktans (L) birimini (H) bildiğimiz diğer birimler cinsinden bulalım: Endüktansın akım (iL) gerilim (vL) ilişkisinden faydalanalım: t zaman değişkenine (s) göre türev alındığı için volt = L . amper/saniye Buradan L endüktansının birimi volt.saniye/amper bulunur. Volt/amper = ohm olduğundan endüktansın birimi H = Ωs . ● İntegral alınınca, hangi değişkene göre integral alındıysa o değişkenin birimiyle çarpım olur. Örnek 6: Kapasitans (C) birimini (F) bildiğimiz diğer birimler cinsinden bulalım: Kapasitansın akım (iC) gerilim (vC) ilişkisinden faydalanalım: t zaman değişkeni (s) ile aynı birimli τ değişkenine göre integral alındığı için volt = amper.saniye / C Buradan C kapasitansının birimi amper.saniye/volt bulunur. Volt/amper = ohm olduğundan kapasitansın birimi F = s/Ω . ● Ayrık bir değişkene göre alınan toplamda ise birim değişmez. Örnek 7: İster karmaşık ister gerçel olsun, Fourier seri katsayıları ck, a0, ak, bk sinyalin kendisiyle (x) aynı birimlidir.

4 ● Laplace ve sürekli fonksiyonların Fourier dönüşümü, fonksiyonun üstel yani birimsiz bir terimle çarpımının, bağımsız değişkene (genellikle zamana) göre integrali olduğu için fonksiyon birimi ile bağımsız değişken biriminin çarpımı birimindedir. Yani genellikle s ile çarpılmış birimli olur. ℒ Örnek 9: Örnek 8: volt volt.saniye volt volt.saniye ● Laplace dönüşümü bağımsız değişkeni s’nin birimi, e üzerinde t ile çarpım halinde bulunmasından anlaşılabileceği gibi 1/saniye yani s-1’dir. rad/s diye de düşünülebilir. Fourier dönüşümü bağımsız değişkeni ω’nın birimi de rad/s’dir. Tabii burada ilk sinyalin bağımsız değişkeni zamandan başka ise s yerine o bağımsız değişkenin birimi gelir. ● Z-dönüşümü bağımsız değişkeni z, farklı kuvvetlerinin toplanmasından anlaşılabileceği gibi birimsizdir. ● Z-dönüşümü ve ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT), ilk sinyal ile aynı birimlidir; çünkü ilk sinyalin birimsiz terimlerle çarpılıp toplamı alınmışlarıdır. ● Ayrık Fourier dönüşümü (DFT) de ilk sinyal ile aynı birimlidir. Her ne kadar formülünde fazladan periyoda bölüm olsa da, bu periyot doğrudan fiziksel zaman değil, zaman adımının birimsiz katsayısı cinsinden periyottaki nokta adedidir. Hızlı Fourier dönüşümü FFT de sonuç olarak DFT ile aynıdır; sadece hesabı hızlandırılmıştır. ● Aynı sebepten dolayı ayrık sinyallerin n veya k gibi bağımsız değişkenleri, fiziksel zaman adımının katsayısı olup birimsizdir.

5 ● Aslında "elma ile armut toplanmaz" sözü eksiktir.
Doğrusu "elma ile armut skaler toplanmaz". Vektörel veya matrisel olarak pekâlâ toplanabilir. Yani elmaların kendi aralarında, armutların kendi aralarında toplanıp bu iki toplamın ayrı ayrı dikkate alındığı şekilde elma armut karışımı gruplar toplanabilir. Vektörler veya matrislerin her bileşeni farklı birimli olabilir ve toplanırlarken karşılıklı pozisyondaki terimler arasında uyum aranır. ● Aslında "elma ile armut skaler toplanmaz" sözünün de geçici istisnaları vardır. Bu istisnâi durumlarda, meselâ nadir bazı matris işlemlerinde, birim uyumunu bozan toplamlar anlamlı bir kullanım aşamasına gelmeden sadeleşerek yok olurlar. 5+ 3 elma+3 armut 1 elma+1 armut =5+3 Meselâ gibi. ● Sıfır yutan eleman diye birimini yazmamak yaygın bir alışkanlıktır. Bunu kolaylık amacıyla yapsak da titiz yorumlama gerektiğinde sıfırların da birimli olduğu unutulmamalıdır. Meselâ 0 ohm ile 0 siemens tam zıt fiziksel anlamlara karşılık gelir. ● Kontrol gibi yazılım uygulamalarında doğal olarak sayı ve değişken işlemlerini birimsiz olarak yaparız. Fakat bunların birimlerini yorum yaparken hatırlamalı, hatta yazılımın bazı yerlerine yorum olarak yazmalıyız. En basit misal, zamanı saniye ya da dakika olarak kullanmaya göre o değişkenler çok farklı sayısal değer alacaktır.

6 Sonuç olarak birimler hayatı zorlaştırmak için değil kolaylaştırmak için kullanılır.
Hata bulmaya yardımcı olması sadece ilave bir faydadır. Fiziksel büyüklükler, birimleri doğru kullanmakla anlam kazanır. Birimleri yanlış kullanmak, insanları aldatmaya çalışanların sıkça başvurduğu bir yoldur. "Öyle bir ısıtma sistemi yaptım ki şu kadar liraya saatte şu kadar kW üretiyorum" gibi. Bu yüzden birimleri doğru kullanmayanlara temkinli bakılmalı ve birimleri doğru kullanmaya özen gösterilmelidir.