MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ

MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ
KURP APLİKASYONU PROF. DR. HALİL ERKAYA 2011

KURP APLİKASYONU Yol ekseni, doğrular ile bunların yön değiştirdiği yerlerde bağlantıyı sağlayan eğrilerden oluşur. Yolun doğru kısmına aliyman, eğri kısmına ise kurp (bazı kaynaklarda kurb ya da kurba) denilmektedir.

KURP APLİKASYONU Doğruların (aliymanların) kesim noktasına some noktası denir. Kurbun başlangıç noktasına tanjant orijin (TO şeklinde gösterilir), bitiş noktasına ise tanjant final (TF şeklinde gösterilir) denir. Daire kurplarında TO-TF yayına developman boyu denir ve bunun orta noktası (B) bisektris olarak adlandırılır. Gösterim kolaylığı açısından TO yerine A, TF yerine de C kullanalım. Kurp asal (ana) elemanları: Teğet boyu (t=AS=CS) Sapma açısı (γ) Kurp yarıçapı (R) Developman boyu (D= AC yayı) Bisektris boyu (BS) olarak ifade edilir. R B γ C A t O S

KURP APLİKASYONU Kurpların aplikasyonu 3 şekilde ele alınabilir:
Daire yayı şeklinde kurp aplikayonu, Değişik yarıçaplı kurpların aplikasyonu, Birleşik daire kurpları (daire teğetin bir yanında) Ters daire kupları (sepet eğrisi) (daireler, teğetin iki yanında) 3. Geçiş eğrili kurpların aplikasyonu.

DAİRE YAYI ŞEKLİNDEKİ KURPLARIN APLİKASYONU
Bir dairenin en basit şekilde aplikasyonu, yarıçap uzunluğunda bir iple yapılabilir. Bunun için ipin bir ucu, dairenin merkezinde tutulur, diğer ucuna bir çubuk bağlanır ve daire merkezi etrafında döndürülür. Arazi koşullarının uygun olduğu park gibi yerlerde küçük yarıçaplı daireler bu şekilde aplike edilebilir. Yollardaki kurp yarıçapları genelde büyüktür ve arazi koşulları da dairenin merkezine ulaşılmasına, ipin yarıçap kadar uzatılmasına ve döndürülmesine olanak tanımaz. Kurp ara noktalarının aplikasyonunda yay uzunluğu yerine, bazen yaya ait kiriş hesaplanıp işlem buna göre yürütülebilir. Ancak hangi büyüklüklerde yayın kiriş gibi alınabileceğinin bilinmesi gerekir. Uygulamada daire, yaylardan değil kirişlerden oluşur. Nokta sıklığı arttıkça gerçek eğriye daha çok yaklaşılır, fakat ekonomik olmaz. Bu nedenle nokta sıklığı işin önemine göre belirlenir.

KURP ASAL NOKTALARININ APLİKASYONU
Some noktaları harita üzerinde belirlendikten sonra bu noktaların aplikasyonu yapılır. Etüt sırasında kurbun yarıçapı yolun durumuna göre belirlenir. Arazide some (S) noktasına alet kurularak γ açısı ölçülür. Böylece kurbun beş elemanından ikisi belirlenmiş olur. Geriye kalan 3 asal eleman da diğer ikisi cinsinden aşağıda verilen bağıntılarla hesaplanır. 𝑡𝑎𝑛 𝛾 2 = 𝑡 𝑅 → 𝑡=𝑅∙𝑡𝑎𝑛 𝛾 2 𝐷= 2𝜋𝑅 400 𝑔 ⋅𝛾= 𝜋𝑅 200 𝑔 ⋅𝛾= 𝑅 ρ ⋅𝛾 𝑐𝑜𝑠 𝛾 2 = 𝑅 𝑂𝑆 →𝑂𝑆= 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛾 2 𝐵𝑆=𝑂𝑆−𝑅= 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛾 2 −𝑅=𝑅(𝑠𝑒𝑐 𝛾 2 −1)

TO ve TF nin aplikasyonu için S noktasına alet kurulur ve teğetler doğrultusunda t uzunluğu kadar işaretlenir. Bisektris noktasının aplikasyonu için ASC açısının açıortayı üzerinde bisektris boyu BS kadar işaretlenir. Eğer bisektris noktası some noktasından aplike edilemiyorsa, A veya C noktasından dik koordinat ya da kutupsal yönteme göre aplike edilebilir. Dik Koordinat Yöntemine Göre B Noktasının Aplikasyonu

Kutupsal Yönteme Göre B Noktasının Aplikasyonu Alet, A noktasına kurulur ve S noktasına yöneltilir. S doğrultusundan itibaren γ/4 kadar çevrilerek elde edilen doğrultuda s uzunluğu işaretlenerek B noktası aplike edilir.

Some Noktasına Ulaşılamaması Durumunda Kurp Asal Noktalarının Aplikasyonu
Some noktası, nehir, deniz, uçurum gibi yerlere düşmesi durumunda, bu noktalara alet kurulamaz. Böyle bir durumda γ sapma açısı ölçülemez ve teğet boyu işaretlenemez.

Problemin çözümü için teğetler üzerinde E ve F noktaları belirlenerek EFS üçgeni oluşturulur. φ ve λ açıları ile b=EF uzunluğu dikkatlice ölçülür. Önce γ= φ + λ şeklinde hesaplanır. EFS üçgeninden sinüs teoremine göre, uzunlukları hesaplanır ve t=SE+EA=SF+FC bağıntısından EA=t-SE FC=t-SF elde edilir. Some noktasına ulaşılamama durumunda, bisektris noktası some noktasından belirlenemez. Daha önce anlatılan yöntemle bisektris noktası aplike edilir.

Eğer teğetler üzerinde istenen EFS üçgenini oluşturacak noktalar bulunmuyorsa, teğetler üzerinde alınan E ve F noktaları arasına mümkün olduğunca az kenarlı bir poligon geçkisi oluşturulur. β1, β2, β3 açıları ile ED ve DF kenarları ölçülür. γ açısı, EDFS çokgeninin açılarından hesaplanır. EF uzunluğunu hesaplamak için, E noktasını başlangıç, ED kenarını y ekseni kabul eden yerel bir koordinat sistemi oluşturulur. Bu durumda ED nin açıklık açısı 100g olur. Açık poligon hesabıyla F noktasının koordinatları hesaplandıktan sonra, bu koordinatlardan yararlanarak 2. temel ödeve göre EF uzunluğu hesaplanır.

ÖRNEK: Some noktasına ulaşılamama durumunda φ =60g, λ=75g e b=80 m olarak ölçülmüştür. Yarıçap R=200 m olduğuna göre kurp asal elemanlarını hesaplayınız. γ=φ + λ = = 135g 𝑡=𝑅⋅𝑡𝑎𝑛 𝛾 2 =200⋅𝑡𝑎𝑛 = 𝑚 EA=357, =270,45 m FC=357, =281,22 m

KURP ARA NOKTALARININ APLİKASYONU
Kurp asal elemanlarının aplikesi ile kurbun, başı, ortası ve sonu belirlenmiş olur. Bir eğri, bu üç nokta ile belirlenemez. Kurb üzerinde asal noktalardan başka noktaların da belirlenmesi gerekir. Asal noktalardan başka, kurp üzerindeki diğer noktalara ara nokta adı verilir. Ara noktaların aplikasyonunda en önemli husus, noktaların sıklığıdır. Gereğinden az nokta, eğriyi belirlemeye yetmez, fazla nokta ise gereksiz yere zaman ve emek kaybına neden olur. Bir kurbu belirlemek için gerekli olan nokta sıklığı, yapılan işe göre değişir. Kurb üzerindeki ara noktalar genellikle eşit aralıklarla alınır ve bunlara ait y, x değerleri hesaplanır.

DAİRE YAYI ŞEKLİNDEKİ KURPLARIN APLİKASYONU
KURP ARA NOKTALARININ APLİKASYONU DAİRE YAYI ŞEKLİNDEKİ KURPLARIN APLİKASYONU Yay uzunluğu ile kiriş uzunluğu arasındaki farklar (ℓ-s), yukarıdaki eşitliklerden bulunur. Bazı değerler için (ℓ-s) farkları, metre biriminde çizelgede görülmektedir. 𝑆𝑖𝑛 𝜃 𝑅 = 𝑠 2 𝑅 = 𝑠 2𝑅 → 𝑠=2𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 s ℓ=𝑅 𝜃 𝜌 ℓ θ ℓ−𝑠=𝑅 𝜃 2 −2𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 =𝑅( 𝜃 2 −2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 ) R ℓ 100 m 200 m 400 m 500 m 1000 m 2000 m 10 0,004 0,001 0,000 20 0,033 0,008 0,002 40 0,266 0,067 0,016 0,011 0,003 50 0,519 0,130 0,032 0,021 0,005

KURP ARA NOKTALARININ APLİKASYONU
Dik Koordinat Yöntemine Göre Aplikasyon Kurbun ara noktalarının dik koordinat yöntemine göre aplikasyonunda kullanılan başlıca durumlar, x ekseni olarak seçilen doğru ve başlangıç noktasına göre belirlenir. Burada, teğetin x ekseni ve A nın başlangıç olarak alınması durumu ele alınacaktır. Kurp üzerindeki ara noktalar genellikle eşit aralıklarla alınır ve bunlara ait y, x değerleri hesaplanır. Dik koordinat yöntemine göre yapılacak aplikasyonda ölçüm araçları olarak genellikle çelik şerit metre ve prizma kullanılır.

KURP ARA NOKTALARININ DİK KOORDİNAT YÖNTEMİYLE APLİKASYONU
Teğetin x Ekseni, A nın Başlangıç Olarak Alınması Dik koordinat yöntemine göre aplikasyonda iki durum söz konusu olur. Birinde x in seçilen belli değerlerine karşılık gelen y değerleri hesaplanır. Bu durumda aplike edilen noktalar kurp üzerinde homojen dağılmaz. İkinci durumda ise, noktalar kurbun üzerinde eşit aralıklarla yayılır ve bunlara ait y ve x değerleri hesaplanır. Kurbun yarısına ait noktalar, AS teğeti x ekseni, A noktası başlangıç, diğer yarısına ait noktalar da CS teğeti x ekseni C de başlangıç olmak üzere aplike edilir. Bir taraf için hesaplanan değerler, diğer taraf için de aynen kullanılır.

Belli Bir X Değerine Karşılık gelen Y Değerinin Hesaplanması Durumu Bu bağıntı ile yapılan aplikasyonda bisektris kontrolü yapma olanağı yoktur. Ayrıca bir kontrol elemanı da bulunmadığından aplikasyonda yapılan bir hata ortaya çıkarılamaz. Yöntemin avantajlı yanı, hesaplama işleminin basit olmasıdır.

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu Kurbun üzerindeki noktaların eşit aralıklarla dağılmasını sağlamak için iki yol izlenir: Developman boyu Sapma açısı nokta sayısının bir fazlasına bölünür. Developman boyu nokta sayısının bir fazlasına bölünürse, yay boyu olur. Sapma açısı nokta sayısının bir fazlasına bölünerek ε açısı bulunursa, yay boyu olur.

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu Aplikasyon elemanları, Bağıntılar genelleştirilirse, elde edilir. Ancak uygulamada yol üzerinde aplikasyonu yapılan noktaların piketajlarının (kilometrajlarının) yuvarlak değerler olması istenir. Kurbun başlangıç noktasının piketajı yuvarlak bir değer olmadığı için, kurp üzerinde ilk aplike edilen noktanın yay boyu o şekilde seçilir ki, bu noktanın piketajı yuvarlak bir değere getirilir. Bundan sonraki noktaların yayları yuvarlak olarak seçilir ve işleme devam edilir. Bisektris için gerekiyorsa ayrı bir hesap yapılır.

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu Örnek: Şekildeki AC yatay daire kurbun elemanlarını ve 20 m aralıklarla kurp ara noktalarının A noktasından teğetten dik koordinat yöntemine göre aplikasyon elemanlarını hesaplayınız ve bu noktaların araziye nasıl aplike edileceğini açıklayınız. R=300 m γ= 18g.7546 KmA=3+582 m Nokta Y A m S 543.34 510.14

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu 𝑡=𝑅 𝑡𝑎𝑛 𝛾 2 =300 𝑡𝑎𝑛 = 𝑚 𝐷=𝐴𝐶=𝑅 𝛾 𝜌 = = 𝑚 𝐵𝑆= 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛾 2 −𝑅= 300 𝑐𝑜𝑠 −300= −300=3.284 𝑚 Km C=Km A+D= = m Km B=Km A+D/2= /2= = m 𝑡 𝐴𝑆 =𝑎𝑡𝑛 𝑌 𝑆 − 𝑌 𝐴 𝑋 𝑆 − 𝑋 𝐴 =𝑎𝑡𝑛 = 85 𝑔 .3686

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu 𝜀 𝑖 = 𝓁 𝑖 𝑅 𝜌 𝜀 1 = 𝓁 1 𝑅 𝜌= = 3 𝑔 .8197 𝜀= 𝓁 𝑅 𝜌= = 4 𝑔 .2441 𝜀 𝑛 = 𝓁 𝑛 𝑅 𝜌= − = = 2 𝑔 .2027 𝜀 𝐴𝐵 = 𝓁 𝐴𝐵 𝑅 𝜌= − = =9 𝑔 .3774

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu Nokta Piketaj ℓi 𝜀 𝑖 = 𝓁 𝑖 𝑅 𝜌 𝜀 𝑖 2 𝑋 𝑖 =𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜀 𝑖 𝑌 𝑖 =2 𝑅 𝑠𝑖𝑛 2 𝜀 𝑖 2 A 3+582 1 3+600 18 m 3g.8197 1g.9099 17.98 m 0.54 m 2 3+620 38 8.0639 4.0319 37.90 2.40 B 44.19 9.3774 4.6887 44.03 3.25 3 3+640 58 6.1540 57.64 5.59 4 3+660 78 8.2761 77.12 10.08 C 88.38 87.11 12.92

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu C A B 2 1 3 4 O ε1 ε2 Teğet Y1 R Y2 X2 X1 S

KURP ARA NOKTALARININ KUTUPSAL YÖNTEMLE APLİKASYONU
Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu C A B 2 1 3 4 O SC S4 S3 ε1 ε2 ε2/2 ε1/2 Teğet εB/2 SB R S2 S/2 ℓ S ε/2 ε 𝒔𝑖𝑛 𝜀 2 = 𝑆 2 𝑅 → 𝑆 2 =𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜀 2 𝑆=2𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜀 2 ℓ= Yay boyu S=Kiriş boyu

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu Noktaların kurp üzerinde genellikle eşit aralıklarla aplikasyonu yapılır. Ancak uygulamada aplikasyonu yapılan noktaların piketajlarının (kilometrajlarının) yuvarlak değerler olması istenir. Kurbun başlangıç noktasının piketajı yuvarlak bir değer olmadığı için, kurp üzerinde ilk aplike edilen noktanın yay boyu o şekilde seçilir ki, bu noktanın piketajı yuvarlak bir değere getirilir. Bundan sonraki noktaların yayları yuvarlak olarak seçilir ve işleme devam edilir. Bisektris için gerekiyorsa ayrı bir hesap yapılır. Bir çemberde aynı yayı gören çevre açı merkez açının yarısına eşit olduğundan, aplikasyonun açı elemanı, aplike edilen yay boyuna karşılık gelen merkez açının yarısına (ε/2) eşit olacaktır

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu Uzunluk elemanı kiriş boyu 𝑆=2𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜀 2 olacaktır. Bu durumda ara noktalar için; 𝑆 1 = 𝑆 𝐴1 =2𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜀 1 2 𝑆 2 = 𝑆 𝐴2 =2𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜀 𝑆 𝑖 = 𝑆 𝐴𝑖 =2𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜀 𝑖 2 yazılır. Arazi koşullarından dolayı bazen kurbu gören merkez açı γ 200g dan büyük olabilir. Böyle bir kurbun, aplikasyon için gerekli olan dik boylarının uzun olması nedeniyle dik koordinat yöntemiyle aplikasyonu uygun değildir. Bu tür kurpların kutupsal yöntemle aplike edilmesi uygun olur.

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu Örnek: Şekildeki AC yatay daire kurbun elemanlarını ve 20 m aralıklarla kurp ara noktalarının A noktasından teğetten kutupsal aplikasyon elemanlarını hesaplayınız ve bu noktaların araziye nasıl aplike edileceğini açıklayınız. R=300 m γ= 18g.7546 KmA=3+582 m Nokta Y A m S 543.34 510.14

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu 𝑡=𝑅 𝑡𝑎𝑛 𝛾 2 =300 𝑡𝑎𝑛 = 𝑚 𝐷=𝐴𝐶=𝑅 𝛾 𝜌 = = 𝑚 𝐵𝑆= 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛾 2 −𝑅= 300 𝑐𝑜𝑠 −300= −300=3.284 𝑚 Km C=Km A+D= = m Km B=Km A+D/2= /2= = m 𝑡 𝐴𝑆 =𝑎𝑡𝑛 𝑌 𝑆 − 𝑌 𝐴 𝑋 𝑆 − 𝑋 𝐴 =𝑎𝑡𝑛 = 85 𝑔 .3686

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu 𝜀 𝑖 = 𝓁 𝑖 𝑅 𝜌 𝜀 1 = 𝓁 1 𝑅 𝜌= = 3 𝑔 .8197 𝜀= 𝓁 𝑅 𝜌= = 4 𝑔 .2441 𝜀 𝑛 = 𝓁 𝑛 𝑅 𝜌= − = = 2 𝑔 .2027 𝜀 𝐴𝐵 = 𝓁 𝐴𝐵 𝑅 𝜌= − = =9 𝑔 .3774

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu Nokta Piketaj ℓi 𝜀 𝑖 = 𝓁 𝑖 𝑅 𝜌 𝜀 𝑖 2 𝑆 𝑖 =2 𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜀 𝑖 2 A 3+582 1 3+600 18 m 3g.8197 1g.9099 18.00 m 2 3+620 38 8.0639 4.0319 37.97 B 44.19 9.3774 4.6887 44.15 3 3+640 58 6.1540 57.91 4 3+660 78 8.2761 77.78 C 88.38 88.06

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu C A B 2 1 3 4 O SC S4 S3 ε1 ε2 ε2/2 ε1/2 Teğet εB/2 SB R S2

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu ÖRNEK-2 Şekildeki yatay kurbun elemanlarını ve 20 m aralıklarla kurp ara noktalarının P1 noktasından, P1P2 başlangıç doğrultusuna göre kutupsal aplikasyon elemanlarını hesaplayınız. Nokta Y X A m S P1 990.00 970.00 P2 980.00 R=300 m γ=16g.7542 Km S= m

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu 𝑡=𝑅 𝑡𝑎𝑛 𝛾 2 =300 𝑡𝑎𝑛 =39.71 𝑚 𝐷=𝑅 𝛾 𝜌 = =78.95 𝑚 𝐵𝑆= 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛾 2 −𝑅= 300 𝑐𝑜𝑠 −300= −300=2.62 𝑚 Km A = Km S - t = = m Km C = Km A + D = = m Km B = Km A + D/2 = /2 = = m

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu 𝑡 𝐴𝑆 =𝑎𝑡𝑛 𝑌 𝑆 − 𝑌 𝐴 𝑋 𝑆 − 𝑋 𝐴 =𝑎𝑡𝑛 = 54 𝑔 .9935 𝑡 𝑃 1 𝑃 2 =𝑎𝑡𝑛 𝑌 𝑃 2 − 𝑌 𝑃 1 𝑋 𝑃 2 − 𝑋 𝑃 1 =𝑎𝑡𝑛 = 90 𝑔 .9666 𝑡 𝑃 1 𝐴 =𝑎𝑡𝑛 𝑌 𝐴 − 𝑌 𝑃 1 𝑋 𝐴 − 𝑋 𝑃 1 =𝑎𝑡𝑛 = 20 𝑔 .4833 𝑆 𝑃 1 − 𝑃 2 = = m 𝑆 𝑃 1 −𝐴 = = m

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu Nokta Piketaj ℓ 𝛆 𝐢 = 𝓵 𝐑 𝛒 𝛆 𝐢 𝟐 𝛂 𝐢 = 𝐭 𝐀𝐒 + 𝛆 𝐢 𝟐 𝐒=𝟐𝐑𝐬𝐢𝐧 𝛆 𝐢 𝟐 Y X A m 1 2+920 9.37 m 1g.9884 0g.9942 55g.9877 2 2+940 29.37 6.2325 3.1163 29.36 B 39.48 8.3779 4.1890 39.45 3 2+960 49.37 5.2383 49.31 4 2+980 69.37 7.3604 69.22 C 78.95 8.3769 78.72

Ara Noktaların Eşit Yaylara Göre Hesaplanması Durumu Kurp Ara Noktalarının P1 Noktasından P1P2 Başlangıç Doğrultusuna Göre Aplikasyon Elemanları 𝒀 𝑷 𝟏 =𝟗𝟗𝟎.𝟎𝟎 𝒎 𝑿 𝑷 𝟏 =𝟗𝟕𝟎.𝟎𝟎 DN BN Y X 𝑑𝑦=𝑌 𝑃 𝑖 − 𝑃 1 𝑑𝑥=𝑋 𝑃 𝑖 − 𝑃 1 α ϕ S P1 P2 m m 70.00 m 10.00 m 90g.9666 0g.0000 70.71 m A 10.00 30.00 31.62 1 17.22 35.97 39.88 2 33.23 47.95 58.34 B 41.62 53.60 67.86 3 50.00 58.84 77.21 4 67.47 68.59 96.21 C 76.05 72.84 105.31

KİRİŞLER POLİGONU YARDIMIYLA APLİKASYONU
A noktasından sürekli olarak ara noktaların aplikasyonu yapılamadığı zaman, sık sık alet kurulacak noktanın değiştirilmesi gerekir. Tünel aplikasyonlarında olduğu gibi nokta sayısı çoksa kirişler poligonu yöntemi kullanılabilir. Kurp ara noktaları, eşit aralıklı olacağından A da başlayıp C de bitecek olan kirişler poligonu, kenarları eşit poligondur. Ara nokta sayısına göre bulunacak ε değerleriyle kenarlar, 𝑆=2𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜀 2 Bağıntısından bulunur. Poligonun başlangıç ve bitiş noktalarındaki kırılma açıları, 𝛽 1 = 𝛽 𝑛 = 200 𝑔 + 𝜀 2 aradaki kırılma açıları ise, 𝛽 2 =…= 𝛽 𝑛−1 = 200 𝑔 +𝜀 Bağıntılarıyla bulunur. Kontrol elemanı olmadığı için ölçmelerin çok dikkatli yapılması gerekir.

ε β2 β1 β3 βn S βn-1

MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "MÜHENDİSLİK ÖLÇMELERİ"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim