Spektral Teori ters dönüşümler bunların genel özellikleri ve asıl

... konulu sunumlar: "Spektral Teori ters dönüşümler bunların genel özellikleri ve asıl"— Sunum transkripti:

1 Spektral Teori ters dönüşümler bunların genel özellikleri ve asıl
Spectrum: Spektral Teori ters dönüşümler bunların genel özellikleri ve asıl dönüşümlerle ilişkisini inceler. Sonlu Boyutlu, Normlu Uzaylarda Spektral Teori lineer Bu durumda dönüşümü nasıl ifade ediyoruz? Bu ifade neye bağlı?

2 Sonlu Boyutlu, Normlu Uzayda Lineer Dönüşüm ile Neler Yapılabilir?

3 aynı cisim üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayıdır.
Lineer Operatör Hatırlatma lineer operatördür bir vektör uzayıdır aynı cisim üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayıdır. Teorem NU12 Değer Bölgesi ve Sıfır Uzayı lineer operatördür bir vektör uzayıdır

4 varsa, lineer operatördür
Hatırlatma Teorem NU13 Ters Operatör lineer operatördür vardır varsa, lineer operatördür Sınırlı Lineer Operatör lineer operatör sınırlı operatördür

5 Özdeğer, Özvektör, Karakteristik Uzay, Spektrum, Çözücü Küme
Bu eşitliği daha önce nerede görmüştünüz? Anlamı nedir? olmak üzere, (1) olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan matrisine ilişkin özdeğerdir. olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan ‘ya ilişkin vektörü özvektördür. özdeğerine ilişkin özvektörler ve sıfır vektörü ‘nın özdeğerine ilişkin karakteristik uzayını oluşturur . ‘nın tüm özvdeğerlerinin oluşturduğu kümesi ‘nın spektrumudur. Spektrumun ‘ye göre tümleyeni olan , ‘nın çözücü kümesidir. Bir matrisin özdeğerleri ve özvektörlerini bulmak için ne yapıyorduk? x Hangi uzayın elemanı? Karakteristik çok terimlinin sıfırıdır.

6 Bu sonuçları sonlu boyutlu, normlu vektör uzayında tanımlanmış lineer
operatöre nasıl uygulayacağız? Teorem ST1 lineer ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır. Tanıt Herhangi iki baz

7 Dönüşümünün her iki baza göre ifade edildiği matrisler olsun
Nasıl bir matris? Dönüşümünün her iki baza göre ifade edildiği matrisler olsun

8 ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris
Göstermemiz gereken neydi? ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır. Özdeğerleri hesaplayalım Bu teoremden yararlanarak benzer matrisler için ne diyebiliriz? ???? Teorem ST2 Lineer operatörünün en az bir özdeğeri vardır.

9 Olağan değer, Çözücü Küme , Spektrum
Boyut sonlu değilse lineer Kompleks bir sayı ‘de birim operator ‘nın tersi varsa Olağan değer, Çözücü Küme , Spektrum lineer ‘nin olağan değeri kompleks bir sayıdır var sınırlı ‘de yoğun olan bir kümede tanımlı ‘nın tüm olağan değerlerinin oluşturduğu kümesi ‘nin çözücü kümesidir.

10 Çözücü kümenin tümleyeni , ‘nin spektrumudur.
‘nin spektral değeridir. spektrum üç ayrık kümeye ayrılır: yok ve ayrık spektrum ‘nin öz değerleridir. var ve sürekli spektrum ‘de yoğun küme. var ancak artık spektrum ‘de yoğun küme değil. Teorem NU13 Ters Operatör lineer operatördür vardır varsa, lineer operatördür Hatırlatma varsa lineerdir

11 Teorem ST3 Lineer operatör ve ilgili cisimin kompleks sayılar olduğu bir Banach Uzayı kapalı, sınırlı tüm ‘de tanımlı ve sınırlı. Banach ve sınırlı, lineer operatör Teorem ST4 Tüm ‘de sınırlı, lineer operatör olarak vardır ve Teorem ST5 vardır ve açık kümedir vardır ve kapalı kümedir

12 Teorem ST6 ‘nin gösterimi Bu gösterim, kompleks düzlemde Çemberindeki her için yakınsaktır ve bu çember ‘nın alt kümesidir.