Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen sistemi

... konulu sunumlar: "Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen sistemi"— Sunum transkripti:

1 Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen sistemi
Hatırlatma Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen sistemi anında yönetilebilir matrisinin satırları aralığında lineer bağımsızdır. Tanıt: ‘ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin yönetilebilir olduğu gösterilecek anındaki çözüm matrisinin satırlarının aralığında lineer bağımsız olduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1’den yararlanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz tersinirdir. başlangıç durumunu durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade ile belirlenebilir,

2 ‘ nin satırları lineer bağımsız ise
başlangıç durumunu durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi. Varsayım: sistem yönetilebilir ancak ‘nin satırları lineer bağımlı alırsak

3 varsayım ile çelişiyor
‘ nin satırları lineer bağımsız

4 Lemma: 1xm boyutlu fonksiyonlarının aralığında sürekli türevleri olsun
Hatırlatma Lemma: 1xm boyutlu fonksiyonlarının aralığında sürekli türevleri olsun sağlayan bir var ise ‘ler aralığında lineer bağımsızdır

5 yönetilebilirlik matrisi
Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen sistemi yönetilebilir yönetilebilirlik matrisi Tanıt: Teorem yönetilebilir ‘nin satırları lineer bağımsız Lemma Cayley-Hamilton Teoreminden ‘nın lineer kombinasyonu olarak yazılabilir ve (-) işareti rankı değiştirmez

6 sistemi yönetilebilir mi?

7 ile verilen sistemde [0,0]T durumunu [1,0]T durumuna
[0,t1] aralığında götüren girişi bulunuz.

8 Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında çıkışlarını gözleyerek
sistemin ilk koşulu belirlenebilir mi? Tanım: Gözlenebilirlik aralığındaki giriş-çıkış çiftinden tek olarak belirlenebiliyorsa sistem aralığında gözlenebilirdir.

9 gözlenebilirlik matrisi
Teorem 4: Lineer zamanla değişmeyen sistemi gözlenebilir matrisinin sütunları aralığında lineer bağımsız. Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen sistemi gözlenebilir gözlenebilirlik matrisi

10 ile verilen sistem hangi pi i=0,1,2 değerleri
için gözlenebilirdir?

11 Frekans Tanım Bölgesinde Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik
Varsayım: A’nın özdeğerleri lineer katsız (*) ’ler birbirinden ise dolayısıyla sistem ise dolayısıyla sistem

12 (*) sistemine ilişkin transfer fonksiyonu:
ve/veya ise sistem yönetilemez ve/veya gözlenemez

13 sıfır kutup sadeleşmesi olmamasıdır.
Lemma: sisteminin özdeğerleri katsız ise, sistemin yönetilebilir olması için gerek ve yeter koşul transfer fonksiyonunda sıfır kutup sadeleşmesi olmamasıdır. Gözlenebilirliği ve yönetilebilirliği ayrı ayrı incelemek istiyorsak: Yönetilebilirlik için Gözlenebilirlik için t-tanım bölgesinde yönetebilirlik ve gözlenebilirlik için baktığımız matrisler ile verilen sistemin yönetilebilirliğini ve gözlenebilirliğini inceleyiniz?

14 Minimal Gerçekleme durum uzayı gösterimi verilen bir sistem için transfer fonksiyonu matrisi tek olarak belirlenebilir. Tersi söz konusuysa ne olur? transfer fonksiyonu matrisi verildiğinde durum uzayı gösterimi tek olarak belirlenebilir mi? Farklı boyutlarda ‘i sağlayan sonsuz tane durum uzayı gösterimi vardır. Amaç: Durum uzayı gösteriminin boyutu ile sistemin yönetilebilirliği, gözlenebilirliği arasındaki ilişkiyi incelemek. Tanım: (minimal gerçekleme) transfer fonksiyonu matrisine karşılık düşen n boyutlu durum uzayı gösterimi ‘e, eğer ‘in boyutu n’den küçük bir gerçeklemesi yoksa minimal gerçekleme denir. Dikkat!!!!! Minimal gerçekleme tek değildir.

15 Bu sistem için transfer fonksiyonu matrisini hesaplayalım.
Teorem: transfer fonksiyonu matrisinin gerçeklemesi minimaldir gözlenebilir ve yönetilebilirdir.

16 Sıfır giriş kararlılığı
Kararlılık Sıfır giriş kararlılığı Tanım: (Denge noktası) sisteminin sabit çözümleri, sistemin denge noktalarıdır. nasıl belirlenir? Cebrik denkleminin çözümleri denge noktalarıdır. lineer sistemde nasıl belirlenir? A matrisi tersinir ise tek aksi taktirde sonsuz tane Hatırlatma (Norm) V vektör uzayı olmak üzere aşağıdaki üç özelliği sağlayan bağıntı “norm”’dur