Mekanizmaların Kinematiği

... konulu sunumlar: "Mekanizmaların Kinematiği"— Sunum transkripti:

1 Mekanizmaların Kinematiği
Mekanizmaların kinematik analizi, gerekli olan tüm boyutları bilinen mekanizmadaki elemanların veya elemanlar üzerindeki noktaların konum, hız ve ivmelerinin hesaplanmasını kapsamaktadır.

2 Yine mekanizma üzerinden
Raven Yöntemi A0AB0 üçgenini göz önüne alalım. Burada iki kenar uzunluğu (r2, r3) ile bu iki kenar arasındaki açı (2) bilinmektedir. Bilinmeyen s kenar uzunluğu ve  açısı bu üçgende kosinüs teoremi kullanılarak bulunabilir. 2 1 3 4 A0 y A B r1 B0 r2 r3 r4 3 4 x s 2    A0BB0 üçgeninin üç kenar uzunluğu da bilinmektedir. Kosinüs teoremi kullanılarak bu üçgenin açıları bulunabilir. Yine mekanizma üzerinden

3 Oxy dik (kartezyen) koordinat sisteminde P noktasının konumu OP=r vektörü ile gösterilebilir.
P(x,y) r y  x O x Polar (kutupsal) koordinatlarda P noktasının konumu ise: P r +  SYT (Saat Yelkovanının Tersi yönü) -  SY (Saat Yelkovanı yönü)  ref. O

4 Karmaşık sayıları kullanarak P noktasının konumu
x y z  P O Im(z) Re(z) Euler denklemi kullanılarak bir üstel fonksiyon şeklinde yazılabilir: r : uzunluk ; ei : OP yönünde birim vektör

5 Bir Rijit Cismin Kinematiği:
A ve B noktaları yerine, A noktasının konumu ile bu iki noktayı birleştiren AB vektörünün referans ekseni ile yaptığı açı  yardımıyla da rijit cismin konumu belirlenebilir: B B rAB y y A A  y rA AB  x x O O x

6 Dörtçubuk mekanizması vektörel çevrim denklemi
Mekanizmaların Vektörel Çevrim Denklemleri: Dörtçubuk mekanizması vektörel çevrim denklemi 2 3 4 y A0 A B x B0 vektörel çevrim denklemi 4 B Bir konum vektörü uzunluk ve yön olmak üzere iki skalerle ifade edilebilir. *** Vektörlerin yönleri vektörün pozitif x ekseni ile saat ibreleri ters yönünde (SİTY) yaptığı açı ile gösterilecektir. r3 A 3 r4 r2 2 1 A0 r1 B0

7 Bir vektörel denklemden iki skaler denklem yazılabilir:
2 3 1= rad 4 r2 r3 A A0 B0 r1 r4 B vektörel çevrim denklemi Üstel formda Kompleks sayılar ile: Kompleks eşleniği Hatırlatma: Kompleks sayılar ile: Oxy eksen takımında:

8 Krank-biyel mekanizması çevrim denklemi
3 y 2 B 4 x A0 C 3 A r3 r2 3/2 B d 2 A0 1 s C

9 Bir vektörel denklemden iki skaler denklem yazılabilir:
2 A0 A B 3 1 r2 r3 s d 3/2 Oxy eksen takımında: Kompleks sayılar ile:

10 Vektörel çevrim denklemleri yazılırken vektör toplam işaretlerine dikkat edilmelidir!
3 r2 B veya A0 2 d s /2 C 2 3 4 r2 r3 A A0 B0 r1 r4 B veya

11 Kol-kızak mekanizması
Kol-kızak mekanizmasında 4 uzvu 3 uzvu üzerinde kayma yapmaktadır. Değişken olan S43 vektörü 4 uzvunun 3 uzvuna göre bağıl konum vektörüdür. 4+/2 2 3 4 A0 A x B0 r4 r2 r1 s43 2 4 B Vektörel çevrim denklemi

12 Skaler denklemler: *** Üstel formda Kompleks sayılar ile:
Oxy eksen takımında:

13 Çok gözlü mekanizmalar için vektörel çevrim denklemleri:
y B 3 A 3 5 5 4 I 2 II 2 4 6 x A0 B0 s C Vektörel çevrim denklemleri

14 Analitik Yöntem ile Konum Analizi
Krank-biyel mekanizması d y r2 r3 3 x q 2 1 3 4 A0 B A s 3, s = ? Oxy eksen takımında:

15 Karelerini alıp taraf tarafa toplarsak
Burada: Çözüm:

16 Dört çubuk mekanizması :Kompleks sayılar yöntemi ile çözüm ve Freudenstein Denklemi
-3 -4 -q 2 1 3 4 A0 iy A B r1 B0 3 4 x q Vektörel çevrim denklemi: Kısıt (bağ) denklemeleri : (kompleks eşleniği)

17 4 ‘ü hesaplamak için: Bu denklemleri taraf tarafa çarparsak: ve olduğunu hatırlarsak

18 Yukarıda verilen eşitlik kullanıldığında:
elde edilir. Bu denkleme bunu ilk tanımlayan kişiye atfen Freudenstein denklemi denmektedir. Bu denklemde:

19 Freudenstein denklemi 4 ve 2 arasındaki ilişkiyi vermektedir
Freudenstein denklemi 4 ve 2 arasındaki ilişkiyi vermektedir. Bu denklem cos(a-b)=cosa cosb+sina sinb bağıntısı kullanılarak aşağıdaki gibi de yazılabilir: yarım açı formülleri kullanıldığında elde edilir. Burada:

20 değişken dönüşümü ile biçiminde ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin kökleri:

21 Benzer yolla 3 ‘ü de bulabiliriz
Burada “-” işaretli çözüm dört çubuk mekanizmasının açık montajlı olması haline, “+” işareti çözüm ise çapraz montajlı olması haline karşılık gelmektedir. (B2 - 4AC) < 0 ise verilmiş olan 2 açısında mekanizma monte edilemez. 2 1 3 4 A0 A B B0 Açık montaj Çapraz montaj Benzer yolla 3 ‘ü de bulabiliriz

22 Örnek (Kol-Kızak Mekanizması)
Şekilde boyutları verilen kol-kızak mekanizmasında 2=0o için 4 ve s43 ‘ü hesaplayınız. 2 1 3 4 A0 y A B r1 B0 r2 r4 4 x 2 s43 4+/2 r1=200 mm; r2=70 mm; r4=80 mm; Vektörel çevrim denklemi: A0A = A0B0 + B0B + BA

23 A0A=A0B0+B0B+BA Kompleks sayılar ile yazıldığında: veya kompleks eşleniği:

24 S43 parametresini yok etmeye çalışalım:
S43 parametresini yok etmek için (3) denklemini ve (4) denklemini ile çarpalım: (3’) ve (4’) denklemlerini eşitlersek: veya

25 bağıntısı kullanılırsa;
Cos(2-4) ü trigonometrik eşitlik kullanarak açalım:

26 yarım açı formülleri de kullanılarak basitleştirmeler yapıldığında:
elde edilir. Burada: Bu denklemin kökleri de 4 ‘ü verecektir, yani:

27 Bilinen değerler kullanılarak denklem katsayıları:
Olarak hesaplanır. Buradan:

28 S43 ü hesaplamak için (3) ve (4) denklemleri aşağıdaki gibi düzenlenir ve taraf tarafa çarpılırsa:
elde edilir. Sayısal değerler yerine yazılırsa: bulunur.

29 Ödev 1 Örnek 2 ‘de verilen mekanizmada 2 =45o alarak kompleks sayılar yöntemi ve Raven yöntemi ile konum analizini yapınız. 2 1 3 4 A0 y A B r1 B0 r2 r4 4 x 2 s43 4+/2 r1=200 mm; r2=70 mm; r4=80 mm;

30 Ödev 2 Şekilde boyutları verilen mekanizmada 2=120o iken 3, 4, 5 ve 6 nolu uzuvların konumlarını hesaplayınız. A0B0=14 cm, A0A=7 cm, AB=12.46 cm, B0B=11.2 cm, BC=35 cm 2 1 4 A0 A B B0 2 5 6 C 3

31 Ödev 3 Şekilde boyutları verilen mekanizmada 2=120o iken 3, 4, 5 ve 6 nolu uzuvların konumlarını hesaplayınız. A0B0=14 cm, A0A=7 cm, B0B=11.2 cm, BC=35 cm 1 4 A0 A B B0 5 6 C 3 2 2