Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN

... konulu sunumlar: "Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN"— Sunum transkripti:

1 Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN
RASYONEL SAYILAR Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN

2 KONU BAŞLIKLARI 2.1. Toplama- Çıkartma 1. RASYONEL SAYILAR
2. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER 2.1. Toplama- Çıkartma 2.2. Çarpma- Bölme 3. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA 3.1. Pozitif Rasyonel Sayılarda Sıralama 3.2. Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama 3.3. Arada Olma 4. ÖRNEKLER

3 1. Rasyonel Sayılar 𝑎 𝑏 Kesir Çizgisi
a ile b birer tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere, 𝑎 𝑏 biçimindeki sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Q = { 𝑎 𝑏 I a b ∈ Z, b ≠ 0 } 𝑎 𝑏 kesrinde a ya pay, b ye payda denir. Pay 𝑎 𝑏 Kesir Çizgisi Payda Uyarı: Paydası sıfırdan farklı olmak üzere iki tam sayının birbirine oranı rasyonel sayıdır. a, b ∈ Z ve b ≠ 0 olmak üzere, 𝑎 𝑏 ifadesi bir kesirdir. 𝑂 𝐴 =0, (𝐴 ≠ 0 ise) , 𝐴 0 =𝑇𝑎𝑛𝚤𝑚𝑠𝚤𝑧, (𝐴 ≠ 0 ise), 𝑂 0 =𝐵𝑒𝑙𝑖𝑟𝑠𝑖𝑧 𝑖𝑓𝑎𝑑𝑒𝑑𝑖𝑟.

4 1. Rasyonel Sayılar 1.1.Tam Sayıların Rasyonel Sayı Olarak Yazılması
Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. -2 , 9 , 7 , ve 0 sayılarını rasyonel sayı olarak yazalım −2= − = = = 0 1 Buradan da anlaşılacağı gibi her tamsayı paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır.

5 Şekilde verilen bölgeleri gösteren sayılar denktir. Yani ;
1. Rasyonel Sayılar 1.2. Rasyonel Sayılar Kümesi Şekilde verilen bölgeleri gösteren sayılar denktir. Yani ;

6 1. Rasyonel Sayılar 1.3. Kesir Çeşitleri Basit Kesir İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. 1 3 , −11 25 , 5 7 , , Bileşik Kesir İşaretine bakılmaksızın payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir. 14 3 , −31 25 , , ,

7 1. Rasyonel Sayılar 1.3. Kesir Çeşitleri Tam Sayılı Kesir Bir tam sayı ile birlikte yazılan kesirlerdir. Bileşik kesir aynı zamanda bir tam sayılı kesirdir. 4 1 3 , , , Uyarı: a, b, c ∈ Z olmak uzere; a 𝑏 𝑐 gösteriminin anlamı ; a 𝑏 𝑐 = a+ 𝑏 𝑐 = 𝑎.𝑐+𝑏 𝑐 dir.

8 2. Rasyonel Sayılarda İşlemler
2.1. Toplama Çıkartma I. işlemdeki kesirlerin paydaları eşit ise hemen işleme başlanır. 𝑎 𝑏 ± 𝑐 𝑏 = 𝑎 ± 𝑐 𝑏 II. işlemdeki kesirlerin paydaları eşit değil ise paydalar eşitlenir. 𝑎 𝑏 ± 𝑐 𝑑 = 𝑎.𝑑 ± 𝑏.𝑐 𝑏.𝑑

9 2. Rasyonel Sayılarda İşlemler
Toplama Çıkartma Örnekleri = = = 1 = −(2.7) 3.7 = −5 21

10 2. Rasyonel Sayılarda İşlemler
2.2. Çarpma- Bölme İşlemleri Çarpma Çarpma işleminde paylar çarpılıp paya, paydalar çar­pılıp paydaya yazılır. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑎 . 𝑐 𝑏.𝑑 Bölme Bölme işleminde, birinci kesir (bölünen kesir) olduğu gibi yazılır, ikinci kesir (bölen kesir) ters çevrilerek çarpılır. 𝑎 𝑏 : 𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏 . 𝑑 𝑐 = 𝑎 . 𝑑 𝑏 . 𝑐

11 2. Rasyonel Sayılarda İşlemler
Çarpma Bölme Örnekleri = = = 2 : = = 4

12 2. Rasyonel Sayılarda İşlemler
Örnekleri Soru 1: 1 5 −1 2− işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 5 6

13 2. Rasyonel Sayılarda İşlemler
Örnekleri Soru Çözüm 1: 1 5 −1 2− = 1− − = − = − = =- 6 5

14 2. Rasyonel Sayılarda İşlemler
Örnekleri Soru 2: 2− −1 işleminin sonucu kaçtır? A)- 7 B)- 4 C)1 D) 4 E) 7

15 2. Rasyonel Sayılarda İşlemler
Örnekleri Soru Çözüm 2: 2− −1 = − −3 3 = − = − = -7

16 3. Rasyonel Sayılardan Sıralama
3.1. Pozitif Rasyonel Sayılarda Sıralama I. Paydaları eşit olan rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. Örnek: 𝟐 𝟗 , 𝟓 𝟗 , 𝟒 𝟗 , 𝟏𝟑 𝟗 , 𝟕 𝟗 𝑟𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛𝚤 𝑘üçü𝑘𝑡𝑒𝑛 𝑏ü𝑦üğ𝑒 𝑑𝑜ğ𝑟𝑢 𝑠𝚤𝑟𝑎𝑙𝑎𝑦𝚤𝑛𝚤𝑧 𝟐 𝟗 < 𝟒 𝟗 < 𝟓 𝟗 < 𝟕 𝟗 < 𝟏𝟑 𝟗 II. Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası bü­yük olan küçüktür. Örnek: 𝟕 𝟓 , 𝟕 𝟗 , 𝟕 𝟒 , 𝟕 𝟔 , 𝟕 𝟏𝟓 𝑟𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛𝚤 𝑘üçü𝑘𝑡𝑒𝑛 𝑏ü𝑦üğ𝑒 𝑑𝑜ğ𝑟𝑢 𝑠𝚤𝑟𝑎𝑙𝑎𝑦𝚤𝑛𝚤𝑧 𝟕 𝟏𝟓 < 𝟕 𝟗 < 𝟕 𝟔 < 𝟕 𝟓 < 𝟕 𝟒

17 3. Rasyonel Sayılardan Sıralama
Örnekleri Soru 3: 𝒂= 𝟏𝟎 𝟏𝟏 , b= 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏 , c= 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏 olduğunu göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur ? A) c < b < a B) c < a < b C)a<b<c D) a < c < b E) b < c < a

18 3. Rasyonel Sayılardan Sıralama
Örnekleri Soru Çözümü3: a= 𝟏𝟎 𝟏𝟏 = b= 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏 = Payı eşit olan kesirlerden, paydası en büyük olan en küçük olduğundan a > b > c sıralaması elde edilir c= 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏 =

19 3. Rasyonel Sayılardan Sıralama
3.2. Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama I. Paydaları eşit olan rasyonel sayılardan payı büyük olan daha küçüktür. Örnek: −𝟐 𝟗 , −𝟓 𝟗 , −𝟒 𝟗 , −𝟏𝟑 𝟗 , −𝟕 𝟗 𝑟𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛𝚤 𝑘üçü𝑘𝑡𝑒𝑛 𝑏ü𝑦üğ𝑒 𝑑𝑜ğ𝑟𝑢 𝑠𝚤𝑟𝑎𝑙𝑎𝑦𝚤𝑛𝚤𝑧 −𝟏𝟑 𝟗 < −𝟕 𝟗 < −𝟓 𝟗 < −𝟒 𝟗 < −𝟐 𝟗 II. Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası bü­yük olan büyüktür. Örnek: −𝟕 𝟓 , −𝟕 𝟗 , −𝟕 𝟒 , −𝟕 𝟔 , −𝟕 𝟏𝟓 rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız −𝟕 𝟒 < −𝟕 𝟓 < −𝟕 𝟔 < −𝟕 𝟗 < −𝟕 𝟏𝟓

20 3. Rasyonel Sayılardan Sıralama
Örnekleri Soru 4: 𝒂= −𝟓 𝟏𝟐 , b= −𝟕 𝟒 , c= −𝟓 𝟔 olduğunu göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur ? A) c < b < a B) c < a < b C)a<b<c D) a < c < b E) b < c < a

21 3. Rasyonel Sayılardan Sıralama
Örnekleri Soru Çözümü3: a= −𝟓 𝟏𝟐 = −5 12 b= −7 4 = −21 12 Paydaları eşit olan rasyonel sayılardan payı büyük olan daha küçüktür olduğundan a >c> b sıralaması elde edilir c= −5 6 = −

22 3. Rasyonel Sayılardan Sıralama
3.3. Arada Olma Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır. Bu özelliğinden dolayı “rasyonel sayılar kümesi yo­ğundur.” denir. x < y ve x ile y birer rasyonel sayı olmak üzere, 𝑥< 𝑥+𝑦 2 <𝑦 şeklinde x ve y rasyonel sayıları arasına başka rasyonel sayılar yerleştirilebilir. 𝒙+𝒚 𝟐 orta terimdir.

23 3. Rasyonel Sayılardan Sıralama
Örnekleri Soru 5: 𝟑 𝟕 < 𝒙 𝟐𝟖 < 𝟓 𝟐 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?

24 3. Rasyonel Sayılardan Sıralama
Örnekleri Soru Çözüm 5: 𝟑 𝟕 < 𝒙 𝟐𝟖 < 𝟓 𝟐  𝟑 𝟕 < 𝒙 𝟐𝟖 < 𝟓 𝟐 == 𝟏𝟐 𝟐𝟖 < 𝒙 𝟐𝟖 < 𝟕𝟎 𝟐𝟖 (4) (14) Buna göre, 12 < x < 70 olduğundan x, 13 ten 69 a ka­dar olan tam sayı değerlerini alır. x, = 57 tane tam sayı değeri alır.

25 4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 1: A= 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟑 B= 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟑 Olmak üzere 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 işleminin sonucu kaçtır? A) 𝟐 𝟑 B) 1 C) 𝟑 𝟐 D) 2 E) 3

26 4. Çözümsüz Örnekler 1 2 3 5 + 1 1 2 + 1 1 2 işleminin sonucu kaçtır ?
Örnekleri Soru 2: işleminin sonucu kaçtır ? A) 𝟓 𝟐 B) 𝟑 𝟐 C) 𝟏 𝟐 D) 1 E) 𝟏 𝟒

27 4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 3: «a» bir tam sayı olmak üzere; 4𝑎+5 3𝑎−15 Sayısı tanımsız olduğuna göre, 2a+3 ifadesinin değeri kaçtır? A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E)19

28 4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 4: 2 5 ile rasyonel sayılarının tam ortasındaki rasyonel sayı aşağıdakilerden hangisidir ? A) 𝟓 𝟏𝟓 B) 𝟕 𝟏𝟓 C) 𝟖 𝟏𝟓 D) 1 E) 𝟏 𝟒

29 4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 5: 1 3 < 2𝑥+1 15 ≤ eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayısı vardır ? A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E)3

30 4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 6: 𝟐 𝟑 kesrine denk bir kesrin, payına 2 eklenip paydasından 1 çıkarıldığında kesrin değeri 𝟒 𝟓 oluyor. Buna göre, ilk kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır? A) 10 B) 14 C) 15 D) 30 E)35

31 4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 7: 1− 1 2 1− 1 3 1− 1 4 …….. 1− 1 𝑛 İşleminin sonucu kaçtır ? A) 𝒏−𝟏 𝟐 B) 𝒏−𝟏 𝒏 C) 𝟏 𝒏 D) 1 E) 𝒏+𝟏 𝒏

32 5. KAYNAKLAR 1. " Sosyal Bilimler MYO için Temel Matematik" , Prof. Dr. Mustafa SEVÜKTEKİN, Dora Basım Yayın Dağıtım, " YGS Temel Matematik", Aydın Basın Yayın Matbaa Sanayi ve Ticaret Ltd. Şti., " ÖSS Matematik ", Mustafa YAĞCI, " Temel Matematik", Prof.Dr. Mahmut KARTAL, Nobel Yayın Dağıtım, " Temel Matematik ", Doç.Dr. İrfan ERTUĞRUL, Ekin Basım Yayın Dağıtım, 2012