İlk olarak geçen hafta farklı a değerleri için incelediğiniz lineer sisteme bakalım: MATLAB ile elde ettiğiniz sonuçları analitik ifade ile elde edilen.

... konulu sunumlar: "İlk olarak geçen hafta farklı a değerleri için incelediğiniz lineer sisteme bakalım: MATLAB ile elde ettiğiniz sonuçları analitik ifade ile elde edilen."— Sunum transkripti:

1 İlk olarak geçen hafta farklı a değerleri için incelediğiniz lineer sisteme bakalım:
MATLAB ile elde ettiğiniz sonuçları analitik ifade ile elde edilen sonuçlar ile karşılaştıralım. a t x 3 1 4.5533 10 2.4935* 1012 100 4.5323*10129 -0.3 0.4197 1.2719 1.333 -3 0.1317 0.1333

2 a t x 1 0.5 10 4.1 100 20.1 Fark denkemi ile yazdığımız denklemler ile diferansiyel denklemler ile yazdığımız bu denklemleri karşılaştıralım Çözüm sıfıra yaklaşıyor Pozitif ise çözüm ilk değerde kalıyor, Negatif ise çözüm ilk değerin bir +işaretlisi bir - işaretlisi olarak salınıyor, mutlak değerce aynı değerde kalıyor Çözüm büyüyor, sonsuza gidiyor (*) sistemi için: (**) sistemi için: Çözüm sıfıra yaklaşıyor Çözüm sabit, denge noktası Çözüm büyüyor, sonsuza gidiyor

3 Fark denklemlerinde yaptığımız gibi büyük boyutlu sisteme bakalım
Burada da çözümlerin zamanla değişimini fark denklemlerine benzer şekilde özdeğerler çözümlerin bulunduğu uzayıda özvektörler belirleyecek Özvektörler Özdeğerler Özvektörleri aynı özdeğerleri farklı iki sistem A1 sistemi A2 sistemi

4 Özdeğerleri aynı özvektörleri farklı iki sistem
B1 sistemi B2 sistemi

5 Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir?
S. Haykin, “Neural Networks- A Comprehensive Foundation”2nd Edition, Prentice Hall, 1999, New Jersey. Tüm bu durum portrelerinde ortak bir şey var, ne?

6 Fark denklemleri için elde ettiğimiz sonuçlar ile karşılaştıralım
(*) sistemi için: Çözüm sıfıra yaklaşıyor Çözüm büyüyor, sonsuza gidiyor Herhangi bir için σ jω özdeğerler birim dairenin içinde ve üstünde ise çözümler sıfıra yakınsar veya salınır. (**) sistemi için: Çözüm sıfıra yaklaşıyor veya salınıyor Çözüm büyüyor, sonsuza gidiyor Herhangi bir için σ jω özdeğerler sol yarı düzlemde ise çözümler sıfıra yakınsar, jw üzerinde ise salınır.

7 Biraz daha zorlaştıralım:
Bu sefer yazabileceğimiz, genel bir analitik çözüm yok, ne yapmamızı önerirsiniz? Denge noktası civarında lineer eşdeğeri elde edilip, denge noktası civarındaki davranışı incelenecek: Sizce denge noktası bu sefer nasıl belirlenecek? Tanım: Sabit nokta (fixed point) Fark denkleminin zamanla değişmeyen çözümüne, fark denkleminin sabit noktası denir. Hatırlatma Denge noktası (equilibrium point) Diferansiyel denkleminin zamanla değişmeyen çözümüne, diferansiyel denkleminin sabit noktası denir. Hatırlatma

8 Hatırlatma Bir Örnek

9 Dinamik sistemin özel bir çözümü: Denge noktası
Kaç tane denge noktası olabilir? Sistemin davranışını incelemenin bir yolu kararlılığını incelemektir. Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık sistemine ilişkin bir denge noktası olsun. Verilen herhangi bir için Eşitsizliği eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır. Lineer sistemlerde denge noktasının Lyapunov anlamında kararlılığını incelemek için ne yapılıyor? Denge noktasının kararlılığı neye denk, neden?

10 Bir doğrusal olmayan sistemin durum portresine bakalım
Bu üç denge noktasının civarında lineer eşdeğerin özdeğerlerine baksaydık nasıl özdeğerler görecektik?

11 Algoritma Kelimenin kökeni İranlı matematikçi, astronom Al-Khwarizmi’den gelmekte, bir problemin çözümü için atılacak adımlar dizisidir.