MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR

... konulu sunumlar: "MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR"— Sunum transkripti:

1 MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR
FONKSİYON HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER ATAŞEHİR- 2012

2 FONKSİYONU …...............................DÖNÜŞTÜRMESİDİR.
ÖRNEK f( fabrika) A B İPLİK KUMAŞ f’nin( fabrikanın) FONKSİYONU … DÖNÜŞTÜRMESİDİR. İPLİĞİ KUMAŞA

3 FONKSİYONU …...............................DÖNÜŞTÜRMESİDİR.
ÖRNEK t( toprak) A B TOHUM BİTKİ t’nin( toprağın) FONKSİYONU … DÖNÜŞTÜRMESİDİR. TOHUMU BİTKİYE

4 Bu durum f : A  B veya A  B biçiminde gösterilir.
A ve B boş olmayan iki küme olsun. AXB nin her alt kümesine A dan B ye bir bağıntı dendiğini biliyorsunuz. Şimdi, A dan B ye tanımlanan  bağıntılarından bazılarının aşağıda değineceğimiz şartları doğrulamasını isteyeceğiz ve bu bağıntılara fonksiyon diyeceğiz. TANIM A ve B boş olmayan herhangi iki küme olsun. A’nın her elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir. Bu durum f : A  B veya A  B biçiminde gösterilir. f

5 TANIM A’ dan B’ ye f fonksiyonu A’nın bir x elemanını B’nin bir y elemanına eşlesin, y ’ye x’in f altında görüntüsü denir. Bu durum ; f : x  y, x  y, y = f ( x ), ( x , y )  f ifadelerinden biri ile gösterilir. f A kümesine f fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine bu fonksiyonun değer kümesi ve A’nın elemanlarının B kümesindeki görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir.Görüntü kümesi f( A ) ile gösterilir.

6 f fonksiyonunu şu şekillerde gösterebiliriz.
ÖRNEK A B f fonksiyonunu şu şekillerde gösterebiliriz. 1 GÖRÜNTÜ KÜMESİ ( f ( A ) ) f ( 0 ) = 0 f ( 1 ) = 3 f ( 2 ) = 6 1 3 2 6 f = { ( 0, 0 ), ( 1, 3 ), ( 2, 6 ) } TANIM KÜMESİ DEĞER KÜMESİ f : 0 → 0 f : 1 → 3 f : 2 → 6 f 1 → 3 f 0 → 0 2 → 6 f

7 Yanda şeması verilen f fonksiyonunun: a) Tanım kümesini yazınız.
ÖRNEK Yanda şeması verilen f fonksiyonunun: a) Tanım kümesini yazınız. b) Değer kümesini yazınız. c) Görüntü kümesini yazınız. G S 1 2 3 5 ÇÖZÜM Tanım Kümesi , T = { 0, 1, 2, 3 } = G Değer Kümesi , D = { 0, 1, 2, 3, 5 } = S Görüntü Kümesi , f ( G ) = { 0, 1, 2, 3 }

8   FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ 1-
FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ 1- Tanım kümesinde açıkta eleman kalmaz, değer kümesinde açıkta eleman kalabilir. Çocukları ile beraber bir toplantı düzenleyen anneleri düşünelim. Çocuklar tanım kümesi, bu çocukların anneleri de değer kümesi olacak şekilde bunları iki gruba ayıralım.   ÇOCUKLAR ANNELER TANIM KÜMESİ DEĞER Tanım kümesinde bulunan her çocuğun değer kümesinde bir annesi vardır.Dolayısıyla tanım kümesinde açıkta eleman kalmamıştır ama çocuğu olmayan anneler bulunabilir.(Yani değer kümesinde açıkta eleman kalabilir.)

9 Tanım kümesindeki bir çocuğun değer kümesinde iki tane annesi olmaz .
2- Tanım kümesinde bir eleman değer kümesindeki birden fazla elemanla eşlenemez.   ÇOCUKLAR ANNELER  TANIM KÜMESİ DEĞER Tanım kümesindeki bir çocuğun değer kümesinde iki tane annesi olmaz . (Yani tanım kümesindeki bir eleman değer kümesinde ancak bir elemanla eşlenebilir .)

10 Çocuğu olmayan anneler olabilir.Gayet normal.
 Tanım kümesindeki birden çok eleman değer kümesindeki bir elemanla eşlenebilir.   ÇOCUKLAR ANNELER TANIM KÜMESİ DEĞER Bir problem yoktur. Çocuğu olmayan anneler olabilir.Gayet normal.

11 f = { ( a, 2 ), ( b, 1 ), (c, 3 ) } bağıntısı bir fonksiyondur
ÖRNEK G S .1 .2 .3 f .a .b .c f = { ( a, 2 ), ( b, 1 ), (c, 3 ) } bağıntısı bir fonksiyondur

12 g = { ( a,1 ), ( b, 2 ), ( c, 2 ) } bağıntısı bir
ÖRNEK G S .1 .2 .3 g .a .b .c g = { ( a,1 ), ( b, 2 ), ( c, 2 ) } bağıntısı bir fonksiyondur

13 h = { ( a, 2 ), ( b, 2 ), (c, 2 ) } bağıntısı bir
ÖRNEK G S .1 .2 .3 h .a .b .c h = { ( a, 2 ), ( b, 2 ), (c, 2 ) } bağıntısı bir fonksiyondur

14 ÖRNEK G S .1 .2 .3 k .a .b .c k = { ( a, 2 ), ( b, 1 ), (c, 2), (c, 3) } bağıntısı bir fonksiyon değildir. Çünkü G kümesindeki 'c' elemanının eşlendiği iki eleman vardır.

15 ÖRNEK G S .1 .2 .3 m .a .b .c .b m = { ( a, 2 ), (c, 3) } bağıntısı bir fonksiyon değildir. Çünkü; G kümesindeki ‘b' elemanının eşlendiği eleman yoktur. UYARI: Her fonksiyon bir bağıntıdır fakat; her bağıntı bir fonksiyon değildir.Fonksiyon tanımını gerçekleyen özel bağıntılar fonksiyon olur.

16 h : R  R , h (x) = x2 bağıntılarının hangileri fonksiyondur?
ÖRNEK f : N  N , f (x) = x – 10 g : Z  Z , g (x) = (x+1) / 2 h : R  R , h (x) = x2 bağıntılarının hangileri fonksiyondur? ÇÖZÜM f fonksiyon değildir. Çünkü 2N olmasına rağmen f ( 2 ) = 2 – 10 = – 8 N dir.( yani 2 nin görüntüsü yoktur.) g fonksiyon değildir.Çünkü tanım kümesindeki çift sayıların görüntüleri değer kümesinde yoktur.g(10) = (10+1)/ 2 = ( 11 / 2 )  Z dir. h : R  R bir fonksiyondur.Çünkü her bir reel sayıya karşı bir reel sayı karşılık gelmektedir.

17 b ) β2= { ( a, 5 ), ( a, 6 ), (a, 7 ), ( b, 5 ), ( b, 7 ) }
ÖRNEK A = { a, b, c } kümesinden B = { 5, 6, 7, 8 } kümesine tanımlanan aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyon belirtir? a ) β1= { ( a, 5 ), ( b, 5 ), (c, 5 ) } a ) β1= { ( a, 5 ), ( b, 5 ), (c, 5 ) } b ) β2= { ( a, 5 ), ( a, 6 ), (a, 7 ), ( b, 5 ), ( b, 7 ) } c ) β3= { ( a, 8 ), ( a, 7 ), (b, 8 ), ( b, 5 ) } d ) β4= { ( a, 5 ), ( b, 6 ), ( b, 7 ), ( c, 8 ) } e ) β5= { ( c, 5 ), ( a, 6 ), (c, 7 ), ( c, 8 ) } ÇÖZÜM Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki ( A ’daki ) her elemanın yalnız bir tane görüntüsü olmalıdır. β1 bu şartı sağladığı için fonksiyondur.

18 s(A) = 2 ve A’dan B’ye 144 fonksiyon tanımlanabildiğine göre s(B)=?
UYARI s( A ) = n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon sayısı mn dir. ÖRNEK s(A) = 2 ve A’dan B’ye 144 fonksiyon tanımlanabildiğine göre s(B)=? ÇÖZÜM s( A ) = 2 s( B ) = m olsun A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon sayısı m2 dir. Buna göre m2 = 144 m = 12 = s( B )

19 A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntı sayısı;
UYARI s( A ) = n ve s( B ) = m olmak üzere A’dan B’ ye fonksiyon olmayan bağıntı sayısı; 2mn – mn dir. ÖRNEK s( A ) = 2 ve s( B ) = 3 ise A dan B ye fonksiyon olmayan bağıntı sayısı kaçtır? ÇÖZÜM A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntı sayısı; 22.3 – = 26 – 9 = 55

20 ÖRNEK 3 kişinin katıldığı bir sınav, başarı yönünden kaç farklı biçimde sonuçlanabilir? ÇÖZÜM Sınava katılan 3 kişi A tanım kümesini , sınav sonucu da B kümesini oluştursun. . Başarılı . Başarısız  f A B A dan B ye 23 tane fonksiyon tanımlandığına göre sınav 8 farklı biçimde sonuçlanabilir.

21 b) f : A → B ye bir fonksiyon ise f( A ) kümesini bulunuz.
ÖRNEK A = { – 2, – 1, 0, 1, 2 }, B = { – 6, – 4, – 3, 0, 1, 3, 6 } kümeleri için f : A → B, f ( x ) = 3x bağıntısı verilsin: a) f bağıntısını şema ile gösterelim. Fonksiyon olup olmadığını belirtelim. b) f : A → B ye bir fonksiyon ise f( A ) kümesini bulunuz. c) f fonksiyonunu ikililer halinde yazınız. ÇÖZÜM x = – 2 için f ( – 2 ) = 3( – 2 ) = – 6 ( – 2 nin görüntüsü – 6 dır ) x = – 1 için f ( – 1 ) = 3( – 1) = – 3 ( – 1 in görüntüsü – 3 tür ) x = için f ( ) = 3( 0 ) = ( 0 ın görüntüsü 0 dır ) x = için f ( ) = 3( 1 ) = ( 1 in görüntüsü 3 tür ) x = için f ( 2 ) = 3( 2 ) = ( 2 nin görüntüsü 6 dır)

22 b) A kümesinin görüntü kümesi f ( A ) = { – 6 , – 3 , 0 , 3 , 6 }
x = – 2 için f ( – 2 ) = 3( – 2 ) = – 6 ( – 2 nin görüntüsü – 6 dır ) x = – 1 için f ( – 1 ) = 3( – 1) = – 3 ( – 1 in görüntüsü – 3 tür ) x = için f ( ) = 3( 0 ) = ( 0 ın görüntüsü 0 dır ) x = için f ( ) = 3( 1 ) = ( 1 in görüntüsü 3 tür ) x = için f ( 2 ) = 3( 2 ) = ( 2 nin görüntüsü 6 dır) B A – 2 – 1 1 2 – 6 – 4 – 3 3 6 f a) Tanım kümesinin bütün elemanları değer kümesinde bir ve yalnız bir elemanla eşlendiği için f bağıntısı bir fonksiyondur. b) A kümesinin görüntü kümesi f ( A ) = { – 6 , – 3 , 0 , 3 , 6 } c ) f = { ( – 2, – 6 ), ( –1, – 3 ), ( 0, 0 ), ( 1, 3 ), ( 2, 6 ) }

23 f : A → R, f ( x ) = x2 + 1 ve A = { –2, 0, 1, 2, 3 } ise
ÖRNEK f : A → R, f ( x ) = x ve A = { –2, 0, 1, 2, 3 } ise f ( A ) kaç elemanlıdır? ÇÖZÜM A = { –2, 0, 1, 2, 3 } kümesinin elemanlarının görüntülerini bulalım. x = – 2 için f ( –2 ) = ( –2 )2 +1 = 5 x = için f ( ) = ( 0 ) = 1 x = için f ( ) = ( 1 ) = 2 x = için f ( 2 ) = ( 2 ) = 5 x = için f ( 3 ) = ( 3 ) = 10 f ( A ) = { 1, 2, 5, 10 } olup s ( f ( A ) ) = 4 tür.

24 ÖRNEK f : A → B, f ( x ) = 3x – 5 veriliyor. f( A ) = { – 8, – 5, 1, 4 } ise A tanım kümesinin elamanlarını yazınız. ÇÖZÜM  3x – 5 = – 8 x = – 1  3x – 5 = – 5 x = 0  3x – 5 = 1 x = 2  3x – 5 = 4 x = 3 A = { – 1, 0, 2, 3 }

25 Görüntü kümesi : f( A ) = { 3 , 5 , 1 }
ÖRNEK f = { ( 2, 3 ), ( 4, 5 ), ( 6, 3 ), ( 8, 1 ) } bağıntısı bir fonksiyon ise f fonksiyonunun şemasını çizelim, tanım ve görüntü kümelerini yazalım. ÇÖZÜM Verilen f fonksiyonunun tanım kümesi A , değer kümesi de B olsun . f fonksiyonunun elemanları olan ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin ( A ), ikinci bileşenleri de değer kümesinin ( B ) elemanıdır. Buna göre ; A B 2 4 6 8 1 3 5 f Tanım kümesi : A = { 2 , 4 , 6 , 8 } Görüntü kümesi : f( A ) = { 3 , 5 , 1 }

26 ÖRNEK f : R  R f ( x ) = 3x – 1 için a) f ( 2 ) = ?
ÖRNEK f : R  R f ( x ) = 3x – 1 için a) f ( 2 ) = ? b) f ( a ) = 8 ise a = ? ÇÖZÜM a) f ( 2 ) = 3 ( 2 ) – 1 b) f ( a ) = 3 ( a ) – 1 = 8 = 5 3 ( a ) = 3 a = 9 a = 3

27 f( x ) = x3 – 3x2 + 3x – 1 olduğuna göre f( 11 ) = ?
ÖRNEK f( x ) = x3 – 3x2 + 3x – 1 olduğuna göre f( 11 ) = ? ÇÖZÜM f( x ) = x3 – 3x2 + 3x – 1 = ( x – 1 )3 f( x ) = ( x – 1 )3 f( 11 ) = ( 11 – 1 )3 = 1000

28 f(x)= x3 – 3x2 + 3x – 1 olduğuna göre f (x + 1) değeri nedir ?
ÖRNEK 1998 f(x)= x3 – 3x2 + 3x – 1 olduğuna göre f (x + 1) değeri nedir ? ÇÖZÜM f ( x ) = x3 – 3x2 + 3x – 1 = ( x – 1 )3 f ( x + 1) = ( x + 1 – 1 )3 f ( x + 1) = x3

29  ÖRNEK f ( x ) = x2 – x + 1 olduğuna göre, f (1 – x ) – f ( x ) = ?
ÖRNEK 1999 f ( x ) = x2 – x + 1 olduğuna göre, f (1 – x ) – f ( x ) = ? ÇÖZÜM  f ( 1 – x ) = ( 1 – x )2 – ( 1 – x )+ 1 f (x) = x2 – x + 1 = 1 – 2x + x2 – 1 + x + 1 = x2 – x + 1 = f ( x ) f ( 1 – x ) – f ( x ) = f( x ) – f( x ) =

30 fonksiyonu için f( –2 ) + f( 4 ) toplamı kaçtır?
ÖRNEK f( x ) = x < 1 1  x 2x – 1 , ….. x , .…. fonksiyonu için f( –2 ) + f( 4 ) toplamı kaçtır? ÇÖZÜM f(– 2 ) = 2 ( – 2 ) – 1 = – 5 f( 4 ) = 42 = 16 f(– 2 ) + f( 4 ) = – = 11

31 f ( 2x +3 ) = 3x + 2 olduğuna göre f ( 0 ) = ?
ÖRNEK 1987 f ( 2x +3 ) = 3x olduğuna göre f ( 0 ) = ? ÇÖZÜM için f ( 0 ) = x – 3 2 2x + 3 = 0 2x = – 3 = x – 3 2 = – 9 2 + 2 = – 5 2

32     ÖRNEK f ( x +2 ) = 3x2 – 2 f ( 0 ) + f ( 3 ) = ? ÇÖZÜM
ÖRNEK f ( x +2 ) = 3x2 – f ( 0 ) + f ( 3 ) = ? ÇÖZÜM  x +2 = 0 x = – 2  x = – 2 için f ( 0 ) = 3( –2 )2 – 2 f ( 0 ) = 10  x +2 = 3 x = 1  x = 1 için f ( 3 ) = 3( 1 )2 – 2 f ( 3 ) = 1 f ( 0 ) + f ( 3 ) = = 11

33 ÖRNEK ise f( 5 ) = ? ÇÖZÜM x = 0 için

34 ÖRNEK 2010 – LYS ÇÖZÜM x = – 2 için

35 f ( x + 3 ) + f ( x – 2 ) = 2x – 1 ise f ( 5 ) – f (– 5 ) = ?
ÖRNEK f ( x + 3 ) + f ( x – 2 ) = 2x – 1 ise f ( 5 ) – f (– 5 ) = ? ÇÖZÜM x = 2 için , f ( 5 ) + f ( 0 ) = 3 – + x = – 3 için , f ( 0 ) + f (– 5 ) = – 7 – + f ( 5 ) – f ( – 5 ) = 10

36  ÖRNEK f ( ) = ise en uygun koşullar altında f( x ) =? x +1 x – 2
ÖRNEK 1989 f ( ) = ise en uygun koşullar altında f( x ) =? x +1 x – 2 ÇÖZÜM x + 1 x – 2 = a  x – 2 x + 1 1 a = Buna göre f ( a ) = 1 a f ( x ) = 1 x

37  ÖRNEK x2 + 1 x + 1 f ( ) = + + 1 ise f ( x ) = ? ÇÖZÜM x2 + 1 x + 1
ÖRNEK x2 + 1 x + 1 f ( ) = ise f ( x ) = ? ÇÖZÜM x2 + 1 x + 1 = a x + 1 x2 + 1 1 a =  Buna göre f ( a ) = a + 1 1 a 1 f ( x ) = x + 1 x

38 f ( 2a+2 – 8 ) = 2a – 2 ise f ( x ) fonksiyonunu bulunuz.
ÖRNEK f ( 2a+2 – 8 ) = 2a – 2 ise f ( x ) fonksiyonunu bulunuz. ÇÖZÜM 2a+2 – 8 = 4.2a – 8 = 4.( 2a – 2 ) f fonksiyonu , f 4 ( 2a – 2 )  ( 2a – 2 ) eşlediğine göre 4 ( k )  ( k ) f 4 ( x )  ( x ) f f( x ) = x 4

39 ÖRNEK 1987 f ( x ) doğrusal fonksiyonu için f ( 2 ) = 3, f ( 3 ) = 2 olduğuna göre f ( 1 ) =? ÇÖZÜM – 1 ÇÖZÜM – 2 f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğuna göre , f ( x ) = ax + b şeklindedir. f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğu için  x = 2 için f ( 3 ) = 2 f ( 2 ) = 3 f ( 2 ) = 2a + b 3 = 2a + b b = 5 x = 3 için f ( 3 ) = 3a + b Azalırken 1 ARTMIŞ 1 f ( x ) = ax + b 3 = 2a + b f ( x ) = – x + 5 – – 2 = 3a + b – f ( 1 ) = –1 + 5 = 4 Azalırken 1 ARTMALI 1 1 = – a  f ( 1 ) = x f ( 1 ) = 4 a = –1

40  ÖRNEK ÇÖZÜM f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğu için f ( 2 ) = 4
ÖRNEK ÇÖZÜM f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğu için f ( 2 ) = 4 f ( 5 ) = 13 Artarken 3 ARTMIŞ 9 Artarken 3 ARTMALI 9  f ( 8 ) = x f ( 8 ) = 22

41 ÖRNEK f ( x ) = 4x – 7 fonksiyonu veriliyor. f ( 2x + 3 ) fonksiyonunun f ( x ) cinsinden değeri nedir ? ÇÖZÜM f ( 2x + 3 ) = 4( 2x + 3 ) – 7 f (x) = 4x – 7 = 8x + 12 – 7 f (x) + 7 = 4x = 8x + 5 x = f (x) + 7 4 f (x) + 7 4 = 8 ( ) + 5 = 2f( x ) = 2f( x ) + 19

42 ÖRNEK f( x ) = 22x – 4 olduğuna göre f( x+1) in f(x) türünden değerini bulunuz. ÇÖZÜM  f( x ) = 22x – 4 f( x+1 ) = 22(x+1) – 4 = 22x+2– 4 = 22x–2 f( x ) = 22x – 4 = 22x – 2 – 2  f( x+1) = 4f( x )

43 ( x'i f (x)’e bağlı yazmalıyız.)
ÖRNEK 1992 olduğuna göre f ( x – 1 )’ in f ( x ) türünden değerini yazınız. ÇÖZÜM = x – 1 x  ( x'i f (x)’e bağlı yazmalıyız.)  x = f ( x ).x + f ( x ) x – x f ( x ) = f ( x )  x (1 – f ( x ) ) = f ( x )

44 " x'i f (x)’e bağlı yazmalıyız " demiştik
= x – 1 x " x'i f (x)’e bağlı yazmalıyız " demiştik Burada alınırsa f( x ) f( x – 1 ) = 2f( x ) – 1

45 ÖRNEK 1990 f ( x ) = 23x – 1 olduğuna göre f(2x)’in f( x ) cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 3f(x) B) 3[f(x)]2 C) 2f(x) D) 2[f(x)] E) 2[f(x)]3 ÇÖZÜM f (2x) = 23.(2x) – 1 f (x) = 23x– 1 f (2x) = 23x.2. 1 2 f (x) = 23x.2-1 f (x) = 23x. 1 2 f (2x) = ( 23x )2. 1 2 2f (x) = 23x f (2x) = ( 2f(x))2. 1 2  f (2x) = 2f(x)2

46 . . . . . . ÖRNEK x 9 f ( x ) = 3 f ( x +1) ve f ( 5 ) = 16
ÖRNEK x 9 f ( x ) = 3 f ( x +1) ve f ( 5 ) = 16 ise f ( 2 ) kaçtır? ÇÖZÜM = f ( 4 ) 4 3 . f ( 5 ) 4 3 . 9 = 16 x = 4 için = f ( 3 ) = 3 f ( 4 ) . 3 . = 4 x = 3 için = = 2 3 . 4 1 f ( 2 ) = 2 3 f ( 3 ) . x = 2 için

47  ÖRNEK f :R  R f ( x ) = 2x + 1 – f ( x +1 ) ve f ( 4 ) = 2 olduğuna
ÖRNEK 1997 f :R  R f ( x ) = 2x + 1 – f ( x +1 ) ve f ( 4 ) = 2 olduğuna göre f ( 2 )’ nin değeri nedir ? ÇÖZÜM x =2 için f ( 2 ) = 4 +1 – f ( 3 ) = 4 +1 – 5 = 0  x =3 için f ( 3 ) = 6 +1 – f ( 4 ) = – 2 = 5 f ( 3 ) = 5

48 ÖRNEK 1998 Bir f fonksiyonu, " Her bir pozitif tam sayı kendi ile çarpımsal tersinin toplamına götürüyor." şeklinde tanımlanmıştır.Bu fonksiyon aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir? A) f ( x ) = x2 + x x - 1 B) x x2 - 1 C) x2 + 1 D) x2 - 1 E) x 1 +

49 f2 ( x ) – 6 f (x ) + 9 = x2 + 2x +1 olduğuna göre f( x )
ÖRNEK f2 ( x ) – 6 f (x ) + 9 = x2 + 2x +1 olduğuna göre f( x ) fonksiyonunu bulunuz. ÇÖZÜM f2 ( x ) – 6 f (x ) = x x +1 ( f (x ) – 3 )2 = ( x + 1 )2 f (x ) – 3 = x + 1 f (x ) – 3 = – ( x + 1 ) f (x ) = x + 4 f (x ) = – x + 2

50 A = { – 2, – 1, 1, 2 } ve B = { 1, 2, 5 } kümeleri ile
FONKSİYONUN GRAFİĞİ Bir f fonksiyonunun elemanları olan ikilileri analitik düzlemde göstererek oluşturulan noktalar kümesine bu fonksiyonun grafiği denir. ÖRNEK A = { – 2, – 1, 1, 2 } ve B = { 1, 2, 5 } kümeleri ile A dan B ye f : x  x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM A = { – 2, – 1,1, 2 } tanım kümesinin elemanlarının f fonksiyonuna göre görüntüleri ; f ( – 2 ) = ( – 2 )2 + 1 = 5 f ( 2 ) = = 5 f ( – 1 ) = ( – 1 )2 + 1 = 2 f ( 1 ) = = 2

51 f fonksiyonunun liste biçiminde yazarsak
f fonksiyonunun liste biçiminde yazarsak f = { ( – 2, 5 ), ( – 1, 2 ), ( 2, 5 ), ( 1, 2 ) } elde edilir. Bu noktaları analitik düzlemde gösterirsek aşağıdaki grafik elde edilir. – 1 – 2 2 1 5 A = { – 2, – 1, 1, 2 } ve B = { 1, 2, 5 } kümeleri ile A dan B ye f : x  x fonksiyonunun grafiği, şekildeki kapalı eğri içindeki dört noktadan ibarettir. ( Burada A ve B kümelerinin sonlu küme olduğuna dikkatinizi çekmek isterim.)

52 f: R  R, f ( x ) = 3x + 1 olduğuna göre f ( x )’in grafiğini çiziniz.
ÖRNEK f: R  R, f ( x ) = 3x + 1 olduğuna göre f ( x )’in grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM Tanım kümesinin elemanlarından bazılarının görüntülerine bakalım. … 2 1 4 7 f ( 0 ) = = 1 f ( 1 ) = = 4 f ( 2 ) = = 7 … f = {…( 0, 1 ), ( 1, 4 ), ( 2, 7 ) ,... } f’nin sonsuz elemanlı bir kümeden sonsuz elamanlı bir kümeye tanımlı fonksiyon olduğuna dikkat ediniz. Bu noktalar kümesi yandaki grafiği oluşturur.

53 f ( x ) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.Buna göre f ( 1 ) = ?
ÖRNEK x y – 2 1 3 2 5 –1 f ( x ) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.Buna göre f ( 1 ) = ? f ( 0 ) = ? f ( 2 ) = ? f (– 2 ) = ? ÇÖZÜM Grafiği verilen bir f( x ) fonksiyonu için ; f( a ) , x ekseni üzerimdeki a noktasından y eksene çizilen paralelin grafiği kestiği noktanın ordinatıdır. a) f ( 1 ) = 0 b) f ( 2 ) = – 1 c) f ( 0 ) = 5 d) f ( – 2 ) = 0

54 ÖRNEK

55 ÖRNEK ÇÖZÜM

56 ÖRNEK

57 Grafiği verilen f ( x ) fonksiyonu için
ÖRNEK 2 3 4 –3 – 2 Grafiği verilen f ( x ) fonksiyonu için f ( x + 2 ) = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM f (– 3 ) = 0 f ( 2 ) = 0 f ( 4 ) = 0 Buna göre f( x + 2 ) = 0 ise x = – 3 x + 2 = 2 x + 2 = 4 Buradan x = – 5, x = 0, x = 2 elde edilir ve bunların toplamı – = – 3

58 ÖRNEK ÇÖZÜM x = 5 için g ( 5 ) = 3 – f ( 3 ) = 0 g (– 2 ) + g( 5 ) = 3
ÖRNEK 2011 – LYS ÇÖZÜM 3 x = 5 için g ( 5 ) = 3 – f ( 3 ) = 0 g (– 2 ) + g( 5 ) = 3 x = – 2 için g (– 2 ) = 3 – f ( – 4 ) = 3

59 I f(x) I = 1 veya I f(x) I = 3 olmalıdır.
ÖRNEK 2009 MAT-2 ÇÖZÜM I f(x) I = 1 veya I f(x) I = 3 olmalıdır.

60 ÖRNEK

61 ÖRNEK

62 ÖRNEK

63 ÖRNEK

64 [ c , d ] : görüntü kümesi olur
ÖRNEK y A ve B kümeleri için yandaki grafiği inceleyelim. f : A → B tanımlı ise A  R ve B  R dir. b a c d x A : Tanım kümesi [ b , a ] : tanım aralığı B : Görüntü kümesi [ c , d ] : görüntü kümesi olur

65 fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.
ÖRNEK A  R olmak üzere f : A → R fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir. a- Tanım aralığı yazınız. b- Görüntü kümesini yazınız. x y 4 –5 3 –1 ÇÖZÜM a- Grafiğe göre – 1< x  3 olduğundan tanım kümesi A = ( –1, 3 ] b- Grafiğe göre -5  y  4 olduğundan görüntü kümesi : f ( A ) = [ – 5, 4 ]

66 Yanda grafiği verilen fonksiyonun tanım kümesi nedir?
ÖRNEK y x ( – 2, 3 ) ( 4, 13 ) Yanda grafiği verilen fonksiyonun tanım kümesi nedir? ÇÖZÜM Grafiğe göre – 2  x  olduğundan Tanım kümesi : [ – 2 , 4 ]

67 ÖRNEK

68

69 x = 3 için tanımlı olmadığından
ÖRNEK 2010 – LYS ÇÖZÜM x = 3 için tanımlı olmadığından T.K:(– 3,7] – 3 veya (– 3,3 ) U ( 3,7 ]

70 ÖRNEK

71 ÖRNEK

72 ÖRNEK

73 ÖRNEK

74 ÖRNEK

75 Bir adamın iki,üç,dört … doğum günü olmaz.
UYARI Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için y eksenine paralel doğrular çizilir.Bu paralel doğrular grafiği bir noktada keserse fonksiyondur, grafiği birden fazla noktada kesiyor ise fonksiyon değildir. ÖRNEK y x y y x . X X x Bir adamın iki,üç,dört … doğum günü olmaz.

76 Bir adamın iki doğum günü olmaz.
ÖRNEK Aşağıdaki f : x → y ile tanımlı kurallardan hangisi fonksiyon değildir? X Bir adamın iki doğum günü olmaz.

77 f fonksiyonu birebirdir
FONKSİYON TÜRLERİ 1- BİREBİR (1:1) FONKSİYON Tanım kümesindeki her farklı elemanın , görüntüsü de farklı ise bu tip fonksiyona bire bir ( 1:1 ) fonksiyon denir. ÖRNEK a b c 1 2 3 A K g f a b c 1 2 3 A F 4 a b 3 f fonksiyonu birebirdir g fonksiyonu birebir değildir.

78 UYARI Grafiği verilen fonksiyonun 1:1 olduğunu anlamak için x eksenine paralel çizilir. Bu paraleller grafiği bir noktada kesiyor ise f birebirdir. ÖRNEK x y y x f , 1:1 fonksiyondur f , 1:1 değildir

79 s( A ) = 3, s( B ) = 5 olduğuna göre
ÖRNEK s(A) = 3, s( B ) = 5 ise A’ dan B’ ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı nedir ? ÇÖZÜM s( A ) = 3, s( B ) = 5 olduğuna göre A’dan B’ye tanımlanabilecek 1:1 sayısı P( m;n ) = m.(m – 1)(m – 2 )… dir. n tane Buna göre ; P( 5 ; 3 ) = 5.4.3 = 60

80 2- ÖRTEN FONKSİYON Değer kümesi ile görüntü kümesi eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir. ( f ( A ) = B ) ÖRNEK A B .a .b .c .1 .2 .3 .d .4 g B A .a .b .c .1 .2 .3 .d .4 f .2 f, örten fonksiyondur g,fonksiyonu örten değildir.

81 k, fonksiyonu içine değildir.
3- İÇİNE FONKSİYON Değer kümesi ile görüntü kümesi birbirinden farklı olan fonksiyona içine fonksiyon denir.( f (A)  B ) ÖRNEK .1 .2 .3 .4 .a .b .c .d B h A .a .b .c .d .1 .2 .3 .4 B k A h, fonksiyonu içinedir k, fonksiyonu içine değildir.

82 UYARI Grafiği verilen bir fonksiyon içine ya da örten olduğunu anlamak için x eksenine paralel doğrular çizilir.Bu paralel doğrular grafiği daima keserse örten, grafiği kesmeyen paraleller varsa f içinedir . ÖRNEK y x f : R  R f : R  R y x Grafiği kesmiyor. f, örtendir f, içinedir

83 BİREBİR ÖRTEN FONKSİYON
BİREBİR ÖRTEN FONKSİYON f : A  B fonksiyonu hem bire bir hem de örten fonksiyon ise bire bir örten fonksiyon denir. f : A  B fonksiyonunun bire bir örten olabilmesi için s(A) = s(B) olmalıdır.  s( A ) = n ve s( B ) = n olmak üzere A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir ve örten fonksiyon sayısı n! dir. ÖRNEK B A .1 .2 .3 .a .b .c f f : A → B fonksiyonunda farklı elemanların görüntüleri de farklı ve f ( A ) = B olduğundan f fonksiyonu birebir örten fonksiyondur.

84 A’dan B’ye 1:1 fonk. sayısı P( m;n ) = m.(m – 1)(m – 2 )…
ÖRNEK 2008 B A .a1 .a2 .a3 b4 b2 f b3 b5 b1 Aşağıda { a1, a2, a3 } ve B = { b1, b2, b3, b4, b5 } kümeleri verilmiştir. A dan B ye f( a2 ) = b4 olacak şekilde kaç tane birebir f fonksiyonu tanımlanabilir? ÇÖZÜM A’dan B’ye 1:1 fonk. sayısı P( m;n ) = m.(m – 1)(m – 2 )… n tane s( A ) = 2, s( B ) = 4 kabul edelim. P( 4 ; 2 ) = 4.3 = 12

85  X X X X ÖRNEK Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1:1 ve örtendir?
ÖRNEK Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1:1 ve örtendir?  X X Üç elaman aynı elamanla eşlendiği için fonksiyon birebir olmaz. İki elaman aynı elamanla eşlendiği için fonksiyon birebir olmaz. X X fonksiyon değil

86 BİREBİR İÇİNE FONKSİYON
BİREBİR İÇİNE FONKSİYON f : A  B fonksiyonu hem bire bir hem de içine fonksiyon ise f fonksiyonuna bire bir içine fonksiyon denir. ÖRNEK g : A  B fonksiyonunda farklı elemanların görüntüleri de farklı ve g(A)B olduğundan f fonksiyonu bire bir içine fonksiyondur. B A .a .b .c .1 .6 .3 g .4 .5 g ( A )

87 ÖRNEK Aşağıdaki şemalarla belirtilmiş fonksiyonların hangi türleri tanımladığını söyleyiniz. D C .k .f .r .1 .2 g .3 .n B A .a .b .c .3 .1 f .2 .d İçine fonksiyon Örten fonksiyon

88 f F E .p .r .s .1 .2 .3 .4 H F .0 .1 g .2 .m .l .k Bire bir içine fonksiyon Bire bir örten fonksiyon h N M .a .b .c .1 .2 .3 .d .e .f Örten fonksiyon

89 ÖRNEK s(A) = 3 ve A’ dan A’ ya tanımlanabilecek bire bir ve örten olmayan fonksiyon sayısı nedir ? ÇÖZÜM s( A ) = 3 A’dan A’ya tanımlanabilecek 1:1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı mm – m! dir. Buradan 33 - 3! = 27 – 6 = 21

90 ÖRNEK ÇÖZÜM

91 ÖRNEK 2012-LYS

92 Aynaya baktığınızda kimi görürsünüz?
5- BİRİM FONKSİYON Tanım kümesinin her elemanını kendisi ile eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. ÖRNEK ÖRNEK B A .1 .2 .3 .4 f f : R → R , f( x ) = x ( birim fonksiyon) fonksiyonunun grafiği çiziniz. y x 45° Aynaya baktığınızda kimi görürsünüz?

93 ÖRNEK f :N  N, x  f ( x ) = ( m – 2 )x +1– n fonksiyonunun özdeşlik( birim ) fonksiyonu olduğuna göre m + n = ? ÇÖZÜM f( x ) fonksiyonunun birim fonksiyon olması için f(x) = x olmalıdır.Yani; eşitliğin sağında sadece x olmalıdır. m – 2 = 1 ve 1 – n = 0 n = 1 m = 3 m + n = = 4

94 ÖRNEK ÇÖZÜM

95 f : R  R, f( x ) = 4 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
4- SABİT FONKSİYON Tanım kümesinin bütün elemanlarını değer kümesinin yalnız bir elemanına eşleyen f fonksiyona sabit fonksiyon denir. s( A ) = n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye tanımlanabilen sabit fonksiyon sayısı m dir. ÖRNEK ÖRNEK S G .a .b .c .1 .2 .3 .d .4 f f : R  R, f( x ) = 4 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. y x 4

96 O halde m – 3 = 0  m = 3 için f fonksiyonu sabit fonksiyon olur.
ÖRNEK f ( x ) = ( m – 3 )x – 3 ile tanımlı f fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için m kaç olmalıdır? ÇÖZÜM f ( x ) fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için f( x ) = c olmalıdır ( c  R olmalıdır.Yani; x’li ifade olmayacak ) O halde m – 3 = 0  m = 3 için f fonksiyonu sabit fonksiyon olur. Yani; f ( x ) = ( 3 – 3 )x – 3 = – 3

97 ÖRNEK f ( x ) = mx + 6x + m + 2 ile tanımlı f fonksiyonunun sabit fonksiyon olduğuna göre f (111) kaçtır? ÇÖZÜM f ( x ) fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için f( x ) = c olmalıdır ( c  R olmalıdır.Yani ; x’li ifade olmayacak ) f ( x ) = ( m + 6 )x + m + 2 m + 6 = 0  m = – 6 f ( x ) = ( – )x – = – 4 f ( 111 ) = – 4

98 ÖRNEK ÇÖZÜM

99 ÖRNEK ÇÖZÜM

100 SIFIR FONKSİYONU f : A  B ye y = f ( x ) fonksiyonunda, 0  B ve x  A için f ( x ) = 0 ise fonksiyona, sıfır fonksiyonu denir.  Sıfır fonksiyonu sabit fonksiyondur. ÖRNEK f : R  R, f ( x ) = 0 ise f fonksiyonu, denklemi y = 0 olan doğrudur.Grafiği aşağıdaki gibidir. x y Bu doğru x eksenidir

101 EŞİT FONKSİYONLAR f : A  B ve g : A  B iki fonksiyon olsun.xA için f (x) = g (x) ise f ve g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir. ÖRNEK A = { 0, 3 } dan B = { 2, 83 } ye tanımlı f(x) = 3x3+ 2 ve g(x) = 9x2+2 fonksiyonlarının eşit olup olmadığını gösterelim. ÇÖZÜM f (0) = = 2 g (0) = = 2 f (3) = = 83 g (3) = = 83 f (0) = g (0) f (3) = g (3) f = g

102 DENK KÜMELER Boş olmayan A ve B kümeleri verilsin, f : A  B bire bir ve örten bir fonksiyon ise A kümesi ile B kümesi , denk kümelerdir denir ve A  B ile gösterilir. ÖRNEK B A .1 .2 .3 .a .b f .c A= {1, 2, 3 } kümesi ile B = { a, b, c } kümesinin denk kümeler olduğunu gösterelim. ÇÖZÜM f ( 1 ) = a, f ( 2 ) = b, f ( 3 ) = c olacak biçimde, f : A  B bire bir ve örten fonksiyonu tanımlanabilir.O halde A kümesi ile B kümesi birbirine denk kümelerdir ( A  B ) ve s (A ) = s ( B )

103 TERS FONKSİYON f f-1 UYARI
TERS FONKSİYON f X DOSYASI f-1 UYARI Ters fonksiyonun , bir f fonksiyonun yaptığı işin tersini yaptığını unutmayalım.

104 A dan B ye tanımlı bir f bağıntısının tersinin
A dan B ye tanımlı bir f bağıntısının tersinin f -1 = { (y, x) l ( x, y )  f } biçiminde yazıldığını biliyoruz. Her fonksiyon bir bağıntı olduğundan, fonksiyonların tersinden söz edebiliriz.Bir fonksiyonun tersi, genel olarak bir bağıntıdır.Ancak bazı fonksiyonların tersleri fonksiyon olabilir. ÖRNEK 1 a f b c A B 2 3 a 1 f-1 2 3 B A b c f bağıntısı içine fonksiyondur. f-1 bağıntısı fonksiyon değildir.

105 f = { ( x, 1 ),( y, 2 ),( z, 3 ) } bağıntısı 1:1 ve örten
ÖRNEK 1 x f y z A B 2 3 x 1 f-1 2 3 B A y z f = { ( x, 1 ),( y, 2 ),( z, 3 ) } bağıntısı 1:1 ve örten fonksiyondur. f-1 = { ( 1, x ), ( 2, y ), ( 3, z ) } bağıntısı fonksiyondur. Bu örneklerden kolayca görülebileceği gibi bire bir (1:1) ve örten fonksiyonların tersi vardır.

106  f :A→B fonksiyonu 1:1 ve örten ise f(x) = y  f-1( y ) = x
TANIM f : A → B ye f : x → y = f( x ) fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olmak üzere, f-1: y → x = f -1( y ) fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir. UYARI f x A B y f-1  f :A→B fonksiyonu 1:1 ve örten ise f(x) = y  f-1( y ) = x  ( f -1 )-1 = f

107 ÖRNEK f (x) = x3 + x + m şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun ters ( f-1 ) fonksiyonuna ait grafik (4, – 1 ) noktasından geçtiğine göre m kaçtır ? ÇÖZÜM ( 4, – 1 )  f-1  ( – 1, 4 )  f  f( – 1 ) = 4 f( – 1 ) = (– 1 )3 – m = 4 – 1 – 1 + m = 4 – 2 + m = 4 m = = 6

108 ÖRNEK { 1, 2, 3 } kümesinden { 10, 11, 12 } kümesine aşağıdaki fonksiyonlar tanımlanıyor.Bu fonksiyonlardan hangisinin ters fonksiyonu vardır? a) { ( 1, 11 ), ( 2, 10 ), ( 3, 12 ) } a) { ( 1, 11 ), ( 2, 10 ), ( 3, 12 ) } b) { ( 1, 12 ), ( 2, 11 ), ( 3, 11 ) } c) { ( 1, 10 ), ( 2, 10 ), ( 3, 10 ) } d) { ( 1, 10 ), ( 2, 10 ), ( 3, 11 ) } e) { ( 1, 12 ), ( 2, 11 ), ( 3, 12 ) } ÇÖZÜM Bire bir ve örten fonksiyonların tersi olacağından, doğru cevap A şıkkıdır.

109 ÖRNEK ve f-1 ( a ) = 2 ise a = ? ÇÖZÜM 2 a f f-1
ÖRNEK ve f-1 ( a ) = 2 ise a = ? ÇÖZÜM 2 a f f-1 f-1 ( a ) =  f ( 2 ) = a O halde f ( 2 ) = a = 2 – 3 = – 1 9

110 ; f :AB fonksiyonu 1:1 ve örten ise f( x ) = y  f-1( y ) = x
ÖRNEK f-1( a + 11) = 8 olduğuna göre a kaçtır? ÇÖZÜM  f-1( a + 11) = 8 f( 8 ) = a + 11 ; f :AB fonksiyonu :1 ve örten ise f( x ) = y  f-1( y ) = x 3 = a + 11 a = – 8

111 f [ f-1( x ) + 2 ] = 7 – 2f-1( x ) olduğuna göre f( 7 ) kaçtır?
ÖRNEK f [ f-1( x ) + 2 ] = 7 – 2f-1( x ) olduğuna göre f( 7 ) kaçtır? ÇÖZÜM f-1( x ) = 5 alınırsa parantezin içi 7 olacaktır. f [ ] = 7 – 2.5 f ( 7 ) = – 3

112 ÖRNEK f : R → R tanımlı doğrusal fonksiyondur f( 2) = 10, f-1( – 8 ) = – 1 olduğuna göre f(1) kaçtır? ÇÖZÜM  f-1( – 8 ) = – 1 f( – 1 ) = – 8 f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğu için f ( 2 ) = 10 f ( -1 ) = - 8 f ( 2 ) = 10 f ( 1 ) = x Azalırken 3 AZALMIŞ 18 Azalırken 1 AZALMALI 6  f ( 1 ) = 4

113  f ile f-1 fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. f(x) x f-1(x) y

114  ÖRNEK f :R  R f ( x ) = 2x – 4 ise f-1( x ) = ? ÇÖZÜM
ÖRNEK f :R  R f ( x ) = 2x – 4 ise f-1( x ) = ? ÇÖZÜM  f :AB fonksiyonu 1:1 ve örten ise f( x ) = y  f-1( y ) = x y = f ( x ) = 2x – 4 ifadesinde x ile y’ nin yerlerini değiştirelim ve y yi çekelim. y = 2x – 4 y = x + 4 2 = f-1 ( x )  x = 2y – 4

115 ÖRNEK R – { – 1} de tanımlanan fonksiyonunun ters fonksiyonunu yazınız. ÇÖZÜM  f :AB fonksiyonu 1:1 ve örten ise f( x ) = y  f-1( y ) = x x ile y’nin yerlerini değiştirelim ve y yi çekelim.   xy + x = 2y + 1  x – 1 = 2y – xy   x – 1 = y( 2 – x )

116 – dx + b BAZI FONKSİYONLARIN TERSLERİNİN PRATİK OLARAK BULUNUŞU x
BAZI FONKSİYONLARIN TERSLERİNİN PRATİK OLARAK BULUNUŞU  f(x) = ax ise f-1(x) = , a  0 x a  f(x) = x + a ise f-1(x) = x – a  f(x) = ax + b ise , a  0 f( x ) = ax + b cx + d ise f-1( x ) = – dx + b cx – a  R – { – d / c }  R – { – a / c }  Genel olarak yukarıdaki kurallara uymayan fonksiyonların terslerini bulmak için x yerine y, y yerine x yazılarak y değeri yalnız bırakılır.

117     ÖRNEK Aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz. a ) y = 2x
ÖRNEK Aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz.  a ) y = 2x  b ) y = 2x – 3  c ) y = 3x + 5  d ) y = – x – 9 – x – 9

118     e ) f )  Verilen g ) h ) fonksiyonu şeklinde yazmanız size
e )    Verilen fonksiyonu şeklinde yazmanız size kolaylık sağlar f )  g )  h )

119  ÖRNEK f :R  R f ( x ) = x7 – 48 ise f-1( x ) = ? ÇÖZÜM y = x7 – 48
ÖRNEK f :R  R f ( x ) = x7 – 48 ise f-1( x ) = ? ÇÖZÜM y = f ( x ) = x7 – 48 ifadesinde x ile y ' nin yerlerini değiştirelim ve y' yi çekelim. y = x7 – 48  x = y7 – 48 x + 48 = y7 = = f-1( x) =

120 ÖRNEK f: [ 3,  ) R, f ( x ) = x2 – 4x + 7 olduğuna göre f -1 ( x ) =? ÇÖZÜM f ( x ) = y = x2 – 4x + 7 x = y2 – 4y + 7 ; x ile y yer değişti x = y2 – 4y + 4 – 4 + 7 ; 4 eklenip 4 çıkarıldı x = ( y – 2 )2 + 3   x – 3 = ( y – 2 )2

121  ÖRNEK f :R  R , f ( x ) = ve f ( x ) = f-1 ( x ) olması için
ÖRNEK f :R  R , f ( x ) = ve f ( x ) = f-1 ( x ) olması için a ne olmalıdır? ax +1 x – 4 ÇÖZÜM ax +1 x – 4 f ( x ) = ise f-1 ( x ) = 4x +1 x – a dir. ax +1 x – 4 4x + 1 x – a =  a = 4

122  ÖRNEK f :R  R, f ( x ) = biçiminde verilen bir fonksiyondur.
ÖRNEK 1981 f :R  R, f ( x ) = biçiminde verilen bir fonksiyondur. f ( x ) = f -1 ( x ) olması için a ne olmalıdır? – 2x x + a ÇÖZÜM –2x x + a f ( x ) = f -1( x ) = –ax x + 2 dir. ise – 2x x + a x + 2 = – ax  a = 2

123    ÖRNEK f ( x3 – 3x2 – 5 ) = 3x3 – 9x2 + 7 ise f-1( x ) = ? ÇÖZÜM
ÖRNEK f ( x3 – 3x2 – 5 ) = 3x3 – 9x ise f-1( x ) = ? ÇÖZÜM  x3 – 3x2 – 5 3.( x3 – 3x2 – 5 ) + 22  a 3a + 22  x 3x + 22 f ( x ) = 3x + 22

124 f(x)’i yalnız bırakmak gerekir.
ÖRNEK 1997 f : lR– { –1 }  lR – { 3 } , olduğuna göre f-1 (x) = ? x = f ( x ) + 2 3 – f ( x ) ÇÖZÜM x = f ( x ) + 2 3 – f ( x )  x.( 3 – f ( x ) ) = f ( x ) + 2 3x – x f ( x ) = f ( x ) + 2 f(x)’i yalnız bırakmak gerekir. 3x – 2 = f ( x ) + x f ( x ) 3x – 2 = f ( x )( 1 + x ) f ( x ) = 3x – 2 x + 1 f –1( x ) = x – 3 – x – 2 

125 ÖRNEK x2+3 f ( 2x +1 ) = olduğuna göre f (x) = ? 5 ÇÖZÜM 1992
ÖRNEK 1992 f ( 2x +1 ) = olduğuna göre f (x) = ? x2+3 5 ÇÖZÜM 2x + 1 fonksiyonunun tersi alınıp eşitliğin sağında ve solunda x yerine yazılırsa f( x ) fonksiyonu elde edilir.

126 ÖRNEK f ( 3x – 2 ) = x2 + 1 ise f ( x ) = ? ÇÖZÜM
ÖRNEK f ( 3x – 2 ) = x ise f ( x ) = ? ÇÖZÜM 3x – 2 ’ in tersini eşitliğin sağında x yerine yazınız

127 f : R  R fonksiyonunun grafiği veriliyor.
ÖRNEK f : R  R fonksiyonunun grafiği veriliyor. kaçtır ? f ( 2 ) + f-1 ( 2 ) f (–1) + f-1 ( 3 ) –1 1 2 y x f (x) 3 ÇÖZÜM Grafiği verilen bir f( x ) fonksiyonu için ; f( a ) , x ekseni üzerimdeki a noktasından y eksene çizilen paralelin grafiği kestiği noktanın ordinatıdır. f ( 2 ) = 3, f (–1) = 1 Grafiği verilen bir f( x ) fonksiyonu için ; f-1( a ) , y ekseni üzerimdeki a noktasından x eksene çizilen paralelin grafiği kestiği noktanın apsisidir. f-1( 2 ) = 0, f-1( 3 ) = 2 f ( 2 ) + f-1 ( 2 ) f (–1) + f-1 ( 3 ) 3 + 0 1 + 2 = 1

128 ÖRNEK B ) f( f ( 4 ) ) = ? a ) f - 1 ( f –1 ( 4 ) ) = ?
ÖRNEK B ) f( f ( 4 ) ) = ? a ) f - 1 ( f –1 ( 4 ) ) = ? Yandaki grafiğe göre ; –5 4 5 7 f(x) x y –3 ÇÖZÜM a ) f- 1(f-1 ( 4 )) = f- 1(– 5 ) = 7 b ) f ( f ( 4 ) ) = f ( 5 ) = 0 f-1( 4 ) bulunurken önce y ekseninden 4 alınır ve sonra 4’e karşılık gelen x değeri bulunur. f( 4 ) bulunurken önce x ekseninden 4 alınır ve sonra 4’e karşılık gelen y değeri bulunur.

129 BİLEŞKE FONKSİYON ÖRNEK A B C gof
BİLEŞKE FONKSİYON ÖRNEK f g A B C gof Hurda demiri ayrı ayrı fabrikalarda işleyip JEEP’e dönüştürmek yerine, tek fabrikada hurda demirden JEEP elde etme işine bileşke işlemi diyeceğiz.

130 A = {– 2, 0, 2, 4 }, B = { 0, 4, 16 }, C = { 1, 3, 9 } kümeleri ile
ÖRNEK A = {– 2, 0, 2, 4 }, B = { 0, 4, 16 }, C = { 1, 3, 9 } kümeleri ile f : A  B , f (x ) = x2 , g: B  C , g ( x ) = fonksiyonlarını şema ile gösterelim. ÇÖZÜM f ( x ) = x2 g ( 0 ) = ( 0 / 2 ) + 1 = 1 f (– 2 ) = ( – 2 )2 = 4 g ( 4 ) = ( 4 / 2 ) + 1 = 3 f ( 0 ) = 02 = 0 g ( 16 ) = ( 16 / 2 ) + 1 = 9 f ( 2 ) = 22 = 4 f ( 4 ) = 42 = 16

131 f (– 2 ) = ( – 2 )2 = 4 f ( 0 ) = 02 = 0 f ( 2 ) = 22 = 4 f ( 4 ) = 42 = 16 g ( 0 ) = ( 0 / 2 ) + 1 = 1 g ( 4 ) = ( 4 / 2 ) + 1 = 3 g ( 16 ) = ( 16 / 2 ) + 1 = 9 .0 .4 .16 .1 .3 .9 .–2 . 0 . 4 . 2 A B C f g .–2 . 0 . 4 . 2 A .1 .3 .9 C gof f ve g fonksiyonları yardımı ile A kümesinin elemanları C’ nin elemanları ile eşlenmiştir. gof fonksiyonu A’nın her elemanını C’nin bir z elemanı ile eşlemektedir.

132 ( g o f )( x ) = g( f (x ) ) = g( y ) = z
TANIM f : A  B ye ve g : B  C ye fonksiyonları verilsin. f( x ) = y g ( y ) = z olsun. g o f : A  C, ( g o f ) ( x ) = z olan fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve " g o f " yazılışı " g bileşke f " diye okunur. y = f(x) B z = g(y) C g gof A x f  Bileşke fonksiyonda uygulamanın sağdan sola doğru olduğuna dikkat ediniz. ( g o f )( x ) = g( f (x ) ) = g( y ) = z

133 f ve g, R den R’ye tanımlıdır.
ÖRNEK f ve g, R den R’ye tanımlıdır. f( x ) = 4x – 5 ve g( x ) = x olduğuna göre ( f o g )( x ) ve ( g o f ) ( x ) fonksiyonlarını bulunuz. ÇÖZÜM ( f o g ) ( x ) = f( g( x ) ) = f (x2 + 1) = 4( x2 + 1 ) – 5 = 4x2 – 1 Sağdaki g fonksiyonunu solda, f de x yerine yaz ( g o f ) ( x ) = g( f( x ) ) = g( 4x – 5 ) = ( 4x – 5 )2 + 1 Sağdaki f fonksiyonunu solda, g de x yerine yaz = 16x2 – 40x + 26

134 f ( x ) = x + 3 , g ( x ) =x2 – 2 ise ( f o g )( – 1 ) = ?
ÖRNEK f ( x ) = x + 3 , g ( x ) =x2 – 2 ise ( f o g )( – 1 ) = ? ÇÖZÜM ( f o g )( – 1 ) = f ( g ( –1 ) ) ; g ( – 1 ) = ( – 1 )2 – 2 = – 1 = f ( – 1 ) = – = 2

135 g( x ) = x2006 + 3x2005 – 10 olduğuna göre ( fog )( – 3 ) = ?
ÖRNEK f(x) = – x + 5 g( x ) = x x2005 – 10 olduğuna göre ( fog )( – 3 ) = ? ÇÖZÜM ( fog )( – 3 ) = f( g( – 3 ) ) g( x ) = x2005 ( x + 3 ) – 10 g( – 3 ) = – 10 = f( – 10 ) = 15

136 f (x) = 4x ise ( f o f o ... o f ) ( x ) = ?
ÖRNEK f (x) = 4x ise ( f o f o ... o f ) ( x ) = ? 10 tane ÇÖZÜM ( f o f ) ( x ) = 4.( 4x ) = 42 . x ( f o f o f ) ( x ) = 42. ( 4x )= 43 . x ( f o f o f o f ) ( x ) = 43.( 4 x ) = 44 . x …… ( f o f o f o f o.....o f ) ( x ) = 49.( 4x ) = x 10 tane

137 ÖRNEK f(x) doğrusal fonksiyon olmak üzere ( f o g )( x ) = 2.g(x) + 5 olduğuna göre (f o f )( 3 ) =? ÇÖZÜM  f ( g( x ) ) = 2.g(x) + 5 f ( x ) = 2x + 5 (f o f )( 3 ) = f( f ( 3 ) ) ; f ( 3 ) = = 11 = f( 11 ) = = 27

138 Buna göre ( f o f o f o f )( 1 ) = ?
ÖRNEK A = { 1, 2, 3, 4 } kümesinde f = {(1, 3), (2, 3), (3, 4), (4, 2) } fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre ( f o f o f o f )( 1 ) = ? ÇÖZÜM f ( f ( f ( f ( 1 ) ) ) ) = f ( f ( f ( 3 ) ) ) = f ( f ( 4 ) ) = f ( 2 ) = 3

139 ; Değişme özelliği yoktur. ; Birleşme özelliği vardır.
BİLEŞKE FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ 1 – f o g  g o f ; Değişme özelliği yoktur. 2 – ( f o g ) o h = f o ( g o h ) ; Birleşme özelliği vardır. 3 – f o f-1 = f-1 o f = I( x ) ; Birim fonksiyon 4 – f o I= I o f = f 5 – (f o g )-1 = g-1 o f-1 6 – f o g = g o f = I( x ) ise f = g-1 veya f-1 = g 7 – a) f o g = h ise g = f-1 o h b) g o f = h ise f = g-1 o h

140 [ ( f o g )-1 o f ] ( x ) = 4x – 7 ise g ( 5 ) = ?
ÖRNEK [ ( f o g )-1 o f ] ( x ) = 4x – 7 ise g ( 5 ) = ? ÇÖZÜM [ ( f o g ) -1 o f ] = g-1 o f-1 o f ; (f o g )-1 = g-1 o f-1 = g-1 o ( f-1 o f ) ; Bileşme özelliği = g-1 o I(x) ; f o I = I o f = f = g-1 = x + 7 4 ( g -1 ) -1 g ( x ) [ ( f o g ) -1 o f ]-1 = g ( 5 ) = 5 + 7 4 3

141  ÖRNEK R den R ye f ve g fonksiyonları veriliyor.
ÖRNEK R den R ye f ve g fonksiyonları veriliyor. f ( x ) = 2x + 5, ( f o g )= 6x +1 olduğuna göre g(x ) =? ÇÖZÜM 1. YOL  ( f o g )( x ) = 6x + 1 f ( g ( x ) ) = 6x + 1 2 g ( x ) = 6x + 1 2 g ( x ) = 6x – 4 g ( x ) = 3x – 2

142 ÇÖZÜM 2. YOL [ ] ( x ) f -1 o ( f o g ) [ ( f -1 o f ) o g ]( x ) = =
ÇÖZÜM 2. YOL [ ] ( x ) f -1 o ( f o g ) [ ( f -1 o f ) o g ]( x ) = = ( I o g )( x ) [ ] ( x ) ( f o g ) f -1 o = ( g ) ( x ) x – 5 [ ] ( x ) ( f o g ) f -1 o = ( ) o ( ) 6x + 1 2 6x + 1 – 5 = 2 6x – 4 = = 3x – 2 2

143 f ( x ) = 2x + 3, ( f o g )( x ) = 2x – 5 ise g( x ) = ?
ÖRNEK f ( x ) = 2x + 3, ( f o g )( x ) = 2x – 5 ise g( x ) = ? ÇÖZÜM ( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = 2 g( x ) + 3 = 2x – 5 2 g( x ) = 2x – 5 – 3 2 g( x ) = 2x – 8 2 g( x ) = 2 ( x – 4 ) g( x ) = x – 4

144 g ( x ) = 4x – 8 , ( g o f )( x ) = 3x2 – 1 ise f( x ) = ?
ÖRNEK g ( x ) = 4x – 8 , ( g o f )( x ) = 3x2 – 1 ise f( x ) = ? ÇÖZÜM ( g o f )( x ) = g ( f ( x ) ) = 4f(x) – 8 = 3x2 – 1 4f(x) = 3x2 + 7

145 g ( x ) = – x +3, ( f o g )( x ) = – 2x – 1 ise f-1( 3 ) = ?
ÖRNEK g ( x ) = – x +3, ( f o g )( x ) = – 2x – 1 ise f-1( 3 ) = ? ÇÖZÜM ( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( – x + 3 ) = – 2x – 1 f-1 ( – 2x – 1 ) = – x + 3 f( x ) = y  f-1( y ) = x x = – 2 için f-1 ( 3 ) = 5

146 ÖRNEK x ve f ( x ) = x + 1 ( f o g ) ( x ) = x2 + 1
ÖRNEK 1989 x x2 + 1 ( f o g ) ( x ) = ve f ( x ) = x + 1 olduğuna göre g ( x ) = ? ÇÖZÜM ( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) x x2 + 1 = g ( x ) + 1 = x x2 + 1 – 1 g ( x ) = x – x2 – 1 g ( x ) = x2 + 1

147 ÖRNEK x ve g ( x ) = x + 1 ( f o g ) ( x ) = x2 + 1
ÖRNEK 1988 x x2 + 1 ( f o g ) ( x ) = ve g ( x ) = x + 1 olduğuna göre f( x ) = ? ÇÖZÜM x yerine yaz Tersini x x2 + 1 ( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x + 1 ) = f ( x ) = x – 1 ( x – 1 )2 + 1 x – 1 x2 – 2x + 2 =

148 f ( x ) = 3x + 5 ve g ( x ) = 3x – 4 ise ( f-1og )-1 ( 2 ) =?
ÖRNEK f ( x ) = 3x ve g ( x ) = 3x – 4 ise ( f-1og )-1 ( 2 ) =? ÇÖZÜM ( f-1og )-1 ( 2 ) = ( g-1 o ( f-1 )-1 ) ( 2 ) ; ( f-1 )-1 = f = ( g-1 o f ) ( 2 ) = g-1( f ( 2 ) ) ; f ( 2 ) = 3( 2 ) + 5 = 11 ; g-1( x ) = x + 4 3 = g-1( 11 ) = 5

149 ? ÖRNEK g( x ) = x2 – 1 ve f( x ) = 3x – 7 ise ( g o f-1 )-1 ( x ) = ?
ÖRNEK g( x ) = x2 – 1 ve f( x ) = 3x – 7 ise ( g o f-1 )-1 ( x ) = ? ÇÖZÜM ( gof-1 )-1 ( x ) = [ ( f-1 )-1 o g-1 ] (x ) ; (f o g )-1 = g-1 o f-1 = ( f o g-1 )(x ) ? = f ( g-1 ( x ) ) ; g-1( x ) = x + 1 = f ( ) = – 7

150 ?  ÖRNEK f(x) = ax + b, g(x) = 3x – 1 fonksiyonları veriliyor.
ÖRNEK f(x) = ax + b, g(x) = 3x – 1 fonksiyonları veriliyor. (fog)(x) = (gof)(x) olması için a ve b arasındaki bağıntı ne olmalıdır. ÇÖZÜM ( f o g )(x) = ( g o f )(x) = x olması halinde eşitlik sağlanır. O halde f o f-1 = I ( x ) = x olduğundan ? g-1( x ) = f ( x ) olmalıdır. ( f o g )( x ) = f o f-1 = I (x) = x Buradan f ( x ) = x + 1 3 = ax + b a = b = 3 1 

151 ÖRNEK 5f( x ) – g( x ) = 3x – 15 ( f o g-1)( x ) = x olduğuna göre f-1( 3 ) kaçtır? ÇÖZÜM ( f o g-1)( x ) = x ve g o g-1 = I ( x ) = x olduğundan g( x ) = f ( x ) olmalıdır. 5f( x ) – g( x ) = 3x – 15 5f( x ) – f( x ) = 3x – 15 4f( x ) = 3x – 15  

152 I( x ) birim fonksiyon olmak üzere
ÖRNEK I( x ) birim fonksiyon olmak üzere , ( g o f ) ( x ) = I( x ) dir. ÇÖZÜM ( g o f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) ; I( x ) = x x = 1 için

153 olduğuna göre ( f o f o f ) ( 2 ) = ?
ÖRNEK f (x) = –x , x < 2 – 5x+7 , x  2 olduğuna göre ( f o f o f ) ( 2 ) = ? ÇÖZÜM ( f o f o f ) ( 2 ) = f ( f ( f ( 2 ) ) ) ; f ( 2 ) = – = – = – 3 = f ( f (–3 ) ) ; f ( – 3 ) = – ( – 3 ) + 1 = 4 = f ( 4 ) ; f ( 4 ) = – = – = –13 = –13

154 ÖRNEK 2000 f(x) g (x) = x3 ve f(x) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.Buna göre ( f o g-1 o f ) ( 0 ) =? 2 4 8 g(x) ÇÖZÜM ( f o g-1 o f ) ( 0 ) = f ( g-1 ( f ( 0 ) ) ) ? = f ( g-1 ( 8 ) ) ; g-1( 8 ) = 2 = f ( 2 ) = 0

155 Grafikteki bilgilere göre ,
ÖRNEK 1998 Grafikteki bilgilere göre , –2 1 2 3 4 y x g ( x ) f ( x ) ÇÖZÜM

156 ÖRNEK y x – 4 4 3 y = f ( x ) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.( f o f )( x ) = 4 şartını sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM  f ( f ( x ) ) = 4  f ( x ) = 0 ( f o f ) ( x ) = 4 x = – 4 x = 3 x = 4 Toplam = – = 3

157 ÖRNEK

158 PERMÜTASYON FONKSİYON
PERMÜTASYON FONKSİYON A  A tanımlanan birebir ve örten her fonksiyona permütasyon fonksiyon denir. s(A) = n ise n! kadar permütasyon fonksiyon vardır. ÖRNEK A = {1, 2, 3, 4 }, f : A  A f = { (1, 3), ( 2, 1), ( 3, 4 ), (4, 2) } fonksiyonu permütasyon fonksiyondur ve Tanım Kümesi f = 1234 3142 şeklinde gösterilir. Değer Kümesi ( Görüntü - Kümesi )

159 f fonksiyonunda 2 , 4 ile eşlendiğinden f( 2 ) = 4
ÖRNEK A ={1,2,3,4 } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları f = g ise a ) f ( 2 ) = ? g ( 3 ) = ? c ) f fonksiyonunun tersini yazınız. d ) g fonksiyonunun tersini yazınız. b ) ÇÖZÜM a ) f = f fonksiyonunda 2 , 4 ile eşlendiğinden f( 2 ) = 4

160 f = g g = b ) g fonksiyonunda 3, 1 ile eşlendiğinden g( 3 ) = 1 c ) f-1 = d ) g-1 = 4 3 1 2 3 4 2 1

161 A ={a, b , c , d } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları
ÖRNEK A ={a, b , c , d } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları f = a b c d c a b d g d c a b ise ( f o g ) = ? ÇÖZÜM d b a ( f o g ) = o a b c d c a b d b a b c d d c a b d c a a b b c = a b c d a d d b c a

162 o ÖRNEK A = { 1 , 2 , 3 , 4 } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları f
ÖRNEK A = { 1 , 2 , 3 , 4 } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları f g = = ise ( f-1 o g )-1 = ? ve ÇÖZÜM ( f-1 o g )-1 = g-1 o ( f-1 )-1 = g-1 o f ; (f o g )-1 = g-1 o f-1 4 3 1 o = 3 4 2 1 = 1 2 3

163 ÖRNEK 2010 – LYS ÇÖZÜM g( f-1 ( 2 ) = g ( 4 ) = 1

164 FONKSİYONLARLA YAPILAN İŞLEMLER
FONKSİYONLARLA YAPILAN İŞLEMLER f : A  R, g : B  R fonksiyonları için A ∩ B   olsun. 1) f + g : A ∩ B  R, ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) 2) f – g : A ∩ B  R, ( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x ) 3) f . g : A ∩ B  R, ( f . g )( x ) = f ( x ).g( x ) 4) c  R olmak üzere c.f : A  R, ( c . f ) ( x ) = c . f ( x ) 5) x( A ∩ B ) için g(x) ≠ 0 olmak üzere, : A ∩ B  R,

165 ÖRNEK f : { 1, 3 }  R, f ( x ) = x2 +2, g : { – 2, 1 }  R, g ( x ) = 2x – 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre 2f + g fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz. ÇÖZÜM f : A  R, g : B  R fonksiyonları için A ∩ B   olsun. f + g : A ∩ B  R, ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) { 1, 3 } ∩ { – 2, 1} = { 1 } ( 2f + g ) ( 1 ) = 2 f (1 ) + g ( 1 ) = 2 (12 +2 ) + (2.1 – 1 ) = = 7

166 ÖRNEK g ( x ) = – x + 4, f ( x ) = x2 + 3 , h ( x ) = x3 – 1 olduğuna göre ÇÖZÜM h ( – 2 ) – f (– 2 ) + g (– 2 ) – 9 – = h ( – 1 ).g (– 1 ) (– 2 ) . 5 – 10 = = 1 – 10

167 ÖRNEK

168     ÖRNEK g(x ) = x < 0 0  x < 1 1 , ….. x +1 , .…. 1  x
ÖRNEK 1990 g(x ) = x < 0 0  x < 1 , ….. x +1 , .…. 1  x , .…. f( x ) = x  0 – 1 , ….. x – 1 , .…. olduğuna göre (f + g )(x) grafiği aşağıdakilerden hangisidir? – 1 1 2 ÇÖZÜM-1     ( f + g )( 3 ) = f( 3 ) + g( 3 ) = = 2 ( f + g )( 0,2 ) = f( 0,2 ) + g( 0,2 ) = – 0 , ,2 = 0,4

169 olduğuna göre (f + g )(x) grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
ÖRNEK 1990 g(x ) = x < 0 0  x < 1 , ….. x +1 , .…. 1  x , .…. f( x ) = x  0 – 1 , ….. x – 1 , .…. olduğuna göre (f + g )(x) grafiği aşağıdakilerden hangisidir? – 1 1 2 ÇÖZÜM-2 ( f + g )( x ) = x < 0 0  x < 1 – , x – 1+ x + 1 , 1  x x – , Fonksiyonların tanım kümelerinin aynı olduğu yerlerde dört işlem yapılabilir. ( f + g )( x ) = x < 0 0  x < 1 ,……. 2x ,…….. 1  x x – 1 , .…… Çizim size bırakılmıştır.