EE-215 ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ

EE-215 ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ
EĞĞİTİM VE ÖĞRETİM YILINIZ HAYIRLI OLSUN BAŞARILI BİR YIL DİLERİM.

Ders Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Yılmaz KORKMAZ Kaynak Ders Kitabı: Mühendislik Elektromanyetiğinin Temelleri David K. Cheng Türkçesi: Prof. Dr. Adnan Köksal Doç. Dr. Birsen Saka

KAYNAKLAR Temel Kaynak : Fundamentals of Engineering Elektromagnetics, David, Keun Cheng, Addison-Wesley Publishing Company, 4. Griffiths, David J., Prentice-Hall Inc., 1991. Türkçesi: Mühendislik Elektromanyetiğinin Temelleri, Adnan Köksal, Birsen Saka, Palme Yayıncılık, 2012. Yardımcı Kaynaklar: Elektromanyetik Alan Teorisi ders Notları, Yılmaz Korkmaz, Elektromanyetik Alan Teorisi, Gürdal, Osman, Nobel Yayın Dağıtım, 2000 Elektrik Alanlarına Giriş I, Ahmet Akhunlar, İTÜ Yayınları, 1971. Theory and Problems of Electromagnetics, J. A. Edminister, McGraw-Hill, 1993. Elektromagnetik Alan Teorisi, H. Ergun Bayrakçı, Birsen Yayınevi, 2000.

DERS VE KONULAR HAKKINDA GENEL BİLGİLER Elektromanyetik Alan teorisi; elektrik mühendisliği müfredatında en temel konulardan biridir. Elektrik ve manyetik alan yasaları hakkındaki bilgiler, elektrik ve manyetik cihaz ve makinelerin çalışma ilkelerini anlamak için zorunludur. (elektrik makineleri, mikrodalga fırınlar, uydu haberleşmesi vb.) Elektromanyetik Alan teorisi; durgun ve hareket halindeki elektrik yüklerinin etkilerinin çalışıldığı bir alandır. Bu dersi anlamak ve başarılı olmak için, matematik ve özellikle de vektör analizi hakkında yeterli bilgilere sahip olmayı gerektirmektedir. Elektromanyetik konuları, daha çok nicelik tanımlama ve matematiksel işlem kullanma gereğinden dolayı soyut kavramlardan oluştuğu izlenimini vermektedir. Dersin zorluğu soyut olmasından değil, birbirlerine destekleyen işlemlere tam hakim olunamamasından dolayıdır. Bu durum devre teorisi dersi için de geçerlidir.

Ders konuları, birbirlerini destekleyerek takip ettiğinden ve matematiksel işlem fazlalığından dolayı, özellikle sınıf ortamında çözülen ve çalışma sorusu olarak verilen problemler her bölümün tamamlanmasından sonra mutlaka(!) bir kez daha çözülerek tekrarlanmalıdır. «Elektromanyetik öğrenmek bir zihinsel yolculuktur.» (D.K. Cheng) «Öğrenme şansla elde edilmez, azimle aranmalı ve özenle sürdürülmelidir» (A. Adams) Öğrenmek, akıntıya karşı yüzmek gibidir ilerleyemediğiniz taktirde gerilersiniz. (Çin atasözü) “İyi bir akla sahip olmak yeterli değil, önemli olan aklı iyi kullanmaktır.” (Rene Descartes) Hedefi olmayan gemiye hiçbir rüzgar yardım edemez. (montaıgne)

DERSİN İÇERİĞİ VE HAFTALARA GÖRE DAĞILIMI Elektromanyetik Alan Teorisine Giriş, Alan Kavramı, Vektörel Analiz, Skaler ve Vektör Alanları Dikdörtgen, Silindirik ve Küresel Koordinat Sistemleri Uzunluk, Yüzey ve Hacim Diferansiyel Elemanları, Çizgisel, Yüzey ve Hacim İntegralleri Gradiyent, Diverjans, Rotasyonel İşlemleri Diverjans ve Stokes Teoremleri, Laplace Operatörü Green Teoremi, Alanların Sınıflandırılması Statik Elektrik Alanları, Coulomb Yasası, Elektrik Alan Şiddeti, Yük Dağılımları Elektrik Akısı, Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, Elektriksel Potansiyel Elektriksel Dipol, Elektrik Alanındaki İletkenler Elektrik Alandaki Dielektrikler, Elektrik Alanından Depolanan Enerji Sınır Değer Problemleri, Kapasite ve Kondansatörler , Poisson ve Laplace Eşitlikleri Görüntü Yük Metodu, Kararlı Elektrik Akımları, Akım Yoğunluğu, İletim Ve Taşınım Akımları Direnç Kavramı, Süreklilik Eşitliği, Joule Kanunu HAFTALAR KONULAR

ELEKTROMANYETİK MODEL
1. Elektromanyetik Alan Teorisine Giriş, Alan Kavramı: Elektromanyetiğin tanımı, Pozitif ve negatif yükler, Alan, bir niceliğin uzaya dağılımı, Alanlar ve dalgalar uzaktan etkinin açıklanmasına yardımcı olur, Devre teorisi mobil telefon iletişimini açıklayamaz, Model oluşturma, 1.2 Elektromanyetik Model: Tüme varım, tümden gelim yaklaşımları, İdeal bir modelden teori geliştirme adımları, ADIM 1: Çalışılan konuyla ilgili temel nicelikler tanımlanır. ADIM 2: Bu niceliklerin işlem kuralları(matematiği) belirlenir. ADIM 3: Bazı temel bağıntılar postülat olarak alınır. (Bu postülat veya yasalar genellikle kontrollü şartlar altında elde edilen bir çok deneysel gözlem ve bunların akıllıca sentezine dayanır)

ELEKTROMANYETİK MODEL

ALANLAR TEORİSİ İÇİN BAZI TEMEL KAVRAMLAR
I. BİRİM SİSTEMLERİ VE FİZİKSEL BÜYÜKLÜKLER BİRİM SİSTEMLERİ SI BİRİM SİSTEMİ BİRİMLERİN DÖNÜŞTÜRÜLMESİ FİZİKSEL BÜYÜKLÜKLER

I. BİRİM SİSTEMLERİ VE FİZİKSEL BÜYÜKLÜKLER Bir büyüklüğü ölçmek için karşılaştırma amacıyla seçilen aynı cinsten büyüklüklere birim denir. Keyfi seçilen temel büyüklükler ile tanımları bu temel büyüklüklerden türetilmiş büyüklüklerden oluşan sistemlere birim sistemleri denir. Genel olarak kullanılan birim sistemleri: FPS Birim Sistemi: İngiliz Birim Sistemi olarak da bilinen bu sistem; uzunluğun foot (ft) ile, ağırlığın pound (libre, lb) ile ve zamanın saniye (s) ile ölçüldüğü birim sistemidir. CGS Birim Sistemi: Uzunluğun santimetre (cm), kütlenin gram (g) ve zamanın saniye (s) ile ölçüldüğü birim sistemidir. MKSA Birim Sistemi: Giorgi sistemi de denilen bu sistem, uzunluğun metre (m) ile, kütlenin kilogram (kg) ile zamanın saniye (s) ile ve elektrik akımının amper(A) ile ölçüldüğü birim sistemidir. SI Birim Sistemi: Uzunluğun metre (m), kütlenin kilogram (kg), zamanın saniye (s), madde miktarının mole (mol), termodinamik sıcaklığın derece kelvin (K), aydınlanma şiddetinin candela (cd) ve elektrik akımının amper (A) ile ölçüldüğü birim sistemidir.

SI BİRİM SİSTEMİ : Uluslararası Birim Sistemi adı verilen (SI); 1960 yılından beri kullanılmaktadır.

SI Birim Sistemi

Sayılar Örnek: Bir enerji santralinin gücü watt (W) ise bunu böyle ifade etmek yerine 500 megawatt (MW) olarak ifade etmek daha kısa ve pratik kabul edilmektedir.

Bazı Birimlerin Dönüştürülmesi 1 inch(in)=1/12 foot= 2,54 cm = 0,0254 m 1 foot(ft)=30,48 cm= 0,3048 m 1 yard(yd)=3 foot(ft)= 91,44 cm = 0,9144 m 1 mile(mi)=1760 yard(yd)= 1609 m 1 ounce(oz)=1/16 pound(lb)= 28,4 g = 0,0284 kg 1 pound(lb)=0,454 kg= 454 g 1 stone = 14 lb=6,35 kg

ELEKTROMANYETİK MODELDE ÜÇ EVRENSEL SABİT

SI Birimlerle evrensel manyetik alan teorisi sabitleri Evrensel sabitler Sembol Değer Birim Işığın boşluktaki hızı c 3 x 108 m/s Boşluğun manyetik geçirgenliği H/m Boşluğun elektrik geçirgenliği F/M

Elektromanyetik modelin temel niceliklerini ve evrensel sabitlerini tamamlamış olduğumuzdan konularımıza geçebiliriz. Ancak, bunu yapmadan önce uygun matematiksel araçlarla donanmış olmamız gerekmektedir. Bundan sonraki bölümde, vektör cebiri ve vektör hesabı için temel işlem kurallarını öğreneceğiz.

II.BÖLÜM 2. FİZİKSEL BÜYÜKLÜKLER Skaler büyüklük Vektörel byüklük 2.1 VEKTÖRLERLE İŞLEMLER 2.1.1 VEKTÖRLERİN TOPLANMASI Aynı doğrultulu veya paralel vektörlerin toplamı Paralelkenar kuralı Üçgen kuralı İkiden fazla vektörün toplamı 2.1.2 İKİ VEKTÖRÜN ÇIKARILMASI 2.2 VEKTÖRLERLE ÇARPMA İŞLEMİ Bir Vektörün Bileşenlerine Ayrılması(Ek bilgi) 2.3 KOORDİNAT SİSTEMLERİ Kartezyen koordinatlar Silindirik koordinatlar Küresel koordinatlar

2. FİZİKSEL BÜYÜKLÜKLER Skaler Büyüklükler: Skaler; bir reel sayıdır. Sayısal büyüklüğü ve birimi verildiğinde, tam olarak anlam kazanan büyüklüklere skaler büyüklükler denir. (Kütle, hacim, sıcaklık, zaman, iş, güç, elektrik akım şiddeti, elektrik yükü vb fiziksel büyüklükler vb.) Vektörel Büyüklükler: Sayısal büyüklüğü ve birimi yanında doğrultu ve yönü de verildiğinde tam olarak anlam kazanan büyüklüklere vektörel büyüklükler denir. (Hız, kuvvet, ivme, kuvvet momenti, elektrik alan, manyetik alan, vb). Vektörel büyüklükleri normal yazı karakterinden ayırt etmek için bunları temsil eden harfler bazen yatık olarak yazılan harfin üzerine bir ok çizilerek veya farklı bir harf karakteriyle kalın ve koyu olarak yazılır. Örnek; kuvvet; “ F ” veya “ ’’, hız; “ v ” veya “ ”, ivme; “a” veya “ ’’ şeklinde yazılabilir. Vektör: Bir başlangıç noktası, doğrultusu, yönü ve genliği olan büyüklüktür. Bir vektörün büyüklüğü(genliği) bir skalerdir. Bir vektörün büyüklüğü, vektörü temsil eden harfi iki çizgi arasına alarak “ ” veya “ ” şeklinde ya da vektörü temsil eden harfin üzerindeki oku kaldırarak yatık harfle “F” şeklinde yazılır. Büyüklük daima pozitif bir skaler sayıdır. Bir vektörü her zaman bir skaler sayı ile çarpmak mümkünken, bir vektörle bir skaler asla toplanamaz. Bir vektörün yönünü belirtmek için uç boyutlu uzayda, üç sayıya ihtiyaç vardır. Bu sayılar koordinat sisteminin seçimine bağlıdır.

2.1 VEKTÖRLERLE İŞLEMLER Elektromanyetik teoride, alanları ve dalgaları ifade etmek için genellikle vektörlerden faydalanılır. • Kuvvet ve hız gibi hem büyüklük hem de yöne sahip olan değerler vektör (vector) ile ifade edilir. • Buna karşın skaler (scalar) tanımı yönü olmadan sadece büyüklüğe sahip değerler için kullanılır. Buna ağrılık ve enerji örnek verilebilir. Bir vektör şekilde görüldüğü gibi yönlendirilmiş bir doğru parçasıyla, yani bir okla temsil edilir. Bir vektör dört özelliği ile açıklanır. Bunlar; • Doğrultusu, • Yönü, • Büyüklüğü, • Başlangıç(A) noktası ve bitiş(B) noktasıdır. Eğer vektör A noktasından başlayıp B noktasında sona eriyorsa biz bu vektörü: şeklinde veya seçtiğimiz bir harfle koyu ve dik olarak F şeklinde veya yatık olarak yazdığımız harfin üzerine bir ok çizerek şeklinde ifade ederiz. A B -F F

2.1.1 Vektörlerin Toplanması: 1. Doğrultuları ve yönleri farklı olan vektörlerin toplanması: Baş veya kuyruk kuralı: R=A + B = B + A Paralele kenar kuralı R= A + B = B + A veya R= 𝐴 2 + 𝐵 2 +2𝐴𝐵.𝑐𝑜𝑠𝜃

2. Doğrultuları ve yönleri farklı ikiden fazla olan vektörlerin toplanması: Toplanacak vektör sayısı ikiden fazlaysa ilk olarak kurallardan birini kullanarak vektörlerden herhangi ikisi toplanır. Toplam vektörle üçüncü vektör toplanır ve böylece devam edilir. Başka bir yöntemde ise, verilen birçok vektörün toplamını bulmak için vektörleri, birinin başlangıcı diğerinin ucuna gelecek şekilde uç uca ekleriz. İlk vektörün başlangıç noktasından başlayarak sonuncu vektörün ucuna yönelen vektör bize toplam vektörü verir.

3. Aynı doğrultulu veya paralel vektörlerin toplanması ve çıkarılması: Toplama Çıkarma A B = R = = A-B = A+(-B)

Vektörlerin Çıkarılması: İki vektörün farkı toplama işleminin özel bir durumudur. İki vektörün u-v farkı; u-v= u+(-v) şeklinde u ve -v vektörlerinin toplamı olarak tanımlanır.

x,y,z düzleminde tanımlanan bir vektörünün büyüklüğü (genliği): formülü ile hesaplanır. Örnek: Bir C vektörü, C= 2 ax + 2 ay + az ise, vektörün büyüklüğü; A

A vektörünün grafik gösterimi Vektör Cebirinde bazı kurallar Bir vektörün skaler bir sayı ile çarpılması: Bir vektörün bir skaler sayı ile çarpımı tanımlıdır. Bir vektör bir skalerle çarpıldığında sonuç, o vektörün çarpımı yapılan skaler sayı kadar katı olan yeni bir vektör olur. Bu yeni vektörün yönü; skaler sayı pozitif(+) ise orijinal vektör yönünde, skaler negatif(-) ise orijinal vektöre zıt yönde olur. k.A= aA (k.A) k: skaler sayı, aA: birim vektörü

2.2 VEKTÖRLERLE ÇARPMA İŞLEMİ
1. Noktasal (Skaler) Çarpma İşlemi: Skaler çarpımda, vektörlerden birinin diğeri üzerindeki izdüşümü alınarak (iki vektörün aynı yöndeki bileşenleri işleme alınır) çarpma işlemi yapılır. İki vektörün skaler çarpımının sonucu bir skaler sayıdır. Burada θ, A ve B vektörleri arasındaki açıdır. θAB A B 𝐴 cosθAB 𝐵 sinθAB 𝑐𝑜𝑠θAB= 𝑨 . 𝑩 𝐴 𝐵 AB θAB

Noktasal (Skaler) Çarpmanın Kuralları : j i k + _ Dik koordinatların birim vektörleri ve yönleri

Örnek : A=4i - 2j – k, B= i + 4j - 4k verildiğine göre iki vektörün dik olup olmadıklarını gösteriniz. Not: 4. sırada açıklanan i, j, k vektörleri kartezyen (dik) koordinat sistemindeki birim vektörleridir.(i: x ekseni; j: y ekseni ve k: z ekseni dorultusundadır.) “KURAL: Aynı isimli birim vektörlerinin kendi aralarında skaler(nokta) çarpımları bir, farklı isimlerdeki birim vektörlerinin skaler çarpımları sıfırdır.” 𝑐𝑜𝑠θAB= 𝑨 . 𝑩 𝐴 𝐵 = = 0 , θAB=90° 𝐴 = = , 𝐵 = = 33 ???? *** Skaler çarpımları sıfır olan iki vektör bir birine diktir.

θ Açısı 900 den büyükse A ve B vektör lerinin nokta çarpımları: cos ɸ= cos(180°- θAB ) =-cos θAB A . B = |A| . |B| .(-cos θAB ) = - C Örnek: Bir üçgende kosinüs teoremini, vektör cebiri kurallarını uygulayarak çıkarınız. θAB B A α C θAB = 180-α olduğundan, Cos θAB = cos(180-α)= - cos α yazılırsa; B .(-cosθAB ) ɸ ɸ= 180°- θAB A.B nokta çarpımı

2. Vektörel (Çapraz)Çarpma İşlemi: İkinci tip vektör çarpımı, vektörel veya çapraz çarpımdır. Verilen A ve B vektörleri için vektör çarpım, A x B şeklinde yazılır. Çarpımın sonucu yeni bir vektördür. Bu vektörün büyüklüğü, A ve B vektörlerinin oluşturduğu paralel kenarın alanına eşittir ve bu paralel kenarın normali (n) doğrultusundadır. Yönü; sağ el veya sağ vida kuralı ile bulunur. A ve B vektörleri arasındaki açı (θ), 180° küçüktür. θ A B B Sinθ AB.Sinθ A x B =C 𝒂 𝒏 𝐴 𝑥 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝒂 𝒏

𝐴 𝑥 𝐵 = 𝑨 𝑩 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏 : çarpımın birim vektörü n B A AxB -(BxA AxB=-(BxA) θ 𝒂 𝒏 𝐴 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝜃 ifadesi sayısal olarak bir paralel kenarın alanına eşittir. Çarpımın sonucu olan vektör bu paralel kenarın normali üzerindedir. İki vektörün çapraz çarpımı sıfır ise, bu iki vektör bir birine paraleledir. Normal (n) vektörünün yönü: Sağ elin parmakları (θ) açısı boyınca A’dan B’ye dönerken dik tutulan başparmağın yönü ile aynıdır Vektörel çarpımda, iki vektörün sırası değişirse; çarpımın işareti değişir. A x B=- (B x A) dir.

Üç vektörün çarpımı: Üç vektörün iki çeşit çarpım vardır. 1. Üçlü skaler çarpım: bu çarpım, bir vektörün diğer iki vektörün çapraz çarpımı ile yapılan nokta çarpımıdır. Örnek; A.(BxC)= ? Yukarıdaki formülde, (A.n) büyüklüğü A’nın n birim normal vektörü yönündeki izdüşümüne eşit olan bir skalerdir. Böylece , (A. n) nümerik olarak A, B ve C vektörlerinin oluşturduğu paralele yüzeyin yüksekliğidir ve verilen üçlü skaler çarpım bu paralele yüzeyin hacmine eşittir. A . (B x C) = (A. 𝒂 𝒏 ) BC sinα A B C n α Paralel kenarın Alan= |B x C| Yükseklik = A. 𝒂 𝒏 2. Üçlü vektör çarpım: Bu çarpım, bir vektörün diğer farklı iki vektörün çapraz çarpımı ile çapraz çarpımıdır. Yani, A x B x C şeklindeki çarpımdır. Koordinat sistemleri açıklandıktan sonra bu çarpımla ilgili örnekler yapılacaktır.

A ve B vektörleri, üç boyutlu uzayda ve dik koordinat sisteminde; A= A1 i + A2 j + A3 k ve B= B1 i + B2 j + B3 k şeklinde tanımlanır. Vektör cebirinde bölme işlemi: Diğer vektörel işlemlerin aksine iki vektörü birbirlerine bölemeyiz! Bunun sebebi vektörlerin sahip olduğu yön özelliğini bölme işlemine yansıtamayışımızdandır. Yani vektörel bölme tanımsızdır! Vektörlerin vektörel (çapraz) çarpım işlemlerinde, vektörler çeşitli koordinat sistemleri ile tanımlanarak aşağıdaki gibi verilirse işlemler daha kolay sonuçlandırılabilir.

*** Vektörler arasındaki çapraz çarpma işleminde determinant yöntemi de kullanılabilir. A= A1 i + A2 j + A3 k ve B= B1 i + B2 j + B3 k şeklinde dik koordinat sisteminde tanımlanan A ve B vektörlerinin çapraz çarpımları determinant yöntemiyle; Not: i, j, k vektörleri kartezyen (dik) koordinat sistemindeki birim vektörleridir. (i: x ekseni; j: y ekseni ve k: z ekseni doğrultusunda olan birim vektörleridir.) i x i = j x j = k x k = Sin 00 =0, i x j=k , j x k = i k x i = j İki birim vektörünün çapraz çarpımı üçüncü birim vektörünü verir (Sin 900 =1). Alfabetik sıra (veya saat ipresinin tersi) pozitif yöndür. j x i=-k , k xj=- i i x k = - j j i k + _

Çapraz (Vektörel) çarpmanın kuralları: j i k + _ Kartezyen koordinatların birim vektörleri ve yönleri = (A2.B3- - A3 B2)i + (A3B1 - A1B3 )j + (A1B2 –A2B1 )k

Örnek: A= i + j, B= i + 2k ve C=2j + k verildiğine göre; (AxB)xC, Ax(BxC), A.(BxC) ve (AxB).C vektörel işlemlerini yapınız. A.B = A1.B1+ A2.B2+ A3B3 ve AxB = (A2.B3- - A3 B2)i + (A3B1 - A1B3 )j + (A1B2 –A2B1 )k (Hesaplanmıştı) AxB = ( )i + ( )j + (1.0 –1.1 )k = (2-0)i + (0-2)j + (0-1)k = 2İ – 2j – k (AxB)xC = (2İ – 2j – k) x (2j + 4 k) = - 2j + 4k, BxC =(B2.C3 - B3 C2)i + (B3C1 - B1C3 )j + (B1C2–B2C1)k= ( )i + ( )j + ( )k= -4i -j + 2k BxC = - 4i -j + 2k, A= i + j ise Ax (BxC) = (i + j) x(-4i -j + 2k) = 2i -2j +3k A.(BxC)= (i + j) . (- 4i -j + 2k)= -4-1=-5 (AxB)C= -5

BİR DAR AÇININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

Üç koordinat ekseni yönündeki bir birine dik, ax ,ay ve az birim vektörlerine baz vektörler denir. Daha önce de açıklandığı gibi birim vektörlerinin; Nokta çarpımları; ax . ay = ay . az = ax . az =0 ax . ax = ay . ay = az . az =1 Çapraz çarpımları: ax x ay =az , ay x az =ax , azx ax= ay ax x ax = ay x ay= az x az=0 dır. Bir P noktasının yeri x, y, z koordinatları ile verilir. Örneğin koordinatları x=3, y =4, z=5 olan bir nokta P (3;4;5) şeklinde gösterilir. Noktanın yeri yandaki şekilde çizilmiştir. P(a,b,c) noktasının kartezyen koordinat sistemindeki yeri: Birim vektörleri ax ay az + -

x y z ax=i ay=j az=k Kartezyen koordinatlarda, x ekseni üzerinde bulunana Ax, y ekseninde Ay ve z ekseninde Az bileşenleri olan bir A vektörü; A= ax Ax, + ay Ay + az Az veya A= Ax ax +Ay ay +Az az şeklinde yazılır. |ax| = |ay| = |az|= 1 ve A vektörünün mutlak değeri(büyüklüğü); |A|= (A2x +A2y +A2z )½ şeklinde hesaplanır. Kartezyen koordinatlarda bir ( A ) vektörü: NOT: El ile yazmalarda koyu puntalı göstermek zor olacağından vektörler, üzerlerine ( ) sembolü konularak ifade edilirler. Biz bu dersimizde, birim vektörlerini; ax= i, ay= j, az= k şeklindeki yazma sitilini kullanacağız.

Kartezyen (Dikdörtgen) koordinat sisteminde; diferansiyel uzunluk, alan ve hacimler: x y z dl dx dy dz dy.ay dz.az dx.ax (x,y,z) (x+dx,y+dy,z+dz) Diferansiyel uzunluk elemanı: dl diferansiyel uzunluk elemanının büyüklüğü:

Diferansiyel yüzey elemanları: dsx = dy . dz. ax dsy= dx . dz. ay dsz= dx . dy. az z x y dz dy dx dsyz = dy . dz x düzlemi dsxz= dx . dz y düzlemi dsxy= dx . dy z düzlemi Diferansiyel hacim elemanı: dv= dx . dy . dz

ÖRNEK 1: A= Ax ax + Ay ay+ Az az vektörünü çizimle gösteriniz. Az Ay rA A vektörünün yer vektörünü gösterir ve | rA | = | A |

ÖRNEK 2: A=4 ax+ 5 ay+3 az vektörünü koordinat eksenleri üzerinde bileşenlerini ve yer vektörünü çizerek ,vektörü matris formunda gösteriniz..

ÖRNEK 3: Kartezyen koordinatlarda; P(2,-4,1) ve Q(0,-2,0) noktasına yönelmiş A vektörünü ve bu doğrultudaki birim vektörünü bulunuz. ÖRNEK 4: A= A1 i, + A2 j + A3 k veya B= B1 i +B2 j +B3 k ise, AxB=?

ÖRNEK 5: P1(1,3,2) noktasından P2 (3,-2,4) noktasına uzanan vektörü kartezyen koordinatlarda ifade ediniz. P1 ve P2 arasındaki uzaklığı bulunuz. Orijinden bu doğruya olan uzaklığı (yer vektörünü) bulunuz. x y z P1(1,3,2) P2 (3,-2, 4) 3, ,-2 4 o 3 2 -y 1 R Çözüm: OP1 uzaklığını R1 vektörü, OP2 uzaklığını da R2 vektörü olarak tanımlarsak; a) R1=1ax+3ay+2az ve R2=3ax-2ay+4az P1 ve P2 arasındaki uzaklığa R diyelim:

1. B =2 ax-6 ay+3 az vektörü veriliyor. a) B vektörünün büyüklüğünü, b) aB ‘nin ifadesini, c) B’nin x, y ve z eksenleri ile yaptığı açıyı bulunuz. { a) 7, b) 0,296 ax -0,857 ay+0,429 az c) 73,4°, 149° } 2 . Kartezyen koordinatlarda P1( 1,2,0) ve P2( -3,4,0) noktaları veriliyor. 0P2 ‘in 0P1 üzerine iz düşümünün uzunluğunu ve 0P1P2 üçgeninin alanını bulunuz. (2,236; 5 ) 3. A =5 ax-2 ay+ az ve B =- ax+ 0. ay+4 az vektörlerinin, a) Nokta ve çapraz çarpımlarını yapınız. b) Bu iki vektör arasındaki açıyı bulunuz. (θAB =117,3°) Çalışma soruları

2. SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR P1(r1, f1, z1) noktası; r = r1 yarı çaplı, z=h olan bir silindir yüzeyi ve x ekseni ile f=f1 açısını yapan dikdörtgen düzlem, z=z1‘de xy düzlemine paralel bir üçüncü dikdörtgen düzlemin kesiştiği noktadır. Burada, (r ) ve (z ) koordinatlarının birimleri metrik, (f) açısal koordinatının birimi radyan cinsindendir. az af ar f= f1 düzlemi f1 z1 x1 y1 r1 z= z1 düzlemi r= r1 düzlemi P1 y x z ar , af , az birim (baz)vektörleridir. z=sabit düzlemleri, r=sabit silindirleri ve ɸ= sabit düzlemleri bu sistemin koordinat yüzeyleridir.

Silindirik koordinat sisteminde: r = sabit yüzeyleri, z eksenli silindir yüzeyleridir. ɸ = sabit yüzeyleri, z ekseninden geçen düzlemdir. z = sabit yüzeyleri, z eksenine dik düzlemdir. Değişken aralıkları; 0 < r <  , 0 < ɸ < 2p , -  < z <  dır. Birim vektörleri; Birim vektörleri; ar , af , az harfleri ile ifade edilen, birbirlerine dik üç vektördür. Ayrıca her birim vektörü kendi düzlemine de diktir. Birim vektörlerinin mutlak değerleri: dir. Birim vektörlerinin; sembolleri ile de ifade edilebilir. Silindirk koordinatlardaki vektörel işlemler, Kartezyendeki gibidir. ar x af = az af x az = ar saat ibresinin tersi(+), saat ibresi yönü (-) dir. az x ar = af ar . af = af . az = az . ar = ve ar . ar = af . af= az x az= 1 |ar| = | af | = | az| =1 ar = ir , af = if , az = k af ar az Silindirik sistemde birim vektörleri

af ar r A P Eksenlerin sıfır noktası ile P1 noktasının birleştirilmesi sonucu sistemin konum(yer) vektörü bulunur. Şekildeki yer vektörünü A vektörü olarak isimlendirirsek; A= Ar . ar + Af . af +Az . az şeklinde ifade edilir. ar af az ar Silindirik koordinatların kartezyen koordinatlara dönüştürülmesi: Silindirik koordinatlarda verilen vektörler, dönüştürülüp kartezyen koordinatlarda ifade edilebilirler. Bunun tersi de geçerlidir. A= Ar. ar + Af. af +Az. az yi, kartezyen koordinatlarda A= Ax ax + Ay ay+ Az az şeklinde ifade etmek için; Ax , Ay ve Az’nin hesaplanması gerekir. Ancak, Az’nin her iki sistemdeki değerleri de aynıdır.

Silindirik koordinatların kartezyen koordinatlara dönüştürülmesi: Şimdi A bileşke vektörünün dönüşüm yapılacak bileşenlerini dikkate alarak her iki tarafını da (ax) ile çarpalım; A .ax = (Ar ar + Af af + Az az ). ax = Ar ar . ax + Af af . ax + Az az. ax = Ax ar . ax = cosf, (İki birim vektörü arasında f açısı var.) af . ax = cos( p/2+f)= -sinf az . ax = 0, (cos 90=0) Bu değerler; Ax = Ar ar . ax + Af af . ax + Az az. ax de yerlerine yazılırsa; Ax= Ar .cosf + Af . (-sinf )+ Az .(0) ⟹ Ax = Ar .cosf - Af . sinf bulunur. Benzer şekilde Ay bileşeni için bu sefer eşitliğin her iki tarafı da ay ile çarpılır. A .ay = (Ar ar + Af af + Az az ). ay = Ar ar ay + Af af ay + Az azay = Ay ar .ay = cos( p/2 - f) = sin f , af .ay = cosf, az .ay =0, Ay = Ar .sinf + Af. cosf + Az .0 ⟹ Ay = Ar .sinf + Af. cosf bulunur. z ekseni üzerindeki koordinat: ⟹ Az = Az y f r Ax Ay x ax ay af ar

SONUÇ: Ax = Ar .cosf - Af . sinf Ay = Ar .sinf + Af. cosf Az = Az Silindirikten kartezyene dönüştürüldü. x y f r ar af az P(r, f, z) ay ax Silindirik Koordinat Kartezyen Koordinat İkinci Metot: Silindirik koordinat sisteminde x-y düzlemi kullanılarak herhangi bir P noktasına ait xp ve yp Kartezyen koordinat değerleri bulunabilir. Şüphesiz ki z koordinatı her ikisinde de aynıdır y f r x P' Silindirk koordinatlarda P(x, ɸ, z) yi Kartezyen Koordinatlara dönüşüm: 𝑥=𝑟. 𝑐𝑜𝑠∅, 𝑦=𝑟. sin ∅ 𝑣𝑒 𝑧=𝑧 Kartezyen Koordinatlardaki P(x, y, z) yi Silindirik Koordinatlara dönüşüm: ∅= arctan 𝑦 𝑥 , 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧=𝑧 P(x, ɸ, z) P(x, y, z)

Ax Ay Az = cosf −sinf 0 sinf cosf Ar Af Az 1. Silindirikten Kartezyene dönüşüm. Ar Af Az = cosf −sinf 0 sinf cosf Ax Ay Az 2. Kartezyenden Silindiriğe dönüşüm. Üçüncü Metot: Aşağıdaki ifadeleri matris formunda yazılarak koordinat dönüşümleri yapılabilir. Ax= Ar .cosf - Af . sinf Ay = Ar .sinf + Af. cosf Az = Az Örnek: Bir vektör alanı silindirik koordinatlarda A= ar.(3cosɸ) - af 2r + az z olarak verildiğini kabul ederek aşağıdaki soruları cevaplayınız. P(4,60°,5) noktasındaki alanı, P’deki Ap alanını Kartezyen koordinatlarda ifade ediniz. P noktasının konumunu Kartezyen koordinatlarda ifade ediniz.

Ax Ay Az = cosf −sinf 0 sinf cosf Ar Af Az = cos60° −sin60° 0 sin60° cos60° /2 −8 5 Çözüm: A= ar.(3cosɸ) - af 2r + az z P(r=4, ɸ=60°, z=5) noktasını alanı (Ap); Ap = ar.(3.cos60° ) – af (2.4 ) + az 5 = ar 3/2 - af 8 + az 5 b) Ar Af Az = 1/2 − / /2 −8 5 = 7,68 −2,70 5 Ap = ax.7,68– ay 2,7 - az 5 c) x= 4.cos 60°= 2, y= 4. sin60°= = , z=z= 5 hesaplanır ve; P(2, , 5) kartezyen koordinatları bulunur.

Silindirik koordinat sisteminde, diferansiyel uzunluk, alan ve hacimler: x y z dr dz r d∅ d∅ ∅ ds z ds r ds ∅ ∅ 𝐝∅ dz r d∅ x y z Uzunluk elemanı: dl=dr 𝐚 𝐫 +r d ∅ 𝐚 ∅ +dz 𝐚 𝐳 Yüzey elemanları: ds r =r d∅ dz 𝐚 𝐫 ds ∅ =dr dz 𝐚 ∅ ds z =r d∅ dr 𝐚 𝐳 𝑑𝑠 𝑧 𝑑𝑠 ∅ 𝑑𝑠 𝑟 r d∅ dr 𝐝∅ Hacim elemanı: dv=r dr d∅ dz Silindirik koordinatlarda yüzey vektörünün bileşenleri

Örnek 1 :(0) orijininden Q(3,4,5) noktasına 0Q konum vektörünü silindirik koordinatlarda ifade ediniz. Çözüm: x=3, y=4, z=5 𝑟= 𝑥 2 +𝑦 2 = 𝑟= = 5 ∅=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔( 𝑦 𝑥 ) =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔( 4 3 )= 0.927Rad. Ve z=z=5 Q(5, 0.927Rad., 5) olur. 0.927Rad = 53,11 derece 0Q= 𝐚 𝐫 Rad 𝐚 ∅ + 𝐚 𝐳 5 y f r 3 4 x Q' Örnek 2:Silindirik koordinatlardaki P1(5, 3π/2, 0) ve P2(5, π/2,10) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz. Çözüm: P1 Noktasının, r1=5, ɸ1= 3π/2, z1 =0 olan Silindirk koordinatlarını Kartezyen Koordinatlara dönüştürelim. x1 = r cos ɸ1 = 5. cos(3π/2)= 0 , y1 = r sin ɸ1 = 5. sin(3π/2)= -5, z1 =z1 =0 P1 Noktasının Kartezyen sistemdeki koordinatları P1(0, -5, 0) oldu. (ɸ1 =270°)

Çözümün devamı: P2 Noktasının, r2=5, ɸ2= π/2, z1 =10 olan Silindirik koordinatlarını Kartezyen Koordinatlara dönüştürelim. x2 = r cos ɸ2 = 5. cos(π/2)= 0 (ɸ2=90°), y1 = r sin ɸ2 = 5. sin(π/2)= 5, z2=z2 =10 P2 Noktasının Kartezyen sistemdeki koordinatları P2 (0, 5, 0) oldu. P1(0, -5, 0) ve P2 (0, 5, 0) olduğuna göre; P2 P1 noktaları arasındaki uzaklık: P2 P1 = d = (0-0)i + (5+5)j + (10-=)k d= 0 i + 10j + 10k d = =10 2 ( ɸ2 =90°) P1(5, 3π/2, 0) P2(5, π/2,10) d z r 3π / 2 Π / 2 z y x

Örnek 3: Silindirik koordinatlarda z ekseni üzerindeki z koordinatı z = h olan P noktasından Q(r, ϕ , 0) noktasına yönelmiş birim vektörünü gösteriniz. ÇÖZÜM: Önce silindirik koordinatlarda verilen değerler Kartezyene dönüştürülür. Q(r,ɸ,0) noktası için: x= r cos ɸ , y= r sinɸ ve z=z dir. P(0,0,z) noktası için: x=0, y=0 , z=h PQ = (r cos ɸ - 0)i + (r sinɸ -0)j + (0-h)k = (r cos ɸ)i + (r sinɸ )j - h k 𝒂= 𝑷𝑸 𝑷𝑸 = (r cos ɸ)i + (r sinɸ )j + h k 𝒓 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒂= r cos ɸ 𝒓 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒊+ r sinɸ 𝒓 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒋− h 𝒓 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒌 x y z P(0,0,z) Q(r,ɸ,0) h ɸ r

3. KÜRESEL KOORDİNATLAR Küresel koordinatlarda, bir P 1 ( R 1 , θ 1 , ɸ 1 ) noktası üç yüzeyin kesişimi ile belirlenir. Bu yüzeyler; Merkezi orijinde ve yarı çapı R = R1 olan bir küre yüzeyi, ekseni z ekseni ile çakışan ve θ = θ1 yarım açısına sahip bir dik koni ve bir kenarı z ekseni ile çakışan x ekseni ile ɸ = ɸ1 açısı yapan (xy) yarı düzlemidir. θ1 x y z ɸ1 P1( R 1 , θ 1 , ɸ 1 ) P’1 ɸ=ɸ1 düzlemi R=R1 küresi θ=θ1 konisii θ1 z Küresel koordinatı sistemi Küresel koordinatı oluşturan düzlemler

Küresel koordinatlarda birim vektörleri; (ar , aθ , aφ ) harfleri ile veya; ar = ir, aθ =iθ ve aɸ =iɸ harfleri ile de ifade edilebilir. ar : Orijinden kürenin yarıçapı doğrultusunda yönelen birim vektörüdür. aθ : Küre yüzeyine teğet doğrultuda diğer iki birim vektörlerine diktir. aɸ : Küre ve koni yüzeylerine dik doğrultudadır ve diğer birim vektörlerine de diktir. Birim vektörlerinin mutlak değerleri: |ar| =|aθ = |aφ| =1 dir. Φ’ nin pozitif yönü; z ekseni etrafında, x’ ten y’ye doğru saat ipresinin tersi yönündedir. Bundan dolayı φ, (0-2π) arasında değişir. θ’nın pozitif yönü, pozitif (z) ekseninden (π) radyan kadar negatif (z) eksenine doğrudur. Yani θ, (0- π ) arasında değişir. Koordinatların değişken aralıkları: 𝟎 < 𝑹 < ∞ , 𝟎<𝜽<𝝅 , 𝟎<∅ < 𝟐𝝅

Küresel Koordinatlarda tanımlanan bir P(R, θ, ɸ) noktasının yeri; aφ aθ ar R θ P ɸ y z x P’ z x y θ ɸ P(R,θ,ɸ) R r' A P’ P(R, θ, ɸ) noktasının yeri A vektörünün birim vektörelri P deki koordinatlara göre A vektörü: A= AR.aR + Aθ.aθ + Aɸ.aɸ Küresel koordinatlarada R uzunluktur. Diğer iki koordinat θ ve ɸ açıdır. Küresel koordinatlarda birim vektörleri; ar , aθ , aφ dir.

Küresel Koordinatların birim vektöreri ve çarpma işlemi aR aɸ aθ + _ aR : kürenin yarıçapı doğrultusunda aθ : küre yüzeyine teğet aφ : küre ve koniye dik vektör. Üç vektör bir birlerine diktir. Küresel koordinatların birim vektörleri 𝒂 𝑹 . 𝒂 𝑹 = 𝒂 𝜽 . 𝒂 𝜽 = 𝒂 ∅ . 𝒂 ∅ = 1 𝒂 𝑹 . 𝒂 𝜽 = 𝒂 𝜽 . 𝒂 ∅ = 𝒂 ∅ . 𝒂 𝑹 = 0 Nokta çarpım: Saat yönü tersi 𝒂 𝑹 𝒙 𝒂 𝜽 = 𝒂 ∅ 𝒂 𝜽 𝒙 𝒂 ∅ = 𝒂 𝑹 𝒂 ∅ 𝒙 𝒂 𝑹 = 𝒂 𝜽 Saat yönü 𝒂 𝑹 𝒙 𝒂 ∅ = −𝒂 𝜽 𝒂 ∅ 𝒙 𝒂 𝜽 = − 𝒂 𝑹 𝒂 𝜽 𝒙 𝒂 𝑹 = − 𝒂 ∅ Çapraz çarpım:

Küresel Koordinat sisteminde; diferansiyel uzunluk, alan ve hacim: Kürenin diferansiyel Alanı: dsR = R. dq . R sinθ. df. ar = R2 . sinθ . dq. df . ar Koni diferansiyel yüzey alanı: dsθ = R.sinθ. df . dR . aθ Düzlem yüzeyin diferansiyel alanı: dsφ = R dq. dR. aφ Diferansiyel uzunluk elemanı: dl = dr. ar+ r. dq. aθ + r.sinθ. df. aφ Üç düzlemin oluşturduğu hacim: dv= dR. R dq. R sinθ df= R2 sinθ dq df dR dR R dθ R sinθ. df ɸ θ dθ dɸ R y z dsR dsθ dsɸ R sinθ x

Küresel Koordinat sisteminde; diferansiyel uzunluk, alan ve hacim: Kürenin diferansiyel Alanı: dsR = R2 . sinθ . dq. df . aR Koni diferansiyel yüzey alanı: dsθ = R.sinθ. df . dR . aθ Düzlem yüzeyin diferansiyel alanı: dsφ = R dq. dR. Aφ Diferansiyel uzunluk elemanı: dl = dR. aR+ R. dq. aθ + R sinθ. df. Aφ Üç düzlemin oluşturduğu hacim: dv= R2 dR sinθ dq df Örnek 1: Küresel koordinatlarda diferansiyel ifadeleri kullanarak yarıçapı a olan bir kürenin hacim ve alanı formüllerini bulunuz. dsR=R2 θ=0 𝜋 sinθ .dq f=0 2𝜋 df =R2 −cosθ 0 𝜋 f 0 2𝜋 = 4π R2 dv= R2 dR sinθ dq df, dsR = R2 . sinθ . dq. df . ar ve R=a alarak, 𝑉 . 𝑑𝑣= 𝑅=0 𝑎 . 𝜃=0 𝜋 . ∅=0 2𝜋 R2.sinθ. dq.df dR = 𝑅 𝑎 −cosθ 0 𝜋 . ∅ 0 2𝜋 𝑽= 𝟒 𝟑 π a3 S= 4π a2 ⟹

Örnek 2. r = a, α ≤ q ≤ b ile tanımlı küresel bantın alanı nedir? Kürenin alan ifadesi: dsR = R2 . sinθ . dq. df . ar Aynı soru α =0, β = π için alanı hesaplayalım. Bulunan sonuç kürenin alanıdır. y z x b α 𝑆= 𝑑𝑠= 𝜃=𝑎 𝛽 . ∅=0 2𝜋 R2 . sinθ dθdɸ = 𝑎 2 2𝜋(− cos 𝜃 ) 𝛼 𝛽 𝑆=2𝜋 𝑎 2 (𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛽)

Küresel Koordinat da bir noktanın konumunun Kartezyen koordinatlara dönüştürülmesi: φ x y = R . sinθ. sinφ y r = R.sinθ 1 2 R . sinθ R . cosθ R θ z X = R. sinθ. cosφ z=R.cosθ θ φ P(R, θ, φ ) R.sinθ P’ x y z R r 1 P(x,y,z ) 2 Yukarıdaki P(r, θ, φ ) noktalarının koordinatları sonucu meydana gelen (1.) ve (2.) dik üçgenlerden faydalanarak kartezyen koordinatlardaki karşılığını yazalım : X = R. sinθ. cosφ, y = R . sinθ. sinφ, z = R . cosθ Ax = R sinθ. cosφ, Ay= R sinθ. sinφ Az= R cosθ Küreselden kartezyen koordinat sistemine dönüştürülmüş bir A vektörü A=(R sinθ. cosφ)ax + (R sinθ. sinφ)ay + (R cosθ )az olur.

(x, y, z) ve (R, θ, ɸ) Uzay değişkenleri arasındaki ilişkiler: θ ɸ y = R . sinθ. sinφ x = R . sinθ. cosφ, r R r= R . sinθ x z y x = R . sinθ. cosφ, y = R . sinθ. sinφ, z = R . cosθ z = R. cosθ

Kartezyen Koordinat da bir noktanın konumunun Küresel koordinatlara dönüştürülmesi: φ x y = R . sinθ. sinφ y r = R.sinθ 1 2 R sinθ R . Cosθ = z R θ z X = R. sinθ. cosφ 1. dik üçgenden; R sinθ = r = 𝑥 2 + 𝑦 ve θ= tan− 𝑥 2 + 𝑦 𝑧 , 2. Dik üçgenden; φ = tan−1 𝑦 𝑥 Pisagor Teoreminden: 𝑅= x 2 + y2 + z2 𝑹= x 2 + y2 + z2 , 𝜽= tan− 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒛 , φ = tan−1 𝒚 𝒙 ,

Küresel Koordinatların ve Kartezyen Koordinatların birbirlerine dönüşüm tablosu P(x, y, z ) P(R, θ, φ ) Birim vektörlerinin Dönüşümü: Küresel koordinatlarda farklı noktalarda fakat aynı radyal hat üzerinde olmayan bir vektör seti verildiğinde temel vektör işlemlerini yapmak için vektörlerin dikdörtgen koordinatlarda ifade edilmesi gerekir. ax , ay ve az boyunca üç birim vektörünün ar , aθ ve aφ bileşenlerinin bulunması gerekir.

ax , ay ve az boyunca üç birim vektörünün ar , aθ ve aφ bileşenlerinin bulunması için kendi aralarında vektörel çarpma işlemleri yapılır. ar aɸ aθ x z y 𝒂 𝒙 𝒂 𝒚 𝒂 𝒛 𝒂 𝒓 . 𝒂 𝒙 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ 𝒂 𝜽 . 𝒂 𝒙 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ 𝒂 ∅ . 𝒂 𝒙 =− sin 𝜃 𝒂 𝒓 . 𝒂 𝒚 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 𝜽 . 𝒂 𝒚 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 ∅ . 𝒂 𝒚 = 𝑐𝑜𝑠∅ 𝒂 𝒓 . 𝑎 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝒂 𝜽 . 𝒂 𝒛 = − 𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 ∅ . 𝒂 𝒛 =0 𝑎 𝑟 =𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑎 𝑥 +𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ 𝑎 𝑦 + cos 𝜃 𝑎 𝑧 𝑎 𝜃 =𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑎 𝑥 +𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ 𝑎 𝑦 − sin 𝜃 𝑎 𝑧 𝑎 ∅ =−𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎 𝑥 +𝑐𝑜𝑠∅ 𝑎 𝑦 +0 𝑎 𝑧 𝑎 𝑥 =𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑎 𝑟 +𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑎 𝜃 − sin 𝜃 𝑎 𝑦 =𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ 𝑎 𝑟 +𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ 𝑎 𝜃 + cos 𝜃 𝑎 𝑧 =𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑎 𝑟 −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎 𝜃 + 0 𝑎 ∅ Yukarıdaki çarpma işlemlerinden faydalanarak küresel koordinatlarım birim vektörleri; Yukarıdaki çarpma işlemlerinden faydalanarak kartezyen koordinatlarım birim vektörleri; θ ɸ y = R . sinθ. sinφ x = R . sinθ. cosφ, r R r= R . sinθ x z y Z= R 𝒄𝒐𝒔𝜽

Yukarıdaki birim vektörlerini dikkate alarak A vektörünün bileşenleri; 𝑨 𝒓 =(Ax sinq cosɸ+Ay. sinqsinɸ + Az cos𝜃) ar 𝑨 𝜽 = (Ax cosθ cos∅ + Ay cosθ sinɸ − Az sinθ) aθ A∅ = (−Ax. sinɸ + Ay cosɸ)a∅ Küreselde koordinatlarda tanımlanan A vektörü; A=(Ax sinq cosɸ+Ay. sinq sinɸ + Az cosθ) ar+ (Ax cosθ cos∅ + Ay cosθ sinɸ − Az sinθ) aθ +(−Ax. sinɸ + Ay cosɸ)a∅ olur. Kartezyen koordinatlarda tanımlanan A vektörü; 𝐴 𝑥 = 𝐴 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠∅+ 𝐴 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛∅− 𝐴 ∅ 𝑠𝑖𝑛∅ 𝐴 𝑦 = 𝐴 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛∅+ 𝐴 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛∅+ 𝐴 ∅ 𝑐𝑜𝑠∅ 𝐴 𝑧 = 𝐴 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐴 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 A =( 𝐴 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠∅+ 𝐴 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛∅− 𝐴 ∅ 𝑠𝑖𝑛∅) ax+ ( 𝐴 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛∅+ 𝐴 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛∅+ 𝐴 ∅ 𝑐𝑜𝑠∅) ay+( 𝐴 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐴 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃)a𝐳 olur.

Dönüşümlerde matris yöntemi kullanılırsa; 𝒂 𝒓 = sin 𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ ax+𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ ay+𝑐𝑜𝑠𝜃az 𝒂 𝜃 = cos 𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ ax+𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ ay−𝑠𝑖𝑛𝜃az 𝒂 ∅ =−𝑠𝑖𝑛∅ax+𝑐𝑜𝑠∅ ay 𝒂 𝒙 =𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠∅ 𝒂 𝒓 +𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 𝜽 −𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 ∅ 𝒂 𝒚 = 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 𝒓 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 𝜽 +𝑐𝑜𝑠∅ 𝒂 ∅ 𝒂 𝒛 =𝑐𝑜𝑠𝜃 𝒂 𝒓 −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝒂 𝜽 1. Birim vektörlerin kartezyenden küresele ve Küreselden Kartezyene dönüşümü Birim vektörlerinin Kartezyenden Küresele dönüşümü: ar a𝛉 a∅ = sin 𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ sin 𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 cos 𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ −𝑠𝑖𝑛𝜃 −𝑠𝑖𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠∅ ax ay az Birim vektörleri, küreselden kartezyene: ax ay az = sin 𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ sin 𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ −𝑠𝑖𝑛∅ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 0 ar a𝛉 a∅

2. Bileşke vektörlerin kartezyenden küresele ve Küreselden Kartezyene dönüşümü 𝐴 𝜃 =(Ax cos𝜃 sin∅ + Ay cosq sinɸ − Az sinq) aq 𝐴 𝑟 =( 𝐴 𝑥 sinq cosɸ+ 𝐴 𝑦 sinθ sinɸ + 𝐴 𝑧 cos𝜃) 𝒂 𝒓 , 𝐴 ∅ = (−Ax. sinɸ + Ay cosɸ)a∅ KÜRESEL 𝐴 𝑥 = 𝐴 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠∅+ 𝐴 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛∅− 𝐴 ∅ 𝑠𝑖𝑛∅ 𝐴 𝑦 = 𝐴 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛∅+ 𝐴 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛∅+ 𝐴 ∅ 𝑐𝑜𝑠∅ 𝐴 𝑧 = 𝐴 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐴 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 KARTEZYEN Bir A vektörü, kartezyenden küresele : Ar 𝑨 𝜽 𝑨 ∅ = sin 𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ sin 𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ −sinq −sinq cosɸ Ax A𝒚 A𝒛 Bir A vektörü, küreselden kartezyene : Ax A𝒚 A𝒛 = sin 𝜃 𝑐𝑜𝑠∅ sin 𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ −𝑠𝑖𝑛∅ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 Ar 𝑨 𝜽 𝑨 ∅

BİR SKALAR ALANIN GRADYANI (GRADIENT’İ): Gradyan; Skalar alandaki değişim hızı olarak tanımlanabilir. Bir skaler alanın maksimum uzay artış hızının büyüklüğünü ve yönünü gösteren vektör; o skaler alanın gradyanı olarak tanımlanır ve: 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑉= 𝒂 𝒏 𝑑𝑉 𝑑𝑛 veya 𝜵𝑉= 𝒂 𝒏 𝑑𝑉 𝑑𝑛 şeklinde ifade edilir. 𝛻 (𝐍𝐚𝐛𝐥𝐚)′𝐲𝐚 𝐝𝐢𝐟𝐞𝐫𝐚𝐧𝐬𝐢𝐲𝐞𝐥 𝐯𝐞𝐤𝐭ö𝐫 𝐨𝐩𝐞𝐫𝐚𝐭ö𝐫ü(DELL OPERATÖRÜ) denir. DELL OPERATÖRÜ (∇) DELL OPERATÖRÜ; vektör cebirinde, diferansiyel değişimleri göstermekte kullanıılır. Bu sembolün tek başına bir anlamı yoktur; bir vektör veya skaler’e uygulandığında bir anlamı olur. Dell operatörü, skaler veya vektörel fonksiyonlara uygulayabileceğimiz bir türev alma işlemcisidir. ∇ operatörü skaler veya vektörel fonksiyonlarla işlem görebilir. İşlemin durumuna göre de uygulama bir isim alır.

 diferansiyel vektör operatörü, matematikdeki türev alma işlemlerinde kullanılan; 𝐷= 𝑑 𝑑𝑥 , 𝑥 ′ = 𝑑 𝑑𝑡 veya 𝑓 ′ = 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 İle aynı anlama gelmektedir. Ancak vektör cebirindeki büyüklükler, 𝑑 𝑑𝑥 gibi tek bir yönde değil (i, j, k ) gibi farklı yönlerde de olabileceğinden 𝜕 𝜕𝑥 i şeklindeki semboller kullanılmaktadır. Kartezyen koordinat sisteminde ∇ ‘nın açılımı: Bir skaler fonksiyonun Dell operatörü ile skaler olarak çarpımına, o skaler fonksiyonun Gradyanı adı verilir. Tanımdan da görüldüğü üzere skaler bir fonksiyonu Dell operatörüyle çarpılarak, birinci bileşeni, o fonksiyonun x' e göre, ikinci bileşeni y' ye üçüncü bileşeni z' ye göre türevi olan ve o fonksiyonun Gradyanı adını verdiğimiz yeni bir vektör elde ediyoruz..

Veya 2. Silindirik koordinatlarda V: 3. Küresel koordinatlarda V: 1. Kartezyen koordinatlarda V: Örnek: A = Ax i + Ay J + Ay k ve r = x i + y j + z k olduğuna göre grad (A.r) sonucunu bulunuz. A . r = (Ax i + Ay J +Az k ).( x i + y j + z k) = Ax x + Ay y + Az z skaler sonucu çıkar. grad (A . r) = ∇(A . r) = ( 𝜕 𝜕𝑥 i + 𝜕 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕 𝜕𝑧 𝒌) . (Ax x +Ay y + Az z ) = Ax 𝜕𝑥 𝜕𝑥 i + Ay 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝒋+Az 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝒌 = Ax i + Ay J+ Az k =A 81

Örnek: r= x i + y j + z k vektörü bilindiğine göre, 1/r nin gradyanını alınız. ( Cevap:- 1 𝑟 2 𝒖 𝒓 ) Çözüm: Hatırlatma: 𝑟= 𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 , 𝒖 𝒓 = 𝒓 𝑟 , grad( 1 𝑟 ) =𝛻( 1 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) ) 𝜵. 1 𝑟 = 𝜕 𝜕𝑥 𝒊 + 𝜕 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕 𝜕𝑥 𝒌 ( 1 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) ) = 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) −1 2 𝒊+ 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) −1 2 𝒋+ 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) −1 2 𝒌 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) −1 2 𝒊=2𝑥 − ( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) −3 2 𝒊=−𝑥( 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) −3 2 𝒊 =−𝑥 1 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝒊 (benzer şekilde diğer türevleri de alırsak) 𝜵. 1 𝑟 =−𝑥 1 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝒊−𝑦 1 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝒋−𝑧 1 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝒌= − 𝒙 𝒊+𝒚 𝒋+𝒛 𝒌 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) =− 𝒓 ( 𝑟) 3 𝛻. 1 𝑟 =- 𝒓 𝑟 𝑟 2 =:- 1 𝑟 2 𝒖 𝒓

Divergence(Diverjans): Eğer DEL OPERATÖRÜ bir vektör fonksiyonu üzerinde işlem gördürüyorsa, işlemin sonucu skaler bir fonksiyon olacaktır. Vektörel alandaki değişim hızını veren bu ifadenin eşitliğine diverjans veya ıraksaması denir. Kısaca (div) şeklinde fonksiyonun önüne yazılır. 𝑑𝑖𝑣 𝑨=𝛁 .𝑨 Kartezyen Koordinatlarda A vektörünün diverjansı; 𝜵.𝑨= ? 𝑨 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋 + 𝐴𝑦 𝒌 𝜵.= 𝜕 𝜕 𝑥 𝒊+ 𝜕 𝜕 𝑦 𝒋+ 𝜕 𝜕 𝑧 k 𝜵.𝑨=( 𝜕 𝜕 𝑥 𝒊+ 𝜕 𝜕 𝑦 𝒋+ 𝜕 𝜕 𝑧 k) . (𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋 + 𝐴𝑦 𝒌) = 𝜕 𝐴𝑥 𝜕 𝑥 + 𝜕 𝐴𝑦 𝜕 𝑦 + 𝜕 𝐴𝑧 𝜕 𝑧 𝜵.𝑨= 𝜕 𝐴𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴𝑧 𝜕𝑧 Bir vektör alanını ıraksaması(Diverjansı): Hacim sıfıra giderken, söz konusu hacmi sınırlayan kapalı yüzeyden dışarı çıkan net akı miktarına A vektör alanının diverjansı (A vektör alanının ıraksaması) denir.

AKI ÇİZGİLERİ: Her noktada vektör alanının yönünü belirten yönlü doğru parçaları veya eğrilerdir. Alanın bir noktadaki büyüklüğü noktanın etrafındaki çizgi yoğunluğu veya çizgilerin uzunluğu ile belirtilir. DÜZGÜN ALAN A B VEKTÖR ALANA DİK YÜZEY Vektör alan şiddeti, vektöre dik birim yüzeyden geçen çizgi sayısı ile belirlenir. Bir A vektör alanının bir noktadaki DİVERJANSI, o nokta etrafındaki hacim sıfıra giderken birim hacim başına A’nın net akısı olarak tanımlanır. 𝑑𝑖𝑣 𝑨= lim ∆𝑣→0 𝑺 . 𝑨 .𝒅𝒔 ∆𝑉 𝑺 . 𝑨 .𝒅𝒔 A vektör alanının net dışarı akısını gösterir 𝒅𝒔= 𝒂 𝒏 ds

Koordinat sistemlerinde A vektörünün diverjans formülleri: Silindirik Koordinatlarda A vektörünün diverjansı; Küresel Koordinatlarda A vektörünün diverjansı; Kartezyen Koordinatlarda A vektörünün diverjansı; 𝜵.𝐴= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 𝜵.𝐴= 1 𝑟 𝜕 (𝑟𝐴 𝑟 ) 𝜕𝑟 + 1 𝑟 𝜕 𝐴 ∅ 𝜕∅ + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 𝜵.𝐴= 1 𝑅 2 𝜕 ( 𝑅 2 𝐴 𝑅 ) 𝜕𝑅 + 1 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝐴 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃)+ 1 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕 𝐴 ∅ 𝜕∅ Örnek 2: 𝑯 = 𝐻 𝑥 𝒊 + 𝐻 𝑦 𝑱+ 𝐻 𝑧 𝒌 vektör fonksiyonunun diverjansını gösteriniz. 𝜵.𝑯=( 𝜕 𝜕 𝑥 𝒊+ 𝜕 𝜕 𝑦 𝒋+ 𝜕 𝜕 𝑧 k) . ( 𝐻 𝑥 𝒊 + 𝐻 𝑦 𝑱+ 𝐻 𝑧 𝒌) = 𝜕 𝐻 𝑥 𝜕 𝑥 + 𝜕 𝐻 𝑦 𝜕 𝑦 + 𝜕 𝐻 𝑧 𝜕 𝑧 Örnek 1: r = x i + y j + z k vektörünün diverjansını bulunuz.

IRAKSAMA TEOREMİ: Bir vektör alanının ıraksamasının hacim integralinin, o vektörün bölgeyi sınırlayan yüzeydeki toplam dışa doğru akısına eşittir. 𝑣 . 𝜵.𝑨 𝑑𝑣= 𝑆 . 𝑨 .𝒅𝒔 Ö𝐫𝐧𝐞𝐤: 𝑨 = 𝑥 2 𝒊 +𝑥𝑦 𝒋 + 𝑦𝑧 𝒌 için her kenarı birim uzunluğa sahip şekildeki küp üzerinde Diverjans Teoremini uygulayınız Çözüm: 𝜵.𝐴= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 = 2𝑥+𝑥+𝑦= 3𝑥+𝑦 𝑣 . 𝜵.𝑨.𝑑𝑣= 𝑣 . (3𝑥+𝑦 ) .𝑑𝑣= = (3𝑥+𝑦 )dx d𝑦 𝑑𝑧= 0 1 2𝑑𝑧=𝟐 𝑆 . 𝑨.𝒅𝒔= ö𝑛 𝑦ü𝑧 𝑎𝑟𝑘𝑎 𝑦ü𝑧 . + ü𝑠𝑡 . + 𝑎𝑙𝑡 . + 𝑠𝑎ğ . + 𝑠𝑜𝑙 . … Ö𝑛 𝑦ü𝑧 . 𝑨.𝒅𝒔= 𝑨.(𝑑𝑦.𝑑𝑧 𝒊)= 𝑥 2 𝑑𝑦.𝑑𝑧 =1 dv=dx.dy.dz x y z 1 𝐴𝑟𝑘𝑎 𝑦ü𝑧 . 𝑨.𝒅𝒔= 𝑨.(−𝑑𝑦.𝑑𝑧 𝒊)= −𝑥 2 𝑑𝑦.𝑑𝑧 = −𝑥 2 𝑥=0 =0

𝑠𝑎ğ 𝑦ü𝑧 . 𝑨.𝒅𝒔= 𝑨.(𝑑𝑥.𝑑𝑧 𝒋)= 𝑥𝑦.𝑑𝑥.𝑑𝑧 = 𝑥 2 2 𝑦 𝑑𝑧= 0 1 𝑦 2 𝑑𝑧 1 = 𝑦 2 𝑦=1 = 1 2 Ü𝑠𝑡 𝑦ü𝑧 . 𝑨.𝒅𝒔= 𝑨.(𝑑𝑥.𝑑𝑦 𝒌)= 𝑦𝑧.𝑑𝑦.𝑑𝑧 = 1 2 𝐴𝑙𝑡 𝑦ü𝑧 . 𝑨.𝒅𝒔= 𝑨.(−𝑑𝑥.𝑑𝑦 𝒌)= 0 𝑆 . 𝑨.𝒅𝒔= ö𝑛 𝑦ü𝑧 𝑎𝑟𝑘𝑎 𝑦ü𝑧 . + ü𝑠𝑡 . + 𝑎𝑙𝑡 . + 𝑠𝑎ğ . + 𝑠𝑜𝑙 . = =2 𝑆𝑜𝑙 𝑦ü𝑧 . 𝑨.𝒅𝒔= 𝑨(−𝑑𝑥.𝑑𝑧 𝑗)= 0 dv=dx.dy.dz x y z 𝑣 . 𝜵.𝑨 𝑑𝑣= 𝑆 . 𝑨 .𝑑𝑠 =2 SONUÇ Ödev: Kaynak kitabımızın 50. sayfasındaki örnek 2-12 inceleyiniz.

ÖRNEK: 𝑭= 𝒂 𝑹 𝑘 𝑅 için Diverjans Teoreminin, merkezleri şekildeki gibi orjinde olan R=R1 Ve R=R2 (R2 > R1 )küreleri ile sınırlı bölgede sağlanıp sağlanmadığını gösteriniz. R1 R2 𝑭= 𝒂 𝑹 𝑘 𝑅 𝛻= 1 𝑅 2 𝜕 ( 𝑅 2 𝐹 𝑅 ) 𝜕𝑅 Küresel koordinatlarda: ve 𝜵.F = 1 𝑅 2 𝜕 ( 𝑅 2 .𝑘 𝑅 ) 𝜕𝑅 = 1 𝑅 𝜕 𝜕𝑅 𝑘. 𝑅 3 = 1 𝑅 𝑘 𝑅 2 =3𝑘 𝑣 . 𝜵.𝑭.𝑑𝑣= 𝑣 . (3𝑘) .𝑑𝑣== 0 2𝜋 0 𝜋 𝑅 1 𝑅 2 (3𝑘) 𝑅 2 sinθdθ d𝑅 𝑑∅ =3k 0 2𝜋 𝑑∅ 0 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑅 1 𝑅 2 𝑅 2 d𝑅 =𝟒𝝅𝒌(R23 – R13 ) 𝑆 . 𝑭.𝒅𝒔= 𝐷𝚤ş 𝑦ü𝑧𝑒𝑦 . …+ İç 𝑦ü𝑧𝑒𝑦 . . 𝒅𝒔= 𝒂 𝑹 R22 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑∅ 𝑑𝚤ş 𝑦ü𝑧𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑓.𝑎𝑙𝑎𝑛𝚤 𝒅𝒔=− 𝒂 𝑹 R12 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑∅ iç yüzey dif.alanı 𝑆 . 𝑭.𝒅𝒔= 𝐷𝚤ş 𝑦ü𝑧𝑒𝑦 . 𝒂 𝑹 𝑘 𝑅 . (𝒂 𝑹 R22 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑∅ ) = 4π𝑘 𝑅 =4𝜋𝑘 R2 3 R=R2 𝑆 . 𝑭.𝒅𝒔= İç 𝑦ü𝑧𝑒𝑦 . 𝒂 𝑹 𝑘 𝑅 . (−𝒂 𝑹 R12 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑∅ ) = −4π𝑘 𝑅 =−4𝜋𝑘 R1 3 R=R1 𝑆 . 𝑭.𝒅𝒔= 𝐷𝚤ş 𝑦ü𝑧𝑒𝑦 . …+ İç 𝑦ü𝑧𝑒𝑦 . =4𝜋𝑘 R2 3 +( −4𝜋𝑘 R1 3 = 𝟒𝝅𝒌( R2 𝟑 − R1 𝟑 ) 𝑣 . 𝜵.𝑨 𝑑𝑣= 𝑆 . 𝑨 .𝑑𝑠 =𝟒𝝅𝒌( R2 𝟑 − R1 𝟑 ) SONUÇ R3 /3 2 2π

Perşembe Bir vektör Alanının Rotasyoneli (Döneli veya Curl’ü): Del Operatörü (𝜵)’nün işlem yaptığı başka bir durum da vektörel bir fonksiyon ile çapraz vektörel çarpım yapılarak yeni bir sonuç vektör elde etmektir. Girdap kaynağı: Bir vektör alanının etrafında dolaşımına neden olan kaynak tipi. Bir vektör alanının bir kapalı yol etrafındaki net dolaşımı, vektörün yol üzerindeki skalar çizgi integrali ile tanımlanır. A vektörünün C yolu etrafındaki dolaşımı= 𝐶 . 𝑨 𝒅𝒍 A vektör alanının ROTASYONELİ, büyüklüğü birim alan başına, alan sıfıra giderken A vektörünün en büyük net dolaşımı olan vektördür. Rotasyonun yönü, alan dolaşımını en büyük yapacak şekilde yerleştirildiğinde, alanın normali ile aynıdır. 𝜵𝑥𝑨= lim ∆𝑠→0 1 ∆𝑠 𝒂 𝒏 𝑐 . 𝑨 𝒅𝒍 𝑚𝑎𝑥

Kartezyen Koordinatlarda bir A vektörünün Rotasyoneli ( 𝑟𝑜𝑡 𝑨 ): 𝜵 𝑥 𝑨= 𝒂 𝒙 𝒂 𝒚 𝒂 𝒛 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 = 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒂 𝒙 + 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 − 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 𝒂 𝒚 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒂 𝒛 𝜵 𝑥 𝑨= 𝒂 𝒓 𝑟.𝒂 ∅ 𝒂 𝒛 𝜕 𝜕𝑟 𝜕 𝜕∅ 𝜕 𝜕𝑧 𝐴 𝑟 𝑟.𝐴 ∅ 𝐴 𝑧 1 𝑟 = 1 𝑟 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕∅ − 𝜕 𝐴 ∅ 𝜕𝑧 𝒂 𝒓 + 𝜕 𝐴 𝑟 𝜕𝑧 − 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑟 𝒂 ∅ + 1 𝑟 𝜕(𝑟 𝐴 ∅ ) 𝜕𝑟 − 𝜕 𝐴 𝑟 𝜕∅ 𝒂 𝒛 Silindirik Koordinatlarda bir A vektörünün Rotasyoneli ( 𝑟𝑜𝑡 𝑨 ): 𝜵 𝑥 𝑨= 𝒂 𝒓 𝑹.𝒂 ∅ 𝒂 ∅ 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕 𝜕𝑅 𝜕 𝜕𝜃 𝜕 𝜕∅ 𝐴 𝑅 𝑅.𝐴 𝜃 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃𝐴 ∅ 𝑅 2 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 = 1 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝐴 ∅ 𝑠𝑖𝑛𝜃) − 𝜕 𝐴 𝜃 𝜕∅ 𝒂 𝑹 Küresel Koordinatlarda bir A vektörünün Rotasyoneli ( 𝑟𝑜𝑡 𝑨 ): + 1 𝑅 1 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕 𝐴 𝑅 𝜕∅ − 𝜕 𝜕𝑅 (𝑅 𝐴 ∅ ) 𝒂 𝜽 + 1 𝑅 𝜕 𝜕𝑅 (𝑅 𝐴 𝜃 )− 𝜕 𝐴 𝑅 𝜕𝜃 𝒂 ∅

ROTASYONELİ sıfır olan vektör alanına «İRRASYONEL» veya «KORUNUMLU» alan denir. Üç Koordinat sisteminde bir A vektörünün Rotasyoneli (Doneli veya Curl): 2. Silindirik Koordinatlarda A vektörünün Rotasyonu; 3. Küresel Koordinatlarda A vektörünün Rotasyonu; 1. Kartezyen Koordinatlarda A vektörünün Rotasyonu;

ÖRNEK: aşağıdaki durumlarda 𝜵 𝑥 𝑨 olduğunu gösteriniz. Silindirik koordinatlarda k bir sabit olmak üzere ; 𝑨= 𝒂 ∅ 𝑘 𝑟 Küresel koordinatlarda, F( F) radyal F uzaklığının bir fonksiyonu olmak üzere; 𝑨= 𝒂 𝑹 𝐹(𝑅)

STOKES TEOREMİ : Açık bir yüzey üzerinden bir vektör alanın rotasyonelinin yüzey integrali aynı yüzeyi çevreleyen kapalı çevre üzerinden söz konusu vektör alanının çizgisel integraline eşittir. Ödev: Kaynak kitabımızın; sayfalarındaki, örnek 2-16 ve alıştırma e çalışınız.

x y 𝑥= 9− 𝑦 2 3 A B Örnek: vektör alanı için yarıçapı 3 olan çeyrek dairesel disk üzerinde Stokes teoremini doğrulayın. Çözüm: Şimdi de’yi bulalım : 𝑭.𝒅𝒍 Çizgisel integralle de aynı sonuç elde edildiğine göre teorem doğrudur.

Örnek: 𝑭=𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 𝒓 +3𝑐𝑜𝑠∅ 𝒂 ∅ ve şekildeki çeyrek daire bölge için STOKES TEROMİ’nin sağlandığını gösteriniz. z ʘ R=3 x y A B ɸ Silindirik koordinat rotasyoneli 𝒅𝒔=𝑟 𝑑𝑟. 𝑑∅ 𝒂 𝒛 𝐶 . 𝑭.𝒅𝒍 = 0𝐴𝐵0 . 𝑭.𝒅𝒍 𝒅𝒍=𝑑𝑟 𝒂 𝒓 𝒅𝒍=𝑟.𝑑∅ 𝒂 ∅ = 0𝐴 0 3 𝑭.𝑑𝑟 𝒂 𝒓 + 𝐴𝐵 0 𝜋 2 𝑭.𝑟.𝑑∅ 𝒂 ∅ + 𝐵 𝑭.𝑑𝑟 𝒂 𝒓 = 0𝐴 0 3 (𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 𝒓 +3𝑐𝑜𝑠∅ 𝒂 ∅ ).𝑑𝑟 𝒂 𝒓 + 𝐴𝐵 0 𝜋 2 (𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 𝒓 +3𝑐𝑜𝑠∅ 𝒂 ∅ ).𝑟.𝑑∅ 𝒂 ∅ + 𝐵 (𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 𝒓 +3𝑐𝑜𝑠∅ 𝒂 ∅ ).𝑑𝑟 𝒂 𝒓 = 0𝐴 0 3 𝑠𝑖𝑛∅ 𝑑𝑟 + 𝐴𝐵 0 𝜋 2 3𝑐𝑜𝑠∅ 𝑟.𝑑∅+ 𝐵 𝑠𝑖𝑛∅ 𝑑𝑟 =r (𝑠𝑖𝑛∅) +𝑟=3+9 -3=9 𝜋 2

𝑭=𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 𝒓 +3𝑐𝑜𝑠∅ 𝒂 ∅ 𝑆 . (𝛻𝑥 𝐹).𝑑𝑠= 1 𝑟 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕∅ − 𝜕 𝐴 ∅ 𝜕𝑧 𝑎 𝑟 + 𝜕 𝐴 𝑟 𝜕𝑧 − 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑟 𝑎 ∅ x(𝑠𝑖𝑛∅ 𝒂 𝒓 +3𝑐𝑜𝑠∅ 𝒂 ∅ ).ds 𝑆 . (𝛻𝑥 𝐹).𝑑𝑠= 1 𝑟 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕∅ − 𝜕3𝑐𝑜𝑠∅ 𝜕𝑧 𝑎 𝑟 + 𝜕𝑠𝑖𝑛∅ 𝜕𝑧 − 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑟 𝑎 ∅ .(𝑟 𝑑𝑟. 𝑑∅ 𝒂 𝒛 )=0

𝛻 VEKTÖR OPERATÖRÜ BİR SKALAR f ALANINA ETKİRSE: 𝜵f GRADİENT BİR A VEKTÖRÜ İLE ÇARPILIRSA: 𝜵.𝐀 DIVERGENCE (IRAKSAMA) 𝜵𝐱𝐀 ROTASYON (DONEL)

EE-215 ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "EE-215 ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

EE-215 ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "EE-215 ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim