Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER

... konulu sunumlar: "Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER"— Sunum transkripti:

1 Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER
GÜVEN ARALIKLARI II Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER

2 Z İstatistiği F İstatistiği 2 İstatistiği Z İstatistiği t İstatistiği
Güven Aralıkları Ortalama yada iki ortalama farkı için Varyansların testi Oranlar yada iki oran farkı için Bir varyans için İki varyans oranı için 2 biliniyor 2 bilinmiyor n30 n<30 Z İstatistiği F İstatistiği 2 İstatistiği Z İstatistiği t İstatistiği

3 Anakütle Ortalamasının Güven Aralığı Büyük Örneklerde
Ortalaması µ olan bir dağılımdan n gözlemli rassal bir örnek çektiğimizi varsayalım . Örnek ortalaması ile standart sapmasını ve S ile gösterelim. Eğer n≥30 ise , populasyon ortalamasının %(1-α)’lık güven aralığı aşağıdaki gibidir:

4 Anakütle Oranının Güven Aralıkları (Büyük Örneklem)
Başarı oranı п olan n hacimli bir anakütleden seçilmiş olan n gözlemli rassal bir örneklemde başarı oranını p ile gösterelim. Bu durumda n≥30 ise anakütle oranı п için %(1-α)’lık güven aralığı: şeklindedir.

5 İki Anakütle Oranı Arasındaki Fark İçin Güven Aralıkları (Büyük Örneklerde)
Başarı oranı olan bir anakütleden seçilmiş gözlemli bir örneklemde gözlenen başarı oranı ile, başarı oranı olan bir anakütleden rassal seçilmiş gözlemli bir örneklemde gözlenen başarı oranı ile gösterilsin. Olmak üzere

6 Bu durumda örnekler büyükse İki anakütle oranı arasındaki fark için %(1-α)’lık güven aralığı aşağıdaki biçimdedir.

7 Örnek: Son sınıf kız ve erkek muhasebe öğrencilerinden bağımsız rassal örnekler seçilmiştir. 120 erkekten 107’si on yıl sonra tam zamanlı olarak çalışmayı beklemektedir. 141 kız öğrenciden de 73’ü aynı beklentidedir. İki anakütle oranları arasındaki fark için %95 güven aralığını oluşturunuz. (newbold, sf. 345)

8 Örnek: Üniversitelerin pazarlama derslerinde müşteri destekli projeler (MDP) araştırmasında, MDP kullanan öğretim üyelerine “MDP’ler öğretim üyesi için zaman alıcıdır” tümcesi verilmiştir. Vakıf üniversitelerinden seçilen 92 MDP kullanıcısından oluşan rassal bir örnekte 49 kişi bu görüşe katılmıştır. Devlet üniversitelerinden seçilen 86 MDP kullanıcısından 36 kişi bu görüşe katılmıştır. İki anakütle oranı arasındaki fark için %90’lık güven aralığını oluşturunuz.(Newbold sf. 344)

9 İki Anakütle Ortalaması Arasındaki Fark İçin Güven Aralıkları (Populasyon Varyansları Biliniyor veya Örneklemler Büyük) Ortalamaları ile varyansları ile olan normal dağılımlardan ve gözlemli bağımsız rassal örnekler seçilmiş olsun. Örnek ortalamaları ve ise, iki anakütle ortalaması arasındaki fark için %(1-α)’lık güven aralığı aşağıdaki gibidir:

10 Örnek hacimleri ≥ 30 ise populasyon varyansları yerine örnek varyansları koyulabilir ve iki ortalama arasındaki fark için güven aralığı aşağıdaki biçimde olur:

11 Örnek: Sigara içen 96 kişilik bir rassal örneklemde kısa süreli iş devamsızlığının ortalaması ayda 2.15 saat, standart sapması ayda 2.09 saattir. Hayatında hiç sigara içmemiş 206 kişilik bağımsız bir örnekte ise ortalama devamsızlık 1.69 saat, standart sapma ayda 1.91 saattir. İki anakütle ortalaması arasındaki fark için %99 güven aralığını bulunuz ve yorumlayınız.(Newbold sf.337)

12 Populasyonun Varyansı 2X Bilinmediğinde ve n< 30 Olduğunda Ortalama İçin Güven Aralığı
Varsayımlar: POPULASYONUN standart sapması bilinmiyor Populasyon Normal dağılımlıdır. Populasyonun normal dağılış göstermesi şartıyla şeklinde hesaplanan test istatistiği n-1 serbestlik dereceli t dağılışı gösterir. Populasyon ortalaması için güven aralığı aşağıdaki biçimdedir.

13 Student t Dağılımı *t dağılışı, normal dağılış gibi simetrik bir dağılıştır. Bu dağılış ilk olarak 1908 yılında W.S.Gosset tarafından örnekleme denemeleri sonunda bulunmuştur. Gosset yayınlarında “Student” takma ismini kullandığı için bulduğu t dağılışı “Student t dağılışı” olarak bilinmektedir. Bu dağılıştan kısaca t dağılışı olarak bahsedilecektir. *t dağılışı, normal dağılış gibi simetrik bir dağılıştır. Ortalaması 0 olup normal dağılıştan daha yaygın bir şekil göstermektedir. t dağılışının bir tek parametresi vardır ve bu parametre serbestlik derecesi olarak isimlendirilir. S’nin hesaplanmasında kullanılan (n-1), S’nin serbestlik derecesi olup t’nin dağılışını belirler.

14 Student t Dağılımı t dağılışı için z cetveli yerine, çeşitli örnek büyüklükleri ve olasılık seviyeleri için ayrı ayrı hesaplanmış t cetvelleri kullanılır.

15 z t Çan şekilli simetrik, ‘Tombul’ kuyruklar Standart Normal
t (sd = 13) t (sd = 5) z t

16 .05 2 t Student’ın t Tablosu .05 2.920 t değerleri Üst kuyruk alanı sd
n = 3 sd = n - 1 = 2  = .10 /2 =.05 Olsun: Üst kuyruk alanı sd .25 .10 .05 1 1.000 3.078 6.314 Confidence intervals use /2, so divide ! 2 0.817 1.886 2.920 .05 3 0.765 1.638 2.353 t 2.920 t değerleri

17 ÖRNEK: Bir fabrikada üretilen konservelerin ortalama ağırlığı için güven aralığı oluşturulmak istenmektedir. Bu konservelerin ortalama ağırlıkları ile ilgili bir karar vermek üzere rastgele seçilen 17 kutunun ortalama ağırlığı 450 gr ve standart sapması 13 gr bulunmuştur. Ağırlıkların normal dağılım gösterdiği varsayımı altında konservelerin ortalama ağırlığı için %95 güven aralığını oluşturunuz.

18 ÖRNEK: Varyansı bilinmeyen normal dağılmış bir populasyonun bilmediğimiz ortalaması hakkında %99 güven katsayısı ile bir aralık oluşturmak isteyelim. Bu anakütleden 9 birimlik bir örnek alınıyor ve aşağıdaki değerler elde ediliyor.  5, 8.5, 12, 15, 7, 9, 7.5, 6.5, 10.5 %99 güven aralığını oluşturunuz. n=9 P( 9- 3,355*(3,082)/3<µ<9+3,355*(3,082)/3)=0.99

19 Bağımsız İlişkili 1. Farklı veri kaynakları 1. Aynı veri kaynağı
İKİ ANAKÜTLE ORTALAMASINA İLİŞKİN HİPOTEZ TESTLERİ Normal Dağılım Örnek Hacimleri Küçük Bağımsız ve İlişkili Populasyonlar Bağımsız İlişkili 1. Farklı veri kaynakları İlişkisiz Bağımsız 2. İki örnek ortalaması arasındaki farkın kullanılması 1. Aynı veri kaynağı Eşleştirilmiş Tekrarlı ölçümler 2. Her gözlem çifti arasındaki farkın kullanılması Dn = X1n - X2n Matching Match according to some characteristic of interest. Repeated Measures Assumes the same individual behaves similarly under both treatments except for treatment effect. Any difference will be due to treatment effect.

20 1- ÖRNEKLERİN BAĞIMSIZ OLMASI HALİ
( 1- ÖRNEKLERİN BAĞIMSIZ OLMASI HALİ Populasyonların normal dağılım göstermesi ve Şeklinde populasyon varyanslarının eşit olduğu varsayımı altında Olmak üzere Şeklindeki istatistik t dağılımı gösterir.

21 Ortalamaları ve , varyansları aynı olan iki normal dağılımdan ve gözlemli bağımsız örnekler seçtiğimizi varsayalım. Örnek ortalamaları varyansları sırasıyla olmak üzere iki populasyon ortalaması arasındaki fark için %(1-α)’lık güven aralığı aşağıdaki biçimdedir:

22 Örnek Pınar Et için çalışan bir finansal analistsiniz. İki ayrı kesimhanenin üretim kayıtlarıyla ilgili aşağıdaki verileri topladınız: fab fab2 n Ortalama Std Sapma Populasyonların normal dağılım gösterdiği ve eşit varyans varsayımı altında, iki ortalama arasındaki fark için (1- = 0.95) güven aralığını oluşturunuz. © T/Maker Co.

23 Test İstatistiğinin Hesaplanması
fab1 fab2 n Ortalama Std Sapma Test İstatistiğinin Hesaplanması

24 Belli bir kuş cinsinde erkek ve dişi ağırlıklarının eşit olup olmadığı araştırılmaktadır. Aşağıdaki verilere göre iki ortalama arasındaki fark için %95 güven aralığını oluşturunuz. Populasyon normal dağılımlı ve populasyon varyanslarının eşitliği varsayımı bulunmaktadır. Örnek hacmi(n) ortalama( ) varyans( S2 ) Erkek Dişi

25

26 2-Eşleştirilmiş Örnek t Testi
1. İki ilişkili populasyonun ortalamasını test eder. Çift ya da eşleştirilmiş Tekrarlı gözlemler (önce/sonra) 2. Nesneler arasındaki varyasyonu ortadan kaldırır. 3. Varsayımları İki populasyon da normal dağılımlıdır.

27 İki değişken arasındaki fark d değişkeni ile gösterilmek üzere
Şeklindeki t istatistiği (n-1) serbestlik dereceli t dağılımı göstermek üzere iki ortalama arasındaki fark için güven aralığı aşağıdaki biçimdedir.

28 Eşleştirilmiş Örnek t Testi
İki komisyoncunun aynı evlere farklı fiyatlar verdiği iddia edilmektedir. İddiayı test etmek için 12 ev seçilmiş ve komisyonculardan bu evlere 1000$ bazında fiyat vermeleri istenmiştir. Elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir.İki komisyoncunun aynı evlere verdiği fiyatların ortalaması arasındaki fark için %95’lik güven aralığını oluşturunuz. Komisyoncular Evler A B d d2 1 181.0 182.0 -1.0 1.00 2 179.9 180.0 -0.1 0.01 3 163.0 161.5 1.5 2.25 4 218.0 215.0 3.0 9.00 5 213.0 216.5 -3.5 12.25 6 175.0 0.0 0.00 7 217.9 219.5 -1.6 2.56 8 151.0 150.0 1.0 9 164.9 165.5 -0.6 0.36 10 192.5 195.0 -2.5 6.25 11 225.0 222.7 2.3 5.29 12 177.5 178.0 -0.5 0.25 Toplam -2.0 40.22

29 Eşleştirilmiş Örnek t Testi

30 Örnek: İki ayrı TV program kuşağında 10 ayrı reklam kişilere izlettirilmiş ve 24 saat sonra, iki ayrı kuşaktaki reklamlardan hatırlanma indeksleri elde edilmiştir. Ürün Sabah Kuşağı Akşam Kuşağı 1 137 53 84 7,056 2 135 114 21 441 3 83 81 4 125 86 39 1,521 5 47 34 13 169 6 46 66 -20 400 7 89 25 625 8 157 113 44 1,936 9 57 88 -31 961 10 144 111 23 1,089 Toplam 210 14,202 İki ayrı kuşakta izlenen reklamların hatırlanması indeksleri karşılaştırıldığında sabah kuşağının hatırlanması indeksinin daha yüksek olup olmadığını %95 güven aralığına göre yorumlayınız.

31

32 Örnek: İki ayrı TV program kuşağında 10 ayrı reklam kişilere izlettirilmiş ve 24 saat sonra, iki ayrı kuşaktaki reklamlardan hatırlanma indeksleri elde edilmiştir. Ürün Sabah Kuşağı Akşam Kuşağı 1 137 53 84 7,056 2 135 114 21 441 3 83 81 4 125 86 39 1,521 5 47 34 13 169 6 46 66 -20 400 7 89 25 625 8 157 113 44 1,936 9 57 88 -31 961 10 144 111 23 1,089 Toplam 210 14,202 İki ayrı kuşakta izlenen reklamların hatırlanması indekslerinin ortalamaları arasındaki fark için %90 güven aralığını oluşturunuz.