Bölüm 5: MIMO Kanal Modelleri

... konulu sunumlar: "Bölüm 5: MIMO Kanal Modelleri"— Sunum transkripti:

1 Bölüm 5: MIMO Kanal Modelleri
MIMO Haberleşme Bölüm 5: MIMO Kanal Modelleri

2 MIMO analizlerindeki yaygın varsayımlardan biri kanal matrisinin i. i
MIMO analizlerindeki yaygın varsayımlardan biri kanal matrisinin i.i.d. karmaşık Gauss kazançlara (H = Hw) sahip olduğudur. Gerçek dünyada bu her zaman olmayabilir. Anten çiftlerinden iletilen veya alınan sinyallerin korelasyonu ya da her alıcı antenine gelen sinyalde direk LOS kısmının olması, H ≠ Hw olmasına sebep olur. Anten korelasyonunu ve LOS yayılımının etkilerini içeren H modelleri bulunmaktadır. Bu modeller, MIMO literatüründe çokça bulunmaktadır ve anten korelasyonunun ve Rician sönümlemesinin MIMO kapasitesi üzerindeki etkilerini hesaplamakta kullanılır.

3 5.1 LOS Geometrisinde MIMO Kanalları
Figure 5.1’de iletici ve alıcı antenleri birbirinin LOS’indedir ve kanalda saçılma olmamaktadır. Bu varsayımlarda H için matematiksel bir ifade ve yüksek MIMO kapasitesinin sağlanması için bir kriter gerekmektedir. (normalde uzamsal çoklama için saçılmanın gerekli olduğu varsayılmasına rağmen)

4 Kanalın sinyal üzerinde üç tane etkisi olur:
k’inci iletici anten ile alıcı dizisi arasındaki kanal cevabına, k’inci iletici anten ile ilgili olan imza vektörü (hk) denir (signature vector). Varsayım: 𝐷≫ 𝑑 𝑟 ve 𝐷≫ 𝑑 𝑡 Bu varsayımda alınan sinyal, ϴk açısıyla gelen bir düzlem dalga olarak modellenebilir. Kanalın sinyal üzerinde üç tane etkisi olur: Sinyal, boşluktaki kayıp kadar güçyitirimine uğrar.Boşluktaki güç yitirimi: 𝛼= 4𝜋𝑓𝐷 𝑐 2 D mesafesi sebebiyle ortak bir faz kaymasına sebep olur. Ortak faz kayması: 𝜙= 2𝜋𝐷 𝜆 Alıcıdaki antenler arasında geliş açısı sebebiyle göreli bir faz kayması oluşturur. k’inci iletici antenden r’inci alıcı antende olan göreli faz kayması: 𝜙 𝑟 =− 2𝜋 𝑟−1 sin 𝜃 𝑘 𝑑 𝑟 𝜆 Böylece (5.1), ℎ 𝑘 = 𝑒 −𝑗𝜙 𝛼 1 𝑒 − 𝑗2𝜋 sin 𝜃 𝑘 𝑑 𝑟 𝜆 … 𝑒 − 𝑗2𝜋 𝑁 𝑟 −1 sin 𝜃 𝑘 𝑑 𝑟 𝜆 𝑇 Tam kanal matrisi H, H = 𝐡1𝐡2…𝐡𝑁𝑡 (5.2)

5 Yüksek kapasite kriteri,
D büyük iken ϴk sıfıra yaklaştığında H’nin elemanları aynı değere yaklaşır ve H’nin rank’ı 1 olur. Bu durumda MIMO sisteminin kapasitesi bir SISO sisteminin kapasitesine yaklaşır. LOS konfigürasyonunda H’nin rank’inin büyük olduğu ve maksimum uzamsal çoklamanın mümkün olduğu durumlar var mı? Bitişik iletici antenlerinin imza vektörleri birbirine dik olduğunda, alıcı bu bitişik antenlerden gelen sinyalleri ayrıştırabilir. Böylece birbirine bitişik iki antenden gelen farklı sinyaller aynı bantgenişliğinde iletilebilir. Bu da, tüm bitişik imza vektörlerinin birbirleriyle korelasyonu sıfır olduğunda uzamsal çoklamanın mümkün olabileceğini öne sürmektedir. Yüksek kapasite kriteri, E 𝒉 𝑘+1 𝐻 𝒉 𝑘 = 𝑚=0 𝑁 𝑟 −1 𝑒 𝑗2𝜋 sin 𝜃 𝑘+1 − sin 𝜃 𝑘 𝑚 𝑑 𝑟 𝜆 =0, ∀𝑘=1,…, 𝑁 𝑡 −1

6 𝐸 𝒉 𝑘+1 𝐻 𝒉 𝑘 = 𝑚=0 𝑁𝑟−1 𝑒 𝑗2𝜋𝑚 𝑑 𝑡 𝑑 𝑟 𝜆𝐷 =0
D, dt ve dr’nin pratik değerleri için diklik, küçük ϴk değerlerinde gerçekleşir. Bu varsayımda, sin 𝜃 𝑘 ≈ 𝑘−1 𝑑 𝑡 𝐷 , 𝑘=1,2,…, 𝑁 𝑡 −1 (5.4) 𝐸 𝒉 𝑘+1 𝐻 𝒉 𝑘 = 𝑚=0 𝑁𝑟−1 𝑒 𝑗2𝜋𝑚 𝑑 𝑡 𝑑 𝑟 𝜆𝐷 =0 Bu eşitliğin sağlanması için gereken maksimum D değeri (5.5), 𝐷 𝑚𝑎𝑥 = 𝑁 𝑡 𝑑 𝑟 𝑑 𝑡 𝜆 Yüksek kapasite kriteri, alıcının bitişik iletici antenlerinden gelen sinyalleri ayrıştırabiliyor olmasına dayanır. Bu durum, tüm kanalın tam rank’a sahip olmasını garantilemez. Yani bu kriter, tam rank için gerekli ama yeterli değildir. Buna rağmen, LOS kanalının tam rank’a sahip olup olmadığını belirlemek için kullanışlı bir yoldur. Örnek 5.1: f=3 GHz, dt = dr= 1 m ve 𝑁𝑟 = 4. Tam rank’ın mümkün olduğu maksimum D değeri nedir? Cevap: Dmax = 𝑁𝑟dtdr/λ = Dmax = 𝑁𝑟dtdrf/𝑐 = 4x1x13x109/3x108 = 40 m Saçılımsız LOS ortamında da yüksek rank’a sahip bir kanal ve yüksek uzamsal çoklama kazancı elde etmek mümkün. Ancak, bunun gerçekleşebileceği maksimum haberleşme mesafeleri metrenin onluk katlarını geçmeyen kısa mesafelerdir.

7 5.2 Korelasyonlu Genel Kanal Modeli
MIMO anten çiftleri arasındaki korelasyon özellikleri MIMO kovaryans matrisi R ile ifade edilir, 𝐑≜E vec 𝐇 vec 𝐇 𝐻 vec(H), H’nin sütunlarını üst üste birleştirerek oluşturulan sütun vektörüdür. H = ℎ 11 ℎ ℎ 21 ℎ ℎ 31 ℎ ise, 𝐑=E vec 𝐇 vec 𝐇 𝐻 =E ℎ11 ℎ21 ℎ31 ℎ12 ℎ22 ℎ ℎ 11 ∗ ℎ 21 ∗ ℎ 31 ∗ ℎ 12 ∗ ℎ 22 ∗ ℎ 32 ∗

8 𝐑=E ℎ ℎ 11 ℎ 21 ∗ ℎ 11 ℎ 31 ∗ ℎ 11 ℎ 12 ∗ ℎ 11 ℎ 22 ∗ ℎ 11 ℎ 32 ∗ ℎ 21 ℎ 11 ∗ ℎ ℎ 21 ℎ 31 ∗ ℎ 21 ℎ 12 ∗ ℎ 21 ℎ 22 ∗ ℎ ℎ 32 ∗ ℎ 31 ℎ 11 ∗ ℎ 31 ℎ 21 ∗ ℎ ℎ 31 ℎ 12 ∗ ℎ 31 ℎ 22 ∗ ℎ 31 ℎ 32 ∗ ℎ 12 ℎ 11 ∗ ℎ 12 ℎ 21 ∗ ℎ 12 ℎ 31 ∗ ℎ ℎ 12 ℎ 22 ∗ ℎ 12 ℎ 32 ∗ ℎ 22 ℎ 11 ∗ ℎ 22 ℎ 21 ∗ ℎ 22 ℎ 31 ∗ ℎ 22 ℎ 12 ∗ ℎ ℎ 22 ℎ 32 ∗ ℎ 32 ℎ 11 ∗ ℎ 32 ℎ 21 ∗ ℎ 32 ℎ 31 ∗ ℎ 32 ℎ 12 ∗ ℎ 32 ℎ 22 ∗ ℎ R’nin boyutları (NtNr) x (NtNr)’dır. R’nin elemanları tüm anten çiftlerinin korelasyonlarından oluşmaktadır. Bir A matrisinin karekökü A=A1/2AH/2 olarak tanımlanır. H’yi R cinsinden ifade etmek istersek, g ≜ R-1/2 vec(H) vec(H) = R1/2g g’nin boyutu NtNr x 1’dir. NrxNt boyutlu bir G matrisi tanımlayalım, öyle ki g ≜ vec(G)

9 Böylece, vec(H) = R1/2 vec(G) g’nin kovaryans matrisi Rgg, Rgg ≜ E 𝐠𝐠𝐻 = E R−1/2 vec(H) vec(H)HR−H/2 = R−1/2 E vec(H) vec(H)H R−H/2 = R−1/2 R R−H/2 = R−1/2R1/2 RH/2R−H/2 = I Bu sonuç, G’nin elemanlarının korelasyonsuz olduğunu göstermektedir. G’nin her elemanının farklı iletici ve alıcı anten kombinasyonlarıyla ilişkisi olduğu için, G’nin elemanlarının korelasyonsuz olması G’nin uzamsal olarak beyaz olduğu anlamına gelir.

10 Eğer MIMO kanalı korelasyonsuz ise (𝑹= 𝑰 𝑁 𝑟 ,𝑁 𝑡 ), H = G
Teorem 5.1: H, NrxNt boyutlarında bir kanal matrisidir ve R ≜ E vec 𝐇 vec 𝐇 𝐻 kanalın kovaryans matrisini ifade etmektedir. Kanal matrisi H ile R arasındaki ilişki şu şekildedir, vec(H) = R1/2 vec(G) (5.14) G burada uzamsal olarak beyazdır (E 𝐆 𝑖𝑗 𝐆 𝑚𝑛 = 𝛿 𝑖,𝑚 𝛿 𝑗,𝑛 ) ve boyutları NrxNt’dir. Eğer MIMO kanalı korelasyonsuz ise (𝑹= 𝑰 𝑁 𝑟 ,𝑁 𝑡 ), H = G Rayleigh sönümlenmesi varsa H kompleks Gauss dağılımlıdır G’de kompleks Gauss dağılmlıdır. H, Rayleigh ise vec(H) = R1/2 vec(Hw) Kanal korelasyonsuz ise, H = Hw

11 5.3 Kronecker Kanal Modeli
5.14 denklemindeki modelin avantajları genel olarak uygulanabilirliği ve korelasyonun etkilerini içermesidir. Ancak, R’yi karakterize edebilmesi için (NtNr)2/2 özgün korelasyon değerine ihtiyaç olduğu için karmaşık bir modeldir. Daha basit olan Kronecker modelinde tek bir kovaryans matrisi kullanmak yerine hem alıcı hem iletici için ayrı kovaryans matrisleri kullanılmaktadır, 𝐑 𝐭 = 𝜌 𝑡 1,1 … 𝜌 𝑡 𝑁 𝑡 ,1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜌 𝑡 𝑁 𝑡 ,1 … 𝜌 𝑡 𝑁 𝑡 , 𝑁 𝑡 (5.17) 𝐑 𝐫 = 𝜌 𝑟 1,1 … 𝜌 𝑟 𝑁 𝑟 ,1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜌 𝑟 𝑁 𝑟 ,1 … 𝜌 𝑟 𝑁 𝑟 , 𝑁 𝑟 (5.18) 𝜌 𝑡 𝑚,𝑗 =𝐸 ℎ 𝑘,𝑗 ℎ 𝑘,𝑚 ∗ , 𝑘=1,…, 𝑁 𝑡 (5.19) 𝜌 𝑟 𝑖,𝑛 =𝐸 ℎ 𝑖,𝑘 ℎ 𝑛,𝑘 ∗ , 𝑘=1,…, 𝑁 𝑟 (5.20) Hermitian matrisler

12 𝜌 𝑡 𝑚,𝑗 = 𝜌 𝑡 𝑗,𝑚 ∗ ve 𝜌 𝑟 𝑖,𝑛 = 𝜌 𝑟 𝑛,𝑖 ∗
Rt’nin elemanları, tüm iletici anten çiftlerinin alıcı k’daki korelasyonlarıdır. Rr’nin elemanları, iletici k’dan sinyal iletildiğinde tüm alıcı anten çiftlerinin korelasyonlarıdır. Rr ve Rt matrislerinin üst ve alt yarıları birbirlerinin karmaşık eşleniğidir, 𝜌 𝑡 𝑚,𝑗 = 𝜌 𝑡 𝑗,𝑚 ∗ ve 𝜌 𝑟 𝑖,𝑛 = 𝜌 𝑟 𝑛,𝑖 ∗ Kronecker modelinde korelasyonların k’dan bağımsız olduğu varsayılır. Teorem 5.2: Kovaryans matrisleri Rr ve Rt’nin denklemlerine göre tanımlandıklarını varsayalım. G, NrxNt uzamsal beyaz bir matris olsun (E 𝐆 𝑖𝑗 𝐆 𝑚𝑛 = δi,mδj,n), H = Rr1/2GRtH/2 ↔ R = Rr RtT ↔: sadece ve sadece : Kronecker çarpımı İspat: Appendix B 1.9.1(o): Kronecker çarpımı tanımı

13 Bu teoremin özelliği, tam kovaryans matrisi Kronecker çarpımı şeklinde yazılabildiği sürece G’nin beyaz olmasıdır. Pratikte kanallar Kronecker özelliğini taşımaktadır. Kronecker modelini ilk öne süren makale Kermoal et al. tarafından 2002’de yazılmıştır. Bu makalede Kronecker modelini çeşitli pikohücre ve mikrohücre kapalı mekanlarda ölçümler yaparak doğrulamıştır. Stridh et al. da kapalı mekan yayılım ölçümleri yaparak MIMO kanal kovaryans matrisinin Kronecker modeli ile hesaplanabileceğini göstermiştir.

14 G beyaz olduğunda ve G’nin elemanları Rayleigh sönümlemeye uğradığında (G’nin elemanları karmaşık Gauss) Kronecker modeli, H = Rr1/2HwRtH/2 İletici ve alıcıdaki sinyaller korelasyonsuz olduğunda, H = Hw olur. Kronecker modelinde, tam kovaryans matrisinin karmaşıklığı genel modeldeki (NtNr)2/2 korelasyon değerinden (Nt2 + Nr2)/2 korelasyon değerine düşmektedir. Kronecker modeli genelde tüm MIMO literatüründe kullanılmaktadır ve 3rd Generation Partnership Project (3GPP)’de performans karakterizasyonu ve modellemesi için resmi link seviyesi kanal modeli olarak seçilmiştir.

15 5.4 Anten Korelasyonunun MIMO Kapasitesi Üzerindeki Etkisi
Kronecker modelini kullandığımızda, H = Rr1/2HwRtH/2 Sadece CSIR varsaydığımızda, 𝐶= log 2 det 𝐈+ 𝜌 𝑁𝑡 𝐇𝐇𝑯 𝐶= log 2 det 𝐈+ 𝜌 𝑁𝑡 Rr1/2HwRtH/2Rt1/2HwHRrH/2 𝐶= log 2 det 𝐈+ 𝜌 𝑁𝑡 Rr1/2HwRtHwHRrH/2 lim 𝜌→∞ 𝐶= log2det 𝜌 𝑁𝑡 HwHwH+log2det Rt+log2det Rr

16 △C = -log2det Rt - log2det Rr (5.28)
E 𝐇 𝑖𝑗 2 = 1 olduğunda, det(Rr) ve det(Rt) ≤ 1 olur. Bu durumda eşitlik sadece korelasyon matrisleri köşegen (antenler korelasyonsuz) olduğunda gerçekleşir. Kapasite azalması △C, △C = -log2det Rt - log2det Rr (5.28) Örnek 5.2: 2x2 MIMO sisteminde alıcıdaki antenlerde korelasyonun olduğunu ve ileticideki antenlerde korelasyon olmadığını düşünelim. Böylece Rt = 𝐈𝑁𝑡 ve Rr = 1 𝜌 𝑟 𝜌 𝑟 ∗ 1 𝜌𝑟 = 0.8 olduğunda bu korelasyonun sebep olduğu kapasite azalması nedir? Cevap: △C = log2det Rr = log2 1− 𝜌𝑟 2 = log2 1−0.64 = log = bps/Hz

17 Rayleigh sönümlemede çalışan 4x4 MIMO sisteminin ergodik kapasitesi vs 𝜌𝑟 :
Korelasyon 0.5’ten az olduğunda kapasite azalımının az olduğu görülüyor. Denklem 5.28’e göre 𝜌𝑟 = 0.9 olduğunda kapasite azalımı 8.1 bps/Hz ve 𝜌𝑟 = 0.5 olduğunda kapasite azalımı 1.7 dB oluyor. SNR=10 dB olduğunda bu tahmin edilen değerlerin Figure 5.2’deki değerlerden daha fazla olduğu görülüyor. Bunun sebebi denklem 5.28’in 𝜌 büyük olduğu zaman (𝜌≳30 dB) geçerli olmasıdır. Küçük 𝜌 için tahmin edilen kapasite azalımı gerçekteki değerinden daha büyük olur. Bu sebepten ötürü denklem 5.28 kapasite azalımında bir üst limit olarak değerlendirilmelidir.

18 5.5 Rt ve Rr’nin Anten Aralığı ve Saçılma Açısına Bağlı Olması
Antenler arası mesafe ya da saçılma açısı arttıkça Rt ve Rr daha köşegen (antenler daha korelasyonsuz) hale gelir. Antenler birbirine yaklaştıkça elektromanyetik bağlaşım artar ve birbirinden ayrı antenlerle ilgili kanal yolları arasındaki farklar azalır. Bu durum, yan yana olan antenler arasındaki korelasyonu arttırır. Buna ek olarak, radyo dalgalarının alıcıya geliş açısı (angle-of-arrival, AoA) arttıkça: çokyolluluk sinyalin farklı antenlerde farklı gözükmesine sebep olur. AoA=0° olduğunda sinyal, alıcı dizisine dik yol alan bir düzlem dalga olarak gelir. Bu durum gerçekleştiğinde, her alıcı antenindeki sinyal aynı olur ve antenler tamamen korelasyonlu olur. Benzer bir mantık ile AoD sıfıra yaklaştığında ileticideki sinyaller de tamamen korelasyonlu olur. AoA=AoD=0 ° durumu 5.1’de anlatılan LOS geometrisi analizidir.

19 Saçılmış enerji alıcıya bir açı aralığında düzgün dağılımlı gelirse,
Bu durumda, S rasgele yerleştirilmiş saçıcı alıcının yakınında konumlanmıştır ve enerji ileticiden ϴr ile ifade edilen bir açı aralığında alıcıya ulaşmaktadır. Bu varsayımda, 𝑹 𝒓 𝜃 𝑟 , 𝑑 𝑟 𝑚,𝑘 = 1 𝑆 𝑖=(𝑆−1)/2 (𝑆−1)/2 𝑒 −𝑗2𝜋 𝑘−𝑚 𝑑𝑟 cos 𝜋 2 + 𝜃 𝑟,𝑖 ϴ r,i , i’nci saçıcıdan alıcı dizisine olan açıyı ve 𝑑𝑟 alıcı antenleri arasındaki mesafeyi ifade eder.

20 Belirli bir anten mesafesi için saçılma açısı arttıkça ya da belirli bir saçılma açısı için antenler arası mesafe arttıkça Rr ‘nin köşegenleşmesi artar (köşegen olmayan elemanların ortalama değerleri azalır). ϴr ve dr küçüldükçe det(Rr ) azalır. Bu da, yüksek bir kapasite azalmasına sebep olur.

21 5.6 İğnedeliği Saçılımı MIMO iletici ve alıcıları yerel saçıcılar tarafından çevriliyken, iletici ve alıcı dizilerinin arasındaki yolun küçük bir açıklık dışında kapalı olduğu zaman gerçekleşir. Bu durum, kapalı mekanda bulunan cep telefonlarının ya da kullanıcı ekipman (user equipment) cihazlarının baz istasyonu ile iletişim kurmaya çalışmasıyla olabilir. Bu durumda, eğer duvarlar sinyalin girmesi için geçirgen değilse, alıcı ve verici arasındaki RF enerjisinin çoğu pencere ya da kapı gibi küçük açıklıklardan geçecektir.

22 İleticinin yakınındaki saçılmanın iletici dizisi ve açıklık arasında bir LOS yolu oluşmasını engellediğini varsayıyoruz. Böylece her iletici anteninden iğnedeliği açıklığına olan kanal cevabı Rayleigh olur. İğnedeliği açıklığından her alıcı antenine olan kanal cevabı da Rayleigh olur. İletilen sinyal vektörü 𝐬= 𝑠1,𝑠2,…, 𝑠 𝑁 𝑡 𝑇 ve j’inci iletici anten ile iğnedeliği açıklığı arasındaki kanal cevabı hj ise, iğnedeliğinde alınan sinyal rp, 𝒓 𝑝 = ℎ 1 , ℎ 2 ,…, ℎ 𝑁 𝑡 𝒔= 𝐡 𝐭 𝐬

23 İğnedeliği açıklığıyla i’inci alıcı anten arasındaki kanal cevabına fi dersek, alıcı dizsinde alınan sinyal vektörü r = 𝑟1,𝑟2,…,𝑟𝑁𝑡 𝑇 , 𝐫= 𝑓1 𝑓2 ⋮ 𝑓𝑁𝑟 rp = 𝐡𝒓𝐡𝒕s 𝐡𝒓 ≜ 𝑓1,𝑓2,…,𝑓𝑁𝑟 𝑇 Genel iğnedeliği açıklığı kanal cevabı Hp, Hp = 𝐡𝒓𝐡𝒕 𝐡𝒓 ve 𝐡𝒕 bağımsız Rayleigh vektörleri oldukları için genel iğnedeliği kanalının istatistikleri çift (double) Rayleigh’dir.

24 İğnedeliği kanalı, rank’i 1 olan bir MISO kanalı ile bu kanalı takip eden rank’i 1 olan bir SIMO kanalından oluşmaktadır. İğnedeliği, kanalın serbestlik derecesini düşürdüğü için bir Rayleigh kanala göre kapasitenin daha düşük olmasına sebep olur.

25 5.7 LOS Kanal Modeli Rician sönümlemenin etkilerini yansıtır.
Kanal matrisi, H = 𝐾 1+𝐾 HLOS 𝐾 Hw Hw : Kanal matrisinin saçılım sebebiyle oluşan kısmıdır. Elemanları i.i.d. karmaşık Gaus ve herbiri sıfır ortalamaya ve 1’e eşit varyansa sahiptir. HLOS : Kanal matrisinin LOS yayılımı sebebiyle oluşan kısmı. 5.1 ve 5.2 denklemlerindeki özelliklere sahiptir. Rician K faktörü → 0, H → Hw Rician K faktörü → ∞, H → HLOS

26 Haberleşme yol uzunluğu iletim anteni dizisinin ebatından daha büyükse, Rician K faktörü arttıkça MIMO kapasitesi azalır. Bu varsayımda Figure 5.1’de ϴ1≅ ϴ2≅... ≅ϴNt olur ve de H’nin sütunları neredeyse birbirine eşit olur. Kanalın rank’ı 1’e yaklaşır ve kapasite azalır.

27 4x4 MIMO sistemi ergodik kapasitesi vs Rician K faktörü:
Ergodik kapasite K ile monoton olarak azalıyor ve bir asimptota yaklaşıyor. K=0’daki sönümleme Rayleigh sönümlemesidir.

28 Asimptotun sebebi K faktörü → ∞, H → HLOS
Asimptotun sebebi K faktörü → ∞, H → HLOS. H’nin tüm elemanlarının 1 olduğunu varsaydığımızda kanal rank’ı 1 olur. Sadece CSIR varsaydığımızda anlık kapasite log2(1+(ρ/Nt)λ) ve λ tek özdeğer olur. Matris Teoremi (p)’den Tr(HHH) = λ. H sırf 1’lerden oluştuğu ve HHH’nin boyutu NtxNr olduğu için λ = NrNt olur. Yani Figure 5.8’deki asimptotik kapasite = log2(1+ρNr) ρ = 10 dB ve Nr = Nt = 4 olduğunda asimptotik kapasite = log2(1+ρNr) = 5.4 bps/Hz. Bu değerin Figure 5.8’den hesaplanan 5.6 bps/Hz değerinden farklı olma sebebi ergodik kapasitenin ortalama bir değer olması ve kapasite formülünün anlık bir değer olmasıdır.