DERS 2 SAYI DÜZENLERİ.

DERS 2 SAYI DÜZENLERİ

İÇERİK Tarihçe Onluk sayı sistemi İkilik sayı sistemi
Onluk/ikilik dönüşümleri İkilik sayı sisteminde toplama İkilik sayı sisteminde doğrudan çıkarma İkilik sayı sisteminde tümleyen aritmetiği ile çıkarma İkilik sayı sisteminde çarpma İkilik sayı sisteminde bölme Sekizli ve Onaltılı sayı sistemleri

TARİHÇE Sayı ve sayma kavramının başlangıcı belirsiz
Sümerler sayma işlemini kullanmışlar Günümüz rakam şekilleri MS 400 de Hindistan’da geliştirilmiş Bu rakamlar sonrasında müslümanlar tarafından da benimsenmiş Ebu Abdullah bin Musa El Harzemi (MS ) ‘Cebir ve denklem hesabı hakkında özetlenmiş kitap’ adlı kitabıyla: Sıfır sayısını Onluk sayı sistemini tanıttı

Onluk Sayı Düzeni Onluk sayı düzeninde on değişik sembol rakamsal büyüklükleri tanımlamak için kullanılır. Bunlar:

Onluk Sayı Düzeni Onluk sayı düzeninde, sayının en sağdaki rakamı en düşük, en soldaki rakamı da en yüksek değeri ifade edecek şekilde düzenlenmiştir. Burada sayının her bir basamağı ile ifade edilen büyüklük aşağıdaki yaklaşımdaki gibi 10 değerinin üstsel katları olarak belirlenir. ^ ^ ^ ^ ^0 basamak

Onluk Sayı Düzeni Buna göre her bir rakamın sayı içerisinde ifade ettiği değer: ilgili rakam ile o rakamın belirlediği basamak değerinin büyüklüğü- nün çarpımı olarak belirlenir. Buna göre bir sayı ile ifade edilen değer: ilgili sayı içerisindeki her bir rakamın ifade ettiği değerlerin toplamı olarak belirlenir.

Onluk Sayı Düzeni ÖRNEK: 3954 sayısı ile ifade edilen değer
3x x x10 + 4x olarak hesaplanır. 10 tabanında tanımlanmış sayısal değerler yaygın olarak kullanıldıkları için tabanın 10 olduğunu belirlemede özel bir notasyon kullanılmamaktadır.

Diğer Sayı Düzenleri Kullanılan başka sayı düzenleri de vardır.
Bunlarda da onluk sayı düzenindeki gibi basamak ağırlıklarının soldan sağa doğru azalması ve basamak değerlerinin ilgili tabanın basamak sırasının üstsel kuvveti olarak düzenlenmesi prensibi kullanılır.

İkili Sayı Düzeni İkili sayı düzeninde kullanılan rakamlar:
0 ve 1 olarak tanımlıdır. İkili sayı sistemi bilgisayar uygulamalarında iki farklı lojik seviye kullanım ihtiyacını karşıladığı için yaygın olarak kullanılır.

İkili Sayı Düzeni İkili sayı düzeninde her bir basamağa BİT adı verilmektedir. Dolayısıyla en sağdaki basamağa en düşük anlamlı bit (DAB-LSB) en soldaki basamağa en yüksek anlamlı bit (YAB-MSB) adı verilir. İkilik (binary) sayılar: 0b 1111 b’1111’ (PIC işlemci notasyonu) % 1111 11112 farklı biçimlerinde gösterilirler

İkilik – Onluk Dönüşümü
Aynı onluk düzende olduğu gibi her bir basamağın ifade ettiği değer ile ilgili basamağın sayısal değerleri çarpılıp toplanarak elde edilirler. Örnek: İkilik düzende sayısının onluk düzende karşılığını hesaplayalım. 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 23 olur

Onluk-İkilik Dönüşümü
ARAMA YÖNTEMİ Sayı içerisinde ikinin kuvvetini armaya dayanır. 23 sayısı için; 23 – 32 = -11 YOK => 0 23 – 16 = 7 VAR => 1 7 – 8 = -1 YOK => 0 7 – 4 = 3 VAR => 1 3 – 2 = 1 VAR => 1 1 – 1 = 0 VAR => 1 veya ikilik düzendeki karşılığı elde edilir.

Onluk-İkilik Dönüşümü
BÖLME YÖNTEMİ Sayı Sürekli 2’ye bölünür ve kalanın 1 yada 0 oluşuna bakılarak basamaklar belirlenir KALAN 23/2 = VAR => 1 11/2 = 5 1 VAR => 1 5/2 = 2 1 VAR => 1 2/2 = VAR => 0 1/2 = VAR => 1 10111 ikilik düzendeki karşılığı

İkilik Tabanda İşlemler: TOPLAMA
Aynı onluk tabanda uygulanan kurallar uygulanır. Tek fark her basamaktaki toplama sırasında elde değerinin 10 yerine 2 sayısına ulaşmasıdır. 0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 0 ve de elde 1

İkilik Tabanda İşlemler: TOPLAMA
Örnek: 11001 101110

İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA
Aynı onluk tabanda uygulanan kurallar uygulanır. Farklı olarak tümleyen aritmetiğine göre yapılan çıkarma işlemi de tanımlıdır.

DOĞRUDAN ÇIKARMA: 0-0 = 0 1-0 = 1 1-1 = 0 0-1 = 1 ve de borç 1

Örnek: % - % %

TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA: Çıkarma işleminde kalanın sıfır veya sıfırdan büyük olması durumunda doğrudan çıkarma basamakları uygulanırken aksi durumda problem çıkmaktadır. Bu problemi daha pratik olarak çözmek için toplama işlemi şeklinde tanımlı çıkarma işlemi yaklaşımı mevcuttur. Buradaki yaklaşım belli sayıda basamak ile ifade edilen bir sayının alabileceği en büyük değere 1 sayısının ilave edilmesi durumunda sayının değerini (ama elde 1 ile) alması özelliğini kullanmaktır.

TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ Yani,
bir a sayısına 1 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa a sayısının değeri -1 miş veya bir a sayısına 2 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa a sayısının değeri -2 miş bir a sayısına 3 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa a sayısının değeri -3 müş gibi bir yaklaşım kullanılır.

TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ O zaman: 0 sayısından sonra + sayılar sıralanır
0 sayısından önce – sayılar sıralanır Tüm sayılar bir silindir üzerinde sıralı olarak düşünülürse (otomobil km sayacı gibi) en büyük sayıdan sonra tekrar en küçük sayıya dönülür Maksimum sayıda + ve – sayıyı ifade etmek için silindiri ortadan ikiye bölelim Sonuç: (1 ) - (2N-1–1) arası sayılar pozitif (2N-1–1 adet) (2N-1) - (2N ) arası sayılar negatif (2N-1 adet)

TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ Sonuç DEVAM:
Tüm pozitif sayılar işaretsiz gösterimleri ile aynıdır Tüm pozitif sayılar için MSB 0 olur 0 hariç iken en büyük pozitif sayı 2N-1-1 olur (2N/2-1) Tüm negatif sayılar için MSB 1 olur En küçük negatif sayı -2N-1 (2N/2-1+1) Dolayısıyla MSB işaret biti olarak anılır Küçük + sayılarda MSB sağında 0 çoktur Küçük – sayılarda MSB sağında 1 azdır Büyük + sayılarda MSB sağında 0 azdır Büyük – sayılarda MSB sağında 1 çoktur

TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ Sayının işaretini değiştirmek için
Sayının tümleyeni hesaplanır (1’e tümleme) Sayının tümleyenine 1 sayısı eklenir (2’ye tüm)

TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA
Örnek: % + % % 00001 ve sayılarına birbirlerinin 2’ye (tabana) göre tümleyeni adı verilmektedir. Benzer şekilde ve sayıları da aynı özelliği gösterirler.

Bu yaklaşım göz önünde bulundurularak tümleyen aritmetiği ile çıkarma işleminde, çıkarılacak sayının çıkarılması yerine bu sayının 2’ye (yani taban değerine) tümleyeni kendisinden çıkarılacak sayıya eklenir. Dolayısıyla çıkarma işlemi toplama işlemi şeklinde tanımlanmış olur.

Örnek: Onluk tabanda 0008 sayısından 0003 sayısını çıkaralım. 0003 => 9997 sayının tabana (10) göre tümleyeni Tabana göre tümleyen ile sayının toplamı aynı sayıda basamak üzerinden 0 sonucunu verir. = olur (4 basamak için doğru) O zaman = 0 => = 9997 olur. 0008 – 0003 = = Bu ne demek?

Yani sonuç 0005 olarak bulunur. Ancak bu değerin düzenlenmesi gerekebilir. Bu işlem sonucundaki elde bitine İŞARET BİTİ adı verilir ve sonuç bu bite göre düzenlenir. Eğer işaret biti 1 ise sonuç + dır ve aynı bırakılır Eğer işaret biti 0 ise sonuç – dir ve düzenlenir. NEDEN?

4 bit ile 0-15 arası tamsayıları ifade etmek mümkün olabilir:

Yada alternatif olarak –8 ile 7 arası tamsayılar da ifade edilebilirler:

Burada 10 tabanında gösterildiği gibi 2 tabanına göre tümleme kabulü yapılmaktadır. = = = = = = =

İkilik düzende bir sayının tabana tümleyeni için Sayının 1’e tümleyeni hesaplanır Elde edilen sayıya 1 değeri eklenir ÖRNEK: verilen sayı % 10111 1’e tümleyeni % 01000 2’ye tümleyeni % 01001

ÖRNEK: % - % % ’in 1’e tümleyeni % ’in 2’ye tüm. Yani % + % ’in 2’ye tüm. % elde işaretsonuç

ÖRNEK devam: İşaret biti 1 yani negatif olduğu için sonucun düzenlenmesi gerekir. Bunun için de sonucun 2’ye tümleyeninin hesaplanması gerekir. % 11100 % 00011 % => 4 yani -4 sayısı elde edilir.

TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ (KISACA)
2’lik tabandaki bir sayının, 1’e tümleyenini bulmak için: 0’lar 1, 1’ler ise 0 yapılır. 2’e tümleyenini bulmak için ise: 1’e tümleyenine 1 eklenir. Not: Bir sayının 2’ye tümleyeni, o sayının negatifidir. 10001 sayısının 1’e tümleyeni: 01110 2’ye tümleeni: 01111

TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA (KISACA)
1. Çıkarma işlemini toplamaya çevirerek işlem yapmak için alttaki negatif sayının 2’ye tümleyeni alınır. 2. 2’ye tümleyeni alınan sayı ile pozitif sayı toplanır. 3. Toplama sonucunda elde varsa elde atılır. 4. Toplama sonucunda elde yoksa 2’ye tümleyeni alınır ve önüne (-) konulur.

sayısının 1’e tümleyeni: 2’ye tümleyeni: 100101 → elde olduğundan (elde=1) sonuç pozitiftir (010100)

sayısının 1’e tümleyeni: 2’ye tümleyeni: 100110 → elde olmadığından sonuç negatiftir. sayısının 1’e tümleyeni: ve 2’ye tümleyeni: ve negatif (000011) 2 = (-3)10 Elde olduğundan (1) sonuç pozitif (010100)

İkilik Tabanda İşlemler: ÇARPMA
Onluk tabanda tanımlanmış yöntemlerin benzerleri geçerlidir. Bunlar: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Taban ile çarpma (2 ile) bir bit sola kayma olarak tanımlanır

İkilik Tabanda İşlemler: ÇARPMA
ÖRNEK: %101 ve %10 sayılarının çarpımını hesaplayalım. 101 x 10 000 + 101 1010

İkilik Tabanda İşlemler: BÖLME
Onluk tabanda tanımlanmış yöntemlerin benzerleri geçerlidir. Taban ile bölme (2 ile) bir bit sağa kayma olarak tanımlanır. ÖRNEK: 1010 : 11 veya 10 tabanında 10 : 3 100 1

Sekizli Sayı Düzeni Sekizli sayı düzeninde kullanılan rakamlar:
olarak tanımlıdır. Sekizli düzende verilen sayılar: 0o 7777 & 7777 77778 biçimlerinde gösterilirler

Sekizli Sayı Düzeni İkili sayı sisteminde ifade edilen sayıların büyük olması durumunda gösterimleri çok uzun olabilmektedir. Bu problemi gidermek üzere kullanılan yaklaşımlardan biri sekizli sayı sistemini kullanmaktır. Bunun avantajı ikili sistemle dönüşümlerin pratik oluşudur.

İkili/Sekizli Taban Dönüşümleri
İkili sayı düzeninde verilen bir sayının bitleri 3lü gruplar halinde düzenlenir. Bu 3lü grupların her birinin ifade ettiği sayılar sağdan sola doğru yazıldıklarında ikili sayı düzeninden sekizli sayı düzenine dönüşüm gerçeklenir. Sekizliden ikili sayı düzenine dönüşüm de benzer adımlar ters sırada yapılarak elde edilir.

İkili/Sekizli Taban Dönüşümleri
ÖRNEK: % sayısını sekizli sayı düzeninde gösterelim. => = 5928 => 1x4096+3x512+4x64+5x8=5928

Onaltılı (Hexadecimal) Sayı Düzeni
Onaltılı sayı düzeninde kullanılan rakamlar: A B C D E F olarak tanımlıdır. Burada: A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15 değerlerini ifade ederler. Onaltılı düzende verilen sayılar: 0x FFFF (PIC işlemci notasyonu) h’FFFF’ (PIC işlemci notasyonu) $ FFFF FFFF16 veya FFFFh biçimlerinde gösterilirler

İkili/Onaltılı Taban Dönüşümleri
İkili sayı düzeninde verilen bir sayının bitleri 4lü gruplar halinde düzenlenir. Bu 4lü grupların her birinin ifade ettiği sayılar sağdan sola doğru yazıldıklarında ikili sayı düzeninden onaltılı sayı düzenine dönüşüm gerçeklenir. Onaltılıdan ikili sayı düzenine dönüşüm de benzer adımlar ters sırada yapılarak elde edilir.

DERS 2 SAYI DÜZENLERİ SON –
Kaynaklar: 1) An Introduction to Digital Signal Processors, Bruno Paillard 2) Mikroişlemciler Mikrobilgisayarlar, Eşref Adalı, ISBN

DERS 2 SAYI DÜZENLERİ.

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "DERS 2 SAYI DÜZENLERİ."— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

DERS 2 SAYI DÜZENLERİ.

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "DERS 2 SAYI DÜZENLERİ."— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim