Asimetri ve Basıklık Ölçüleri

... konulu sunumlar: "Asimetri ve Basıklık Ölçüleri"— Sunum transkripti:

1 Asimetri ve Basıklık Ölçüleri
Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri

2 Asimetri ve Basıklık ölçüleri
Asimetri ve basıklık ölçüleri bir serideki gözlem değerlerinin dağılımının şeklini ortaya koyan ölçülerdir. Bu ölçüler yorumlanırken normal dağılım özellikleri dikkate alınır. Normal dağılım eğrisi simetrik ve normal bir basıklığa sahiptir. Asimetri ölçüsü serinin frekans dağılımının simetrik dağılımdan uzaklaşma derecesini gösterirken, basıklık ölçüsü verilerin normal dağılıma göre ortalama etrafında ne kadar yoğun bir şekilde dağıldığını gösteren ölçülerdir. Asimetri ölçüsünün işaret büyüklüğü verinin çarpıklığının yön ve şiddetini gösterirken, basıklık ölçüsünün büyüklüğü verilerin ortalama civarında aşırı yoğunlaştığına, küçüklüğü ise verilerin ortalamaya etrafında fazla dağınık olduğuna işaret etmektedir.

3 1- Ortalamalara Dayanan (Pearson) Asimetri Ölçüleri
Bilindiği gibi asimetrisi hafif bir serilerde ortalamalar arasında aşağıdaki gibi bir ilişki söz konusudur. Bu ilişkinin her iki tarafı standart sapmaya oranlandığında iki asimetri ölçüsü elde edilir. As = 0 ise seri simetrik As > 0 ise seri sağa çarpık As < 0 ise seri sola çarpık olarak nitelendirilir.

4 Yukarıdaki asimetri ölçülerinden daha çok birincisi kullanılır
Yukarıdaki asimetri ölçülerinden daha çok birincisi kullanılır. Modun hesaplanamadığı durumlarda ikinci formül kullanılarak asimetri belirlenir. Bu asimetri ölçüsü ±1 e yaklaştıkça çarpıklık kuvvetli hale gelirken, 0,5 e yaklaştıkça orta şiddette 0’a yaklaştıkça hafif şiddette çarpıklık söz konusu olur. Sağa çarpık durumda gözlem değerlerinin büyük bir kısmı modun sağında, sola çarpık durumda ise solunda yer alacaktır. Diğer bir deyişle sağa çarpık serilerde aritmetik ortalama sağa doğru (büyük değerler yönüne) kayarken, sola çarpık serilerde aritmetik ortalama sola (küçük değerler yönüne) kayma göstermektedir.

5 Örnek : X marka piller için yapılan ömür testinde, 150 pil tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir. Pearson asimetri ölçülerini bulup sonucu yorumlayınız. Ömür (saat) Pil sayısı mi fimi fimi2 10 110 1100 121000 50 130 6500 845000 60 150 9000 20 170 3400 578000 190 1900 361000 Toplam 21900 Pearson asimetri ölçülerini elde edilebilmesi için serinin aritmetik ortalaması, standart sapması, mod ve medyanının bilinmesi gerekir.

6 Aritmetik ortalama Kareli ortalama
Standart sapma Mod Medyan

7 Serinin şeklinin Histogram ve frekans poligunu ile gösterimi

8 2) Kartillere Dayanan (Bowley) Asimetri Ölçüsü
Simetrik serilerde Q3-Q2 = Q2-Q1 olduğu bilinmektedir. Eğer Q3-Q2 > Q2-Q1 ise serinin sağ tarafında bir yoğunlaşma olduğu, aksi halde sol tarafta bir yoğunlaşma olduğu söylenebilir. Bu durumu daha iyi ortaya koymak için Bowley tarafından geliştirilen aşağıdaki asimetri ölçüsü kullanılabilir. As = 0 ise seri simetrik As > 0 ise seri sağa çarpık As < 0 ise seri sola çarpık olarak nitelendirilebilir. Bu ölçü sıfıra yaklaştıkça asimetri hafifler ±1 e yaklaştıkça asimetri kuvvetli hale gelir.

9 Örnek: Yukarıdaki pillerin ömür deneyi örneği için Bowley asimetri ölçüsünü bularak sonucu yorumlayınız. Q1için Q2 için Ömür fi fi 100–120 10 120–140 50 60 140–160 120 160–180 20 140 180–200 150

10 Kutu Grafiği (Box Plot)
Kutu grafikleri kartillere dayanan grafiklerdir. Bir serinin simetrik olup olmadığını, verilerdeki değişkenliği ve aşırı değerler olup olmadığını görsel olarak ortaya koymak için oluşturulan grafiklerdir. Bu grafikler farklı kategorilerdeki değerler için ayrı ayrı paralel olarak çizilerek bu kategorilerdeki değerlerin dağılımlarının karşılaştırılması amacıyla da kullanılır.

11 Kutu Grafiği (Box Plot) Çizimi

12 Örnek Aynı eğitim seviyesindeki bayanların bir çarpma işlemini yapma sürelerinin (saniye cinsinden) dağılımı aşağıda verilmiştir. Buna göre işlem sürelerinin dağılımı için kutu grafiğini çizip yorumlayınız. 34

13 İşlem süreleri için kutu grafiği
Yukarıdaki örnekte bayanların çarpma işlemini yapma sürelerinin dağılımının kutunun sol kısmının daha büyük olması sebebiyle sola çarpık olduğu söylenir. Ayrıca veride bir tane sapan değer olduğu, aykırı değer olmadığı görülmektedir.

14 3. Momentlere Dayanan Asimetri ve Basıklık Ölçüleri
Moment Tanımı ve Çeşitleri : Moment bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan veya aritmetik ortalamadan farklarının kuvvetlerinin aritmetik ortalamasıdır. Bu ölçüler serinin frekans dağılımının şeklinin belirlenmesinde kullanılan ölçülerdir. Bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamasına sıfıra göre moment adı verilir. Sıfıra göre moment “Mr“ şeklinde yazılır. Burada “r” momentin derecesi olup, fark alma işleminin derecesini gösterir. Buna göre sıfıra göre momentler şöyle formüle edilir.

15 2.moment ise kareli ortalamanın karesine
Burada r = 1,2,3,4 değerlerini alır. Asimetri ve basıklık için daha üst derecelerde momentler gerekli değildir. Sıfıra göre 1.moment aritmetik ortalamaya 2.moment ise kareli ortalamanın karesine eşittir. Sıfıra göre momentleri kullanarak asimetri ve basıklık ölçüsünü elde etmek mümkün değildir. Asimetri ve basıklık ölçüleri aritmetik ortalamaya göre momentler yardımı ile elde edilebilir. Ancak sıfıra göre momentler kullanılarak aritmetik ortalamaya göre momentler elde edilebilir.

16 Aritmetik Ortalamaya Göre Momentler
Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamalardan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamalarına aritmetik ortalamaya göre momentler adı verilir. Aritmetik ortalamaya göre momentler “r” şeklinde gösterilir. Burada “r” momentin derecesi olup 1,2,3,4 değerlerini alır. Aritmetik ortalamaya göre momentler şöyle yazılır.

17 r =2 için 2 = 2 yani varyans olur.
r =1 için 1 = 0 olur r =2 için 2 = 2 yani varyans olur. 3.1. Momentlere Dayanan Asimetri Ölçüsü (3) Momentlere dayanan asimetri ölçüsü (3), asimetrik ortalamaya göre 3. momentin standart sapmanın küpüne oranlanması ile elde edilir. olup 3 = 0 ise seri simetrik 3 > 0 ise seri sağa çarpık 3 < 0 ise seri sola çarpık olmaktadır. 3 için bir üst sınır olmamakla birlikte olursa asimetrinin kuvvetli olduğu kabul edilir.

18 3.2. Momentlere Dayanan Basıklık Ölçüsü (4)
Momentlere dayanan basıklık ölçüsü, asimetrik ortalamaya göre 4. momentin standart sapmanın 4. kuvvetine oranlanması ile elde edilir. olup, 4 = 3 ise serinin basıklığı normal 4 > 3 ise seri normal dağılıma göre daha sivridir. 4 < 3 ise seri normal dağılıma göre daha basıktır. Eğer bir seri 3 = 0 ve 4 = 3 şeklinde bir dağılım gösteriyorsa bu serinin dağılımının normal olduğu söylenir.

19 Örnek: Yukarıdaki pil örneği için;
a-) Sıfıra göre momentleri bulunuz. b-) Aritmetik ortalamaya göre momenti hesaplayınız. c-) 3 asimetri ölçüsünü bularak yorumlayınız. d-) 4 basıklık ölçüsünü bularak yorumlayınız. Ömür (x10) fi mi fimi fimi2 fimi3 fimi4 10–12 10 11 110 1210 13310 146410 12–14 50 13 650 8450 109850 14–16 60 15 900 13500 202500 16–18 20 17 340 5780 98260 18–20 19 190 3610 68590 Toplam 150 2190 32550 492510

20 a) Sıfıra göre momentler
b) Aritmetik ortalamaya göre momentler -3,6 -36 129,6 -466,56 1679,616 -1,6 -80 128 -204,8 327,68 0,4 24 9,6 3,84 1,536 2,4 48 115,2 276,48 663,552 4,4 44 193,6 851,84 3748,096 Toplam 576 460,8 6420,48

21 b) Aritmetik ortalamaya göre momentler:
c) 3 asimetri ölçüsü: olduğundan seri sağa çarpıktır.

22 d) Basıklık Ölçüsü Şu halde seri normal dağılan bir seriye göre sağa çarpık ve hafif basık bir dağılış göstermektedir. Kabaca grafiği şöyle çizilebilir. olduğundan seri hafif basıktır.

23 Sıfıra Göre Momentlerden Hareketle Aritmetik Ortalamaya Göre Momentlerin Bulunuşu
Sıfıra göre momentlerden yararlanarak aritmetik ortalamaya göre momentler elde edilerek serinin asimetri ve basıklığı hesaplanabilir. Burada basit seri için aritmetik ortalamaya göre momentlerin sıfıra göre momentlerden bulunuşu gösterilecektir. Diğer seriler için de aynı formüller geçerlidir. Aritmetik ortalamaya göre 1. moment: Aritmetik ortalamaya göre 2. moment

24 Aritmetik ortalamaya göre 3. moment

25 Örnek: Yukarıdaki pil örneği için sıfıra göre momentleri kullanarak aritmetik ortalamaya göre momentleri bularak asimetri ve basıklığı belirleyiniz. Çözüm: Yukarıda bu örnek için sıfıra göre momentler bulunmuştu. Buna göre; Bu verilenden hareketle 2, 3 , 4 ‘ü yukarıda verilen formülleri kullanarak bulalım. Standart sapma 3. moment

26 Aritmetik ortalamaya göre 4. moment:
3 asimetri ölçüsü: 4 basıklık ölçüsü:

27 Kaza sayısı Gün sayısı fiXi fiXi2 fiXi3 fiXi4 5 1 10 2 12 24 48 96 192
Aşağıda D100 karayolunun Adapazarı İzmit kesiminde meydana gelen kazaların günlere göre dağılımı verilmiştir. Bu veriler göre serinin; a) Sıfıra ve aritmetik ortalamaya göre momentleri bulunuz. b) Asimetri ölçüsünü bulunuz. c) Basıklık ölçüsünü bulup yorumlayınız. Kaza sayısı Gün sayısı fiXi fiXi2 fiXi3 fiXi4 5 1 10 2 12 24 48 96 192 3 18 54 162 486 1458 4 11 44 176 704 2816 20 100 500 2500 Toplam 60 152 496 1796 6976

28 a) Sıfıra göre momentler
Sıfıra göre 4 moment şöyle olur.

29 Aritmetik ortalamaya göre momentlerin hesaplanması
Kaza sayısı Gün sayısı 5 -2,53 32,09 -81,29 205,94 1 10 -1,53 23,51 -36,05 55,28 2 12 -0,53 3,41 -1,82 0,97 3 18 0,47 3,92 1,83 0,85 4 11 1,47 23,66 34,70 50,90 2,47 24,34 60,03 148,08 Toplam 60 110,93 -22,60 462,02

30 Aritmetik ortalamaya göre momentlerin farklar serisinden hesaplanması

31 Sıfıra göre momentlerden aritmetik ortalamaya göre momentlerin bulunuşu

32 c) Asimetri ve basıklık ölçüleri
Asimetri ölçüsü (3) Basıklık ölçüsü (4)

33 Örnek: Basit bir seri için aşağıdaki verilere ulaşılmıştır
Örnek: Basit bir seri için aşağıdaki verilere ulaşılmıştır. Bu verilerden hareketle; a) Aritmetik ortalamayı (8.5) b) Kareli ortalamayı (10,238) c) Gözlem sayısını (N=6) d) Modu tahmin ediniz ( Mod=10,6) e) α3 asimetri ölçüsünü (1,07) f) µ4 aritmetik ortalamaya göre 4. momenti (3230,6) g) α4 Basıklık ölçüsünü (3,04) h) Değişim katsayısını bulunuz. (%67,17)

34 Örnek: Basit bir seri ile ilgili aşağıdaki veriler elde edilmiştir.
M2 = 69,8 DK= 38,38 Xi3 = 3 = 0,059 M4 = Xi = Mod= 8,4 a) Aritmetik ortalamayı, (7,8) b) Gözlem sayısını, (5) c) Geometrik ortalamayı bulunuz. (4,536) d) Standart sapmayı, (3) e) Medyanı tahmin ediniz. ( 8 ) f) 4 basıklık ölçüsünü, (3,21)

35 Küme Teorisi Küme Kavramı Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde bulunan birimlere eleman adı verilmektedir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle, elemanlar ise a, b, c, gibi küçük harflerle gösterilirler. Kümelere, takım sınıf, cümle, set gibi isimler de verilmektedir. Eğer herhangi bir a elemanı, herhangi bir B kümesine ait ise bu ifade şöyle yazılabilir. a  B Eğer a, B nin elemanı değilse a  B şeklinde yazılır.

36 Kümelerle İlgili Kavramlar
1- Bir Kümenin içinde sadece bir eleman varsa böyle kümelere birim küme adı verilir. 2- Eğer A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B’nin alt kümesi denir. Yani x  A x  B ise A, B’nin alt kümesidir, ve AB veya BA (A kapsanır B veya B kapsar A) şeklinde gösterilir. Her küme kendisinin bir alt kümesidir. AA 3- Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme adı verilir ve  veya ={} şeklinde gösterilir. Mesela “elma sepetinden alınan portakallar kümesi” boş bir kümedir. Eğer C={x; x= 4, x tek sayı} ise C= olur. Boş küme her kümenin bir alt kümesidir. Yani A vs. 4- İncelemeye konu olan bütün kümelerin oluşturduğu kümeye evrensel (universal) küme denir ve büyük harf U ile gösterilir. Mesela nüfus sayımı çalışmalarında evrensel küme, dünyada yaşayan bütün insanların oluşturduğu kümedir. A= {Türkiye’de yaşayan insanlar} U= {Dünyada yaşayan insanlar} A  U

37 5- Eşit küme: İki küme aynı elemanlara sahip ise birbirlerine eşit olurlar. Bunu şöyle yazabiliriz.
A  B ve B  A ise A=B Mesela A={a,b} ve B={b,a} ise A=B olur. Bu tanıma göre a) Her Küme kendisine eşittir ve bu bütün kümeler için doğrudur. A=A b) A=B ise B=A olur [simetri özelliği] c) A=B ve B=C ise A=C olur [geçişlilik özelliği] 6- A, B, C gibi herhangi üç küme için AB ve BC ise A  C dir. [geçişlilik] 7- Sınırlı sayıda eleman içeren kümelere sınırlı küme denir. Örnek: A={X:x alfabedeki sesli harfler } Bir küme içindeki elemanlar sayılamayacak kadar çok ise böyle kümelere sınırsız küme adı verilir. 8- Eşlenik Küme: Elemanları arasında bire bir karşılaşma olan kümelere eşlenik küme denir. Örnek: A = {1,2,3,} ve B={2,4,6} ise bu kümeler eşleniktir. Çünkü A’daki her sayıya B kümesinde iki katı bir sayı karşılık gelmektedir.

38 9- Kuvvet Kümesi: Sınırlı sayıda eleman içeren bir kümenin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye Kuvvet Kümesi denir. A sınırlı sayıda eleman içeren bir küme ise kuvvet kümesi PA şeklinde gösterilir. Örnek: A={1,2,3} olsun. Bu kümenin kuvvet kümesi PA={, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} Teorem A kümesi n sayıda eleman içeren sınırlı bir küme ise PA’nın 2n sayıda elemanı olur, ya da 2n tane alt kümesi olur. Yukarıdaki örnekte A’nın 3 elemanı vardı öyleyse A kümesinin 23=8 alt kümesi olur. Küme İşlemleri Venn Diyagramları: U evrensel kümesi genellikle bir dikdörtgenle gösterilir. U’nun alt kümeleri dairelerle gösterilir. Kümeler arasındaki bu ilişkiyi geometrik şekillerle gösteren diyagramlara Venn diyagramları adı verilir.

39 Bileşim işlemi: A ve B tesadüfi olarak verilmiştir iki küme olsun
Bileşim işlemi: A ve B tesadüfi olarak verilmiştir iki küme olsun. A ve B’nin bileşimi A  B şeklinde gösterilir ve böylece yeni bir küme teşkil edilmiş olur. Bu küme, A ve B’nin (veya hem A ve hem de B’nin ikisini birden) elemanlarına sahiptir. Yani; A  B={X:x  A ve/veya x  B} Bu işlem Venn diyagramı ile şöyle gösterilir. Şekildeki taralı alan AB’yi vermektedir.

40 Kesişim: Ortak elemanların oluşturduğu kümedir
Kesişim: Ortak elemanların oluşturduğu kümedir. Hem A, hem de B’nin ortak elemanlarının meydana getirdiği küme A ve B’ kümelerinin kesişimini verir ve AB şeklinde gösterilir. Yani AB={X:x  A ve xB} Şekilde taralı alan AB’yi göstermektedir. Ayrık küme: AB= ise yani A ve B Kümelerinin ortak elemanları yoksa bu tip kümelere Ayrık Küme adı verilir. Aşağıdaki şekilde ayrık bir küme görülmektedir.

41 İki Kümenin Farkı: A’ya ait olup ta B’ye ait olmayan elemanların teşkil ettiği küme A’nın B’den farkı adını alır ve A-B veya A\B şeklinde gösterilir. Şekildeki taralı alan bu farkı göstermektedir. A - B = A\B = {X: x  A ; x  B} Tamamlayan Küme: Tamamlayıcı küme mutlak ve izafi tamamlayıcı küme olmak üzere iki şekilde ele alınır. Mutlak tamamlayıcı küme evrensel kümeye göre ifade edilen bir küme olup A gibi bir kümenin tamamlayıcısı A’, Ac veya A şeklinde yazılır. A’ =Ac= U-A = { X: xU ve xA } olur.

42 İzafi tamamlayıcılık ise bir üst kümeye göre olan tamamlayıcılıktır
İzafi tamamlayıcılık ise bir üst kümeye göre olan tamamlayıcılıktır. B kümesi A nin alt kümesi ise, yani BA ise B nın A ye göre tamamlayıcısı; = { X: x A ve xB } şeklinde yazılır ve aşağıdaki gibi gösterilir. AB’nin tamamlayıcısı ise (AB)c veya (AB)’ şeklinde yazılır.

43 Küme Aritmetiği Yukarıdaki küme işlemlerinden faydalanarak küme aritmetiği ile ilgili aşağıdaki kurallara ulaşmak mümkündür. Kuralın adı Birleşim Kesişim Yansıma (idempotent) AA=A AA=A Birleşme (associative) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) (AB)C =ABC (AB)C=ABC Değişme (commutative) AB=BA AB=BA Dağılma (distributive) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) Özdeşlik (identity) A=A A= Özdeşlik (identity) AU=U AU=A Tamamlayıcılık (complement) AAc =U AAc= Tamamlayıcılık (complement) (Ac)c =A Uc =,  c=U De Morgan (AB)c=AcBc (AB)c=AcBc

44 Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın olasılığının hesaplanmasında, mümkün haller sayısı çok büyük ise olayın doğrudan sıralanması veya sayılması uzun zaman alır ve bazı hallerde doğrudan saymak mümkün olmaz. Bu gibi durumlarda saymayı kolaylaştırıcı bazı tekniklere ihtiyaç duyulur. Bu tekniklere sayma teknikleri (combinational analysis) adı verilir. SAÜ fakültelerinde eğitim gören öğrencilerin cinsiyet ve öğrenim gördüğü fakülte yönünden sınıflandırılması halinde kaç farklı durumun olacağını belirleyelim. Cinsiyet vasfının kız ve erkek olmak üzere iki şıkkı vardır. Fakülte vasfının mühendislik, İİBF, Fen edebiyat, Teknik eğitim, Eğitim ve İlahiyat olmak üzere 6 şıkkı vardır. Buna göre ağaç diyagramı çizildiğinde SAÜ öğrencilerinin bu vasıflara göre kaç farklı durumda olduğu görülebilir.

45 Ağaç diyagramı Ağaç diyagramı ile sayma Yandaki ağaç diyagramından öğrencilerin cinsiyet ve fakülte vasfının şıklarına göre 12 farklı durumda bulunduğu anlaşılmaktadır. 2 cinsiyet, 6 fakülte 2*6 = 12 durum

46 Yukarıdaki ağaç diyagramından hareketle aşağıdaki sayma kuralına ulaşabiliriz.
Çarpım Kuralı: A1 ve A2 kümeleri sırasıyla n1 ve n2 eleman içeriyorsa, A1’in bir elemanı ile A2’nin bir elemanını seçmenin n1 x n2 değişik yolu vardır. Yani iki olay aynı anda n1 x n2 değişik şekilde meydana gelir. Bir başka örnek İstanbul’dan Ankara’ya 3 yoldan (kara-hava-demiryolu), Ankara’dan Konya’ya 3 yoldan (kara, hava, demiryolu) gidilebiliyorsa İstanbul’dan Konya’ya Ankara bağlantılı olmak üzere 3x3=9 değişik yoldan gidilebilir. Küme sayısı ikiden çok olduğu zaman yukarıdaki kural aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Çarpım Kuralının Genelleştirilmesi: A1, A2, ,Ak kümeleri sırasıyla n1, n2, , nk eleman içeriyorsa, önce A1’in bir, sonra A2’nin bir, sonra A3, , Ak’nin bir elemanını seçmenin n1xn2xn3x , , xnk değişik yolu vardır. Yani k olay bir arada n1x n2x x nk farklı şekilde meydana gelir.

47 Örnek: Test şeklinde yapılan bir sınavda 5 soru ve 5 cevap şıkkı varsa bir öğrenci bu 5 soruyu kaç farklı şekilde cevaplandırır. 5x5x5x5x5 = 55 = 3125 değişik şekilde işaretleyebilir. Bu işaretleme hallerinden sadece birinde tüm cevaplar doğru olur. (1x1x1x1x1=1) 4x4x4x4x4= 45 = 1024 halde ise bütün cevaplar yanlış olur. Öğrencinin 4 soruyu doğru cevaplaması kaç farklı şekilde mümkün olur? 5x4=20 şekilde mümkündür. (1.soru yanlış diğer şıkların doğru olması 4x1x1x1x1 olup diğer 5 soru da böyle olur) 3 sorunun doğru cevaplanması (1x1x1x4x4)x10=160 2 sorunun doğru cevaplanması (1x1x4x4x4)x10=640 1 sorunun doğru cevaplanması (1x4x4x4x4)x5= 1280 şekilde mümkündür. Ardışık aynı şıkkın doğru olduğu bir soru bulunmadığına göre kaç farklı cevap anahtarı oluşturulabilir İlk şık 5 farklı şekilde işaretlenirken diğer şıklarda işaretlenebilecek şık sayısı 4 e düşer. Bu durumda: 5x4x4x4x4=5x44=1280 cevap anahtarı oluşturulabilir.

48 KAYNAKLAR Yüksel, İ,. “İstatistik ve Olasılık Ders Notları”, 2011.
Bulu, A., “İstatistik Problemleri”, İTÜ, İnşaat Fakültesi.