Tam sayılar ve dört işlem

... konulu sunumlar: "Tam sayılar ve dört işlem"— Sunum transkripti:

1 Tam sayılar ve dört işlem
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan-Dedeoğlu Matematik Eğitimi

2 Tam sayı kavramı N: Doğal sayılar kümesinin sembolü. İtalyanca, “naturale”, Giuseppe Peano ( ) N = {0, 1, 2, 3…} Z: Tam sayılar kümesinin sembolü. Almanca, “Zahl”, Richard Dedekind ( ) Z = Z- U {0} U Z+ = { … -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3…} Negatif ve pozitif tam sayılar Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

3 Tam sayıların oluşum sürecinde epistemolojik engeller (XIX. yy
Tam sayıların oluşum sürecinde epistemolojik engeller (XIX. yy. a kadar) Denklem çözümlerinde doğal sayılarda işlem yapmaya elverişli hale getirme çabası René Descartes ( ): Analitik düzlemde sadece pozitif değerler. Daniel Gabriel Fahrenheit ( ): termometrede sadece pozitif değerler (suyun donma noktası 32 derece, kaynama noktası ise derece) Lazare Carnot ( ) 0-3: hiçbir şeyden (0) bir şey çıkarmak mümkün değildir. -1/1 = 1/-1 mümkün değildir. Küçük sayıyı daha büyük sayıya bölüyorsunuz, büyük sayıyı da daha küçük bir sayıya bölüyorsunuz, eşit sonuç çıkmaz. Stendhal-Marie Henri Beyle ( ) Bir borcu başka bir borçla katladığımızda nasıl olur da bir servet oluşur? Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

4 Gerçek hayat uygulamaları
Konum belirten durumlar Değişim belirten durumlar termometre Deniz seviyesine göre derinlik/rakım Tarihsel kronoloji Asansör düğmeleri Borç/varlık, banka ekstreleri, faturalar Geri/ileri Sıcaklığın 3 derece düşmesi: (-3) 4 kat aşağıya inmek: (-4) (9. katta olsak bile!) Borsanın 2 puan gerilemesi: (-2) 2 adım ileriye gitmek: (+2) … Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

5 Modeller: Tam sayılarda toplama işlemi
İlk sayı konum, ikinci sayı ise değişim, aradaki artı işlemi“devam etmek”, eksi işareti ise ters yöne gitmek anlamına gelir. Modeller: Tam sayılarda toplama işlemi – pul almak ve + pul vermek anlamına gelir, Sayı Doğrusu (Tam sayılar = Yönlü sayılar) Tam Sayı Pulları (+2)+(+1) (-2)+(-1) (-2)+(+1) (-1)+(+2) + + + - - - Bir – pul bir almak ve bir + pul bir vermek anlamına gelir, dolayısıyla sonuç sıfırdır. - - + - + + Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

6 Sayı doğrularında eşitlikten yararlanılabilir
İşlemlerde + işaretler ve parantezler kaldırılabilir: 1= +1 2=+2 3=+3 … (+5)-(+3) = 5-3 = 2 Somut Örnek: BİLANÇO Sabah bilançosu Akşam bilançosu Günün bilançosu Sayısal bilanço Sayısal ifade 10 puan kazanç 8 puan kazanç 18 puan kazanç +18 (+10)+(+8) 10+8 8 puan kayıp 12 puan kazanç 4 puan kazanç +4 (-8)+ (+12) -8+12 6 puan kayıp 5 puan kayıp -11 (-6)+ (-5) -6-5 5 puan kazanç -3 (+5)+(-8) 5-8 9 puan kazanç 9 puan kayıp Kazanç veya kayıp yok (+9)+(-9) 9-9 4 puan kayıp 0 puan kazanç Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

7 Modeller: Tam sayılarda çıkarma işlemi
İlk sayı konum, ikinci sayı ise değişim, aradaki artı işlemi“devam etmek”, eksi işareti ise ters yöne gitmek anlamına gelir. Modeller: Tam sayılarda çıkarma işlemi – pul almak ve + pul vermek anlamına gelir, Sayı Doğrusu (Tam sayılar = Yönlü sayılar) Tam Sayı Pulları (+2)-(+1) (+1)-(+2) (-2)-(-1) (-1)-(-2) (+2)-(-1) (-2)-(+1) Bir puldan iki pul çıkaramayacağımız için gerektiği kadar pul (sıfır çifti) ekliyoruz + + + + + + + + - - - Bir – pul bir almak ve bir + pul bir vermek anlamına gelir, dolayısıyla sonuç sıfırdır. Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

8 Modeller: Tam sayılarda çarpma işlemi
(+2) x (+3) ve (+2) x (-3) işlemleri kolaylıkla modellenebilir. Fakat (-2) x (-3) modellenmesi kolayca algılanamayabilir. Farklı öneriler sunulabilir: (-2) x (-3) sonucu ya (-6) dır ya da (+6) dır. Sonuç (+6) olsun. O halde (-6) ile toplandığında sonuç 0 olur: [(-2) x (-3)] + [(-2) x (+3)] = 0  (-2) x (-3+3) = (-2) x 0 = 0. Varsayım doğrudur. (+3) + (-3) = 0  (-2) x [(+3) + (-3)]  [(-2) x (+3)] + [(-2) x (-3)]  (-6) + [(-2) x (-3)] = 0  (-2) x (-3) = (+6) Örüntü yolu ile: … 2 x 3 6 (-2) x 2 -4 2 x 2 4 (-2) x 1 -2 2 x 1 2 (-2) x 0 2 x 0 (-2) x (-1) 2 x (-1) (-2) x (-2) 2 x (-2) Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri

9 Modeller: Tam sayılarda bölme işlemi
Modellerden ve özellikle çarpma işleminden faydalanılabilir: (+2) x (+3) = (+6) ise (+6) : (+2) = (+3) (+2) x (-3) = (-6) ise (-6) : (+2) = (-3) veya (-6) : (-3) = (+2) (-2) x (-3) = (+6) ise (+6) : (-2) = (-3) Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu Özel Öğretim Yöntemleri