1 OLASILIK 2. 2 TÜMLEYEN, BİRLEŞİM, KESİŞİM E ve F olaylarına sahip bir örneklem uzayı S olsun. olduğu açıktır. S de olup da E de olmayan noktaların kümesine.

... konulu sunumlar: "1 OLASILIK 2. 2 TÜMLEYEN, BİRLEŞİM, KESİŞİM E ve F olaylarına sahip bir örneklem uzayı S olsun. olduğu açıktır. S de olup da E de olmayan noktaların kümesine."— Sunum transkripti:

1 1 OLASILIK 2

2 2 TÜMLEYEN, BİRLEŞİM, KESİŞİM E ve F olaylarına sahip bir örneklem uzayı S olsun. olduğu açıktır. S de olup da E de olmayan noktaların kümesine E nin tümleyeni denir ve E’ ile gösterilir. olduğu açıktır. S örnek uzayının elemanlarına örnek noktaları diyelim. Eğer bir örneklem noktası kümesine aitse E veya F kümelerinden en az birisine aittir. Bu nedenle olayının gerçekleşmesi için E veya F olaylarından birsinin gerçekleşmesi gerekir ve yeter.

3 3 Eğer bir örnek noktası kümesine aitse hem E hem de F kümesine aittir. Bu nedenle olayının gerçekleşmesi için hem E hem de F olayının gerçekleşmesi gerekir ve yeter. Eğer bir örnek noktası E kümesine aitse E’ kümesine ait olamayacağı açıktır. Bu nedene E olayının gerçekleşmesi durumunda E’ olayının gerekleşmesi söz konusu olamaz

4 4 Örnek: Bir zar atılıyor. a) Örnek uzayını yazınız AYRIK (BAĞIMSIZ) OLAYLAR ise E ve F olaylarına ayrık olaylar denir.

5 5 Çözüm:

6 6 KOŞULLU OLASILIK Bir olayın olasılığı deneye ait bazı bilgilerin varlığından etkilenebilir. Örnek: a,b,c,d,e gibi 5 seçenekli bir soruda şıklardan hangisinin doğru olduğu hakkında hiçbir fikrimiz yoksa rastgele işaretlediğimiz bir şıkın doğru olma olasılığı tir. olur. Ancak a ve c şıklarının kesinlikle yanlış olduğunu biliyorsak o zaman örneklem uzayımız olarak düşünülebilir. Bum durumda doğru cevaplama olasılığımız

7 7 Bir deneyde bazı sonuçların bilinmesi durumunda bir E olayının olasılığına koşullu olasılık denir. Bilinen sonuçların kümesini F ile gösterirsek E nin koşullu olasılığı ile gösterilir. Koşullu olasılıkta örneklem uzayının eşit olasılıklı olması gereklidir. Örneğimizde örneklem uzayı dir. Örnek: Hilesiz bir zar atılıyor. a)Çift sayı gelme olasılığı nedir? b)Zarın 3 ten büyük geldiği bilindiğine göre çift sayı gelme olasılığı nedir?

8 8 Çözüm : İndirgenmiş örneklem uzayı.

9 9 dir. E ve F eşit olasılıklı örneklem uzayına ait ilişkili olaylar olsun. olmak üzere dir. Buradan

10 10 150 kişilik bir ankette, kişilere medeni durumları ve ortak bir yüzme havuzu yapılmasını isteyip istemedikleri sorulmuştur. Sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. a)Evli birisinin havuz yapımına evet demiş olma olasılığını, b) Evet demiş birisinin evli olma olasılığını bulunuz. Evet FHayır F’Toplam Evli (M)602080 Bekar (M’)403070 Toplam10050150 Örnek: Çözüm:

11 11 Örnek : Standart bir oyun kağıdı destesinden rastgele iki kart arka arkaya çekiliyor. İkinci kartın kırmızı olma olasılığını bulunuz. Çözüm: Birinci çekilişte kırmızı ve ikinci çekilişte kırmızı veya birinci çekilişte siyah ve ikinci çekilişte kırmızı çekilmesi olasılığı soruluyor. Birinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı Birinci çekilişte kırmızı gelmişse ikinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı Birinci çekilişte siyah gelme olasılığı Birinci çekilişte siyah gelmişse ikinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı olur.

12 12 Birinci çekilişte kırmızı ve ikinci çekilişte kırmızı çekilmesi olasılığı ile gösterilirse Birinci çekilişte siyah ve ikinci çekilişte kırmızı çekilmesi olasılığı ile gösterilirse Birinci çekilişte kırmızı ve ikinci çekilişte kırmızı veya birinci çekilişte siyah ve ikinci çekilişte kırmızı çekilmesi olasılığı ile gösterilirse

13 13 Örnek : Bir torbada 2 kırmızı 3 mavi top vardır. Çekilen top tekrar torbaya konmak üzere arka arkaya iki top çekiliyor. a) Çekilen topların ikisinin de kırmızı olma olasılığı nedir.? b) Çekilen topların ikisinin de aynı renk olma olasılığı nedir.? c) Çekilen toplardan en az birsinin kırmızı olma olasılığı nedir.? d) Çekilen toplardan ikincisinin kırmızı olma olasılığı nedir.? e) Çekilen toplardan birsinin kırmızı diğerini mavi olma olasılığı nedir.?

14 14 Çözüm:

15 15 Örnek : Bir torbada 2 kırmızı 3 mavi top vardır. Çekilen top tekrar torbaya konmamak üzere arka arkaya iki top çekiliyor. a) Çekilen ikinci topun kırmızı olma olasılığı nedir.? b) Çekilen toplardan birisinin kırmızı diğerinin mavi olma olasılığı nedir.? c) Çekilen toplardan en az birsinin kırmızı olma olasılığı nedir.? d) Çekilen toplardan ikincisinin mavi olma olasılığı nedir.? e) Çekilen toplardan en az birsinin mavi olma olasılığı nedir.?

16 16 Çözüm:

17 17 Örnek : İki kardeşin a) ikisinin de Pazar günü doğmuş olmaları olasılığı nedir? b) farklı günlerde doğmuş olmaları olasılığı nedir? c) ikisinin de aynı günde doğmuş olmaları olasılığı nedir? d) ikisinin de mart ayında doğmuş olmaları olasılığı nedir? e) farklı aylarda doğmuş olmaları olasılığı nedir?

18 18 Çözüm:

19 19 Örnek : Bir hilesiz para arka arkaya 6 kez atılıyor. a) Örneklem uzayının eleman sayısını bulunuz. c) En fazla üç kez yazı gelme olasılığı nedir? d) İkinci atışta tura gelme olasılığı nedir? e) Birinci ve sonuncu atışta tura gelme olasılığı nedir? Çözüm: b) Üç kez yazı gelme olasılığı nadir?

20 20 Örnek : Bir mağazada satılan TV lerden garanti süresi içinde %3 ünde görüntü %1 inde ses, %0,1 inde hem görüntü hem de ses sorunu görülmektedir. a) Bu mağazadan alınan bir TV de garanti süresi içinde görüntü veya ses sorunu görülme olasılığı nedir? b) Bu mağazadan alınan bir TV de garanti süresi içinde herhangi bir sorun görülmemesi olasılığı nedir? Çözüm: