OLASILIK ve İSTATİSTİK

... konulu sunumlar: "OLASILIK ve İSTATİSTİK"— Sunum transkripti:

1 OLASILIK ve İSTATİSTİK
BÖLÜM 8 HİPOTEZ TESTLERİ Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU

2 8-HİPOTEZ TESTLERİ Hipotez, bir veya daha fazla anakütle hakkında ileri sürülen, ancak doğruluğu önceden bilinmeyen iddialardır. Ortaya atılan iddiaların, örnekten elde edilen bilgilere bağlı olarak, belirli bir hata payı ile doğrulanmasına HİPOTEZ TESTİ denir. Örneğin: İki üretim yönteminin aynı olup olmadığı, İki farklı tezgahın üretim hassasiyetlerinin aynı olup olmadığı, İki farklı antibiyotiğin tedavi etkinliklerinin aynı olup olmadığı gibi hususlar ayrı birer hipotezin konusudur.

3 8-HİPOTEZ TESTLERİ Hipotez testi; Örneklerden elde edilen bilgiler ile teoriyi kıyaslayıp KARAR VERMEYİ içerir. Dolayısıyla aşağıdaki sorulara cevap verilmesi gerekir: Örneklerden yapılan çıkarımın Kurulan hipotez ile uyumsuz olduğuna nasıl karar verebiliriz? Kurulan hipotezi ne zaman ret/kabul edebiliriz? Hatalı karar verme ihtimalimiz nedir? hipotez testi

4 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek:
Formula 1 araçlarının süspansiyon sisteminde kullanılan bir parçanın ömrünün normal dağıldığı ve ortalamasının ve standart sapmasının ise olduğu belirlenmiştir. Bu parçayı üreten firmanın mühendislik departmanı, parçaların ömürlerinin artırmak için yeni bir üretim yöntemi geliştirmişlerdir. Yeni üretim yöntemiyle üretilen parçaların ömürleri daha uzun olabilir mi? Bu soruya hipotez testi kullanarak cevap verebiliriz.

5 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek Çözüm:
Bu karar verme problemini basitleştirmek birkaç kabul yapalım: Yeni üretim yönteminden elde edilecek parçaların ortalama ömürleri en azından eski üretim yönteminden elde edilecekler kadar olacaktır. Standart sapma ve dağılım tipi (normal dağılım) olarak kalacaktır. Yukarıdaki ifadelerden: Xyeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrünü göstersin İki durum ortaya çıkar: Yeni üretim yöntemi ile elde edilen parçaların ömrü daha uzun değil ise m=10.000 Yeni üretim yöntemi ile elde edilen parçaların ömrü daha uzun ise m>10.000

6 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek Çözüm (devam):
Bu iki ifade, yeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü ile ilgili iki hipotezi ortaya koyar: BİRİNCİ HİPOTEZ: Yeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü eski üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü kadardır: m= Aralarında fark yoktur (ömürler arasındaki fark sıfırdır) dolayısıyla bu hipotez SIFIR Hipotezi (H0) olarak adlandırılır. İKİNCİ HİPOTEZ: Yeni üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömrü eski üretim yöntemi ile üretilen parçaların ömründen fazladır; m> Alternatif hipotez olarak adlandırılır ve H1 ile gösterilir.

7 8-HİPOTEZ TESTLERİ Testin kurulumu: Bu hipotezleri test etmek için:
Yeni üretim metoduyla üretilmiş 25 örnek parça alalım. Ve şu varsayımı dikkate alalım: Bu örneklerin ortalama ömürleri çevrimden daha fazla ise: H0  RET Bu örneklerin ortalama ömürleri çevrimden daha az ise: H0  KABUL

8 8-HİPOTEZ TESTLERİ Kurulan test ne kadar iyi?
Kurulan testi değerlendirmek için iki tip hata tanımlanır: I. Tip hata ( ): H0 hipotezi doğru iken H0 hipotezinin reddedilmesi II. Tip hata (b ): H0 hipotezi yanlış iken H0 hipotezinin kabul edilmesi = P{I. Tip hata yapma} = P{Ho reddedilir | Ho doğru}  = P{II. Tip hata yapma} = P{Ho reddedilemez | Ho yanlış} Bu örnek için:

9 8-HİPOTEZ TESTLERİ Elde edilen sonuç ne anlama geliyor?
Dikkate aldığımız 25 örneğin ortalaması: çevrim olarak hesaplanmış olsun Bu durumda H0 hipotezi reddedilir. Yani: Yeni üretim yöntemi ile imal edilen parçaların ömrü çevrime eşit değildir. H1 hipotezi kabul edilir. Yeni üretim yöntemi ile imal edilen parçaların ömrü çevrimden daha fazladır.

10 8-HİPOTEZ TESTLERİ Bir hipotezin kurulmasında aşağıdaki şartların yerine getirilmesi önerilmektedir: Bilimsel ilişkiler bakımından anlamlı ve mantıklı olmalıdır. Önceki bilgilere dayanmalı ve bilimin temellerine uygun düşmelidir. Bilimsel yöntemlerle doğruluğu denetlenebilmelidir. Hipotez testleri: parametrik : Hipotez testinde verilere ait ortalama, varyans ve oran gibi değerler kullanılır. parametrik olmayan (non parametrik) : verilere ait sıralama ve işaret gibi göstergeler kullanılır.

11 8-HİPOTEZ TESTLERİ Hata Tipleri ve Testin Gücü
Hipotez testlerinde doğru bir hipotezin reddedilmesi veya yanlış bir hipotezin kabul edilmesi olasılıkları da vardır. Bu olasılıklar hata tipleri ile açıklanmaktadır. Doğru bir hipotezin reddedilmesi halinde işlenen hataya  I. tip hata (), Yanlış bir hipotezin kabul edilmesi halinde işlenen hataya da  II. tip hata () Hipotez testinin çalışma prensibi: Örnek veriler  Kriter  Ho reddedilir veya reddedilemez  Çıkarsama Bir hipotez testi sonucunda 4 durumla karşılaşılabilir: 1. H0 doğru iken H0 reddedilemez (doğru karar) Teste Anakütleye göre 2. H0 gerçekte yanlış iken H0 reddedilir (doğru karar) göre H0 Doğru H0 Yanlış 3. H0 doğru iken H0 reddedilir (I. Tip hata  ) H0 ret I. tip hata Doğru karar 4. H0 yanlış iken H0 reddedilemez (II. Tip hata ) H0 kabul II. tip hata

12 8-HİPOTEZ TESTLERİ Bir testin ne kadar iyi olduğu bu olasılıklarla belirlenir. Anakütle yerine örnek üzerinde çalışıldığı sürece iki hata tipini birlikte ortadan kaldırmak mümkün değildir. Birisinin çok küçültülmesi diğerinin aşırı derecede büyümesine neden olur. Sadece örnek büyüklüğü artırılarak iki hata tipi birlikte kontrol altında tutulabilir. Öte yandan, yapılan testin gücü  testin gücü=1- formülü ile ölçülmektedir. Araştırmalarda genellikle doğru bir hipotezin reddedilme riski olan I. tip hata ile ilgilenilmektedir. I. tip hata (), aynı zamanda testin önem seviyesini de göstermektedir. I. tip hata için çoğunlukla =0.05 veya =0.01 değerleri , nadiren de =0.10 değeri kullanılmaktadır.

13 8-HİPOTEZ TESTLERİ Tek ve Çift Yönlü Testler H1:>0 H1:<0
Alternatif hipotezin (H1) kuruluş biçimine göre testler tek veya çift yönlü olarak adlandırılır. H1:>0 H1:<0  biçiminde ise test tek yönlü H1:  0  biçiminde ise test çift yönlü

14 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örneğin:
Yeni geliştirilen bir üretim yönteminin eski yöntemden daha iyi olup olmadığı karşılaştırılacaksa Hipotez testi: İki tezgahın üretimi karşılaştırıldığında Hipotez testi:

15 8-HİPOTEZ TESTLERİ Hipotez Testinin Aşamaları
Hipotez testlerinde işlemler 5 adımda yürütülür: 1.Hipotezler (Ho ve H1) kurulur. Hipotezler anakütle parametreleri üzerine kurulur. Örneğin: bir anakütlenin ortalamasının belirli bir değere eşit olup olmadığı test edilecekse “Ho:=0 ve H1:>0 veya <0 veya  0” şeklinde hipotezler kurulabilir. 2.İncelenen olayın dağılımına bağlı olarak karşılaştırmada esas alınacak tablo değeri (teorik değer) belirlenir. Alternatif hipotezin kuruluş biçimine bağlı olarak t dağılımı kullanılacaksa t, n-1 veya t/2, n-1 , Z dağılımı kullanılacaksa Z, veya Z/2 ilgili tablo değerini gösterir.

16 8-HİPOTEZ TESTLERİ 3. Olayla ilgili veriler toplanır ve olayın dağılımına uygun test istatistiği hesaplanır. Örneğin: t dağılımı kullanılacaksa olayla ilgili toplanan veriler kullanılarak th=(X -)/Sx veya Z dağılımı kullanılacaksa Zh=(X-)/x test istatistikleri hesaplanır 4. Tablo değeri ile test istatistiği karşılaştırılarak H0 hipotezi hakkında karar (kabul veya red) verilir. Genel kural: Test istatistiği > Tablo değeri  H0 reddedilir örneğin t dağılımı kullanılacaksa |th| >|t, n-1| veya |th| >|t/2, n-1|  H0 reddedilir örneğin Z dağılımı kullanılacaksa |Zh| >|Z| veya |Zh| >|Z/2|  H0 reddedilir 5. Yorum yapılır: Adım 4 de elde edilen sonucun ne anlama geldiği sözel olarak ifade edilir. Örneğin alınan verilere (örneklere) göre anakütle ortalamasının belirli bir değere eşit olup olmadığı test ediliyorsa “ hata {veya (1-) güven} seviyesinde anakütle ortalamasının değerine eşit (veya değerinden farklı) olduğu söylenebilir” şeklinde bir yorum yapılabilir.

17 8-HİPOTEZ TESTLERİ Standart Normal Dağılım ile Yapılan Testler
Dağılımın normal olduğu veya normale yakınsadığı durumlarda ortalama ve oranlarla ilgili testlerde Z dağılımı kullanılabilir. Ancak, bunun için aşağıdaki şartlardan birinin gerçekleşmesi gerekmektedir: Anakütle varyansı bilinmelidir. Anakütle varyansı bilinmiyorsa örnek hacmi 30 veya daha fazla olmalıdır. Z dağılımı yardımıyla yapılan testler şunlardır: Bir ortalamanın testi İki ortalama farkının testi Bir oranın testi İki oran farkının testi

18 8-HİPOTEZ TESTLERİ Bir Ortalamanın Testi
Herhangi bir anakütlenin ortalamasının belirli bir değere (0) eşit olup olmadığı değerleri kullanılarak hipotez testi ile incelenebilir

19 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek 1:
Spor malzemeleri üreten bir firma, ürettiği olta iplerinin dayanma mukavemeti ortalamasının 15 kg/mm2, standart sapmasının 0.5 kg/mm2 olduğunu açıklamıştır. Firmanın bu iddiasını test etmek isteyen bir tüketici örgütü firmanın üretiminden rastgele 50 olta ipi almış ve ortalamasını 14.8 kg/mm2 olarak belirlemiştir. %1 hata seviyesinde olta ipleri mukavemetinin 15 kg/mm2 ye eşit olup olmadığını test ediniz.

20 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek Çözüm:
Tüketici örgütünün aldığı örneklerden elde ettiği 14.8 kg/mm2 değeri ile firmanın beyan ettiği 15 kg/mm2 değeri arasındaki 0.2 kg/mm2 lik farklılığın tesadüfi mi olduğu, yoksa önemli bir farklılık mı olduğu test edilecektir. =0.01 hata {veya (1-)=0.99 güven} seviyesinde olta ipleri mukavemeti ortalamasının 15 kg/mm2 ‘den farklı olduğu söylenebilir. Başka bir ifadeyle, tüketici örgütünün gözlediği farklılık tesadüfi (şans eseri) değil, önemli bir farktır.

21 8-HİPOTEZ TESTLERİ Bir Ortalamanın Farkının Testi Örnek 2:
Varyansları 56 ve 65 olan iki anakütleden sırasıyla 25 ve 30 birimlik örnekler alınmış ve birinci örneğin ortalaması 92, ikinci örneğin ortalaması da 88 olarak hesaplanmıştır. Anakütle ortalamalarının farklı olup olmadığını %5 hata seviyesinde test ediniz.

22 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek Çözüm:

23 8-HİPOTEZ TESTLERİ Bir Oranın Testi
Örnek hacminin yeterince büyük olması durumunda binom dağılımı normal dağılıma yakınsadığı için herhangi bir anakütle oranının belirli bir değere (p0) eşit olup olmadığı normal dağılım yardımıyla aşağıdaki hipotez kurulur: Örnek: Bir tedavi yöntemi 40 hasta üzerinde uygulanmış ve bunlardan 30’u iyileşmiştir. Bu uygulama sonucuna göre %5 hata seviyesinde tedavi yönteminin etkinliğinin 0.80 den önemli derecede düşük olduğu söylenebilir mi?

24 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek Çözüm:

25 8-HİPOTEZ TESTLERİ Bir Oran Farkının Testi
Örnek hacminin yeterince büyük olması durumunda binom dağılımı normal dağılıma yakınsadığı için herhangi iki anakütle oranının eşit olup olmadığı veya anakütle oranları arasındaki farkın belirli bir değere (c) eşit olup olmadığı normal dağılım yardımıyla test edilir. değerleri kullanılarak hipotez testi ile incelenebilir. H0 hipotezinin kuruluş şekline bağlı olarak ifadesi farklı formüller yardımıyla hesaplanır.

26 8-HİPOTEZ TESTLERİ t dağılımı ile yapılan testler
Zaman, para ve kaynak bakımından karşılaşılan sıkıntılar nedeniyle bilimsel çalışmalarda genellikle az sayıda örneğin incelenmesi ve elde edilen sonuçlardan tümevarım yöntemiyle anakütle hakkında çıkarsama yapılmaktadır. Çalışmalarda genellikle anakütle varyansı (2) bilinmez, ancak örnek varyansı (S2) elde edilen verilerden hesaplanabilir. Ayrıca, yukarıda sayılan nedenlerden dolayı yeterli sayıda örnek alınamaz. Bu gibi durumlarda elde edilen sonuçların istatistiksel analizi yapılırken küçük örnekler için geliştirilen t dağılımından yararlanılır. Genel olarak, t dağılımı ile yapılan hipotez testlerindeki işlemler Z dağılımı ile yapılan testlerdeki işlemlerin benzeridir. Sadece test istatistiği (th) ve tablo değeri (t,n-1 veya t/2,n , vb) farklıdır.

27 8-HİPOTEZ TESTLERİ t dağılımı yardımıyla yapılan testler şunlardır:
Bir ortalamanın testi İki ortalama farkının testi Grup karşılaştırması (bağımsız gruplar) Eşleme testi (bağımlı gruplar)

28 8-HİPOTEZ TESTLERİ Bir ortalamanın testi
Anakütle varyansının bilinmediği ve küçük örneklerin kullanıldığı çalışmalarda herhangi bir anakütlenin ortalamasının belirli bir değere (0) eşit olup olmadığı aşağıda tanımlanan hipotez ile kararlaştırılabilir.

29 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek 4:
Bir bölümde okuyan öğrencilerin not ortalamasının 70 olduğu bölüm yöneticileri tarafından iddia edilmektedir. Bu iddianın doğru olup olmadığını test etmek üzere Bölüm öğrencileri arasından rasgele seçilen 26 öğrencinin notları tespit edilmiş ve ortalaması 67, varyansı 9 olarak hesaplanmıştır. %99 güven (%1 hata) seviyesinde Bölüm yöneticilerinin iddiasının doğru olduğu söylenebilir mi? (Başka bir ifadeyle, sözü edilen bölümdeki öğrencilerin not ortalamalarının 70 den az olduğu söylenebilir mi?)

30 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek Çözüm:
Anakütle varyansı bilinmediğinden ve örnek hacmi 30’dan küçük olduğundan dolayı küçük örneklerin analizi için geliştirilen t dağılımı ile hipotez testi yapılacaktır.

31 8-HİPOTEZ TESTLERİ İki Ortalamanın Farkının Testi
Ancak, bu karşılaştırmayı yaparken sözü edilen anakütlelerden seçilen örneklerin birbirinden bağımsız olması veya birbirine bağımlı olması durumuna göre farklı yöntemler kullanılır. Anakütle varyansının bilinmediği ve küçük örneklerin kullanıldığı çalışmalarda herhangi iki anakütlenin ortalamalarının eşit olup olmadığı, ilgilenilen değişkenlerin dağılımları normal dağılım ise, t dağılımı yardımıyla karşılaştırılabilir.

32 8-HİPOTEZ TESTLERİ BAĞIMSIZ GRUPLARIN TESTİ (GRUP KARŞILAŞTIRMASI)
Karşılaştırılacak olan anakütlelerden alınan örneklerin sayıları eşit olabileceği gibi farklı da olabilir. Karşılaştırılan özelliğin dışındaki bütün şartların ve grup varyanslarının homojen olduğu varsayılır.

33 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek 5:
Aynı işi yapmada kullanılabilen iki yöntemden hangisinin daha etkin olduğunu belirleyebilmek için 24 iş gören üzerinde denenmesi kararlaştırılmıştır. Rastgele seçilen 24 iş görenden 12’sinin A yöntemine göre, diğer 12’sinin de B yöntemine göre işlem yapması istenmiştir. Deneyler sürerken B yöntemine göre işlem yapan iş görenlerden 2’si hastalanmış ve gerekli sayıda deneyi tamamlayamamıştır. Deney sonucu elde edilen verilerden değerleri belirlendiğine göre yöntemlerin etkinlik açısından birbirinden farklı olduğu söylenebilir mi? (=0.05)

34 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek Çözüm:

35 8-HİPOTEZ TESTLERİ BAĞIMLI GRUPLARIN TESTİ (EŞLEME YÖNTEMİ)
İki ortalamanın karşılaştırılması ile ilgili birçok araştırmada, ortalamalar arasındaki farklılık, örneklerdeki değişkenlik miktarına oranla çok küçüktür. Bu gibi durumlarda birbirinden bağımsız örnekler kullanılarak ortalamalar arasındaki farkı yakalayabilmek için örneklerin çok büyük olması gerekmektedir. Oysa, sözü edilen şartlarda yukarıda anlatılan yöntemin yerine birbirleriyle eşleştirilebilen bağımlı grupların (örneklerin) kullanılması kurulan deneyin etkinliğini artırabilmekte ve daha küçük farklılıklar az sayıda yapılan gözlemler ile yakalanabilmektedir.

36 8-HİPOTEZ TESTLERİ BAĞIMLI GRUPLARIN TESTİ (EŞLEME YÖNTEMİ) Örneğin:
iki farklı otomobil lastiğinin dayanma süresi araştırılacaksa izlenebilecek iki yol vardır: Rasgele seçilen n1 otomobile A tipi lastik ve n2 otomobile B tipi lastik takarak lastiklerin dayanma süresi ölçülebilir. (Ancak, lastiklerin dayanma süresinin büyük ölçüde otomobili kullanan kişinin otomobili kullanma alışkanlıklarına bağlı olarak değiştiği de bilinmektedir. Bu nedenle aynı tip lastiklerde bile dayanma süreleri büyük değişiklikler gösterebilmektedir.) Deneye alınacak her otomobilin iki tekerleğine A tipi lastik, diğer iki tekerleğine B tipi lastik takılarak lastiklerin ortalama dayanma süreleri ölçülebilir. (Araştırmanın amacı iki lastik tipinin dayanma sürelerinin farkını belirlemek olduğuna göre, bu şekilde kurulan bir deneme sonunda her otomobildeki A ve B tipi lastiklerin dayanma süreleri arasındaki fark, otomobilleri kullanan kişilerin alışkanlıklarından etkilenmeyecektir.)

37 8-HİPOTEZ TESTLERİ BAĞIMLI GRUPLARIN TESTİ (EŞLEME YÖNTEMİ)
Buna benzer bir diğer örnek ise ilaçların etkinliklerinin karşılaştırılması denemeleridir. Eşleştirilebilen bağımlı örneklerin kullanıldığı araştırmalarda gözlemler çiftler halinde yapıldığından örnek büyüklükleri birbirine eşit olur. Bu özellikteki olayların karşılaştırılması yapılırken grup değerleri arasındaki farkların ortalaması ( ) ve standart hatası ( ) hesaplandıktan sonra aşağıdaki hipotez testi kurulabilir.

38 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek 6:
Kan basıncını artırdığı iddia edilen bir ilaç 12 kişi üzerinde denenmiştir. Denemede kişilere ilaç verilmeden önceki ve ilaç verildikten sonraki kan basıncı değerleri ölçülmüş ve aşağıda verilmiştir. Bu verileri esas alarak ilacın kan basıncını artırdığı söylenebilir mi? (=0.05)

39 8-HİPOTEZ TESTLERİ Örnek Çözüm:

40 8-HİPOTEZ TESTLERİ Ki-Kare Dağılımı ile Yapılan Testler
Gamma dağılımının bir özel şekli olan ki-kare (2) dağılımının k ile gösterilen ve pozitif tamsayı değer alabilen tek parametresi vardır. Dağılımın bu parametresine serbestlik derecesi denir. Küçük serbestlik dereceleri için dağılım sağa çarpık iken serbestlik derecesi arttıkça yavaş yavaş simetrikleşmektedir. X, parametresi k olan ki-kare dağılmış bir değişken aşağıdaki şekilde yazılır. X serbestlik derecesi k olan ki-kare dağılmış bir rastgele değişken olarak okunur. 2 dağılmış rastgele değişkenlerin, bilinen serbestlik derecelerine bağlı olarak ilgilenilen olasılıkları için tablolar hazırlanmıştır. 2 değişkeni, kareler toplamı ile ilgili olduğundan daima pozitif değerler alır.

41 8-HİPOTEZ TESTLERİ Tablo değeri okurken dikkat edilmesi gereken hususlar: 2 tablosunda en sol tarafında serbestlik dereceleri, en üst tarafında ise kuyruk bölgesinde kalan çeşitli olasılıklar verilmiştir. Tablonun içindeki değerler ise o sütunun üzerindeki olasılıklar için kritik değerlerdir.

42 8-HİPOTEZ TESTLERİ Tablo değeri okurken dikkat edilmesi gereken hususlar: 2 dağılımı çarpık bir dağılımdır. t ve Z dağılımlarından farklı olarak sol kuyruk altında kalan alan ile sağ kuyruk altında kalan alan birbirine eşit değildir. hipotez testinde alternatif hipotez çift yönlü ise alt ve üst kritik değerlerin ayrı ayrı hesaplanması gerektiği görülecektir.

43 8-HİPOTEZ TESTLERİ Tablo değeri okurken dikkat edilmesi gereken hususlar: Bu nedenle, sol kuyruktaki alanlara karşı gelen kritik değerler ayrıca verilmiştir. Sol kuyruktaki alanlara karşı gelen bu değerleri bulmak için tablonun üstünden (1-) olasılığı için verilen sütunu bulup, karşı gelen kritik değer okunmalıdır. Sağ kuyruktaki alanlara karşı gelen değerleri bulmak için tablonun üstünden () olasılığı için verilen sütunu bulup, karşı gelen kritik değer okunmalıdır.

44 8-HİPOTEZ TESTLERİ Varyansla ilgili testlerin yanısıra sayımla belirlenen kalitatif (niteliksel) karakteristiklerle ilgili testlerde genellikle 2 dağılımı kullanılmaktadır. 2 dağılımının yaygın olarak kullanıldığı testler şunlardır: Varyansla ilgili testler (veriler nicelikseldir, yani ölçümle elde edilir) Uygunluk (uyum) testi Bağımsızlık testi Homojenlik testi Bağımlı grupların testi

45 8-HİPOTEZ TESTLERİ VARYANSLA İLGİLİ TESTLER
İncelenen veri grubunun değişkenliğinin belirlenmesi ve bunun kontrol altında tutulabilmesi birçok alanda olduğu gibi mühendislik alanlarında da önem arz etmektedir. Genellikle geliştirilen bir sistemdeki veya makinadaki sistematik sapmalar (ortalamanın hedef değerinden sapması gibi) kolaylıkla giderilebildiği halde sözü edilen sisteme veya makinaya ait hassasiyet (hassasiyet, sistemin değişkenliği ile ters orantılıdır) kolaylıkla değiştirilemez. Sözgelimi, geliştirilen bir ölçü aleti ölçtüğü nesnenin büyüklüğünü gösterirken (bir anlamda tahmin ederken) gerçek değerden önemli miktarda sapma ortaya çıkıyorsa (yani ölçümüm standart sapması büyükse) bu aletten fazla bir yarar beklenemez. Bu gibi nedenlerle varyansın (2‘nin) tahminlenmesi ve bunun için kurulacak hipotezlerin test edilmesi birçok durumda ortalamalar için yapılan hipotez testlerinden daha önemli olabilmektedir.

46 8-HİPOTEZ TESTLERİ VARYANSLA İLGİLİ TESTLER

47 8-HİPOTEZ TESTLERİ VARYANSLA İLGİLİ TESTLER Örnek 7:
Bir çimento fabrikasında üretilen çimentodan yapılan betonların dayanımına ilişkin standart sapmanın 1.24 kg/mm2 olduğu iddia edilmektedir. Bu iddiayı test etmek üzere fabrikanın üretiminden rasgele alınan 25 birimlik örneğin ortalama dayanma miktarı ölçülmüştür. Daha sonra ölçülen verilerin ortalaması 25 kg/mm2 ve varyansı da 2.4 olarak hesaplanmıştır. Bu verilere göre fabrika yöneticilerinin iddiasının doğru olduğu söylenebilir mi? (=0.01)

48 8-HİPOTEZ TESTLERİ VARYANSLA İLGİLİ TESTLER Örnek Çözüm:
Varyansın büyük olması istenmeyen bir durumdur.

49 8-HİPOTEZ TESTLERİ UYGUNLUK (UYUM) TESTİ
Birçok araştırmada gözlenen frekansların H0 hipotezinde öne sürülen teorik frekanslara uyup uymadığı belirlenmek (test edilmek) istenir. Sözgelimi, bir atölyede üretilen parçalarının boylarının parametreleri belirli olan bir normal dağılıma uyup uymadığı, bir kavşağa gelen araçların gelişlerarası süresinin parametresi belirli olan üstel dağılıma uyup uymadığı,...., vb konular test edilebilir. Gözlenen frekansların, teorik olarak beklenen frekanslara uyup uymadığı ile ilgili olarak aşağıda verilen hipotez kurulabilir:

50 8-HİPOTEZ TESTLERİ UYGUNLUK (UYUM) TESTİ Örnek:
Bir zar 120 defa atılmış ve gelen değerler aşağıda verilmiştir. Bu veriler esas alınarak sözü edilen zarın hilesiz olduğu söylenebilir mi? (=0.05)

51 8-HİPOTEZ TESTLERİ UYGUNLUK (UYUM) TESTİ Örnek Çözüm:

52 8-HİPOTEZ TESTLERİ UYGUNLUK (UYUM) TESTİ Örnek 9:
Bir inşaat mühendisliği bölümü öğrencisi yaptığı bitirme ödevi çalışmasında elde ettiği betonarme kirişlerin çatlama yüklerinin dağılımının Normal dağılımına uygunluk gösterdiğini öne sürmektedir. Bunun doğru olup olmadığını test etmek isteyen danışman hocası öğrencinin kirişlerinden 30 adet alarak çatlama yüklerini belirlemiş ve aşağıdaki frekans tablosunu elde etmiştir. %5 hata seviyesinde öğrencinin öne sürdüğü hipotezi doğruluğunu test ediniz ? Sınıf Aralığı N 3 4 8 10 2