OLASILIK ve İSTATİSTİK

OLASILIK ve İSTATİSTİK
BÖLÜM 5 Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU

5- ANAKÜTLE DAĞILIMLARI
Daha önceki bölümlerde olasılık hesaplamaları basit rastgele olaylar için toplama ve çarpma kuralı uygulanarak elde edilmişti. Ancak ilgilenilen rastgele olaya ait tüm olasılıkları Karşılaştırmaları istemin özel davranış göstergelerini ve bazı tahminleri kolaylıkla yapabilmek amacıyla tanımlanan rastgele değişkene bağlı matematiksel modeller kullanılmaktadır. Bu matematiksel modeller, rastgele değişkenlerin kesikli veya sürekli olmasına göre tanımlanmaktadır.

Rastgele değişken, aldığı sayısal değerlere göre iki farklı şekilde olabilir. Bu nedenle, rastgele değişkenler iki başlık altında ele alınır. Kesikli (Süreksiz) Rastgele Değişken Sürekli Rastgele Değişken Kesikli Rastgele Değişken: X rastgele değişkeninin R’deki değer kümesi olan A sayılabilir veya sayılabilir olarak sonsuz bir küme ise X‘e kesikli (süreksiz) rastgele değişken denir. Örnek: Bir zar atışı, Paranın yazı tura atışı Bir fabrikanın haftalık üretimindeki kusurlu mal sayısı

Sürekli Rastgele Değişkenler X rastgele değişkeninin R ‘deki değer kümesi olan A sayılamaz bir küme ise X ‘e sürekli rastgele değişken denir. Değer kümesinin olarak yazılacağı görülmektedir. Rastgele değişkenlerin kesikli ve sürekli ayrımı, basit olarak; tanımlanan rastgele değişkenin tamsayı olma durumunda kesikli, diğer durumlarda sürekli şekliyle olabilir. Örnek: bir malzemenin çekme dayanımı bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunluğu aracın belirli bir zamanda aldığı yol, bir koşuya katılanların bitirme süreleri

Olasılık Matematiksel Fonksiyonları İlgilenilen tüm olasılıkları, karşılaştırmaları, sistemin özel davranış göstergelerini ve bazı tahminleri kolaylıkla yapabilmek amacıyla tanımlanan değişkene bağlı matematiksel modeller kullanılmaktadır. Rastgele değişkene ait matematiksel modeller (fonksiyonlar): kesikli rastgele değişkenler için olasılık fonksiyonu sürekli rastgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak tanımlanır

Olasılık Fonksiyonu

Örnek 1: İki hilesiz zarın atılması olayını dikkate alalım. X; atılan iki zardaki sayıların toplamını gösteren rastgele değişkeni olsun. a)X’in olasılık fonksiyonun bulunuz Aşağıdaki olasılık değerlerini, olasılık fonksiyonu kullanarak elde ediniz b)Toplamın 7 veya 11 olması c)toplamın 8’den büyük olması d)Toplamın 3 den büyük fakat 9 dan küçük olması

Örnek çözüm 1:

Örnek çözüm 1 (Matlab uygulaması):

Örnek 2: 3 yeni, 4 tane kullanılmış hala çalışan ve 5 kusurlu bataryadan seçilecek 3 rastgele bataryanın olasılık fonkisyonunu elde ediniz?

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Olasılık yoğunluk fonksiyonlarıda, olasılık fonksiyonları gibi grafiksel olarak elde edilebilir ve ilgilenilen rastgele olayın olasılıkları kolaylıkla grafikten gözlemlenebilir.

Örnek 3: X, aşağıda verilen olasılık fonksiyonuna sahip bir sürekli rastgele değişken ise

Örnek çözüm 3:

Dağılım Fonksiyonu X rastgele değişkenin (kesikli veya sürekli) verilen bir değere eşit veya küçük çıkma olasılığı ile ilgilenilen olaylar olasılık hesaplamalarında önemli bir yer tutar. Örneğin: Makine elemanına gelen kuvvetlerin, emniyetli kuvvet değerinden daha küçük olma ihtimali vb. Bu tür hesaplamalar için dağılım fonksiyonu kullanılır Bu fonksiyona eklenik dağılım fonksiyonu (kümülatif dağılım fonksiyonu),(birikimli dağılım fonksiyonu)denir.

Dağılım fonksiyonu grafiği, olasılık fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonu ile belirtilen olasılıkların toplamını belirtir. Örnek 4: (Kesikli rastgele değişkenler) Şekilde verilen basit mesnetli kiriş ve P1 ve P2 yüküne maruzdur. Uygulanan P1 yükünün 4, 5 ve 6 değerleri alma olasılığı P(P1=4)=0.3 P(P1=5)=0.5 P(P1=6)=0.2 olsun. Olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunu çiziniz.

Örnek çözüm 4: Olasılık fonksiyonu çiziminde: X ekseni: rastgele değişkenin alacağı değerleri Y ekseni: bu değerleri alma olasılığını göstermektedir Dağılım fonksiyonu ise; Y ekseni: bu değerleri alma olasılıklarının eklenik toplamını göstermektedir

Örnek çözüm 4 (Matlab uygulaması):

Örnek 5 (Sürekli rastgele değişken): Yüksek bir yapının rüzgar hesabında kullanılacak olan maksimum rüzgar hızı için aşağıda verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu kabul edilmiştir. a)Dağılım fonksiyonunu elde ediniz b)Olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunu çiziniz c)Rüzgar hızının 80 km/h aşma olasılığını hesaplayınız

Örnek çözüm 5: a) Dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonun belirli bir aralıkta integre edilmesi ile elde edilebilir

Örnek çözüm 5: b) Dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonun belirli bir aralıkta integre edilmesi ile elde edilebilir

Örnek çözüm 5: c) Rüzgar hızının 80 km/h aşma olasılığı dağılım fonksiyonu veya dağılım fonksiyonu grafiği yardımıyla elde edilebilir. Grafikten okunacak olasılık değeri İstenilen olasılık ise, tüm olasılık 1’ e eşit olduğundan:

Kümülatif dağılım fonksiyonu sürekli artan (monotonic) bir fonksiyondur ve özelliğine sahiptir. Bir olayın y1 ve y2 arasında bir değer alma olasılığı o sürekli değişkenin y1 ve y2 deki dağılım fonksiyonu değerleri arasındaki farka eşittir. Yani;

Örnek 6: X sürekli rastgele değişkene ait olasılık fonksiyonu yanda verildiği gibi olsun. Aşağıdaki ifadelerin doğru olup olmadığını belirleyiniz.

Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında genel bilgiler vermektedir. Yapılan araştırmalardan elde edilen verilere ait dağılımın şeklinin ve dağılım fonksiyonunun ampirik olarak belirlenmesi kolay değildir. Bu nedenle, verilerin özelliklerine göre uygunluk gösterecekleri bazı ana kütle dağılımları teorik olarak geliştirilmiştir.

Binom Dağılımı Kesikli dağılımların en yaygın kullanılanıdır. Atılan bir paranın yazı veya tura gelmesi, Montajdaki parçanın toleransa uygunluğu ve uygunsuzluğu Öğrencinin bir dersten başarılı veya başarısız olması gibi iki sonuçlu olayların olasılığının hesaplanmasında kullanılır. Binom dağılımına uyması için aşağıdaki şartları sağlaması gerekir: Deneme belirli sayıda (n) tekrarlanır. Her deneyin başarılı ve başarısız olmak üzere iki sonucu vardır. Deneyler birbirinden bağımsızdır. Başarı olasılığı (p) ve başarısızlık olasılığı q=1-p dir. n deneyde elde edilen başarılı sonuçlar x değişkenine atanır.

Binom Dağılımı Binom dağılımın olasılık fonksiyonu:

Örnek 7: a)10 yazı/tura atmada 4 yazı gelme olasılığını hesaplayınız b)Bir zarın 20 kez atılması durumunda tam 12 kez altı gelme olasılığını hesaplayınız.

Örnek çözüm 7:

Örnek 8: 3 çocuklu bir ailede ailenin sahip olacağı erkek çocuk sayısının binom dağılımına göre ihtimal değerleri nelerdir?

Poisson Dağılımı: İlgilenilen zaman aralığı, uzunluk veya hacimde sık sık karşılaşılmayan olayların özel durumları için geliştirilen dağılımdır. Örneğin: Belirli bir trafik noktasında meydana gelen trafik kazası sayısı, 1 m2 kumaştaki kusur sayısı, 1 cm3 kandaki anormal hücre sayısı,......vb sayılabilir

Örnek 9: Bir sınıftaki öğrenciler üzerine yapılan bir araştırmada dersi dinlemeyen öğrenci sayısının ortalama olarak 3 kişi olduğu belirlenmiştir. Herhangi bir derste; a) En az bir kişinin dersi dinlememesi olasılığını hesaplayınız. b) En fazla iki kişinin dersi dinlememesi olasılığını hesaplayınız

Örnek çözüm 9:

En sık kullanılan sürekli rastgele değişkenlere ait Anakütle Dağılımları; Sürekli düzgün dağılım Normal dağılım Üstel dağılım Lognormal dağılımı Gamma dağılımı Ki-kare dağılımı

Düzgün Üniform Dağılım X sürekli rastgele değişken belirli bir aralıktaki her değerinin meydana gelme olasılığı eşit ise bu rastgele değişkenin dağılım düzgün (Üniform) dağılımdır. Üniform dağılıma ait olasılık fonksiyonu:

Örnek 10 : Süper marketteki kasaya 30 dakikalık periyotta bir müşteri gelmiştir. Bu müşterinin son 5 dakikada gelmiş olma ihtimalini hesaplayınız.

Örnek Çözüm 10:

ÜNİFORM DAĞILIM İLE İLGİLİ MATLAB KOMUTLARI [a, b] aralığında üniform dağılmış rasgele değişkenin bu aralık içerindeki herhangi bir x değerini alma ihtimali unifcdf komutu ile hesaplanır. Örneğin bir önceki örnek aşağıda verilen MATLAB komutu yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir:

Normal Dağılım Sürekli olasılık dağılımlarının en önemlisi ve en çok kullanılanı normal dağılımdır. Normal dağılıma, bu dağılımı geliştiren kişilerin isimlerine atfen Gauss-Laplace dağılımı, Eğrinin biçimine izafeten de çan eğrisi de denilmektedir. Evrendeki birçok olay normal dağılıma uygunluk gösterdiğinden yapılan araştırmalarda elde edilen verilerin değerlendirilmesinde çok yaygın olarak kullanılmaktadır.

Normal Dağılım Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu Normal yoğunluk fonksiyonu iki parametreye sahiptir: ortalama ( µ ) standart sapma ( σ ) Normal dağılım fonksiyonu ve kümülatif dağılım fonksiyonu grafiksel olarak aşağıda verilmiştir.

Ortalama ve Standart sapma değerlerine bağlı olarak Normal dağılımın yeri ve biçimi değişmektedir. Örneğin: Aşağıda şekilleri verilen A, B ve C normal dağılmış rastgele değişkenler arasında:

Normal dağılımın süreklilik özelliğinden dolayı X rastgele değişkeninin sadece belirli bir aralıkta değer alması söz konusudur. İlgilenilen aralıkta değer alma olasılığı, olasılık yoğunluk fonksiyonunun entegrali ile elde edilir. Görüleceği üzere oldukça fazla işlem yükü gelmektedir. İşlem yükünü azaltmak için bu dağılım yerine geliştirilen standart normal dağılım kullanılmaktadır. X rastgele değişkeni normal dağılıyorsa aşağıdaki şeklinde gösterilir:

X normal değişkeni sonsuz değer alabileceğinden nümerik olarak çözüm elde edilebilmesi için normal dağılmış rastgele fonksiyon standart normal dağılmış rastgele değişkene dönüştürülür: Bu ifade normal rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonun yazılırsa standart normal değişkene ait olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir:

Dağılımın genel özellikleri dikkate alınarak standart normal değişken (Z) için integralleri hesaplanarak standart normal dağılımla ilgili tablolar hazırlanmıştır.

Z tablosu Eğrinin altında kalan sağ taraftaki alanı verir

Z tablosu olarak adlandırılan bu tablolar farklı şekillerde düzenlenmektedir. Bu ders kapsamında kullanılacak olan tablo P(Z > z0) olasılığını vermektedir. Verilen tablo yardımıyla normal dağılıma ait her türlü olasılık hesaplanabilmektedir. Ayrıca, dağılım simetrik olup dağılımın tepe noktasının yatay ekseni kestiği noktanın koordinatı sıfırdır (dağılımın ortalamasıdır) ve eğri altında kalan alanın değeri 1’e eşittir. Dağılım simetrik olduğu için P(Z > 0) = P(Z < 0)= 0.5 dir. Bu nedenle, ortalamanın sağında kalan kısmı tablolarda verilmekte, diğer yarısının aynı olduğu bilinmektedir

İstenen X rastgele değişkeninin belirli aralıkta değer alma olasılığını hesaplamak için izlenecek yaklaşımlar şöyle özetlenebilir:

Örneğin µ= σ= n=350 P(118 < X)=? P(X < 90)=? Normal Dağılım Standart Normal Dağılım

Örnek 11: Aşağıdaki değişkenin Xi değerlerine karşılık gelen Zi değerlerini ve Zi değerlerinin ortalama ve varyansını hesaplayınız? No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Xi 10 11 12

Örnek 12: Ortalaması µ=60 ve varyansı σ2 = 64 olan bir ağırlık populasyonundan şansa bağlı çekilen bir ferdin, Ağırlığının 70 kg dan daha fazla olması ihtimalini, Ferdin ağırlığının 45 kg ile 70 kg arasında olması ihtimalini Bu populasyonda ağırlıkları 70 ile 90 kg arasında olanların oranını Ağırlığı 70 kg dan az olanların oranını hesaplayınız?

Örnek 13: Bir yağış ölçeğinde Mart ayında ölçülen aylık yağış yüksekliğinin normal dağılmış olduğu kabul edilmektedir. Aylık yağışın ortalaması µx =90, standart sapması σx =25 mm bulunmuştur. a) Herhangi bir yılın mart ayında 70 mm’den az yağış düşmesi olasılığını hesaplayınız? b) 80 mm ile 100 mm arasında yağış düşmesi olasılığını hesaplayanız? c) 120 mm’den fazla yağış düşmesi olasılığını hesaplayınız?

NORMAL DAĞILIM İLE İLGİLİ MATLAB KOMUTLARI Normal dağılmış bir rastgele değişkenin belirli bir X değerine karşılık olasılık yoğunluk fonksiyonu değeri aşağıdaki komut yardımıyla hesaplanır: Burada MU ve SIGMA sırasıyla normal dağılmış rastgele değişkenin ortalamasını ve standart sapma değerini göstermektedir. Normal dağılmış rastgele değişkenin -∞ ile belirli bir x değerini alma olasılığı P olasılığını veren - ∞ dan X’e olasılık hesabında X rastgele değişkeni belirlemek

Standart normal dağılmış bir fonksiyona ait olasılık hesaplamaları için normcdf komutu aşağıdaki şekilde verilmedir. Verilen iki sınır değer arasında normal rastgele değişkene ait olasılık dağılım fonksiyonunu çizmek için: Burada specs: limit değerleri göstermektedir. p: olasılık değerini göstermektedir

Örnek 14: Eğer Z standart normal dağılmış bir rastgele değişken ise aşağıdaki olasılıkları grafiksel olarak gösterip hesaplayınız.

Örnek çözüm 14:

Örnek 15: Önceki problemlerde eksen değerlerinden hareketle olasılık değeri bulunurken bu problemde olasılık değerinden hareketle eksen değerleri bulunmaktadır. Yani tabloya bakış yönteminde değişiklik var. Tablodan olasılık değerine karşı gelen z değeri araştırılırsa bunun 1.96 (yani z1=1.96) olduğu görülür

Örnek 16:

Örnek çözüm 16: Değer çift taraflı olduğundan (her iki kuyruğu kapsadığından) her parçanın olasılığı (1-0.90)/2=0.05 dir. Tablodan 0.05 olasılık değerine karşı gelen z değeri araştırılırsa bunun 1.64 (yani z1=1.64) olduğu görülür.

Örnek 17: Bir imalathanede üretilen millerin çaplarının ortalaması inç ve standart sapmalarının ise 0.001inç olan normal dağılıma uyduğu tespite edilmiştir. Üretilen miller eğer 3.000±0.002 inç aralığının dışında iseler bu miller hatalı üretim kabul edilmektedir. Buna göre toplam üretimdeki hatalı ürün miktarını bulunuz

Örnek çözüm 17:

Dağılım Tipinin Belirlenmesi Ham olarak elde edilen rasgele değişkene ait dataların dağılım tipini (Normal, Lognormal, Exponensiyel, Lognormal) belirlemek rasgele değişken kullanılarak yapılacak analizler için çok önemlidir. Bu işlemler de rasgele değişkenin nasıl bir dağılım davranışı gösterdiği ve bu dağılımın parametreleri kullanılmaktadır. Ham olarak elde edilen bu datalara bir dağılım uydurmak (distribution fitting) için aşağıda verilen adımlar takip edilir: Dağılım tipini grafiksel olarak belirlemek Belirlenen bu dağılım tipine ait parametreleri tahmin etmek Belirlenen bu dağılım tipinin uygunluğunu test etmek

Dağılım Tipini Grafiksel olarak Belirlenmesi Ham olarak elde edilmiş rasgele değişkene ait dataların hangi dağılım tipine uygun olduğunu belirlemede genellikle bu dataların grafiksel olarak gösterimi ile birlikte uygunluk testi (goodness-of-fit) uygulanarak elde edilir

Dağılım parametrelerinin tahmini Belirlenen dağılıma ait parametrelerin (ortalama, standart sapma, çarpıklık, basıklık gibi)için başlıca iki metot kullanılır: •Momentler metodu(method of moments) •Maksimum olabilirlik metodu (method of maximum likelihood) Bu metotlar vasıtasıyla edilen parametreler daha sonra gerçekleştirilecek analizlerde rasgele değişkenlerin kullanılmasını sağlar

Seçilen dağılım fonksiyonun uygunluk testi: Son adım olarak, rasgele değişkenlere ait belirlenmiş dağılım tipinin uygunluk testi yapılarak istatistiksel olarak ne kadar uygun olduğu tespit edilir. Bu adım da kullanılan belli başlı uygunluk testi yöntemleri: •Ki-kare uygunluk testi(Chi Square test) •Kolmogorov Smirnov test •Anderson Darling test

Kaynaklar 1- İstatistik ve Olasılık Ders Notları-Prof. Dr. İrfan KAYMAZ 2-İstatistiğe Giriş- Prof. Dr. Necati YILDIZ 3- İstatistik Analiz Metotları- Prof. Dr. Bilge ALOBA KÖKSAL 4- Mühendisler için İstatistik- Prof. Dr. Mehmetçik BAYAZIT

OLASILIK ve İSTATİSTİK

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "OLASILIK ve İSTATİSTİK"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim

Giriş

Sosyal ağ üzerinden giriş yapmak:

OLASILIK ve İSTATİSTİK

Benzer bir sunumlar

... konulu sunumlar: "OLASILIK ve İSTATİSTİK"— Sunum transkripti:

Benzer bir sunumlar

Proje hakkında

Geri bildirim