İlköğretim Matematik Öğretiminde Karşılaşılan Kavram Yanılgıları

... konulu sunumlar: "İlköğretim Matematik Öğretiminde Karşılaşılan Kavram Yanılgıları"— Sunum transkripti:

1 İlköğretim Matematik Öğretiminde Karşılaşılan Kavram Yanılgıları

2 Kavram: nesnelerin ya da olayların belirli ortak özelliklerini taşıyan ve ortak ad altında toplayan soyut ve genel bir isimdir. Doğru, ışın, açı, üçgen, paralelkenar, çokgen, işlem, benzerlik, küme vs. birer matematiksel kavramdır. Matematiğin yapısında tanımsız kavramlar, tanımlar, aksiyomlar ve teoremler gibi temel elemanlar da vardır. Örn:nokta, doğru tanımsız kavramlardır. Bir sistemin, teorinin ya da modelin kurulmasında kullanılan kavramların iyi tanımlanmış olması gerekir. Yani, bunların adları olan terimlerin ve ifadelerin herkes tarafından aynı şekilde anlaşılacak biçimde, hiç biri açıkta bırakılmadan ve bir karışıklığa meydan verilmeden açıklanması gerekir. Örneğin, “ Bir düzlemde, en az üçü doğrusal olmayan noktaları birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı düzlemsel şekillere çokgen denir.” Bu tanımda nokta ve doğru kavramları kullanılmaktadır. Oysa nokta ve doğru matematikte tanımsız kavramlardır.

3 KAVRAM YANILGISI NEDİR?
Matematik eğitimi literatüründe matematik öğreniminde karşılaşılan zorlukları ifade etmek için birçok değişik terimin kullanıldığı, aynı zamanda birbirlerinin yerine de kullanıldığı görülmektedir. “zorluk” (difficulty), “kavram yanılgısı” (misconception) ve “hata” (error) terimleri öğrencilerin matematik öğreniminde yaşadıkları güçlüklerin ifade edilmesinde en sık kullanılanlar arasındadır. Öğrencilerin öğrenme güçlüklerini anlamlandırmada ve çözümlemede en yeterli terimin kavram yanılgısı olduğuna karar verilmiştir. Kavram yanılgısı en genel ifadeyle “öğrencilerin fikirlerindeki bilimsel olarak doğru olmayan, kendilerine özgü yorumlar ve anlamlar” olarak tanımlanmaktadır.

4 Smith, diSessa ve Roschelle (1993,s
Smith, diSessa ve Roschelle (1993,s.119) kavrayış teriminin kavram yanılgısının anlamlandırılmasındaki rolüne işaret etmiş ve kavram yanılgısını “sistematik bir şekilde hata üreten öğrenci kavrayışı” olarak tarif etmiştir. Zembat da kavram yanılgısını “basit hatadan çok sistemli bir şekilde insanı hataya teşvik eden algı biçimi” olarak belirtmiştir. Buradan da anlaşılmaktadır ki öğrencilerin sistematik olarak yaptıkları hatalar sıradan yapılan bir işlem hatasından farklı olup, kendisini ortaya çıkaran ve kontrol eden derin bir kavrayışın, bir mana sisteminin (Nesher,1987), bir bilişsel yapının (Oliver,1989) ya da bir kavram yanılgısının varlığına işaret etmektedir. Başka bir deyişle öğrencilerin yaptıkları hatalar yüzeydeki görüntü olup, bu görüntünün oluşmasını kontrol eden ve oluşmasına kaynaklık eden bir kavram yanılgısı söz konusudur. (Nesher,1987)

5 Kavram Yanılgısı Türleri
Kavram yanılgıları farklı özelliklere sahip olduğu için farklı türlerinin de olması söz konusudur. Aşırı özelleme ve aşırı genelleme en öne çıkan türlerdir. (Graeber ve Johnson,1991;Ben-Hur,2006; Zembat,2008) 1-Aşırı özelleme: En genel anlamıyla “bir kuralın, prensibin veya kavramın kısıtlı bir kavrayışa indirgenerek düşünülmesi ve kullanılmasıdır.” örneklerle inceleyelim: öğrencilerin sıklıkla karşılaştıkları dik üçgen modeline bakarsak; dik üçgenlerin sadece şekildeki modele indirgenerek, dik kenarları değişik konumlarda yer alan üçgenlerin dik üçgen olmadığının düşünülmesi aşırı özellemeye örnektir.

6 Benzer bir örnek dikdörtgen kavramı için de söz konusudur
Benzer bir örnek dikdörtgen kavramı için de söz konusudur. Ryan (2007) gerek öğretmenlere gerekse öğrencilere “dikdörtgeni hayal edin; hayal ettiğiniz dikdörtgen neye benzer?” türünden bir soru yönletildiğinde, hemen hemen herkesin şekildeki işaretli dikdörtgene benzer bir dikdörtgen çizdiklerini belirtmektedir. “kalıplaşmış” bir düşünme tarzının yol açtığı bu sonuçlar, Ryan’ın işaret ettiği gibi kare şeklinin, bir dikdörtgen olarak kabul edilmemesine neden olmaktadır.

7 2- Aşırı genelleme: Zembat (2008,s
2- Aşırı genelleme: Zembat (2008,s.43) yaptığı literatür taramasında büyük oranda Graeber ve Johnson’ın (1991) çalışmasına dayanarak aşırı genellemeyi şu şekilde tarif etmektedir: “belli bir sınıfa ait kural, prensip veya kavramın diğer sınıflarda da işliyormuş gibi düşünülmesi ve diğer sınıflara da yayılmasıdır.” Örneklerle inceleyelim: Aşırı genellemeye ondalık sayılarla alakalı kavram yanılgılarını örnek olarak gösterebiliriz.Öğrenciler ondalık sayıların karşılaştırılmasında “uzun sayılar değerce daha büyüktür” (örneğin 3,17>3,2) ve “az rakam içeren sayı değerce daha büyüktür” (5,2>5,34) şeklinde kavram yanılgılarına sahiplerdir.Bu kavram yanılgılarını aşırı genelleme açısından ele alacak olursak ,karşımıza şu şekilde bir tablo çıkacaktır.Öğretimde sürekli 4,25>4,1 şeklindeki ondalık sayıların karşılaştırılmasını tecrübe eden bir öğrenci ,bu tecrübeden yola çıkarak “uzun sayılar değerce daha büyüktür” kavrayışı geliştirebilir.Bu tür bir kavrayış öğrenciye 4,25>4,1 ve benzeri örnekler için doğru cevaplar bulmasına fırsat verirken 3,17>3,2 ve benzeri örneklerde ise hata yapmasına neden olur.Öğrencinin 4,25>4,1 türü örnekler üzerinden geliştirdiği “uzun sayılar değerce daha büyüktür “ kavrayışı bir aşırı genellemedir.

8

9 Kavram Yanılgılarının Nedenleri?
Konu üzerinde yapılan araştırmalar incelendiğinde öğrenci kavram yanılgılarının nedenlerinin öğrenci bilgi düzeyi ve becerisi,öğretim yöntem ve stratejisi,öğrenilen konunun zorluğu gibi birçok değişik etkenle ilişkilendirildiği görülmektedir. Kavram yanılgılarına yol açan sebepleri de ayrıntılı incelersek; 1. Epistemolojik nedenleri 2.Psikolojik nedenleri 3.Pedagojik nedenleri şeklinde sıralayabiliriz.

10 Kavram yanılgılarının epistemolojik nedenleri
Matematik öğreniminde ortaya çıkan kavram yanılgıları kimi zaman öğrenilen kavramın doğasından veya özelliklerinden kaynaklanabilmektedir. Literatürde “epistemolojik zorluk” ya da “engel” terimleri (Bachelard,1938) üzerinden açıklanan bu zorluk ve kavram yanılgıları bu kısımda “kavram yanılgılarının epistemolojik nedenleri” başlığı altında ele alınmaktadır. Bachelard epistemolojik zorlukların/engellerin iki temel karakteristik özelliğinin olduğunu belirtmektedir: (epistemolojik engeller) kaçınılmazdır ve öğrenilecek bilginin temel bir parçasını oluşturmaktadır, Bu engeller, en azından bir kısmı, ilgili kavramın tarihsel gelişiminde de karşılaşılmıştır. Bu iki temel karakteristik özelliğin birincisinden anlaşılacağı üzere epistemolojik engeller öğrenilecek kavramın doğasında vardır. Tarihsel gelişim sürecinde söz konusu kavram yapılandırılırken bilim insanlarının karşılaştığı güçlükler ve ihtilafa düştükleri noktalar bu kavramın sahip olduğu epistemolojik engellere bir kanıttır.

11 Tarihi gelişiminde matematikçilerin anlamlandırmakta zorluklar yaşadığı irrasyonel sayılar,aynı zamanda öğrencilerinde anlamakta güçlükler çektikleri sayılar olduğu yapılan çalışmalar tarafından ortaya konmuştur. Örneğin, Mamolo’nun (2007) üniversite birinci sınıf öğrencileri üzerine yaptığı çalışmasında,öğrencilerin π irrasyonel sayısını sonsuz bir sayı olarak niteledikleri görülmüştür. Mamolo öğrencileri bu türden yanlış bir cevaba götüren nedeni ise π sayısında sonsuz basamağın olması şeklinde belirtmiştir. Ayrıca,π sayısının sonsuz basamağa sahip olması,öğrencileri bu sayının gerçek sayı doğrusunda bir noktaya karşılık gelmeyeceği şeklinde bir hataya da sevk etmiştir. Üniversite öğrencilerinin bile bu sayı türü ile ilgili yaşadıkları güçlükler,aslında bu sayıların doğasında var olan engellerle ilişkilidir.

12 Kavram yanılgılarının psikolojik nedenleri
Kavram yanılgılarının psikolojik nedenleri,en genel anlamda,biyolojik,bilişsel ve duyuşsal boyutları içeren kişisel gelişimle alakalıdır. Bu bağlamda,öğrencinin kavrama yeteneği,becerisi,öğrenilenin öğretildiği dönemde bireyin bulunduğu gelişim aşaması,önceki bilgileri ve hazır bulunuşluk düzeyi gibi faktörlerin hepsi öğrencinin öğreneceği yeni bir kavramı nasıl öğrendiğini derinden etkilemektedir. Öğrencilerde görülen kavram yanılgılarında bu faktörlerin yol açtığı kavram yanılgılarına öğrenci kaynaklı ya da psikolojik kaynaklı kavram yanılgısı denilecektir.

13 Öğrenciler öğrenme ortamlarına ya da sınıflara, Resnick’in de belirttiği gibi boş levhalar olarak gelmezler. Aksine, öğrenciler tecrübeleri ışığında aktif olarak yapılandırdıkları bazı teori,bakış açısı,bilgi ya da kavrayışlar ile gelirler. Ausubel “öğrenmeyi etkileyen en önemli faktör öğrencinin o zamana kadar ne bildiğidir” demiştir. Öğrenciler okul yaşantıları dışında edinmiş oldukları bilgileri ile formel öğrenme ortamları olan sınıflara gelirler. Dolayısıyla öğrenciler bazı olgu,olay ve kavramlarla ilgili sezgisel kavrayışlara sahiptirler( Mack,1995). Bu nedenle okul yaşantıları dışında ve boyunca edinilen kavrayışlar öğrencilerin kavram yanılgılarına düşmelerine neden olabilmektedir.

14 Okul yaşamı dışında edinilmiş bilginin yol açtığı kavram yanılgısını örneklendirmek için sonsuzluk kavramını ele alalım. Öğrenciler sonsuzluk kavramı ile ilgili olarak öğrenime başlamadan önce sezgisel olarak bazı kavrayışlara sahiptirler ve bu yüzden sonsuzluk kavramı öğrencilere birtakım zorluklar yaşatmaktadır. Singer ve Voica’nın (2003) yaşları arası öğrencilerle sonsuzluk kavramı üzerine yaptıkları çalışma, öğrencilerin sezgisel kavrayışlarının sonsuzluk kavramını adlandırmada ne ölçüde önemli olduğunu ortaya koyması açısından önemlidir. Bu çalışmada öğrencilerden sonsuzluk kavramını kendi kelimeleri ile ifade etmeleri istenmiştir. Buna karşılık öğrenciler de sonsuzluğu; sürekli artan, çok büyük, sınırsız, sayılabilen bir kavram olarak çeşitli şekillerde tasvir etmişlerdir. Aşırı genelleme içeren bu tür kavrayışlar kavram yanılgılarının da birer örneğini teşkil etmektedirler.

15 Öğrencilerin yaşadıkları matematiksel zorluklar ve kavram yanılgıları sadece okula getirdikleri sezgisel bilgilerden kaynaklanmaz. Okul yaşamları sırasında geliştirilen kavrayışlar da bazen kavram yanılgılarına neden olabilmektedir. Örneğin: ilköğretimin ilk kademesinde çarpma işlemi konusundaki tecrübeler neticesinde “çarpma işleminin sonucu her zaman çarpan ya da çarpılandan daha büyüktür.” şeklinde aşırı genelleme içeren bir kavrayış da hatalıdır. Bu kavrayış, pozitif tamsayıların çarpımı için doğru sonuçlar verse de, negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı ya da iki tane ondalık sayının çarpımı söz konusu iken hatalı sonuçların elde edilmesine yol açmaktadır.

16 Kavram yanılgılarının pedagojik nedenleri
Öğretim modelleri, bu modellerin uygulanışı, öğretmenlerin kullandığı metafor ve analojiler, ders kitapları,konu ve kavramların ders kitapları ve programlarda ele alınış sıraları ve biçimleri gibi unsurlar pedagojik sebepler bağlamında düşünülebilecek faktörlerdir. Bu faktörlerin hemen hepsi şüphesiz ki, öğrencinin öğrenimini ve neyi nasıl öğrendiğini çok yakından etkileyebilmektedir. Örneğin, bir sayıyı 10 sayısı ile çarpma Bilindiği gibi ilköğretim yıllarında 10 sayısı ile çarpma işlemi öğretilirken bir sayıyı 10 ile çarpmak demek çarpılan sayının sonuna bir 0 eklemektir. Şeklinde bir kural kullanılır. Doğal sayıların 10 ve kuvvetleri ile çarpımında doğru sonuca ulaşmak için kolaylıklar sağlayan bu kural ondalık sayıların 10 ile çarpımında kavram yanılgısına neden olmaktadır. Öğrenci 2,3 x 10 çarpma işlemini 2,30 şeklinde cevaplayarak hataya düşmektedir. Halbuki 10 sayısı ile çarpma işlemi “ çarpılan sayıyı 10 kat büyütür” kuralı şeklinde verilmelidir.

17 Kavram yanılgılarının yaşandığı başlıca konular
Üslü ve köklü sayılar Sayılarda basamak değeri kavramı Negatif sayılara ilişkin zorluklar Simetri kavramı Permütasyon, kombinasyon konuları 1. dereceden bir bilinmeyenli denklemler Bir sayıyı sayı doğrusu üzerinde gösterme Kesirler üzerinde dört işlem Ondalık sayılar üzerinde işlemler, sıralama Yüzde problemleri Oran-orantı…

18 Sorular ve görülen bazı kavram yanılgıları
Soru 1. A musluğu bir havuzu tek basına 6 saatte; B musluğu aynı havuzu tek başına 9 saatte doldurabiliyor. Aynı anda açılan ve bir havuza 3 saat boyunca su dolduran A ve B musluklarından hangisi daha çok su akıtır? Hâlbuki A musluğu 3 saatte havuzun yarısını doldurabilecek kadar su akıtırken; B musluğu havuzun üçte birini doldurabilecek kadar su akıtır.

19 Soru 2: Bir musluk boş bir havuzu 12 saatte doldurmaktadır
Soru 2: Bir musluk boş bir havuzu 12 saatte doldurmaktadır. Musluktan bir saatte akan su miktarı %20 azaltılırsa, bu boş havuz kaç saatte dolar? Bu soruda matematikte yüzde kavramı ile orantı kavramı bilgilerini kullanarak öğrencinin problemi çözmesi istenmektedir. Aşağıda verilen öğrenci cevabından öğrencinin yüzde kavramı konusunda bilgi sahibi olmadığı anlaşılmaktadır.

20 Soru 3. Ali günde 10 saat çalışarak bir isi 12 günde bitirebiliyor
Soru 3. Ali günde 10 saat çalışarak bir isi 12 günde bitirebiliyor. Günde 8 saat çalışsaydı aynı isin üçte birini kaç günde bitirebilirdi? Öğrenci bu soruda, günlük çalışma süresinin azaltılması durumunda gün sayısı olarak işin bitme süresinin artacağını düşünerek orantı kuramamıştır.

21

22 Bu soruda görüldüğü üzere öğretmen kesir kavramını ve kesirler arasında dört işlemi anlatırken işlem önceliği konusunun üzerinde durmamıştır. Bu nedenle öğrenci kendine kolay gelen bölümleri yaparak soruyu çözmüştür.

23 Burada öğrencilerin, rasyonel sayılarla ilgili temel işlem yapma ve
denklem kurma ile ilgili becerilerinin tam olarak gelişmediği anlaşılmaktadır.

24

25 Soru 4: Aşağıdaki sayılardan hangisi bir rasyonel sayıdır? Cevabınızın
nedenini açıklayınız. a)3/ b) c) d) e) hepsi

26 Bazı ders kitaplarındaki anlatım bozuklukları:
Örnek , 24sayısının sadece pozitif bölenlerini içeriyor. Oysa ifade genel olup, sayının negatif bölenlerini içermiyor.

27 Bu tanımdan 1 sayısının da asal sayı olduğu sonucu çıkar!
Bir üçgende 60 derecelik bir açı karşısında 4cm, 70 derecelik bir açı karşısında 3 cm’lik bir uzunluk olabilir mi? Böyle bir üçgen çizilebilir mi?

28 Özellik negatif tam sayılarla ilgili, ancak örnek pozitif tam sayılarda verilmiş.

29 Peki alttaki örneğe bakarsak; 7 ve 8 tam sayıları için,
7:8= tam sayı mıdır? (-7):8= negatif bir tam sayı mıdır? (-7): ( -8)=? tamsayı mıdır? Sayı doğrusu üzerinde, sıfırın solunda bulunan sayılar zaten sıfırdan küçüktür. Fakat hepsi tam sayı değildir. Örn: -5/7 rasyonel sayıdır.

30 Yukarıdaki verilerin sonuçlarına bakıldığında, ülkemizdeki matematik öğretiminde, öğrencilerin çoğunun sadece dinleyen, sorgulamayan, tahtaya yazılanı defterine aynen yazan, kitaplardaki bilgileri tartışmayan; yani halen pasif alıcı konumda olduğu; dolayısıyla öğretmen merkezli bir öğretim olduğu söylenebilir. Bu durumu sadece öğrenciler değil öğretmenlerin öğrencilere karşı tutumu ve konuyu anlatış biçimi, kitaplardaki konu anlatım hataları da etkilemektedir.

31 İlköğretimdeki matematik konuları genel olarak temel kavramları içerdiğinden, bunların hemen hepsi birbirleriyle ilişkilidir. Sayılar (bir, iki,…,on bir, on iki, dörtte bir,… ), sayılar arasındaki büyüklük küçüklük kavramı, oran, toplam, çarpım bunlara örnek olarak verilebilir. Matematikteki kavramların kazanılması için çocuğun zihninde bu ilişkilerin oluşması gerekir. Bu nedenle kavramları çocuğun kendisi kazanır. Burada öğretmenin rolü, çocuğun bu kavramları zihninde oluşturmasına yardımcı olmak ve bu amaçla uygun öğretim ortamı hazırlamaktır. Kavram bilgisinin tam olarak kazandırılabilmesi için, konu ile ilgili tanımlar, özellikler eksiksiz ve doğru olarak verilmelidir. Ayrıca bir kavram öğretilirken o kavramın ne olduğunun yanı sıra ne olmadığının da verilmesi gerekir. Bu durum çocuğun zihninde, o kavramın ne olduğunun ya da neler olamayacağının netleşmesinde yardımcı olur.

32 Etkili bir matematik öğretimi yapabilmek için, o konulara ilişkin kavramların, öğrenciler tarafından tam olarak kazanılması gerekir. Matematikteki formüller ve genellemeler, öğrencilere hazır olarak verilmemeli, öğrencilerin bunları kendilerinin yaparak, deneyerek bulması esas alınmalıdır. Aksi halde bu kavramlar tam olarak kazandırılmadan problem çözmek ya da uygulama çalışmaları yaptırmak, ezbere dayalı bir öğrenme ortamına yol açar. Ayrıca öğretmenler, öğrencileri matematiksel problemler ya da sorular üzerinde düşündürmek için uygun yöntemler kullandırmalı ve ortamlar sağlanmalıdır. Matematikte her bir konu, daha önce gelen konu ile ilişkili olduğundan, öğrenciler matematiksel düşünceleri ve bunlar arasındaki ilişkiyi fark etmelidirler. Öğrenciye matematiksel düşünceyi kazandırabilmek için, öğrencinin matematiğe karşı olumlu tutum geliştirmesi ve matematiğin önemini kavrayabilmesi gerekir.

33 Matematik konularında kavram yanılgılarını minimum düzeye indirme yolunda;
Sınıfların kalabalık oluşu, matematik öğretiminin gerçekleşmesini zorlaştırmaktadır. Bu yüzden, sınıflar kişilik öğrenci sayısıyla sınırlandırılmalıdır. Kavramlar öğretilirken, öğrencilerin yaşadığı çevreden örnekler verilip, günlük hayatla ilişkilendirilmelidir. Öğretmenlerimizin yeni programı uygulayabilmelerine yönelik, yeni programın uygulama, yöntem ve tekniklerine ilişkin hizmet içi eğitime tabii tutulmalıdırlar.

34 Sınav sistemleri işlenilen müfredata göre yapılmalı ve sorular öğretilen konular çerçevesinde sorulmalıdır. Aileler yeni uygulanan sistemden haberdar edilerek, onların da eğitimin içine girmeleri sağlanmadır. Konuların sınırlılıkları ve verilmesi hedeflenen amaçları öğrencilere de aktarılarak güdülenmeleri sağlanmalıdır.

35 Matematik öğretiminde sadece işlemsel ve kurala dayalı bilgiye önem verilmemeli, bu bilginin temelini oluşturan kavramsal bilgi üzerinde de durulmalıdır. Matematik öğretiminde sadece tahta kullanılarak sunuş yoluyla öğretim yapılmamalıdır. Konuların özelliğine göre değişik öğretim yöntemleri ve teknoloji de kullanılmalıdır.

36 Öğrencilerin matematiğe karşı ilgisini artırmak için, birbirleriyle iyi iletişim kurmaları, matematiği tartışacakları iyi bir öğrenme ortamı hazırlanmalıdır.

37 Öğretmenlerin anlattıkları konular içerisinde, sordukları soruları kendilerinin çözmemesi, öğrencilere çözdürmesi ve onların sorular üzerindeki düşüncelerini alması, problem çözümünde nerelerde hata yapıyorlarsa, oralarda öğrencilere yardımcı olması kavram ve konu öğreniminde yararlı olmaktadır.