Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut.

... konulu sunumlar: "Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut."— Sunum transkripti:

1 Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade eder. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıktır. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif eder. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin bir topluluğuna küme denir" biçiminde bir tanımlama sezgisel olarak ilk başta yeterli olacaktır. matematikseltanımsızkavramdırmatematikseltanımsızkavramdır Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırdedilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir. Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin ögeleri veya batısal terimi ile elemanları adı verilir. Güneş, evrendeki yıldızlar kümesinin bir ögesidir. Bir kümenin ögesi olan bir nesneye o kümenin içindedir ya da kümeye aittir denir. Küme tanımına göre bir öge ya kümenin içindedir ya da değildir. ögeleri

2 Küme Kavramları - Eğer a elemanı A kümesine aitse bu ifade a ∈ A diye; değilse a ∉ A gösterilir. A kümesinin eleman sayısı belirtilirken s(A) veya m(A) ifadesi kullanılır. A kümesinin eleman sayısı belirtilirken s(A) veya m(A) ifadesi kullanılır. A ile B' nin kesişimi A ∩ B şeklinde gösterilir. A ile B' nin kesişimi A ∩ B şeklinde gösterilir. - A ile B' nin birleşimi A ∪ B şeklinde gösterilir. A' nın B'den farkı A/B, B'nin A'dan farkı B/A olarak gösterilir. A' nın B'den farkı A/B, B'nin A'dan farkı B/A olarak gösterilir. Eğer A kümesinin elemanlarının aynısı B kümesinde de varsa A ⊂ B(A,B'nin alt kümesidir.) veya B ⊂ A(B, A'yı kapsar.) ifadesi kullanılır. Eğer A kümesinin elemanlarının aynısı B kümesinde de varsa A ⊂ B(A,B'nin alt kümesidir.) veya B ⊂ A(B, A'yı kapsar.) ifadesi kullanılır. - Eleman sayısı,kümenin içinde bulunan eleman sayısına bakılarak hesaplanır. - Aynı eleman birden fazla,aynı küme içerisine yazılamaz.

3 Kümelerin Gösterilişi 1-Liste Yöntemi:Küme elemanları {} sembolünün içine,aralarına virgül konularak yazılır. Örnek: A = {1,2,3} 1-Liste Yöntemi:Küme elemanları {} sembolünün içine,aralarına virgül konularak yazılır. Örnek: A = {1,2,3} 2-Ortak Özellik Yöntemi:Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. Örnek: A = {x:(X’in özelliği)} Burada “x: “, “öyle x’lerden oluşur ki” olarak okunur. 2-Ortak Özellik Yöntemi:Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. Örnek: A = {x:(X’in özelliği)} Burada “x: “, “öyle x’lerden oluşur ki” olarak okunur.

4 3-Vann Şeması(Şema Yöntemi) Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. 3-Vann Şeması(Şema Yöntemi) Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Örnek: Örnek:

5 Boş Küme Elemanı olmayan kümelere boş küme denir. Elemanı olmayan kümelere boş küme denir. Boş kümeler tüm kümelerin alt kümesidir. Boş kümeler tüm kümelerin alt kümesidir. ∅ ifadesi ile gösterilir. ∅ ifadesi ile gösterilir. Örnek: A = {} veya A = {1’den küçük pozitif tamsayılar} Örnek: A = {} veya A = {1’den küçük pozitif tamsayılar}

6 Alt Küme-Öz Alt Küme A kümesinin her elemanı,B kümesinin de elemanıysa A kümesi,B kümesinin alt kümesidir. A ⊂ B olarak gösterilebilir. A kümesinin her elemanı,B kümesinin de elemanıysa A kümesi,B kümesinin alt kümesidir. A ⊂ B olarak gösterilebilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B ⊃ A olarak gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B ⊃ A olarak gösterilir. A kümesinin kendisi hariç toplam alt küme sayısı,öz alt küme sayısıdır. A kümesinin kendisi hariç toplam alt küme sayısı,öz alt küme sayısıdır. Her küme kendisinin alt kümesidir. Her küme kendisinin alt kümesidir. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Boş küme her kümenin alt kümesidir. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2’n-(2 üssü n)’dir. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2’n-(2 üssü n)’dir.

7 Eşit Küme-Denk Küme Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3 } ve C = { a, b, c } ise; A kümesi ile B kümesi eşittir. Sembolle A = B A kümesi ile C kümesi denktir. Sembolle C ≡ A A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3 } ve C = { a, b, c } ise; A kümesi ile B kümesi eşittir. Sembolle A = B A kümesi ile C kümesi denktir. Sembolle C ≡ A

8 Evrensel Küme Belirli bir alandaki tüm elemanları içeren kümeye evrensel küme denir. Genellikle E harfi ile gösterilir. Belirli bir alandaki tüm elemanları içeren kümeye evrensel küme denir. Genellikle E harfi ile gösterilir. Evrensel Küme Örnekleri: A = { a, b, c } ise bu kümenin evrensel kümesi E = { a, b, c, d } olabilir. Evrensel Küme Örnekleri: A = { a, b, c } ise bu kümenin evrensel kümesi E = { a, b, c, d } olabilir. Vann Şeması Örneği: Vann Şeması Örneği:

9 Kümelerde İşlemler 1-Kesişim:A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A ∩ B biçiminde gösterilir. 1-Kesişim:A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A ∩ B biçiminde gösterilir. Kesişimin Özellikleri: A ∩ ∅ = ∅ Kesişimin Özellikleri: A ∩ ∅ = ∅ A ∩ A = A A ∩ A = A A ∩ B = B ∩ A A ∩ B = B ∩ A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

10 2-Birleşim:A kümesindeki ve B kümesindeki bütün elemanların oluşturduğu kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A ∪ B biçiminde gösterilir. 2-Birleşim:A kümesindeki ve B kümesindeki bütün elemanların oluşturduğu kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A ∪ B biçiminde gösterilir. Birleşimin Özellikleri A È Æ = A Birleşimin Özellikleri A È Æ = A A ∪ A = A A ∪ A = A A ∪ B = B ∪ A A ∪ B = B ∪ A A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∪ B = ∅ ise, (A = ∅ ve B = ∅ )’dir. A ∪ B = ∅ ise, (A = ∅ ve B = ∅ )’dir.

11 3-Kümelerin Farkı: 3-Kümelerin Farkı: A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir. A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

12 4-Bir Kümenin Tümleyeni: 4-Bir Kümenin Tümleyeni: A kümesinin dışındaki elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. Başka bir ifade ile evrensel kümede olup A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. A' şeklinde gösterilir. A kümesinin dışındaki elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. Başka bir ifade ile evrensel kümede olup A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. A' şeklinde gösterilir. Örnek: A = { 1, 2, 3 } ve E ={ Rakamlar } olsun. A kümesinin tümleyeni A' = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olur. Örnek: A = { 1, 2, 3 } ve E ={ Rakamlar } olsun. A kümesinin tümleyeni A' = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olur.

13 Örnek Sorular: Örnek Sorular: 1- 1- 2- 2-

14 3- 3- 4- 4-

15 5- 5- 6- 6-

16 7- 7- 8- 8- 9- 9-

17 10- 10- 11- 11- 12- 12-

18 13- 13-

19 14- 14- 15- 15-

20 16- 16-

21 17- 17-

22 18- 18-

23 Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi