COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-1 İstatistiklerin Kullanımı.

... konulu sunumlar: "COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-1 İstatistiklerin Kullanımı."— Sunum transkripti:

1 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-1 İstatistiklerin Kullanımı İşaret Testi Dizilim Testi - Rassal Olma İçin Test Mann-Whitney U Testi Wilcoxon İşaretli-Sıra Dizi Testi Kruskal -Wallis Testi - Varyans Analizleri için Parametrik Olmayan başka bir yol Parametrik Olmayan Metotlar Ve Ki-Kare Testleri (1) 14

2 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-2 Friedman Testi Rassal Olma İhtimalini Bitirir Spearman Sıra Korelasyonu Katsayısı Uyum İyiliği İçin bir Ki-Kare Testi Olasılık Tablosu Analizi – Bağımsızlık için bir Ki-Kare Testi Oranların Eşitliği için bir Ki-Kare Testi Terimlerin Gözden Geçirilmesi ve Özet Paremetrik Olmayan Metodlar Ve Kİ-Kare Testleri (2) 14

3 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-3 Parametrik Metotlar Nüfus dağılımının doğası hakkındaki varsayımlara dayanan Çıkarımlar Genellikle: nüfus normaldir Test Çeşitleri z-testi veya t-testi » İki populasyonun ortalamalarının veya oranlarının karşılaştırılması » Populasyonun ortalamasının veya oranının test değeri ANOVA » Birkaç populasyonun ortalamalarının eşitliğini test etme Parametrik Metotlar Nüfus dağılımının doğası hakkındaki varsayımlara dayanan Çıkarımlar Genellikle: nüfus normaldir Test Çeşitleri z-testi veya t-testi » İki populasyonun ortalamalarının veya oranlarının karşılaştırılması » Populasyonun ortalamasının veya oranının test değeri ANOVA » Birkaç populasyonun ortalamalarının eşitliğini test etme 14-1 İstatistik Kullanımı (Parametrik Testler)

4 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-4 Parametrik Olmayan Testler Populasyon dağılımı hakkında hiçbir varsayım yapmayan Dağılımsız Testler Test Çeşitleri İşaret Testleri » İşaret Testi: Eşleştirilmiş Gözlemlerin Karşılaştırılması » McNemar Testi: Kantitatif Değişkenlerin Karşılaştırılması » Cox ve Stuart Testi: Trendi Belirleme Dizilim testleri » Dizilim Testi: Rassallığı Belirleme » Wald-Wolfowitz Testi: İki Dağılımı Karşılaştırma Parametrik Olmayan Testler Populasyon dağılımı hakkında hiçbir varsayım yapmayan Dağılımsız Testler Test Çeşitleri İşaret Testleri » İşaret Testi: Eşleştirilmiş Gözlemlerin Karşılaştırılması » McNemar Testi: Kantitatif Değişkenlerin Karşılaştırılması » Cox ve Stuart Testi: Trendi Belirleme Dizilim testleri » Dizilim Testi: Rassallığı Belirleme » Wald-Wolfowitz Testi: İki Dağılımı Karşılaştırma Parametrik Olmayan Testler

5 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-5 Parametrik Olmayan Testler Sıra Testleri Mann-Whitney U Testi: İki populasyonu karşılaştırma Wilcoxon İşaretli Sıra Testi: Eşleştirilmiş Karşılaştırmalar Birkaç populasyonu karşılaştırma: Sıralı ANOVA » Kruskal-Wallis Testi » Friedman Testi: Tekrarlanan Ölçümler Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı Ki-Kare Testleri Uyum İyiliği Bağımsızlık Testi: Olasılık Tablosu Analizi Oranların Eşitliği Parametrik Olmayan Testler Sıra Testleri Mann-Whitney U Testi: İki populasyonu karşılaştırma Wilcoxon İşaretli Sıra Testi: Eşleştirilmiş Karşılaştırmalar Birkaç populasyonu karşılaştırma: Sıralı ANOVA » Kruskal-Wallis Testi » Friedman Testi: Tekrarlanan Ölçümler Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı Ki-Kare Testleri Uyum İyiliği Bağımsızlık Testi: Olasılık Tablosu Analizi Oranların Eşitliği Parametrik Olmayan Testler (Devam)

6 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-6 Sıralı (frekans sayımları) veriler ile çalışır. Aritmetik ortalama veya standard sapma gibi belirli populasyon parametreleri ile çalışmaz. Belirli populasyon dağılımları (özelde, normallik varsayımı) hakkında varsayımlar gerektirmez. Sıralı (frekans sayımları) veriler ile çalışır. Aritmetik ortalama veya standard sapma gibi belirli populasyon parametreleri ile çalışmaz. Belirli populasyon dağılımları (özelde, normallik varsayımı) hakkında varsayımlar gerektirmez. Parametrik Olmayan Testler (Devam)

7 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-7 Eşleştirilmiş Gözlemlerin Karşılaştırılması Eşleştirilmiş Gözlemler: X ve Y p = P(X>Y) İki-kuyruklu(uçlu) test H 0 : p = 0.50 H 1 : p  0.50 Sağ kuyruk(uç) testiH 0 : p  0.50 H 1 : p  0.50 Sol kuyruk(uç) testi H 0 : p  0.50 H 1 : p  0.50 Test İstatistiğiT = + işaretlerinin sayısı Eşleştirilmiş Gözlemlerin Karşılaştırılması Eşleştirilmiş Gözlemler: X ve Y p = P(X>Y) İki-kuyruklu(uçlu) test H 0 : p = 0.50 H 1 : p  0.50 Sağ kuyruk(uç) testiH 0 : p  0.50 H 1 : p  0.50 Sol kuyruk(uç) testi H 0 : p  0.50 H 1 : p  0.50 Test İstatistiğiT = + işaretlerinin sayısı 14-2 İşaret Testi

8 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-8 Küçük Örnek: Binom Testi İki uçlu bir test için,  /2 (C 1 )’e olabildiğince yakın bir kritik nokta bulun ve C 2 ’yi n-C 1 olarak tanımlayın. Eğer T  C 1 veya T  C 2 olursa sıfır hipotezini reddedin. Sağ uçlu bir test için, C’nin n parametreli binom dağılımı değeri olduğu ve seçilen belirlilik seviyesi  ya mümkün olabildiğince yakın olan C’ye eşit veya daha düşük bütün değerlerin olasılıkları toplamının p = 0.50 olması şartının sağlandığı bir durumda eğer T  C ise H 0 hipotezini reddedin. Sol uçlu bir test için, C’nin yukarıdaki şekilde tanımlandığı bir durumda, eğer T  C ise H 0 hipotezini reddedin. Küçük Örnek: Binom Testi İki uçlu bir test için,  /2 (C 1 )’e olabildiğince yakın bir kritik nokta bulun ve C 2 ’yi n-C 1 olarak tanımlayın. Eğer T  C 1 veya T  C 2 olursa sıfır hipotezini reddedin. Sağ uçlu bir test için, C’nin n parametreli binom dağılımı değeri olduğu ve seçilen belirlilik seviyesi  ya mümkün olabildiğince yakın olan C’ye eşit veya daha düşük bütün değerlerin olasılıkları toplamının p = 0.50 olması şartının sağlandığı bir durumda eğer T  C ise H 0 hipotezini reddedin. Sol uçlu bir test için, C’nin yukarıdaki şekilde tanımlandığı bir durumda, eğer T  C ise H 0 hipotezini reddedin. İşaret Testi Karar Verme Kuralı

9 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-9 Kümülatif Binom Olasılıkları (n=15, p=0.5) x F(x) 00.00003 10.00049 20.00369 30.01758 40.05923 50.15088 60.30362 70.50000 80.69638 90.84912 100.94077 110.98242 120.99631 130.99951 140.99997 151.00000 CEO Önce Sonra İşaret 1 34 1+ 2 55 0 3 2 3 1+ 4 24 1+ 5 44 0 6 23 1+ 7 12 1+ 8 54 -1- 9 45 1+ 10 54 -1- 11 34 1+ 12 25 1+ 13 25 1+ 14 23 1+ 15 1 2 1+ 16 32 -1- 17 45 1+ CEO Önce Sonra İşaret 1 34 1+ 2 55 0 3 2 3 1+ 4 24 1+ 5 44 0 6 23 1+ 7 12 1+ 8 54 -1- 9 45 1+ 10 54 -1- 11 34 1+ 12 25 1+ 13 25 1+ 14 23 1+ 15 1 2 1+ 16 32 -1- 17 45 1+ n = 15 T = 12  0.025 C1=3 C2 = 15-3 = 12 T  C2 olduğundan H 0 reddedilir. C1 Örnek 14-1

10 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-10 Örnek 14-1- Şablon Kullanımı H 0 : p = 0.5 H 1 : p  Test İstatistiği: T = 12 p-değeri = 0.0352.  = 0.05 için, 0.0352 < 0.05 olduğundan sıfır hipotezi reddedilir.Böylece CEO’ya karşı bir davranış değişikliğinin MBA derecesi ile ödüllendirileceği sonucuna varılabilir.

11 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-11 Dizilim farklı elemanlar tarafından takip edilen veya kendinden önce farklı elemanlar bulunan ya da kendinden önce veya sonra hiçbir eleman bulunmayan benzer elemanların oluşturduğu bir sıradır. Durum 1: S|E|S|E|S|E|S|E|S|E|S|E|S|E|S|E|S|E|S|E : R = 20 Açıkça Rassal Değil Durum 2: SSSSSSSSSS|EEEEEEEEEE : R = 2 Açıkça Rassal Değil Durum 3: S|EE|SS|EEE|S|E|SS|E|S|EE|SSS|E : R = 12 Belki Rassal Durum 1: S|E|S|E|S|E|S|E|S|E|S|E|S|E|S|E|S|E|S|E : R = 20 Açıkça Rassal Değil Durum 2: SSSSSSSSSS|EEEEEEEEEE : R = 2 Açıkça Rassal Değil Durum 3: S|EE|SS|EEE|S|E|SS|E|S|EE|SSS|E : R = 12 Belki Rassal Rassallık için iki uçlu hipotez testi: H 0 : Gözlemler rastlantısal olarak oluşturulmuştur. H 1 : Gözlemler rastlantısal olarak oluşturulmamıştır. Test İstatistiği: R=Dizilim Sayısı Eğer Tablo 8’de verildiği şekilde, R  C1 veya R  C2 ise toplam kuyruk(uç) olasılığı P(R  C 1 ) + P(R  C 2 ) =  olmak üzere,  H0’ı . derecede reddedin. Rassallık için iki uçlu hipotez testi: H 0 : Gözlemler rastlantısal olarak oluşturulmuştur. H 1 : Gözlemler rastlantısal olarak oluşturulmamıştır. Test İstatistiği: R=Dizilim Sayısı Eğer Tablo 8’de verildiği şekilde, R  C1 veya R  C2 ise toplam kuyruk(uç) olasılığı P(R  C 1 ) + P(R  C 2 ) =  olmak üzere,  H0’ı . derecede reddedin. 14-3 Dizilim Testi – Rassallık İçin Bir Test

12 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-12 Tablo 8: Dizilim Sayısı (r) (n 1,n 2 )11121314151617181920. (10,10) 0.5860.7580.8720.9490.9810.9960.9991.0001.0001.000 Durum 1: n 1 = 10 n 2 = 10 R= 20 p-değeri  0 Durum 2: n 1 = 10 n 2 = 10 R = 2 p-değeri  0 Durum 3: n 1 = 10 n 2 = 10 R= 12 p-değeri  P  R  F(11)] = (2)(1-0.586) = (2)(0.414) = 0.828 H 0 reddedilmez Durum 1: n 1 = 10 n 2 = 10 R= 20 p-değeri  0 Durum 2: n 1 = 10 n 2 = 10 R = 2 p-değeri  0 Durum 3: n 1 = 10 n 2 = 10 R= 12 p-değeri  P  R  F(11)] = (2)(1-0.586) = (2)(0.414) = 0.828 H 0 reddedilmez Dizilim Testi: Örnekler

13 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-13 Büyük Örnek Dizilim Testi: Normal Yakınsamanın Kullanımı

14 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-14 Örnek 14-2: n 1 = 27 n 2 = 26 R = 15 H 0 herhangi bir genel belirlilik düzeyinde reddedilmeli. Büyük Örnek Dizilim Testi: Örnek 14-2

15 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-15 Large-Sample Runs Test: Example 14-2 – Using the Template Note:The computed p-value using the template is 0.0005 as compared to the manually computed value of 0.0006. The value of 0.0005 is more accurate. Note: The computed p-value using the template is 0.0005 as compared to the manually computed value of 0.0006. The value of 0.0005 is more accurate. Reject the null hypothesis that the residuals are random.

16 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-16 Wald-Wolfowitz testi için sıfır ve alternatif hipotezleri: H 0 : İki populasyon aynı dağılıma sahiptir. H 1 : İki populasyon farklı dağılımlara sahiptir. Test istatistiği: R = Her iki örnekteki veriler tasnif edildiğinde,Örnekler serisindeki Dizilim Sayısı Wald-Wolfowitz testi için sıfır ve alternatif hipotezleri: H 0 : İki populasyon aynı dağılıma sahiptir. H 1 : İki populasyon farklı dağılımlara sahiptir. Test istatistiği: R = Her iki örnekteki veriler tasnif edildiğinde,Örnekler serisindeki Dizilim Sayısı Satış Memuru A:35443950482960754966 Satış Memuru B:172313243321181632 İki Populasyonun Dağılımlarını (Ortalamalarını) Karşılaştırmak için Dizilim Testinin Kullanılması: Wald- Wolfowitz Testi Örnek 14-3:

17 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-17 Tablo Dizilim Sayısı (r) (n 1,n 2 )2345. (9,10) 0.0000.0000.0020.004... Satış SatışSatışlarMemuru SatışMemuru(Sıralı)(Sıralı)Dizilim 35A13 B 44A16 B 39A17 B 48A21 B 60A24 B 1 75A29 A 2 49A32 B 66A33 B 3 17B35 A 23B39 A 13B44 A 24B48 A 33B49 A 21B50 A 18B60 A 16B66 A 32B75 A 4 Satış SatışSatışlarMemuru SatışMemuru(Sıralı)(Sıralı)Dizilim 35A13 B 44A16 B 39A17 B 48A21 B 60A24 B 1 75A29 A 2 49A32 B 66A33 B 3 17B35 A 23B39 A 13B44 A 24B48 A 33B49 A 21B50 A 18B60 A 16B66 A 32B75 A 4 n 1 = 10 n 2 = 9 R= 4 p-değeri  P  R  H 0 reddedilebilir n 1 = 10 n 2 = 9 R= 4 p-değeri  P  R  H 0 reddedilebilir Wald-Wolfowitz Testi: Örnek 14-3

18 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-18 Dizilim Testleri Mann-Whitney U Testi: İki Populasyonun Karşılaştırılması Wilcoxon İşaret Sıralı Testi: Eşleştirilmiş Karşılaştırmalar Birkaç Populasyonun Karşılaştırılması: Sıralı ANOVA Kruskal-Wallis Testi Friedman Testi: Tekrarlanan Ölçümler Dizilim Testleri Mann-Whitney U Testi: İki Populasyonun Karşılaştırılması Wilcoxon İşaret Sıralı Testi: Eşleştirilmiş Karşılaştırmalar Birkaç Populasyonun Karşılaştırılması: Sıralı ANOVA Kruskal-Wallis Testi Friedman Testi: Tekrarlanan Ölçümler Dizilim Testleri

19 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-19 Sıfır ve alternatif hipotezleri: H 0 : Populasyonların dağılımı benzerdir H 1 : İki populasyonun dağılımları benzer değildir. Mann-Whitney U İstatistiği: n 1 populasyon 1’in örneklem büyüklüğü ve n 2 is the populasyon 2’nin örneklem büyüklüğüdür. Sıfır ve alternatif hipotezleri: H 0 : Populasyonların dağılımı benzerdir H 1 : İki populasyonun dağılımları benzer değildir. Mann-Whitney U İstatistiği: n 1 populasyon 1’in örneklem büyüklüğü ve n 2 is the populasyon 2’nin örneklem büyüklüğüdür. 14-4 Mann-Whitney U Testi (İki Populasyonun Karşılaştırılması)

20 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-20 Mann-Whitney U İstatistiğinin Kümülatif Dağılım Fonksiyonu: n 2 =6 n 1 =6 u. 40.0130 50.0206 60.0325. Sıra ModelZamanSıraToplamı A35 5 A38 8 A4010 A4212 A4111 A36 652 B29 2 B27 1 B30 3 B33 4 B39 9 B37 726 Sıra ModelZamanSıraToplamı A35 5 A38 8 A4010 A4212 A4111 A36 652 B29 2 B27 1 B30 3 B33 4 B39 9 B37 726 P(u  5) Mann-Whitney U Testi: Örnek 14-4

21 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-21 Örnek 14-5: Büyük Örnek Mann-Whitney U Testi Puan Sıra Puan Program Sırası Toplamı 85120.020.0 87121.041.0 92127.068.0 98130.098.0 90126.0124.0 88123.0147.0 75117.0164.0 72113.5177.5 6016.5184.0 93128.0212.0 88123.0235.0 89125.0260.0 96129.0289.0 73115.0304.0 6218.5312.5 Puan Sıra Puan Program Sırası Toplamı 85120.020.0 87121.041.0 92127.068.0 98130.098.0 90126.0124.0 88123.0147.0 75117.0164.0 72113.5177.5 6016.5184.0 93128.0212.0 88123.0235.0 89125.0260.0 96129.0289.0 73115.0304.0 6218.5312.5 Puan Sıra Puan Program Sırası Toplamı 65210.0 10.0 5724.0 14.0 74216.0 30.0 4322.0 32.0 3921.0 33.0 88223.0 56.0 6228.5 64.5 69211.0 75.5 70212.0 87.5 72213.5101.0 5925.0106.0 6026.5112.5 80218.0130.5 83219.0149.5 5023.0152.5 Puan Sıra Puan Program Sırası Toplamı 65210.0 10.0 5724.0 14.0 74216.0 30.0 4322.0 32.0 3921.0 33.0 88223.0 56.0 6228.5 64.5 69211.0 75.5 70212.0 87.5 72213.5101.0 5925.0106.0 6026.5112.5 80218.0130.5 83219.0149.5 5023.0152.5 Test istatistiği z = -3.32 olduğundan, p-değeri  0.0005, ve H 0 reddedilir Test istatistiği z = -3.32 olduğundan, p-değeri  0.0005, ve H 0 reddedilir

22 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-22 Örnek 14-5: Büyük Örneklem Mann-Whitney U Testi – Şablon Kullanımı Test istatistiği z = - 3.32 olduğundan, p-değeri  0.0005, ve H 0 reddedilir. LC (Learning Curve-Öğrenme Eğrisi) programı daha etkilidir.

23 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-23 Sıfır ve alternatif hipotezler: H 0 : Populasyon 1 ve 2 arası medyan farkı sıfırdır H 1 : Populasyon 1 ve 2 arası medyan farkı sıfır değildir. Her çift için sıralar arası farkları bulun, D = x 1 -x 2, ve sonra farkların mutlak değerlerini sıralayın. Wilcoxon T istatistiği pozitif sıraların toplamları ile negatif sıraların toplamlarından hangisi küçükse odur: Küçük örneklemler için, Ek C, Tablo 10’daki değerleri kullanan bir sol kuyruk(uç) testi kullanılır. Büyük örneklem test istatistiği: Sıfır ve alternatif hipotezler: H 0 : Populasyon 1 ve 2 arası medyan farkı sıfırdır H 1 : Populasyon 1 ve 2 arası medyan farkı sıfır değildir. Her çift için sıralar arası farkları bulun, D = x 1 -x 2, ve sonra farkların mutlak değerlerini sıralayın. Wilcoxon T istatistiği pozitif sıraların toplamları ile negatif sıraların toplamlarından hangisi küçükse odur: Küçük örneklemler için, Ek C, Tablo 10’daki değerleri kullanan bir sol kuyruk(uç) testi kullanılır. Büyük örneklem test istatistiği: 14-5 Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi (Eşleştirilmiş Sıralar)

24 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-24 Satış Satış Sıra Sıra Sıra (1) (2) D=x 1 -x 2 ABS(D) ABS(D)(D>0) (D<0) 564016169.09.00 4870-222212.00.012 10060404015.015.00 857015158.08.00 22814147.07.00 4440442.02.00 3545-10106.00.06 287212111.011.00 5260-885.00.05 7770773.53.50 8990-111.00.01 10100**** 6585-202010.00.010 9061292913.013.00 7040303014.014.00 3326773.53.50 Toplam:8634 Satış Satış Sıra Sıra Sıra (1) (2) D=x 1 -x 2 ABS(D) ABS(D)(D>0) (D<0) 564016169.09.00 4870-222212.00.012 10060404015.015.00 857015158.08.00 22814147.07.00 4440442.02.00 3545-10106.00.06 287212111.011.00 5260-885.00.05 7770773.53.50 8990-111.00.01 10100**** 6585-202010.00.010 9061292913.013.00 7040303014.014.00 3326773.53.50 Toplam:8634 T=34 n=15 P=0.0530 P=0.02525 P=0.0120 P=0.00516 H 0 reddedilmez (Mağaza 13 için metindeki aritmetik hataya dikkat edin) T=34 n=15 P=0.0530 P=0.02525 P=0.0120 P=0.00516 H 0 reddedilmez (Mağaza 13 için metindeki aritmetik hataya dikkat edin) Örnek 14-6

25 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-25 Saatlik Sıra Sıra Sıra Mesaj Md 0 D=x 1 -x 2 ABS(D) ABS(D) (D>0) (D<0) 151149221.01.00.0 144149-552.00.02.0 123149-262613.00.013.0 178149292915.015.00.0 105149-444423.00.023.0 112149-373720.00.020.0 140149-994.00.04.0 167149181810.010.00.0 177149282814.014.00.0 185149363619.019.00.0 129149-202011.00.011.0 16014911116.06.00.0 110149-393921.00.021.0 170149212112.012.00.0 198149494925.025.00.0 16514916168.08.00.0 109149-404022.00.022.0 118149-313116.50.016.5 155149663.03.00.0 102149-474724.00.024.0 16414915157.07.00.0 180149313116.516.50.0 139149-10105.00.05.0 16614917179.09.00.0 82149333318.018.00.0 Toplam:163.5161.5 Saatlik Sıra Sıra Sıra Mesaj Md 0 D=x 1 -x 2 ABS(D) ABS(D) (D>0) (D<0) 151149221.01.00.0 144149-552.00.02.0 123149-262613.00.013.0 178149292915.015.00.0 105149-444423.00.023.0 112149-373720.00.020.0 140149-994.00.04.0 167149181810.010.00.0 177149282814.014.00.0 185149363619.019.00.0 129149-202011.00.011.0 16014911116.06.00.0 110149-393921.00.021.0 170149212112.012.00.0 198149494925.025.00.0 16514916168.08.00.0 109149-404022.00.022.0 118149-313116.50.016.5 155149663.03.00.0 102149-474724.00.024.0 16414915157.07.00.0 180149313116.516.50.0 139149-10105.00.05.0 16614917179.09.00.0 82149333318.018.00.0 Toplam:163.5161.5 Örnek 14-7

26 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-26 Örnek 14-7 Şablon Kullanımı Not 1: Not 1: İkinci veri sütununun kullanılan her sırasına ortalamanın (medyanın)öngörülen değerini girmelisiniz. Bu örnekte değer 149. Not 2: Not 2: Büyük örneklem yakınsamalarının hesaplanması için hücre M13 ve M14’teki n > 25 ifadesini n >= 25 olarak değiştirmeniz gerekecek.

27 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-27 Kruskal-Wallis hipotez testi: H 0 : Bütün k populasyonları aynı dağılıma sahip H 1 : Bütün k populasyonları aynı dağılıma sahip değil Kruskal-Wallis test istatistiği: Eğer her n j > 5 ise, bu durumda H yaklaşık olarak bir  2 dağılımı gösterir. Kruskal-Wallis hipotez testi: H 0 : Bütün k populasyonları aynı dağılıma sahip H 1 : Bütün k populasyonları aynı dağılıma sahip değil Kruskal-Wallis test istatistiği: Eğer her n j > 5 ise, bu durumda H yaklaşık olarak bir  2 dağılımı gösterir. 14-6 Kruskal-Wallis Testi – Tek-Yol ANOVA’ya Parametrik Olmayan Bir Alternatif

28 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-28 Yazılım Süre Sıra Grup Sıra Toplamı 14514190 13810256 15616325 16017 14715 16518 2308 24011 2287 24413 2255 24212 3224 3193 3151 3319 3276 3172 Yazılım Süre Sıra Grup Sıra Toplamı 14514190 13810256 15616325 16017 14715 16518 2308 24011 2287 24413 2255 24212 3224 3193 3151 3319 3276 3172  2 (2,0.005) =10.5966, dolayısıyla H 0 reddedilir Örnek 14-8: Kruskal-Wallis Testi

29 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-29 Örnek 14-8: Kruskal-Wallis Testi – Şablon Kullanımı

30 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-30 Eğer Kruskal-Wallis testindeki sıfır hipotezi reddedilirse, bu durumda,, hangilerinin farklı hangilerinin aynı olduğunu anlamak için her populasyon çiftini karşılaştırmamız gerekir. İleri Analizler (Ortalama Sıraların Çiftli Karşılaştırmaları)

31 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-31 Çift Karşılaştırmaları: Örnek 14-8

32 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-32 Friedman testi rassal bölüntü planı ANOVA’nın parametrik olmayan bir versiyonudur. Bazen plan, her hücrede bir veri kullanılan iki-yollu ANOVA olarak da ifade edilir çünkü bölüntüleri bir faktör ve işleyiş düzeylerini diğer bir faktör olarak görmek mümkündür. Test sıralamalara dayanır. 14-7 Rassal Bölüntü Planı için Friedman Testi Friedman hipotez testi: H 0 : k sayıda populasyonun dağılımı benzerdir H 1 : Bütün k dağılımları benzer değildir Friedman test istatistiği: ki-kare dağılımı için serbestlik dereceleri (k – 1)dir. Friedman hipotez testi: H 0 : k sayıda populasyonun dağılımı benzerdir H 1 : Bütün k dağılımları benzer değildir Friedman test istatistiği: ki-kare dağılımı için serbestlik dereceleri (k – 1)dir.

33 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-33 Örnek 14-10 – Şanlon Kullanımı Not: Not: p-değeri belirlilik düzeyi  = 0.05 e göre daha düşüktür,dolayısıyla bu her üç düşük bütçeli tekne seyahatinin, sürekli seyahat eden müşteriler tarafından eşit oranda tercih edilmediği yönünde bir bulgu olarak değerlendirilebilir.

34 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-34 Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı orijinal değerlerinden sıralamalara çevrilen değişkenlerden hesaplanan korelasyon katsayısıdır. 14-8 Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı

35 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-35 Tablo 11:  =0.005 n. 7------ 80.881 90.833 100.794 110.818. r s =1- (6)(4) (10)(10 2 -1) =1- 24 990 =0.9758>0.794     1 6 2 1 2 1 d i i n nn() H 0 reddedilir MMIS&P100R-MMIR-S&PDiffDiffsq 220151 7 611 218150 5 500 216148 3 300 217149 4 400 215147 2 200 213146 1 100 219 152 6 7-11 236165 910-11 23716210 911 235161 8 800 Toplam:4 MMIS&P100R-MMIR-S&PDiffDiffsq 220151 7 611 218150 5 500 216148 3 300 217149 4 400 215147 2 200 213146 1 100 219 152 6 7-11 236165 910-11 23716210 911 235161 8 800 Toplam:4 Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı: Örnek 14-11

36 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-36 Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı: Örnek 14-11 Şablon Kullanımı Not:J15:J17 aralığındakip- değerleri sadece örneklem boyutu büyük olduğunda (n > 30) görülecektir Not: J15:J17 aralığındaki p- değerleri sadece örneklem boyutu büyük olduğunda (n > 30) görülecektir

37 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-37 l Bir ki-kare analizindeki adımlar: Sıfır ve alternatif hipotezlerini formule edin. Sıfır hipotezinin doğru olması halinde beklenen gerçekleşme sıklıklarını hesaplayın– beklenen hücre değerleri Gerçek, gözlemlenmiş hücre değerlerini not edin. Ki-kare istatistiğini bulmak için beklenen ve gerçek hücre değerleri arasındaki farkları kullanın: Sıfır hipotezini test etmek için (k-1 serbestlik derecesinde) ki-kare dağılımından kritik değerlerle ki-kare istatistiğini karşılaştırın. l Bir ki-kare analizindeki adımlar: Sıfır ve alternatif hipotezlerini formule edin. Sıfır hipotezinin doğru olması halinde beklenen gerçekleşme sıklıklarını hesaplayın– beklenen hücre değerleri Gerçek, gözlemlenmiş hücre değerlerini not edin. Ki-kare istatistiğini bulmak için beklenen ve gerçek hücre değerleri arasındaki farkları kullanın: Sıfır hipotezini test etmek için (k-1 serbestlik derecesinde) ki-kare dağılımından kritik değerlerle ki-kare istatistiğini karşılaştırın. 14-9 A Chi-Square Test for Goodness of Fit

38 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-38 Sıfır ve alternatif hipotezleri: H 0 : Olayların E 1, E 2...,E k gerçekleşme olasılıkları p 1,p 2,...,p k şeklindedir. H 1 : k sayıda olayın olasılıkları sıfır hipotezindeki gibi belirli değildir. Sıfır ve alternatif hipotezleri: H 0 : Olayların E 1, E 2...,E k gerçekleşme olasılıkları p 1,p 2,...,p k şeklindedir. H 1 : k sayıda olayın olasılıkları sıfır hipotezindeki gibi belirli değildir. Olasılıkların eşit olduğunu varsayalım, p 1 = p 2 = p 3 = p 4 =0.25 ve n=80 olsun TercihBronzK.rengiKestaneSiyah Toplam Gözlemlenen1240 82080 Beklenen(np)2020 202080 (O-E)-820-12 00 Örnek 14-12: Multinomial Dağılım için Üyum İyiliği Testi

39 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-39 Örnek 14-12: Multinomial Dağılım için Uyum İyiliği Testi Şablon Kullanımı Not: p-değeri 0.0000 ‘dır, dolayısıyla herhangi bir  seviyesinde sıfır hipotezini reddedebiliriz.

40 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-40 50-5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 z f ( z ) Partitioning the Standard Normal Distribution 1 -0.440.44 0.1700 0.1713 0.1587 0.1700 0.1713 1. Yaklaşık olarak eşit yüzdelerdeki standart normal dağılım bölümlerini belirlemek için standart normal dağılım tablosunu kullanın. p(z<-1) = 0.1587 p(-1<z<-0.44)= 0.1713 p(-0.44<z<0)= 0.1700 p(0<z<0.44)= 0.1700 p(0.44<z<14)= 0.1713 p(z>1) = 0.1587 2. Veri z sınırlarında, x sınırları ters standart normal dönüşümden belirlenebilir: x =  +  z = 125 + 40z. 3. k-3 serbestlik derecesinde  2 dağılımının kritik değeri ile karşılaştırın. Normal Dağılım için Uyum İyiliği : Örnek 14-13

41 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-41 iO i E i O i - E i (O i - E i ) 2 (O i - E i ) 2 / E i 11415.87-1.873.496900.22035 22017.132.878.236910.48085 31617.00-1.001.000000.05882 41917.002.004.000000.23529 51617.13-1.131.276900.07454 61515.87-0.870.756900.04769  2 :1.11755 iO i E i O i - E i (O i - E i ) 2 (O i - E i ) 2 / E i 11415.87-1.873.496900.22035 22017.132.878.236910.48085 31617.00-1.001.000000.05882 41917.002.004.000000.23529 51617.13-1.131.276900.07454 61515.87-0.870.756900.04769  2 :1.11755  2 (0.10,k-3) = 6.5139 > 1.11755  H 0 0.10 seviyesinde reddedilmez Örnek 14-13: Çözüm

42 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-42 Örnek 14-13: Şablon Kullanımı ile Çözüm Note: p-değeri = 0.8002 > 0.01  H 0 0.10 düzeyinde reddedilmez.

43 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-43 14-9 Olasılık Tablosu Analizi: Bağımsızlık için Bir Ki-Kare Testi

44 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-44 Sıfır ve Alternatif Hipotezleri: H 0 : İki sınıflandırma değişkeni birbirlerinden bağımsızdır. H 1 : İki sınıflandırma değişkeni bağımsız değildir. Bağımsızlık için ki-kare test istatistiği : Serbestlik derecesi: df=(r-1)(c-1) Beklenen hücre değeri: P(AUB) = P(A)P(B) olması halinde A ve B bağımsızdır. Eğer birinci ve ikinci sınıflandırma kategorileri bağımsız ise:E ij = (R i )(C j )/n P(AUB) = P(A)P(B) olması halinde A ve B bağımsızdır. Eğer birinci ve ikinci sınıflandırma kategorileri bağımsız ise:E ij = (R i )(C j )/n Olasılık Tablosu Analizi: Bağımsızlık için Ki-Kare Testi

45 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-45 ijOEO-E(O-E) 2 (O-E) 2 /E 114228.813.2174.246.0500 121831.2-13.2174.245.5846 21619.2-13.2174.249.0750 223420.813.2174.248.3769  2 : 29.0865 ijOEO-E(O-E) 2 (O-E) 2 /E 114228.813.2174.246.0500 121831.2-13.2174.245.5846 21619.2-13.2174.249.0750 223420.813.2174.248.3769  2 : 29.0865  2 (0.01,(2-1)(2-1)) =6.63490 H 0, 0.01 düzeyinde reddedilir ve iki değişkenin bağımsız olmadığına karar verilir.  2 (0.01,(2-1)(2-1)) =6.63490 H 0, 0.01 düzeyinde reddedilir ve iki değişkenin bağımsız olmadığına karar verilir. Olasılık Tablosu Analizi : Örnek 14-14

46 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-46 p-değeri = 0.000 olduğundan, H 0, 0.01 düzeyinde reddedilir ve iki değişkenin bağımsız olmadığına karar verilir. Olasılık Tablosu Analizi: Örnek 14-14 Şablon Kullanımı Not: Olasılık tablosu 2x2 boyutunda olduğunda, Yates düzeltmesi kullanılmalıdır..

47 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-47 14-11 Oranların Eşitliği için Ki-Kare Testi homojenlik testleri Birkaç populasyon arasında oranların eşitliği testleri aynı zamanda homojenlik testleri olarak da isimlendirilir. Genel olarak, c populasyonu (veya tabloda sütunlar yerine sıralar halinde düzenlenmişlerse r populasyonu) karşılaştırdığımızda, Sıfır ve Alternatif Hipotezleri: H 0 : p 1 = p 2 = p 3 = … = p c H 1 : Bütün p i, I = 1, 2, …, c,. değerleri eşit değildir. Eşit oranlar için ki-kare test istatistiği : Serbestlik derecesi: df = (r-1)(c-1) Beklenen hücre değeri:

48 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-48 14-11 Oranların Eşitliği için Ki-Kare Testi - İlave Medyan Testi Burada, Sıfır ve Alternatif Hipotezler: H 0 : c sayıda populasyon aynı medyana sahiptir H 1 : c sayıda populasyon aynı medyana sahip değildir

49 COMPLETE 5 t h e d i t i o n BUSINESS STATISTICS Aczel/Sounderpandian McGraw-Hill/Irwin © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2002 14-49 Medyan için Ki-Kare Testi : Örnek 14- 16 Şablon Kullanımı Not:Şablon test istatistiğinin ve medyan testi için p- değerinin hesaplanmasına yardımcı olmak için kullanıldı. İlk olarak grand medyanın üzerindeki değerlerin sayısını ve grand medyana eşit ve ondan küçük değerlerin sayısını hesaplamalısınız. Bu değerleri şablonda kullanın. Metindeki Tablo 14-16’ya bakın. Not: Şablon test istatistiğinin ve medyan testi için p- değerinin hesaplanmasına yardımcı olmak için kullanıldı. İlk olarak grand medyanın üzerindeki değerlerin sayısını ve grand medyana eşit ve ondan küçük değerlerin sayısını hesaplamalısınız. Bu değerleri şablonda kullanın. Metindeki Tablo 14-16’ya bakın. p-değeri = 0.6703 çok büyüktür, sıfır hipotezini reddetmek için hiçbir kanıt yoktur.