NED İ R? Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının yanısıra, ekonomi, spor,siyaset, bilimsel.

... konulu sunumlar: "NED İ R? Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının yanısıra, ekonomi, spor,siyaset, bilimsel."— Sunum transkripti:

1

2 NED İ R? Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının yanısıra, ekonomi, spor,siyaset, bilimsel tespitler, meteoroloji, sigortacılık, bankacılık gibi birçok alanda kullanılmaktadır.

3 İ LG İ L İ TER İ MLER Deney ve Çıktı Yeni bilgi kazanmak ve olayların gelişimini incelemek için yapılan denem ve testlere deney denir. Bir deneyin mümkün olan her türlü sonucuna çıktı denir.

4 Madeni bir para havaya atılır ve yere düştü ğ ünde paranın yazı yüzü ya da tura yüzü üste gelir. Burada paranın havaya atılması bir deneydir. Deneyin sonucu, Yani yazı veya tura gelmesi belli de ğ ildir. Deney sonucunda bulunabilece ğ i için bu deneyin çıktıları madeni paranı yazı veya tura gelmesidir. Aynı şekilde bir tavla zarının atılması bi deneydir. 1 gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi, 4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. ÖRNEK

5 Örnek (Örneklem) Uzayı Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın her bir elemanına ise örnek nokta denir. Olay Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkansız) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın ara kesitleri (kesişimleri) boş küme ise bu iki olaya ayrık (ba ğ ımsız) olaylar denir.

6 Bir madeni paranın atılması deneyinin çıktıları : Y (yazı) ve T (tura) dır. Örnek uzayı : E = {Y, T} dir. Buna göre, bir madeni paranın atılması sonucu, yazı veya tura gelmesi olayına (örnek uzaya) kesin olay denir. Paranın dik gelmesi olayı ise olanaksız olaydır. ÖRNEK

7 Bir madeni paranın arka arkaya iki kez (veya iki madeni paranın birlikte) atılması deneyinde örnek uzayını bulunuz. ÇÖZÜM : ÖRNEK Y T Y T Y T YY YT TY TT 1.atış2.atış E = {YY, YT, TY, TT} olup s(E) = 4 tür.

8 Bir madeni para atıldı ğ ında s(E) = 2 ¹ =2 İki madeni para birlikte atıldığında s(E) = 2² = 4 Üç madeni para birlikte atıldığında s(E) = 2³ =8 n madeni para birlikte atıldığında s(E) = 2ⁿ dir.

9 İ çinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki; a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? b. Çekilen bilyelerin aynı renkte olma olayının eleman sayısı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : a. Torbada 3+4=7 tane bilye olup bunlardan 2 tane bilyeyi C(7,2) =7! = 21 farklı şekilde çekebiliriz. 5!.2! Yani s(E) = 21 dir. b. Çekilen bilyeler aynı renkte olacaksa, 3 kırmızı bilyenin 2 si veya 4 beyaz bilyenin 2 si çekilmeli. O halde C(3,2) + C(4,2) = 3+6=9olur. ÇÖZÜM : a. Torbada 3+4=7 tane bilye olup bunlardan 2 tane bilyeyi C(7,2) =7! = 21 farklı şekilde çekebiliriz. 5!.2! Yani s(E) = 21 dir. b. Çekilen bilyeler aynı renkte olacaksa, 3 kırmızı bilyenin 2 si veya 4 beyaz bilyenin 2 si çekilmeli. O halde C(3,2) + C(4,2) = 3+6=9olur.

10 3 kız, 4 erkek ö ğ rencinin bir sıraya yan yana oturma deneyindeki; a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? b. Kızların bir arada olması olayını eleman sayısı kaçtır? c. Erkeklerin bir arada olması olayının eleman sayısı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : a. 3 kız + 4 erkek= 7 kişi sıraya yan yana 7! Kadar farklı şekilde oturabilce ğ inden s(E) = 7! dir. b. Kızlar bir arada olaca ğ ından 3 kız bir eleman gibi düşünülürse, 4 erkekle birlikte 5 eleman oluşur. Bunların sıralanma sayısı 5! Olur. Ayrıca 3 kız kendi aralarında 3! Kadar yer de ğ iştirebilece ğ inden, s(A) = 5!.3! bulunur. c. Erkekler bir arada olaca ğ ı için erkekler bir eleman olarak düşünülür ve kızlarla birlikte toplam 4 eleman olur. Bunlar kendi aralarında 4! farklı şekilde sıralanabilirler. Erkekler kendi içlerinde 4! şekilde sıralanabilirler. Bu yüzden s(A) =4!.4! olur. ÇÖZÜM : a. 3 kız + 4 erkek= 7 kişi sıraya yan yana 7! Kadar farklı şekilde oturabilce ğ inden s(E) = 7! dir. b. Kızlar bir arada olaca ğ ından 3 kız bir eleman gibi düşünülürse, 4 erkekle birlikte 5 eleman oluşur. Bunların sıralanma sayısı 5! Olur. Ayrıca 3 kız kendi aralarında 3! Kadar yer de ğ iştirebilece ğ inden, s(A) = 5!.3! bulunur. c. Erkekler bir arada olaca ğ ı için erkekler bir eleman olarak düşünülür ve kızlarla birlikte toplam 4 eleman olur. Bunlar kendi aralarında 4! farklı şekilde sıralanabilirler. Erkekler kendi içlerinde 4! şekilde sıralanabilirler. Bu yüzden s(A) =4!.4! olur.

11

12 Bir zarın atılması deneyinde meydana gelebilecek üç olay aşa ğ ıda verilmiştir. A = Tek sayı gelmesi = {1, 3, 5} B = Çift sayı gelmesi = {2, 4, 6} C = Asal sayı gelmesi = {2, 3, 5} ÖRNEK 2 4 6 1 3 5 4 6 3 5 2 Yukarıda görüldü ğ ü gibi A ve b olaylarının ortak elemanı yoktur. Zarın bir kez atılmasıyla sadece bir kümeye ilişkin bir sonuç ortaya çıkar. B ve C olaylarının ortak noktası 2 dir. Bu yüzden bu iki olay ayrık olmayan olaylardır.

13

14 ÖRNEK E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A’) = 1/3 P(B) = 1/4 ve P(AnB) 1/6 ise P(AuB) kaçtır? ÇÖZÜM : P(A) + P(A’) = 1 P(A) + 1/3 = 1 P(A) = 2/3 P(AuB) = P(A) + P(B) – P(AnB) = 2/3 + 1/4 – 1/6 = 3/4 ÇÖZÜM : P(A) + P(A’) = 1 P(A) + 1/3 = 1 P(A) = 2/3 P(AuB) = P(A) + P(B) – P(AnB) = 2/3 + 1/4 – 1/6 = 3/4

15 ÖRNEK E = {1, 2, 3, 4, 5} eş olumlu örnek uzay ise P(2) + P(5) toplamı kaçtır? ÇÖZÜM : S(E) = 5tir. P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 1/5 P(2) + P(5) = 1/5 +1/5 = 2/5 olur. ÇÖZÜM : S(E) = 5tir. P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 1/5 P(2) + P(5) = 1/5 +1/5 = 2/5 olur.

16 Bir madeni paranın arka arkaya üç kez atılması sonucu en az iki yazı gelmesi olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : E = {YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} s(E) = 8 dir. İ stenen olay A = {YYY, YYT, YTY, TYY} s(A) = 4 tür. P(A) = s(A) = 4 = 1 s(E) 8 2 ÇÖZÜM : E = {YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} s(E) = 8 dir. İ stenen olay A = {YYY, YYT, YTY, TYY} s(A) = 4 tür. P(A) = s(A) = 4 = 1 s(E) 8 2

17 5 Doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : 5 + 6 = 11 kişiden 3 kişi C(11,3) = 11! = 165 farklı şekilde seçilebilir. 8!.3! Ekipte 2 doktor bulunacaksa; 2 doktor, 1 hemşire ya da 3 doktor bulunabilir. Buna göre istenen olayın eleman sayısı C(5,2). C(6,1) + C(5,3) = 10.6 + 10 = 70 P(A) = s(A) = 70 = 14 s(E) 165 33 ÇÖZÜM : 5 + 6 = 11 kişiden 3 kişi C(11,3) = 11! = 165 farklı şekilde seçilebilir. 8!.3! Ekipte 2 doktor bulunacaksa; 2 doktor, 1 hemşire ya da 3 doktor bulunabilir. Buna göre istenen olayın eleman sayısı C(5,2). C(6,1) + C(5,3) = 10.6 + 10 = 70 P(A) = s(A) = 70 = 14 s(E) 165 33

18

19 Bir topluluktaki 12 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erke ğ in 6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin erkek veya gözlüklü olma olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : Erkek olma olasılı ğ ı: P(E) Gözlüklü olma olasılı ğ ı: P(G) P(EuG) = P(E) + P(G) – P(EnG) 9/21 + 3/21 – 6/21 = 16/21 olur. ÇÖZÜM : Erkek olma olasılı ğ ı: P(E) Gözlüklü olma olasılı ğ ı: P(G) P(EuG) = P(E) + P(G) – P(EnG) 9/21 + 3/21 – 6/21 = 16/21 olur. BayanErkek Gözlüklü76 Gözlüksüz53

20 Bir madeni para ile zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : Paranı tura gelme olasılı ğ ı P(A) = 1/2 Zarın asal sayı gelme olasılı ğ ı P(B) =3/6 = 1/2 olup paranın tura gelmesi zarın asal sayı gelmesini etkilemedi ğ inden bu iki olay ba ğ ımsızdır. O halde, paranın tura ve zarı asal sayı gelme olasılı ğ ı P(AnB) = P(A).P(B) = 1/2. 1/2 = 1/4 ÇÖZÜM : Paranı tura gelme olasılı ğ ı P(A) = 1/2 Zarın asal sayı gelme olasılı ğ ı P(B) =3/6 = 1/2 olup paranın tura gelmesi zarın asal sayı gelmesini etkilemedi ğ inden bu iki olay ba ğ ımsızdır. O halde, paranın tura ve zarı asal sayı gelme olasılı ğ ı P(AnB) = P(A).P(B) = 1/2. 1/2 = 1/4

21

22 İ ki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst yüze gelen sayıların toplamının 8 oldu ğ u bilindi ğ ine göre, sayıların ikisinin de çift sayı olm olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olması olayı, B = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} dir. Üst yüze gelen sayıların ikisinin de çift olma olayı A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (5,4), (6,6)} dir. AnB = {(6,2), (4,4), (2,6)} P(A/B) = s(AnB) = 3/5 s(B) ÇÖZÜM : Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olması olayı, B = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} dir. Üst yüze gelen sayıların ikisinin de çift olma olayı A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (5,4), (6,6)} dir. AnB = {(6,2), (4,4), (2,6)} P(A/B) = s(AnB) = 3/5 s(B)

23 Bir sınıftaki ö ğ rencilerin %75 i matematik dersinden, %60 ı Türkçe dersinden, %50 si ise her iki dersten geçmiştir. Sınıftan rastgele seçilen bir ö ğ rencinin Türkçe dersinden geçti ğ i bilindi ğ ine göre matematik dersinden kalma olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : P(M’nT) s(T) = %10 / %60 =1/6 ÇÖZÜM : P(M’nT) s(T) = %10 / %60 =1/6 % 25 %50%50 % 10

24